B AC H I L L E R ATO Matema´ ticas Este material es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones de Santillana, bajo la dirección de Teresa Grence. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN Silvia Marín García EDICIÓN EJECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa LO QUE DEBES SABER DE SECUNDARIA 1
Índice 1 Número racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Potencias de números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Ecuaciones y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Proporcionalidad y porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7 Teorema de Pitágoras. Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8 Teorema de Tales. Semejanza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9 Cuerpos geométricos. Área y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 1 0 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1 1 Funciones lineales y cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1 2 Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1 3 Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 Notación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 A B C a b c Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 b = 20, c = 21 F a2 = 202 + 212 = 841 Despejando a: a 841 29 = = cm Relaciones métricas en los triángulos Dado un triángulo ABC, siempre se cumple que: Cualquier lado es menor que la suma de los otros dos. Cualquier lado es mayor que la diferencia de los otros dos. La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°. a 20 cm 21 cm Polígonos regulares Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos iguales. En caso contrario, el polígono es irregular. Apotema, a: segmento perpendicular al lado trazado desde su punto medio hasta el centro del polígono regular. Radio, r: segmento que une el centro del polígono regular con uno de los vértices. Circunferencia y círculo Radio Diámetro Cuerda Arco O B A Una circunferencia es una línea cur va , cerrada y plana en la que todos sus puntos están a la misma distancia del centro. Un círculo es la parte del plano limitada por una circunferencia . Perímetro de un polígono y longitud de una circunferencia El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. La longitud de una circunferencia, L, se puede calcular mediante la expresión L = r ? d, o bien L = 2 ? r ? r, donde d es el diámetro y r es el radio. S A B E R E S B Á S I C O S Teorema de Pitágoras. Áreas a r 4
Área de figuras planas Área de polígonos Área de figuras circulares Triángulo Rombo b h ? A b h 2 = b D ? A D d 2 = Rectángulo Trapecio a b A = b ? a h B b ? ( ) A B b h 2 = + Romboide Polígono regular h b A = b ? h r a l ? A P a 2 = Figuras circulares Fórmula del área Círculo: superficie plana contenida dentro de una circunferencia. r O A = rr2 Sector circular: parte de un círculo limitado por dos radios y un arco. a r O A r 360 2 r a = Segmento circular: parte de un círculo limitado por un arco y su cuerda. a r O B A A = ASector - ATriángulo OAB Corona circular: superficie plana comprendida entre dos circunferencias concéntricas. r R O A = r(R2 - r2) & 5
Hallar uno de los lados de un triángulo rectángulo Determinar si un triángulo es rectángulo Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono S A B E R E S B Á S I C O S Teorema de Pitágoras. Áreas Determina el lado que falta en estos triángulos rectángulos. A 6 cm 8 cm ? B 6 cm 10 cm ? primero. Sustituimos, en el teorema de Pitágoras, cada letra por su valor. La letra a representa la hipotenusa, y b y c son los catetos. a) a2 = b2 + c2 b = 8, c = 6 F a2 = 82 + 62 b) a2 = b2 + c2 a = 10, c = 6 F 102 = b2 + 62 segundo. Despejamos la letra desconocida en la ecuación. a) a 2 = 82 + 62 " a 2 = 100 " a = 100 = 10 cm b) 102 = b2 + 62 " b2 = 102 - 62 = 64 " b2 = 64 " b = 64 = 8 cm Calcula el lado de estos polígonos. primero. