3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

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Matema´ ticas Generales Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Ana María Gaztelu Villoria Augusto González García José Lorenzo Blanco Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra Federico Rodríguez Merinero Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN Sonia Alejo Sánchez Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno. 1 B A C H I L L E R A T O

2 Índice Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 1 Matemáticas financieras 9 1. Porcentajes _ 10 2. Porcentajes encadenados _ 11 3. Interés simple _ 12 4. Interés compuesto _ 13 5. Anualidades de capitalización _ 14 6. Anualidades de amortización _ 15 7. Tasa Anual Equivalente (TAE) _ 18 8. Números índice _ 19 9. Índice de Precios de Consumo (IPC) _ 20 10. Encuesta de Población Activa (EPA) _ 21 • Calcular totales, partes y porcentajes • Resolver los problemas de porcentajes encadenados • Calcular el capital acumulado mediante anualidades de capitalización • Elaborar una tabla de números índice • Comparar mediante porcentajes • Calcular el interés en plazos distintos al anual • Calcular el tiempo de inversión a interés compuesto 2 Grafos 35 1. Grafos. Definiciones _ 36 2. Tipos de grafos _ 37 3. Matrices _ 40 4. Producto de matrices cuadradas _ 41 5. Matriz de adyacencia de un grafo _ 42 6. Caminos y circuitos _ 44 7. Grafos eulerianos y hamiltonianos _ 46 8. Árboles _ 47 9. Mapas. Fórmula de Euler _ 49 • Calcular el producto de matrices cuadradas • Calcular el número de formas de llegar de vi a vj recorriendo exactamente n aristas • Encontrar un árbol abarcador de un grafo • Calcular algunos elementos de un mapa aplicando la fórmula de Euler • Construir un diagrama de flujo • Calcular la potencia n-ésima de una matriz 3 Sistemas de ecuaciones 63 1. Sistemas de ecuaciones lineales _ 64 2. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas _ 65 3. Discusión de un sistema de ecuaciones _ 67 4. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas _ 68 5. Método de Gauss _ 69 6. Discusión de un sistema por el método de Gauss _ 70 7. Sistemas de ecuaciones no lineales _ 72 • Resolver un sistema con el método de sustitución • Resolver un sistema con el método de igualación • Resolver un sistema con el método de reducción • Resolver un sistema con el método gráfico • Resolver un sistema de tres ecuaciones por el método de Gauss • Resolver un sistema expresado matricialmente por el método de Gauss • Determinar el número de soluciones de un sistema con dos incógnitas 4 Programación lineal 87 1. Inecuaciones _ 88 2. Inecuaciones lineales con dos incógnitas _ 90 3. Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas _ 91 4. Programación lineal _ 92 5. Métodos de resolución _ 96 6. Tipos de soluciones _ 98 7. Problema de la producción _ 101 8. Problema de la dieta _ 102 9. Problema del transporte _ 103 • Resolver una inecuación de primer o segundo grado con una incógnita • Resolver una inecuación lineal con dos incógnitas • Resolver un sistema de inecuaciones con dos incógnitas • Plantear un problema de programación lineal • Determinar los vértices de una región factible • Resolver problemas de programación lineal analíticamente • Resolver problemas de programación lineal gráficamente • Representar una región factible 5 Funciones 115 1. Funciones reales de variable real _ 116 2. Dominio y recorrido _ 117 3. Simetría y periodicidad _ 118 4. Funciones polinómicas _ 119 5. Transformaciones de funciones _ 120 6. Funciones racionales _ 121 7. Funciones con radicales _ 122 8. Funciones exponenciales _ 123 9. Logaritmos _ 124 10. Funciones logarítmicas _ 125 11. Funciones definidas a trozos _ 126 12. Operaciones con funciones _ 128 13. Composición de funciones _ 129 • Determinar el dominio de una función • Determinar la simetría de una función • Representar una función cuadrática • Representar una función de proporcionalidad inversa • Representar la función ( ) f x x n = • Representar una función exponencial • Representar una función logarítmica • Representar una función definida a trozos • Hallar los valores de las operaciones con funciones • Componer funciones • Calcular el dominio de funciones no elementales

3 Pract i ca las competenc ias espec í f i cas Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Resolver problemas de interés compuesto con aumentos anuales de capital • Calcular el tiempo en anualidades de capitalización • Calcular anualidades de capitalización en plazos diferentes al anual • Elaborar una tabla de amortización por meses • Calcular anualidades de amortización en plazos diferentes al anual • Calcular la TAE para periodos superiores a un año • Calcular la TAE si los intereses no son anuales • Analizar cantidades a partir de la inflación • Calcular la variación de nivel adquisitivo M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Población • Bolsa • Economía • Trabajo • Tarjetas de crédito FA K E N E W S . Análisis de informaciones. Educación financiera Valorar qué oferta de préstamo es mejor para el cliente • Encontrar un circuito que pasa por todas las aristas (problema del cartero) • Calcular el ciclo hamiltoniano más corto (problema del viajante) • Encontrar el árbol abarcador de menor peso mediante el algoritmo de Kruskal • Encontrar el árbol abarcador de mayor peso mediante el algoritmo de Kruskal • Encontrar el árbol abarcador de menor peso mediante el algoritmo de Prim • Colorear un mapa de forma que dos regiones adyacentes no tengan el mismo color M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Informática • Transportes • Idiomas • Ajedrez • Cartografía FA K E N E W S . Búsqueda de la ruta óptima con condiciones Calcular la ruta óptima entre dos lugares • Resolver sistemas en función de un parámetro • Expresar las soluciones de un sistema compatible indeterminado con dos incógnitas • Expresar las soluciones de un sistema compatible indeterminado con tres incógnitas • Discutir sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas