1 Interés compuesto Resolver problemas de interés compuesto con aumentos anuales de capital Anualidades de capitalización Un plan de ahorro de una entidad bancaria propone ingresar 450 € mensuales, por los que ofrecen un 2,5 % de interés anual. ¿Cuánto dinero se recibirá después de 3 años de ahorro? primero. Se determina el número de ingresos que se realizan en un año. Cada mes " 12 veces al año " p = 12 segundo. Se aplica la fórmula, teniendo en cuenta que el número de ingresos es p ? t y, por tanto, el rédito habrá que dividirlo en p partes. 1 - C C p i p i p i 1 1 ? f p t 0 = + + f f p p ? ? , , , , C 450 1 002 0 002 1 00 1 16 2 813 63 € f 36 = - = En 3 años se obtienen 16 813,63 €. PRACTICA 32. Calcula el dinero que se recibe al ingresar 600 € trimestrales durante 6 años, con un 1,5 % de interés anual. Calcular anualidades de capitalización en plazos diferentes al anual Anualidades de capitalización Una inversión ofrece el 2 % anual, siempre que se inviertan 4 000 € cada año. Si al final del periodo de inversión se reciben 16 816,16 €, ¿cuánto tiempo se ha mantenido el plan? primero. Se identifican los datos conocidos. C0 = 4 000 € , i 100 2 0 02 = = Cf = 16 816,16 € segundo. Se aplica la fórmula de las anualidades de capitalización. ? ? , , , , 16 816 1 4 000 1 02 0 02 1 02 1 6 t = - ? ? , , , , , 1 02 4 000 1 02 16 816 16 0 02 1 1 0824 t = + = tercero. Para resolver la ecuación exponencial se toman logaritmos neperianos en ambos miembros. ln 1,02t = ln 1,0824 " t ln 1,02 = ln 1,0824 , , t 1 02 1 0824 4 ln ln años . = PRACTICA 31. ¿Durante cuánto tiempo se han invertido 5 000 € anuales, al 5 % anual, para conseguir 29 009,56 €? Calcular el tiempo en anualidades de capitalización Una entidad oferta un plan de ahorro por el cual, si al empezar cada año se ingresan 1 000 € y se mantienen el capital y los ingresos durante 5 años, ofrece un interés anual del 3 %. ¿Qué interés genera cada aportación? ¿Cuánto dinero se obtendrá al final del plan? primero. Se calcula el se interés generado por cada aportación. El primer año se ingresan 1 000 €, que permanecen 5 años en el banco: ? , , 1 000 1 03 1 159 27 € 5 = El segundo año se ingresan 1 000 €, que permanecen 4 años invertidos: ? , , 1 000 1 03 1 125 51 € 4 = … El quinto año se ingresan 1 000 €, que permanecen 1 año en el plan: ? , 1 000 1 03 1 030 € 1 = Los ingresos forman una progresión geométrica. segundo. Se calcula la suma de las cantidades obtenidas. Para ello se utiliza la fórmula para la suma de una progresión geométrica, en la que: a1 = 1159,27 r = 1,03 n = 5 ? ? , , , , S a r r S 1 1 1159 27 1 03 1 1 03 1 5 468 41 n n 1 5 5 = - - = - - = " € Al final de los 5 años se conseguirán 5 468,41 €. PRACTICA 30. Para un interés del 3,5 % y una aportación de 3 000 € anuales, durante 6 años, ¿cuánto dinero se recuperará al final de la inversión? 23
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