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas. segundo. Aplicamos el teorema de Pitágoras. a) 202 = 122 + b2 b2 = 202 - 122 b b 256 256 16 cm 2 = = = " b) l2 = 122 + 52 l2 = 169 l 169 13 cm = = c) , l 13 10 5 2 2 2 2 = +f p , l 2 58 75 2 = f p , , l 2 58 75 7 66 = = ? , , l 7 66 2 15 32 cm = = b 12 cm 20 cm a) b) c) 20 cm b 12 cm 5 cm 12 cm l 13 cm 10,5 cm l/2 A l 10 cm 24 cm G G B l 10,5 cm 13 cm G C Determina si el triángulo cuyos lados miden 5, 12 y 13 cm, respectivamente, es rectángulo. primero. Asignamos la medida mayor a la hipotenusa y las otras dos a los catetos. a = 13 b = 5 c = 12 segundo. Comprobamos si se cumple el teorema de Pitágoras. • Si se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo. • En caso contrario, no es un triángulo rectángulo. a2 = b2 + c2 a = 13, b = 5, c = 12 F 132 = 52 + 122 " 169 = 25 + 144 " 169 = 169 En este caso se cumple la igualdad, y el triángulo es rectángulo. 6
Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de un polígono Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de un polígono regular Calcular el área de una figura plana Determina el área de esta figura. primero. Descomponemos la figura en otras cuyas áreas sepamos calcular. Figura A " Triángulo isósceles con lados iguales de 1,3 m y base de 2,4 m. Figuras B, C, D, E, F y G " Semicírculos iguales de diámetro 2,4 : 6 = 0,4 m. segundo. Hallamos cada una de las áreas de las figuras que hemos obtenido en la descomposición. Figura A " Calculamos h. , , , , , h h 1 3 1 2 0 25 0 25 0 5 m 2 2 2 = - = = = " ? ? , , , A b h 2 2 2 4 0 5 0 6 m A 2 Figura = = = Figura B " Calculamos r. r = 0,4 : 2 = 0,2 m ? , , A r 2 2 0 2 0 06 m B 2 2 2 Figura r r = = = tercero. Operamos para obtener el área total. ATotal = AFigura A + 6 ? AFigura B = 0,6 + 6 ? 0,06 = 0,96 m2 1,3 m 1,3 m B C D E F G 2,4 m A h Calcula la apotema de estos polígonos regulares. primero. El triángulo de lados el radio, la apotema y la mitad del lado es rectángulo. Identificamos sus medidas considerando que en el hexágono regular el radio es igual al lado. segundo. Aplicamos el teorema de Pitágoras. a) 62 = 32 + a2 " a2 = 62 - 32 a) 17,52 = 62 + a2 " a2 = 17,52 - 62 , a a 27 27 5 2 cm 2 = = = " , , , a a 270 25 270 25 16 44 cm 2 = = = " 6 cm a r A 12 cm 17,5 cm a B Halla la altura de estos polígonos. primero. Identificamos el triángulo rectángulo que determina la altura, y sus medidas. segundo. Aplicamos el teorema de Pitágoras. a) 132 = 52 + h2 b) 62 = 32 + h2 c) 172 = 82 + h2 h2 = 132 - 52 h2 = 62 - 32 h2 = 172 - 82 h2 = 144 " h 144 12 cm = = h2 = 27 " , h 27 5 2 cm = = h2 = 225 " h 225 15 cm = = 8 cm h 5 cm 13 cm A h 6 cm 6 cm B h 17 cm C 7
1 Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigual de 50°. ¿Cuánto miden los ángulos iguales? 2 Analiza, en cada caso, las medidas y averigua con cuáles se puede formar un triángulo. a) a = 8 cm, b = 7 cm, c = 1 cm b) a = 6 cm, b = 6 cm, c = 13 cm c) a = 12 cm, b = 14 cm, c = 6 cm 3 Determina si los triángulos son rectángulos. En caso afirmativo, indica la medida de su hipotenusa y de sus catetos. a) Triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. b) Triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 12 cm. c) Triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 61 cm. d) Triángulo de lados 7 cm, 24 cm y 25 cm. 4 C lasifica en acutángulo u obtusángulo el triángulo de lado 5 cm, 10 cm y 8 cm. 5 C alcula la longitud de x en estas figuras. a) c) b) d) 6 D etermina la longitud de x en estos triángulos. a) b) c) 7 Halla la altura de un triángulo equilátero de perímetro 48 cm. 8 C alcula el perímetro de las siguientes figuras. a) b) 9 H alla la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide: a) 10 cm b) 16 cm c) 7 cm 10 O bserva la figura y calcula. 16 cm C 12 cm A B a) El lado del rombo. b) La longitud del cateto AB, del cateto AC y de la hipotenusa BC. 11 O bserva la siguiente figura. Si los lados del rectángulo son 15 cm y 20 cm, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia? 12 E l área de un triángulo isósceles es 24 m2 y el lado desigual mide 6 m. Halla la longitud de los otros lados. 