en función de un parámetro • Resolver problemas con un sistema de ecuaciones • Resolver sistemas no lineales que contienen expresiones radicales • Resolver sistemas no lineales que contienen fracciones algebraicas M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Fútbol • Industria • Automóviles • Baloncesto • Biología • Historia FA K E N E W S . Análisis de datos Calcular el precio de un producto • Determinar las restricciones, conocida la región factible • Añadir restricciones para obtener una determinada región factible • Determinar el máximo y el mínimo de una función en una región factible acotada • Determinar el máximo y el mínimo de una función en una región factible no acotada • Resolver un problema siendo una restricción una relación entre las incógnitas • Resolver un problema cuando la función objetivo es del tipo f (x, y) = ax + by + k • Resolver un problema cuando la región factible es no acotada • Extraer conclusiones de la solución óptima de un problema M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Radiactividad • Espectáculos • Transporte • Recursos • Materias primas FA K E N E W S . Contraste de datos e información Optimizar los recursos de los que se dispone • Calcular el periodo de una función periódica • Representar funciones del tipo f (x) = ax n con n $ 2 • Determinar la gráfica de una función a partir de transformaciones • Representar funciones del tipo kf (x) conocida la gráfica de f (x) • Representar funciones del tipo f (x) = x a k + y f (x) = x c ax b + + • Representar funciones del tipo f (x) = akx • Representar funciones del tipo f (x) = ax+b + c • Resolver ecuaciones logarítmicas • Representar funciones del tipo f (x) = loga kx • Representar funciones del tipo g (x) = ; f (x) ; • Representar funciones en las que interviene el valor absoluto • Expresar una función como composición de otras funciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Astronomía • Medios de transporte • Viajes • Precios • Biología • Sociedad • Física • Arquitectura FA K E N E W S . Contraste de informaciones numéricas Distinguir las capas de la atmósfera por su temperatura

4 Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 6 Límite de una función 143 1. Sucesiones. Límite de una sucesión _ 144 2. Cálculo de límites _ 146 3. Operaciones con límites _ 147 4. Indeterminaciones _ 148 5. Resolución de algunas indeterminaciones _ 149 6. Límite de una función en el infinito _ 152 7. Límite de una función en un punto _ 153 8. Ramas infinitas. Asíntotas _ 156 9. Continuidad de una función _ 158 • Calcular límites que presentan una indeterminación del tipo 3/3 • Resolver límites con una indeterminación del tipo 3 - 3 • Calcular el límite de una función en un punto • Calcular el límite en una función definida a trozos • Resolver límites con una indeterminación del tipo 0/0 • Calcular las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función • Estudiar la continuidad de una función elemental • Determinar el límite de un cociente de polinomios con radicales 7 Derivada de una función. Aplicaciones 173 1. Tasa de variación media _ 174 2. Derivada de una función en un punto _ 175 3. Interpretación geométrica de la derivada _ 176 4. Función derivada _ 177 5. Derivadas de funciones elementales _ 179 6. Derivadas del producto y del cociente de funciones _ 181 7. Regla de la cadena _ 183 8. Crecimiento y derivada _ 184 9. Derivadas sucesivas _ 185 10. Aplicaciones de las derivadas _ 186 • Calcular la derivada y la recta tangente de una función en un punto • Calcular la derivada de un producto y de un cociente de funciones • Calcular la derivada de una función compuesta • Determinar los máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento de una función • Calcular los máximos y mínimos de una función con la derivada segunda • Representar una función teniendo en cuenta su derivada • Resolver un problema de optimización • Calcular el valor de un parámetro de una función conociendo su derivada en un punto 8 Estadística bidimensional 201 1. Variable estadística unidimensional _ 202 2. Medidas de centralización _ 203 3. Medidas de dispersión _ 204 4. Variable estadística bidimensional _ 205 5. Diagrama de dispersión _ 207 6. Correlación _ 208 7. Regresión _ 210 8. Estimación de resultados _ 212 9. Estadística con calculadora _ 213 • Calcular la covarianza • Calcular e interpretar el coeficiente de correlación • Determinar y representar las rectas de regresión • Estimar valores utilizando las rectas de regresión • Trabajar la estadística bidimensional con la calculadora • Trabajar la estadística unidimensional con la calculadora • Interpretar las medidas estadísticas en una variable unidimensional • Interpretar la media y la desviación típica 9 Técnicas de conteo. Probabilidad 227 1. Métodos de conteo _ 228 2. Experimentos aleatorios. Sucesos _ 232 3. Operaciones con sucesos _ 233 4. Frecuencia y probabilidad _ 234 5. Propiedades de la probabilidad _ 235 6. Regla de Laplace _ 236 7. Probabilidad condicionada _ 237 8. Tablas de contingencia _ 238 9. Regla del producto. Teorema de la probabilidad total _ 239 • Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace • Elaborar una tabla de contingencia y utilizarla para calcular probabilidades • Calcular el número de posibilidades utilizando métodos de conteo • Calcular el número total de sucesos si el número de sucesos elementales es finito • Hallar el espacio muestral de un experimento con una tabla de doble entrada 10 Distribuciones binomial y normal 253 1. Variables aleatorias _ 254 2. Distribuciones discretas _ 256 3. Distribución binomial _ 257 4. Distribuciones continuas _ 260 5. Distribución normal _ 261 6. Aproximación de la binomial _ 263 • Construir una variable aleatoria a partir de un experimento • Calcular la función de probabilidad y la función de distribución de una variable aleatoria discreta • Determinar si una variable aleatoria sigue una distribución binomial y hallar su función de probabilidad • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución binomial directamente o por medio de tablas • Calcular la función de distribución de una variable aleatoria continua • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución normal por medio de tablas • Calcular probabilidades en una variable aleatoria binomial aproximándola a una normal Índice