13 E l área de un triángulo rectángulo es 12 cm2 y uno de los catetos mide 6 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa. 14 O btén el área de un triángulo equilátero de perímetro 90 cm. 15 S i el área de un triángulo equilátero es 30 cm2, halla la longitud de su lado. 16 O btén el área de un triángulo rectángulo de hipotenusa 13 cm, siendo uno de los catetos 5 cm. 17 C alcula el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 7,07 cm. 18 H alla el área de este rectángulo. 4 cm 41 cm 19 C alcula el área de un rectángulo cuya base mide 10 cm y la diagonal 116 cm. 20 D etermina el área de un rectángulo de base 7 cm y perímetro 24 cm. 21 C alcula el área de la zona sombreada. 4 cm 6 cm 9 cm 4 cm 11 cm 8 cm F 20 cm 15 cm G 4 cm x 10 cm x 5 cm 8 cm x x 9 cm 117 cm 10 cm 10 cm 10 cm x 7 cm 12 cm 12 cm x x x x 48 cm 25 cm 28 cm 18 cm 16 cm 5 cm 14 cm 7 cm 28 cm 12 cm A C T I V I D A D E S Teorema de Pitágoras. Áreas 8
22 H alla el área de estos trapecios isósceles. a) c) b) d) 23 C alcula el área de: a) Un hexágono regular de lado 2 cm. b) Un octógono regular de perímetro 48 cm. 24 H alla la longitud 6 cm del segmento rojo de esta figura. 25 D etermina el área de las superficies coloreadas. 5 cm 4 cm 3 cm 3 cm b) a) d) c) G 5,54 cm 26 C alcula el área de las siguientes figuras. 4 cm a) 12 cm b) 27 D etermina el área de las figuras. c) 5 cm 2 cm d) 2,5 cm 2,5 cm a) 5 cm 7 cm b) 10 cm 4 cm 3 cm 6 cm 3 cm 10 cm 7 cm 3,5 cm 4,13 m 16 cm 24 cm 164 m 14 cm 4 m 3 cm 28 O bserva esta torre y su sombra. ¿Qué distancia hay desde el punto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra? 29 U na escalera 10 m 6 m de 10 m de longitud está apoyada sobre una pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? 30 E n los lados de un campo cuadrangular se han plantado 32 árboles, separados 5 m entre sí. ¿Cuál es su área? ¿Cuánto mide el lado? 31 E sta señal de tráfico indica la obligatoriedad de parar. Halla su área si su altura es 90 cm y su lado mide 37 cm. 32 C ada uno de los 50 pisos de un edificio tiene la planta de esta figura, siendo el lado del hexágono de 30 m. Si el suelo tiene una moqueta que cuesta 20 €/m2, calcula el precio total pagado por la moqueta del edificio. 30 m 32 U n repostero ha cubierto de azúcar la parte superior de 200 rosquillas como la de la figura. Si ha utilizado 5 kg de azúcar, ¿cuántos gramos de azúcar se necesitan para cubrir cada centímetro cuadrado de rosquilla? 200 m 150 m 5 cm G F 6 cm G F 9
Determinar las coordenadas de un punto que pertenece a una función Estudiar una función Determinar si un punto pertenece a una función Estudia las propiedades de la función representada. primero. Estudiamos el dominio y el recorrido. En el eje X, la función toma todos los valores comprendidos entre -3 y +3 " Dom f = R En el eje Y, la función toma todos los valores comprendidos entre -3 y 3 " Im f = (-3, 3] segundo. Determinamos los puntos de corte con los ejes. La gráfica corta al eje X en x = -3 F Punto de corte: (-3, 0) La gráfica corta al eje Y en y = 1 F Punto de corte: (0, 1) tercero. Observamos los tramos en los que la función crece y en los que decrece. Determinamos los puntos en los que la gráfica pasa de ser creciente a decreciente (máximos) y de ser decreciente a creciente (mínimos). Creciente -2 Máximo 0 Mínimo 3 Máximo Decreciente Decreciente Creciente F F F F cuarto. Comprobamos si en la gráfica existe alguna parte que se repite periódicamente. La función no es periódica. quinto. Observamos la gráfica, cuadrante a cuadrante. • Si se repite en el 1.er y 2.º cuadrantes y en el 3.er y 4.º cuadrantes, existe simetría respecto del eje Y. • Si se repite en el 1.er y 3.er cuadrantes y en el 2.º y 4.º cuadrantes, hay simetría respecto del origen. En este caso, no hay simetrías. X Y 1 1 Dada la función y = 2x - 7, calcula el valor de y para x = 3. primero. Sustituimos x por su valor en la ecuación de la función. Para x = 3: y = 2 x - 7 x = 3 F y = 2 ? 