5 Pract i ca las competenc ias espec í f i cas Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Calcular el límite de una función en un punto • Calcular un límite que presenta una indeterminación del tipo 0/0 cuando hay radicales • Representar una función conociendo sus asíntotas y sus puntos de corte • Determinar el signo de las ramas infinitas de una función racional • Determinar si una función racional tiene asíntotas horizontales y oblicuas • Hallar asíntotas horizontales de funciones del tipo (P(x)/Q(x))R(x) que presentan la indeterminación 13 • Estudiar la continuidad de una función definida a trozos • Calcular el valor de un parámetro para que una función sea continua M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Ecología • Historia • Precios • Filosofía • Física • Medicina FA K E N E W S . Reflexión sobre situaciones paradójicas Determinar a qué siglo pertenece un año • Estudiar la derivabilidad de una función en un punto dependiendo de parámetros • Calcular la tangente de una función en un punto de abscisa u ordenada conocida • Determinar las tangentes de una función con pendiente m • Resolver problemas mediante el estudio del crecimiento y el decrecimiento de una función • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = g (x)n y f (x) = a g(x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = ln g (x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = sen g (x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = arc cos g (x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = g (x)h(x) • Calcular la derivada de la composición de tres funciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Física • Aviación • Cinética • Seguridad • Historia FA K E N E W S . Análisis de gráficas Comprender el concepto de coste marginal en economía • Agrupar datos de variables bidimensionales en intervalos • Interpretar una tabla de doble entrada • Representar variables bidimensionales a partir de la tabla de frecuencias • Calcular el coeficiente de correlación en tablas de doble entrada agrupadas en intervalos • Calcular la recta de regresión con la calculadora • Determinar la media de una de las variables a partir de la recta de regresión • Determinar e interpretar el signo del coeficiente de correlación a partir de la recta de regresión M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Biología • Medioambiente • Biodiversidad • Trabajo • Economía FA K E N E W S . Contrastar medidas estadísticas Tomar decisiones • Calcular probabilidades experimentalmente • Calcular probabilidades utilizando sus propiedades • Resolver problemas de probabilidad con sucesos compuestos • Calcular la probabilidad de la intersección de sucesos utilizando un diagrama de árbol • Utilizar la regla del producto en experimentos con reemplazamiento • Calcular probabilidades de sucesos compuestos • Calcular probabilidades condicionadas de sucesos compuestos M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Informática • Teléfonos móviles • Comercio • Sociología • Globalización • Política FA K E N E W S . Investigación sobre los mitos de la lotería Comprender el diseño del juego de dominó • Calcular los parámetros de una variable aleatoria que sigue una distribución binomial • Determinar un parámetro para que una función sea función de densidad • Calcular la probabilidad de que Z = N(0, 1) sea mayor que un valor positivo • Calcular la probabilidad de que Z = N(0, 1) esté entre dos valores • Calcular la probabilidad de que Z = N(0, 1) sea menor o mayor que un valor negativo • Calcular un punto, conociendo la probabilidad • Tipificar una variable aleatoria • Calcular uno de los parámetros, conociendo el otro y una probabilidad • Calcular la media y la desviación típica, conociendo dos probabilidades • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución binomial con n grande M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Tráfico • Acuicultura • Consumo • Transportes FA K E N E W S . Análisis y contraste de datos Realizar el control de calidad de un proceso de fabricación industrial

Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Funciones 5 Cuenta la leyenda que en el país de las Maravillas se reunían cada año todos los magos y las magas y organizaban una fiesta . Al final , participaban en un torneo en el que se sentaban formando un círculo. Se numeraban todas las personas y la primera cogía la única varita mágica del torneo. A continuación , esta persona hacía desaparecer a la segunda y pasaba la varita mágica a la tercera . La tercera hacía desaparecer a la cuarta y pasaba la varita mágica a la quinta . Así seguían haciéndolo hasta que solo quedaba un mago o maga , que ganaba el torneo. Visto y no visto D E SA F Í O El primer año se presentaron 13 personas al torneo y la joven Alicia fue la ganadora. ¿En qué posición se puso? Si el segundo año se presentaron 100 personas y también ganó Alicia, ¿en qué posición comenzó? Alicia siempre conseguía ganar, sin importar cuántas personas se presentaran. ¿Cómo sabía en qué posición debía colocarse? 115 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 115 28/06/2022 11:28:18 E J E M P LO 3. Esta es la gráfica en el intervalo [0, 5] de una función de periodo 5. Representa gráficamente la función para cualquier valor de x. Se desplaza la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha del intervalo representado. 3.2. Funciones periódicas Una fun c i ón e s p er i ó di ca, d e p e r i o do T (T > 0 ) , si su g rá f i ca s e re pi t e en inter valos de longitud T. Así , conocida su gráfica en un inter valo de longitud T, se puede construir el resto trasladándola a la derecha y a la izquierda en todo el dominio. G E O G E B R A 3. Simetría y periodicidad Determinar la simetría de una función Estudia la simetría de estas funciones. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primero. Se sustituye x por -x en la expresión algebraica de la función. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segundo. Se comprueba si esta función es igual a la primera o a su opuesta. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) es simétrica respecto del origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) es simétrica respecto del eje Y. 5 Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gráfica de esta función periódica de periodo 3. A C T I V I D A D E S 3.1. Funciones simétricas Dada una función f de variable real , se dice que es: Simétrica respecto del eje Y, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = f (x). Estas funciones también se denominan funciones pares. Simétrica respecto del origen de coordenadas, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = -f (x). Estas funciones también se denominan funciones impares. G E O G E B R A x X Y Función par f (-x) = f (x) -x X Y Función impar f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 D A T E C U E N T A Hay funciones que no son pares ni impares. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Esta expresión no coincide con la expresión de f(x) ni con la expresión de -f (x). 118 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 118 28/06/2022 11:28:36 19 Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. a) f (x) = log1,2 x e) ( ) x x f log 3 = b) 3 ( ) x x f log = 2 f ) f (x) = log8,2 x c) f (x) = log7 x g) f (x) = log x d) f (x) = log0,8 x h) f (x) = ln x 20 Representa gráficamente las funciones que aparecen a continuación. a) f ( x) = log3 x e) f ( x) = -log3 (-x) b) f ( x) = x log 3 1 f ) f ( x) = 3 ( ) x log - - 1 c) f ( x) = log3 (-x) g) f ( x) = -log3 x d) f ( x) = 3 x log - 1 h) f ( x) = 3 ( ) x log - 1 A C T I V I D A D E S Características El logaritmo solo existe para valores positivos; por tanto, el dominio de la función logarítmica es (0, +3). Su recorrido es R. Como loga 1 = 0, la función pasa siempre por el punto (1, 0). Como loga a = 1, la función pasa siempre por el punto (a, 1). Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente. Las funciones logarítmicas más sencillas son del tipo f(x) = loga x, donde a es un número real positivo (a > 0) y distinto de 1 (a ! 1). D A T E C U E N T A Las gráficas de la función logarítmica, f (x) = loga x, y la función exponencial, f (x) = ax, son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes. f (x) = ax f (x) = loga x Y X Halla el dominio de ( ) ( ) f x x log log = . P I E N S A 5 10. Funciones logarítmicas Representar una función logarítmica Representa gráficamente. a) f (x) = log2 x b) 2 ( ) g x x log = 1 primero. Se consideran las características de las funciones logarítmicas. El dominio es (0, +3). a) Dom f = (0, +3) b) Dom g = (0, +3) Pasa por los puntos (1, 0) y (a, 1). a) Pasa por (1, 0) y (2, 1). b) Pasa por (1, 0) y , 2 1 1 e o . Si a > 1, es creciente. Y si 0 < a < 1, es decreciente. a) f (x) = log2 x es creciente. b) 2 ( ) g x x log = 1 es decreciente. segundo. Se construye una tabla de valores para la función. a) x 3 4 5 f (x) 1,58 2 2,32 b) x 3 4 5 g (x) -1,58 -2 -2,32 tercero. Se representan todos los puntos obtenidos en los pasos anteriores y se unen mediante una curva. a) b) f(x) 1 1 Y X Y X g(x) 1 1 f (x) = loga x a > 1 f (x) = loga x 0 < a < 1 Y X 1 D A T E C U E N T A Se puede considerar que el logaritmo es la operación inversa de la exponencial. c a c ! " log a b b C A L C U L A D O R A La calculadora científica permite obtener logaritmos decimales con la tecla log y logaritmos neperianos o naturales con la tecla ln . 125 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 125 28/06/2022 11:29:33 a c t i v i da d e s r e s u e lta s Logaritmos Calcula el valor de x en estas ecuaciones logarítmicas. a) log5 (x - 1) = 4 b) logx 32 = 5 primero. Se aplica la definición de logaritmo. a) log5 (x - 1) = 4 " 5 4 = x - 1 b) logx 32 = 5 " x 5 = 32 segundo. Se resuelve la ecuación resultante. a) x = 54 + 1 = 626 b) x5 = 32 " x 32 2 5 = = tercero. Se comprueba el resultado. a) log5 (x - 1) = 4 x = 626 " log 5 (626 - 1) = log5 625 = 4 El resultado es correcto. b) logx 32 = 5 x = 2" log 2 32 = log2 2 5 = 5 El resultado es correcto. PRACTICA 38. Resuelve estas ecuaciones logarítmicas. a) log2 x = 5 c) logx 0,1 = -1 b) logx 64 = 6 d) log2 (x + 1) = 3 Resolver ecuaciones logarítmicas Función exponencial Representa gráficamente estas funciones. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primero. Se escribe la función como f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segundo. Se representa la función resultante como una función exponencial del tipo f (x) = ax. PRACTICA 36. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funciones del tipo ( ) f x akx = Función valor absoluto Función exponencial Representa gráficamente la función ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primero. Se expresa la función que se quiere representar en función de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segundo. Se obtiene la gráfica de la función desplazando la gráfica de ( ) f x ax = en horizontal y en vertical. f (x - 2) " Se desplaza f (x) hacia la derecha 2 unidades. f (x - 2) - 1 " Se desplaza f (x - 2) hacia abajo 1 unidad. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 37. Representa gráficamente la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funciones del tipo ( ) f x a c x b = + + Función valor absoluto Función logarítmica Representa gráficamente las siguientes funciones. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primero. Se aplican las propiedades de los logaritmos. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segundo. Se representan las funciones haciendo las transformaciones necesarias sobre la gráfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 39. Dibuja la gráfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funciones del tipo f(x) = loga kx g(x) h(x) 1 1 Y X G E O G E B R A 132 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 132 28/06/2022 11:31:00 5 Funció valor bsolut Representa gráficamente la función ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gráfica, escribe su expresión como una función definida a trozos. primero. Se representa la función sin el valor absoluto. ( ) f x x x 4 2 = - + es una función cuadrática; por tanto, se determina su vértice y si es un máximo o un mínimo. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Como a = -1 < 0, el vértice es un máximo. segundo. Se dibujan las figuras simétricas, con respecto al eje X, de las partes de la gráfica que correspondan a valores negativos de la función. tercero. Se escribe la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los puntos de corte con los ejes. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 40. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x x x 3 ; ; = - en el intervalo [-3, 3]. Representar funciones del tipo ( ) ( ) g x f x ; ; = Funció valor bsolut Dibuja la gráfica de la siguiente función. g(x) = x2 - 4;x; primero. Se define la función a trozos teniendo en cuenta que ;x; es x cuando es un número positivo y es -x cuando es negativo. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segundo. Se representa la función definida a trozos en cada uno de los tramos. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 41. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funciones en las que interviene el valor absoluto Composición de funciones Expresa esta función como composición de funciones más sencillas. h(x) = 2 + ln (x2 - 1) primero. Se divide la función en funciones más sencillas. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = 2 + x segundo. Se componen las funciones para comprobar que el resultado es igual a la función inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = 2 + ln(x2 - 1) = h(x) F h3(x) = 2 + x PRACTICA 42. Expresa estas funciones como composición de funciones más sencillas. a) f(x) = 2ex+1 b) ( ) f x x 1 1 = - Expresar una función como composición de otras funciones f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X 133 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 133 28/06/2022 11:31:09 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL utilizando GeoGebra para investigar y manipular algunos contenidos. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Ayúdate de tu razonamiento y PIENSA para descubrir algunas propiedades y aplicaciones de esos saberes. Afianza los saberes básicos aprendiendo, paso a paso, métodos generales para las destrezas básicas que necesitas aprender. Aprende a partir de textos claros y estructurados. 6

-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa de ozono (km) L a a tm ó s f e ra d e l a Ti e r ra e s u n a m e z c l a d e v a r i o s g a s e s , principalmente nitrógeno (78 %), oxígeno (21 %), argón , dióxi do de carbono y vapor de agua . Estos gase s rodean cons - tantemente la atmósfera debido a que el campo gravitatorio impi de que se escapen . L a atmósfera se div i de en capas, en l as qu e l a t emp eratura var í a de forma si gni f i cat iva . D i chas capas son : Tropo sfera : formad a p or el ai re situado en lo s pr imero s ki lómetros de l a atmósfera cal entado desde abajo, por lo que la temperatura disminuye a razón de 6 °C por cada kilómetro que se asciende. Su espesor varía entre 8 y 17 km. En esta capa ocurre la mayor parte de los fenómenos del clima . E st ra to sf e ra : s e ubi c a p o r en c ima d e l a t rop o sf e ra y en el l a l a t emperatura aumenta desde -53 °C hasta 20 °C a unos 50 km. Su espesor varía entre los 17 km de los polos y los 35 km del ecuador. Mesosfera : en esta capa la temperatura vuelve a disminuir c on l a altura , qu e va d e sd e uno s 50 km ha st a aprox imad ament e 90 km , c omo re sult ado d el rápi do d e sc ens o d e la densidad del aire. Te rmo sf e ra : e n e st a c ap a l a t emp e ra tu ra aum e n t a c on la altura y puede l legar a presentar temperaturas de hasta 1 500 °C cuando el Sol está activo. La termosfera incluye a la ionosfera , que es donde se producen las auroras polares. E xo sfera : e st á lo cal i zad a en alt itud e s p or enc ima d e lo s 950 km. Es la zona de transición entre la atmósfera terrestre y el espacio interplanetario. ¿ PA R A Q U É S I RV E N L A S F U N C I O N E S ? 5 L E E Y C O M P R E N D E 1 ¿Cuál es el espesor de la estratosfera en el ecuador? 2 ¿Qué relación hay entre la temperatura y las capas de la atmósfera? 3 ¿En qué capa se registra la menor temperatura? I N T E R P R E TA 4 De acuerdo con el gráfico, ¿qué temperatura tiene la atmósfera a 110 km de altura? R E F L E X I O N A 5 ¿Dónde se encuentra la capa de ozono? Investiga cuál es la actual situación de la capa de ozono y por qué resulta tan importante su recuperación y conservación. A P L I C A 6 Si se asume que la temperatura a nivel del mar es de 20 °C, ¿qué temperatura deberá tener aproximadamente la cima del Everest, a 8 848 m de altura? Entre otras muchas cosas… Para distinguir las capas de la atmósfera por su temperatura 142 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 142 28/06/2022 11:32:59 2. Selecciona de manera adecuada ejes, unidades, dominio y escalas Funciones polinómicas 58 Asocia cada función con su gráfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2 x2 59 Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 x2 - 2 x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I D A D E S F L A S H 60 Representa, sin completar las tablas de valores correspondientes, las funciones lineales y afines. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 61 Escribe la expresión algebraica de estas funciones y calcula su pendiente y su ordenada en el origen. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 62 Representa estas funciones en los mismos ejes de coordenadas y relaciona la abertura de las ramas de cada parábola con el coeficiente de x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 x2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 63 Halla el vértice de estas parábolas. a) f (x) = x2 - 6x + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4x + 10 d) f (x) = -x2 - 4x + 2 64 I N V E N TA . Escribe la ecuación de tres parábolas cuyo vértice sea (2, 3). a c t i v i da d e s f i n a l e s 1. Reconoce analítica y gráficamente las funciones elementales 43 Di si estas gráficas corresponden a una función. a) c) b) d) Y X Y X Y X Y X A C T I V I D A D E S F L A S H 44 I N V E N TA . Esboza una gráfica que pueda ser la representación de una función y otra que no pueda serlo. 45 Realiza una tabla de valores y representa estas funciones. a) Cada número entero se relaciona con su número de divisores positivos. b) Cada número real se relaciona con su parte entera. c) A cada real le corresponde él menos su valor absoluto. d) A cada número le corresponde el valor 2. 46 A lo largo de un día se mide la longitud, en metros, de la sombra que proyecta una farola desde el amanecer hasta que anochece. Las medidas, tomadas cada dos horas, desde las 6:00 h, son estas: 0 25 17 5 2 6 19 32 0 a) ¿Crees que esta relación define una función? b) Si es así, identifica sus variables. 47 Comprueba si los puntos x = -3, x = 0, x = 2 pertenecen al dominio de estas funciones. a) f (x) = x2 - 2 x + 1 c) ( ) f x x 2 1 = - + b) ( ) f x x x x 3 3 1 2 = + - d) ( ) ( ) f x x 4 ln = - - 48 Determina si estas funciones tienen simetrías. a) f (x) = x3 - 3x c) f (x) = x2 - x b) f (x) = x4 - 1 d) f (x) = x4 - 2 x2 49 Determina el tipo de simetría de estas funciones. a) ( ) f x x x x 3 2 = - b) ( ) f x x x x 1 2 2 3 = + - 50 I N V E N TA . Dibuja una función f (x) de simetría impar que pase por (2, 0) de tal forma que f (x + 3) sea una función par. 51 Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas funciones. a) y = 3, y = 2, y = -5 para ( ) f x x 3 3 = - b) y = 0, y = 30, y = -3 para f (x) = x2 - 5x + 6 52 M AT E M ÁT I C A S . . . Y A S T R O N O M Í A . Considera la función que relaciona el tiempo, en días, con la superficie visible de la Luna. ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica el periodo. 53 Determina el periodo de estas funciones. a) 1 1 Y X b) X Y 1 1 c) X Y 1 -1 r 2 r 54 I N V E S T I G A . Una función f (x) toma todos los valores entre 0 y 1 pero ningún otro. ¿Cuál de las siguientes funciones toma todos los valores entre -1 y 1? a) f (x) - 1 b) f (x) + 1 c) 2f (x) - 1 d) 2f (x) + 1 55 El dominio de una función f es [0, 2], y su recorrido, [0, 1]. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función g(x) = 1 - f (x + 1)? 56 R E T O . La función f toma solamente valores mayores o iguales que cero y satisface las dos condiciones siguientes: f (1) = 2, f (x + y) = f (x) · f ( y). ¿Cuánto vale f 2 1 e o? 57 R E T O . Sea ( ) ( ) f x x x x x f x 1 6 2 2 + + = + e o . ¿Cuánto es f (4)? I N T E R N E T Día % de visibilidad Tipo de luna 0 50 % Creciente 3 81 % Creciente 7 100 % Luna llena 11 81 % Menguante 15 39 % Menguante 21 0 Luna nueva 134 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 134 28/06/2022 11:31:26 2. Selecciona de maner adecuada ejes, unidades, ominio y escalas Funciones polinóm cas 58 Asocia cada función con su gráfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2x2 59 Relaciona cada gráfica con su expresión algebr ica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 2 - + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I D A D E S F L A H 60 Representa, in completar las b de v lor s corresp ndientes, las funciones l neales y fines. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 61 Escribe la expresión algebr ica de estas funciones y calcula su pendiente y su ordenada el orig n. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 62 Representa estas funciones en lo mismos ejes de coordenadas y rel ciona la abertura de las ramas de c da parábol con el eficiente d x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 63 Halla el vértice de estas parábol s. a) f (x) = x2 - 6x + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4 + 10 d) f (x) = -x2 - 4 + 2 64 I N V E N TA . Escribe la ecuación de tres parábol s cuyo vértice sea (2, 3). 65 Representa las siguientes funciones polinómicas, indicando los puntos de corte con los ejes. a) f(x) = 4x2 + 4x + 1 b) f(x) = x3 - x2 - 9x + 9 c) f(x) = x3 - 2 x2 - 7x - 4 d) f(x) = x3 - 2 x2 - 2 x - 3 66 Representa la función y = x2. A partir de ella, dibuja las gráficas de estas funciones polinómicas. a) f(x) = (x - 2)2 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = (x + 3)2 ¿Qué relación guardan las gráficas de las últimas tres funciones con la gráfica de la primera? 67 Haz la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 x. Determina la expresión algebraica de cada una de las siguientes funciones y represéntalas. a) f(x - 2) c) f(x + 1) b) f(x) - 4 d) f(x) + 2 ¿Hay alguna relación entre estas gráficas? 68 Obtén la expresión algebraica y representa la función cuadrática que pasa por los puntos A(1, -2), B(2, -2) y C(3, 0). 69 Halla y representa las funciones polinómicas de grado mínimo que pasan por los siguientes puntos. a) A(0, 0), , B 5 2 5 e o y C(-2, -1) b) A(3, 0), B(4, 1) y C(5, 0) c) A(1, 0), B(2, 1), C(3, 0) y D(4, 1) 70 R E T O . Si ( ) f x px qx rx 4 7 3 = + + - y ( ) f 7 3 - = , ¿cuánto vale ( ) f 7? 71 Dada la función f (x), de la que se conoce que f (64) = 4 y f (125) = 5. a) Si f (x) fuera una función lineal, ¿cuánto valdría f (99)? b) Si, además, f (8) = 2 y f (x) fuera una función cuadrática, ¿cuánto valdría f (99)? c) Si ( ) f x x 3 = , ¿qué valor de los dos anteriores se aproxima más a f (99)? 72 La evolución de la población de un pequeño pueblo se muestra en la siguiente tabla. Año 2018 2022 Habitantes 314 282 a) Si sigue de forma lineal, ¿cuántos habitantes se espera que tenga en 2023? b) Calcula cuántos habitantes tendría en el año 2023 si en 2020 había 291 habitantes, y la función sigue una forma cuadrática. c) Halla el número de habitantes en 2015 con las dos funciones anteriores. 5 135 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 135 28/06/2022 11:31:30 a c t i v i da d e s f i n a l e s 125 El precio en euros de un artículo perecedero que empieza a venderse el primer día de un determinado mes varía con el tiempo, en días, según la función: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo? b) Dibuja la gráfica de la función P(t). 