3 - 7 = -1 segundo. La primera coordenada es el valor de x y la segunda es el valor de y. El punto buscado es (3, -1). Dada la función y = 2x - 7, determina si el punto A(-2, 0) pertenece a la función. primero. En la ecuación de la función, sustituimos x por la primera coordenada del punto e y por la segunda. y = 2x - 7 x = -2, y = 0 F 0 ! 2 ? (-2) - 7 F 0 ! -11 segundo. Si la igualdad se cumple, el punto pertenece a la función; en caso contrario, no. El punto A(-2, 0) no pertenece a la función. S A B E R E S B Á S I C O S Funciones 10
1 Razona cuáles de las siguientes relaciones corresponden a funciones. a) El tamaño de una pared y la cantidad de pintura necesaria para pintarla. b) Cada mes del año y su número de días. c) El radio de una circunferencia y la longitud de su perímetro. 2 Para cada una de las funciones, calcula la imagen de 2, -2, 3, -3, 1 y -1. a) f(x) = 5x2 - 1 b) f(x) = 2x2 - x c) f(x) = x2 - x - 1 d) f(x) = -x2 + 1 3 Halla la imagen de -2, -1, 0, 1 y 2 para cada una de las siguientes funciones. a) ( ) f x x 2 5 = + c) f (x) = x 3 - 1 b) ( ) f x x 2 1 2 = + d) ( ) f x x x 3 2 5 3 2 = - + 4 Calcula el dominio y el recorrido de estas funciones. a) b) c) d) 1 1 X < 1 1 X Y 1 1 X Y 1 1 X Y 5 Completa las gráficas para que estas funciones sean impares. a) b) 6 La gráfica pertenece a una función periódica, de período T = 3. Completa la gráfica a ambos lados y justifica cómo lo haces. 1 1 Y X 7 Estudia el dominio, el recorrido, los puntos de corte, el crecimiento, el decrecimiento y los máximos y mínimos de las siguientes funciones. a) b) c) 1 1 X Y 1 1 X Y 1 1 X Y 1 1 X Y 1 1 X Y A C T I V I D A D E S Funciones 11
N Números naturales Z Números enteros Q Números racionales R Números reales I Números irracionales b a Fracción a/b 3,4 ! Decimal periódico puro 3,74 ! Decimal periódico mixto !a +a y -a 3 Infinito an Potencia a Raíz cuadrada a n Raíz n-ésima logb a Logaritmo n! Factorial n m c m Número combinatorio ;a; Valor absoluto Op (a) Opuesto = Igual ! Distinto c Aproximadamente < Menor que # Menor o igual que # No es menor que > Mayor que $ Mayor o igual que $ No es mayor que [a, b] Intervalo cerrado (a, b) Intervalo abierto [a, b) Intervalo semiabierto (a, b] Intervalo semiabierto a o Múltiplos de a Div (a) Divisores de a m.c.m. (a, b) Mínimo común múltiplo de a y b m.c.d. (a, b) Máximo común divisor de a y b P(x) Polinomio de variable x P(a) Valor numérico del polinomio P(x) para x = a P(x, y) Polinomio de variables x e y P(a, b) Valor numérico del polinomio P(x, y) para x = a e y = b N O T A C I Ó N M AT E M ÁT I C A N Ú M E R O S Y A R I T M É T I C A Á L G E B R A 12
(x, y) (x1, x2) (x, f (x)) Coordenadas de un punto f (x) y = f (x) Función f (a) Valor de f (x) en x = a Dom f Dominio de una función Im f Recorrido de una función R - {a} Todos los números reales menos el punto a R - [a, b) Todos los números reales menos el intervalo [a, b) E Espacio muestral Suceso seguro Q Suceso imposible A Suceso contrario al suceso A A , B Unión de sucesos A + B Intersección de sucesos P(A) Probabilidad del suceso A A(a, b) Coordenadas de un punto AB Vector v ( , ) AB v v 1 2 = Coordenadas de un vector ( , ) v v v 1 2 = AB ; ; Módulo de un vector v ; ; v w ' Vectores paralelos v w = Vectores perpendiculares r's Rectas paralelas r9s Rectas perpendiculares AB Longitud de A a B AB % Arco de una circunferencia A CAB X % Ángulo A ABC & Triángulo ABC sen a Seno del ángulo a cos a Coseno del ángulo a tg a Tangente del ángulo a xi Dato fi Frecuencia absoluta de xi hi Frecuencia relativa de xi Fi Frecuencia absoluta acumulada de xi Hi Frecuencia relativa acumulada de xi N Número total de datos x Media Me Mediana Mo Moda R Recorrido DM Desviación media v Desviación típica v2 Varianza CV Coeficiente de variación G E O M E T R Í A F U N C I O N E S E S T A D Í S T I C A P R O B A B I L I D A D 13
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