126 M AT E M ÁT I C A S Y. . . B I O L O G Í A . La dinámica de poblaciones es una rama de la biología que, con el auxilio de las matemáticas, trata de describir y cuantificar los cambios que ocurren en una población. El desarrollo de una población de peces viene modelado por la función ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , con t 0 $ . En el modelo, P(t) es el tamaño de la población en toneladas y t el número de años después del instante inicial. a) Determina cuántos años deben transcurrir para que la población de peces llegue a las 15 toneladas. b) ¿Puede suceder que la población sobrepase alguna vez las 20 toneladas? 127 M AT E M ÁT I C A S Y. . . S O C I E D A D . Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días transcurridos desde el tsunami. a) ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día? b) ¿Y cuántas habrá al cabo de tres semanas? c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de 2 000 camas, ¿hasta qué día estuvo desbordada la capacidad? 128 M AT E M ÁT I C A S Y. . . F Í S I C A . Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto sigue la función f (t) = T + (C - T) ? e-kt, donde T es la temperatura ambiente, C la temperatura inicial, t el tiempo transcurrido y k la tasa de enfriamiento del objeto por unidad de tiempo. Un objeto con una temperatura de 40 °C se deja al aire libre, donde la temperatura es de 25 °C, y después de 10 minutos la temperatura del objeto es de 34 °C. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el objeto se enfríe hasta tener una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 129 Nina y Simón compiten en una carrera ciclista de ida y vuelta entre dos ciudades. A la ida Nina va a 25 km/h y a la vuelta, ya cansada, a 15 km/h. Simón, sin embargo, va a 20 km/h todo el rato. a) ¿Quién gana? b) ¿Hay alguna forma de que Nina, yendo más rápida a la ida y más lenta a la vuelta, gane a Simón teniendo en cuenta que la media de las dos velocidades de Nina es 20 km/h? 130 En una carrera de 1 000 metros, Mamen saca 50 metros de ventaja a Camilo. En la próxima carrera, Mamen saldrá 50 metros por detrás de Camilo. a) ¿Es suficiente para que lleguen a la vez a la meta? b) Si no lo es, ¿cuántos metros serían necesarios? 131 Considera una piscina de agua llena hasta el borde en la que se abre una válvula para vaciarla. La altura (en metros) del agua de la piscina viene dada por esta función: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - con t el tiempo (en minutos) desde que se abre la válvula. Determina tras cuánto tiempo la altura del agua es la mitad de la altura de la piscina. 132 Tras lanzar un globo aerostático, su altura, en metros, viene determinada por la función: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - para [ , ] t 0 5 ! , con t en minutos a) Halla los metros que sube el globo en el primer minuto. b) Cuando el globo se encuentra entre 12 y 20 metros de altura, se destapan dos paneles publicitarios. ¿Durante cuántos segundos se verá la publicidad? 133 Estáis organizando el viaje de fin de curso para tu clase. Agencia 1. Si el número de estudiantes que va al viaje es de 40 o menos, cada uno pagará 200 €. Si es superior a 40, se descontará un 10 % a cada uno. Agencia 2. Si completan un autobús de 60 personas, el precio será 150 € por persona. Por cada asiento vacío en el autobús, se incrementará el precio un 1 % a cada persona. ¿Qué agencia os conviene? P R O B L E M A S A P A R E N T E M E N T E D I S T I N T O S 136 Considera la siguiente función. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Halla el dominio de la función. b) Calcula f -1(x). 137 El número de días que necesita una población de plancton para llegar a pesar x microgramos viene dado por ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) ¿Entre qué valores varía el peso? b) Indica el peso en función del tiempo. 138 Sea la función: f (x) = 200 · b x a) ¿Cuál es la variable independiente? b) Sean b = 2,5 y g(x) = 20 000, determina el valor de x para que se cumpla f (x) = g(x). c) Indica los posibles valores de b para que f (x) sea decreciente. 139 El ritmo básico de reproducción, RO, de un virus en una región es 2,5. Es decir, cada persona enferma infecta a otras 2,5. Si el primer día había 200 personas enfermas, expresa el número de infectados en función del tiempo. a) ¿Cuál es la variable independiente? b) ¿Cuándo se alcanzaron 20 000 infectados? c) ¿En qué intervalo debe estar el RO para que la epidemia esté controlada? 140 Considera las funciones: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Halla ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 141 Dayana infla su balón de playa para jugar con él. a) Halla el radio del balón en función del volumen. b) Se le pincha y comienza a desinflarse. La medida de su radio sigue la función ( ) t t g 50 000 = , t > 10, con t en minutos. Indica el radio en función del tiempo. I N T E R N E T 140 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 140 28/06/2022 11:32:51 134 M AT E M ÁT I C A S Y. . . A R Q U I T E C T U R A . En la figura está representado un puente peatonal sobre el río Sella. Considerando O el origen de coordenadas, el arco del puente viene dado por ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , con [ , ] x 0 7 ! . a) Sea S el punto sobre el segmento OR que verifica la ecuación ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resuelve la ecuación e interpreta la solución en el contexto del problema. b) En el puerto, junto al puente, hay un barco de vela cuyo mástil mide 6 metros desde el punto más alto hasta el agua. ¿Podrá pasar bajo el puente? 135 En un lago existe una especie de pez grande que se alimenta de una raza de peces más pequeña, y esta, a su vez, se alimenta de plancton. El número de peces grandes es una función f (x) de la cantidad x de peces pequeños y el número de peces pequeños es una función g( y) de la cantidad y de plancton del lago. Expresa la población de peces grandes en función del plancton del lago si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 5 P R O B L E M A S P A R E N T M E N T D I S T N O S 136 Considera la siguiente fu ción. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Halla el domini de la función. b) Calcula f -1(x). 137 El número d días que nec sita una pobl ción de plancton para llegar a pes r x microgramos viene dado por ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) ¿Entre qué valores va ía el peso? b) Indica el peso en función del tiempo. 138 Sea la función: f (x) =200 · b x a) ¿Cuál es la vari ble indepe iente? b) Sean b = 2,5 y g(x) = 20 000, determina el valor de x para que se cumpla f (x) = g(x). c) Indica los posibles va ores de b para que f (x) sea decreci nt . 139 El ritmo básico de reproducción, RO, de un vir s en na región es 2,5. Es decir, cada persona enferma infecta a o ras 2,5. Si el pr mer día habí 200 personas e fermas, expresa el número de infectados en función del tiempo. a) ¿Cuál es la vari ble indepe iente? b) ¿Cuándo se alcanz ro 20 000 infectados? c) ¿En qué intervalo debe estar l RO para que la epidemia sté controlada? 140 Considera las funciones: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Halla ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 141 Dayana infla su b lón de playa r jugar con él. a) Halla el radio del balón en función del volumen. b) Se le pincha y omienza a desinflar e. L medida de su radio sigue la f nción ( ) t t g 50 000 = , t > 10, con t en minutos. Indica el radio en función del tiempo. ¿Baja el paro? Un estudio sobre la repercusión del turismo en la costa española asegura que durante los días festivos se crean cerca de 10 000 nuevos puestos de trabajo en el sector. Los últimos datos del Ministerio de Trabajo muestran que en el mes de junio se contrataron 40 000 personas en hostelería en la costa, a pesar de que solo hubo dos días festivos. La oposición asegura que los datos están manipulados de cara a las próximas elecciones. Y tú, ¿qué opinas? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 141 ES0000000154137 238776_05_115_144_126040.indd 141 28/06/2022 11:32:57 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 PASA A LA ACCIÓN: PARA QUÉ SIRVEN... 5 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver actividades utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Encuentra aplicaciones de los contenidos que has estudiado y comprende cómo se utilizan y PARA QUÉ SIRVEN en la vida real. Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones que aparecen en distintos medios. Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… 7

Matemáticas financieras 1 Las noticias falsas o fake news no son un fenómeno que hayan traído las redes sociales. Desde los orígenes de la humanidad , las personas han intentado manejar, tergiversar y manipular la información con el fin de convencer a los demás de que ciertos argumentos son válidos y están refrendados por hechos objetivos. Lo que ha cambiado ha si do l a man era de propagar esos bulos . El uso masiv o de l as redes sociales y la falta de controles ha hecho que una noticia falsa pueda reproducirse con una amplitud nunca vista antes. ¿Razón o intuición? Imagina que recibes un wasap que dice que el 90 % de los estudiantes de tu centro no quiere que haya recreo. Está claro que la mayoría es tan aplastante que a partir de mañana no deberías volver a tener recreo. Pero luego te enteras de que, en realidad, alguien ha ido preguntando al azar a los estudiantes que pasaban por un pasillo y que, encima, no preguntó a nadie de los cursos superiores. Es decir, no preguntó al 80 % de los estudiantes. Entonces, ¿qué porcentaje de los estudiantes no quiere recreo? D E SA F Í O 9

N O O LV I D E S Si se expresa un porcentaje como un número decimal, se obtiene el tanto por uno: % , 12 100 12 0 12 = " Si se multiplica el tanto por uno por mil, se obtiene el tanto por mil (‰). 0,12 ? 1 000 = 120 ‰ Calcular totales, partes y porcentajes Una tienda de electrodomésticos ha lanzado una campaña promocional en la que permite el pago a plazos, sin intereses, de los artículos que vende. a) Adela ha comprado un televisor por 375 € y ya ha pagado el 60 %. ¿Qué cantidad ha pagado? b) Benjamín, que compró el mismo televisor, ya ha pagado 225 €. ¿Qué tanto por ciento ha pagado? c) Carlota ha pagado 225 €, que supone el 60 % del precio total. ¿Cuánto costaba su televisor? primero. Se estudian los datos que se conocen y qué dato es el que se pide. a) Se conoce el total y el tanto por ciento. Se pide el porcentaje. El total es 375 €, y el tanto por ciento, 60 %. b) Se conoce el total y el porcentaje. Se pide el tanto por ciento. El total es 375 €, y el porcentaje, 225 €. c) Se conoce el porcentaje y el tanto por ciento. Se pide el total. El porcentaje es 225 €, y el tanto por ciento, 60 %. segundo. Se calcula el dato que se pide utilizando la definición de porcentaje. a) 60 % de 375 = ? € 100 60 375 225 = b) a % de 375 = ? a 100 375 225 = ? % a 375 225 100 60 = = c) 60 % de C = ? C 100 60 225 = ? € C 60 225 100 375 = = Para calcular el porcentaje de una cantidad , se multiplica esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. % ? a C a C 100 de = 1. Porcentajes 1 En la última campaña de solidaridad con el comedor social de una ciudad se recogieron 3 680 kg de comida. Este año se ha producido un aumento del 3,5 % en la recepción de alimentos. a)  ¿Qué cantidad de comida se ha recogido este año? b)  Se espera que el año que viene aumente otro 1 %, ¿cuántos kilos de alimentos se esperan recoger? 2 Una empresa de reformas tiene el encargo de pintar dos edificios. Ha presentado los presupuestos correspondientes pero el coste final ha sido más elevado de lo esperado. En uno de los edificios, el presupuesto se ha elevado un 4 %, mientras que en el otro, sobre un presupuesto distinto, el aumento ha sido del 8 %. ¿Puede afirmar la empresa que el aumento de presupuesto total ha sido del 6 %? A C T I V I D A D E S 10

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