Física Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda , dissenyada i creada al Depar tament d ' Edicions de Grup Promotor / Santillana , sota la direcció de Teresa Grence Ruiz i Anna Sagristà Mas. En l 'elaboració ha par ticipat: Francisco Barradas Solas Anna Pous Saltor Pedro Valera Arroyo María del Carmen Vidal Fernández EDICIÓ Raúl Carreras Soriano 3.14 Ser vicios Editoriales EDICIÓ EXECUTIVA David Sánchez Gómez DIRECCIÓ DEL PROJECTE Antonio Brandi Fernández Les activitats d'aquest llibre no s'han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s'hi inclouen són models perquè l'alumnat els traslladi a la llibreta. 1 B A T X I L L E R A T
Índex Unitat Construeix el teu coneixement Sabers bàsics Aplico el que he après 0 La mesura 6 1. Introducció 2. Magnituds i unitats de mesura 3. Incertesa i error 4. Representació gràfica de la mesura 5. La comunicació científica Els nombres del món 1 El moviment 20 1. Introducció 2. La posició 3. La velocitat 4. L’acceleració Controls de velocitat en tram 2 Tipus de moviments 48 1. Moviment rectilini i uniforme 2. Moviments amb acceleració constant 3. Moviment parabòlic 4. Moviments circulars Salt de llargada: velocitat i angle de batuda 3 Les forces 80 1. Forces a distància 2. Forces de contacte 3. El problema de l’equilibri 4. Moment lineal i impuls 5. La conservació del moment lineal Conducció eficient 4 Treball i energia 116 1. L’energia i els canvis 2. Treball 3. Treball i energia cinètica 4. Treball i energia potencial 5. Principi de conservació de l’energia mecànica Física en les atraccions de fira 2
Unitat Construeix el teu coneixement Sabers bàsics Aplico el que he après 5 La calor i l’energia 142 1. Termodinàmica 2. Equilibri tèrmic 3. Temperatura 4. Transferències d’energia 5. Efectes de la calor 6. Mecanismes de transmissió de la calor 7. Conservació de l’energia: el primer principi de la termodinàmica 8. El segon principi de la termodinàmica: l’entropia Com escalfa un forn de microones? 6 Dinàmica 168 1. Les quatre interaccions fonamentals 2. Interacció gravitatoria 3. Forces elèctriques i magnètiques 4. Forces elàstiques 5. Dinàmica del moviment circular Per a què serveix estudiar les forces? 7 Electricitat 190 1. La càrrega eléctrica 2. El corrent elèctric 3. Intensitat del corrent elèctric 4. Diferència de potencial 5. Resistència eléctrica 6. Energia i potencia eléctrica 7. Circuits elèctrics simples El cotxe elèctric 8 Circuits elèctrics 220 1. Generadors de corrent 2. Força electromotriu i resistencia interna d’un generador 3. Balanç energètic d’un circuit 4. Una instal·lació eléctrica domèstica 5. Sensors Els fusibles Annexos 248 I. Taules de constants físiques i químiques ................................................................ 249 II. Taula periòdica dels elements químics . .................................................................. 250 III. Per un món sostenible . ............................................................................................ 252 3
Esquema de les unitats R E C O R D O E L Q U E S É Quina és la diferència entre la velocitat mitjana durant un trajecte i la velocitat instantània? Depèn el consum de combustible d’un cotxe únicament de la velocitat mitjana mantinguda durant el seu recorregut? Posa exemples de moviments en què la velocitat instantània coincideixi amb la velocitat mitjana. I N T E R P R E T O L A I M AT G E Observa la imatge. El solc es forma quan el vapor d’aigua expulsat per l’avió es condensa en entrar en contacte amb matèria de l’atmosfera a una temperatura molt més baixa. Quina relació guarden les marques deixades al cel amb la trajectòria de l’avió? Quin tipus de trajectòria porta l’avió en aquest tram? Pots saber a partir de la imatge si l’avió està accelerant o frenant? Justifica la teva resposta. 1 Introducció 4 L’acceleració 3 La velocitat 2 La posició APLICO EL QUE HE APRÈS. Controls de velocitat en tram E N AQ U E S TA U N I TAT… 1 Com determinar la pos ició exacta? Imagina una avaria d’una bici, una moto o un cotxe en carretera. En molts casos caldrà trucar per demanar assistència tècnica. Com es determina la posició del vehicle? Doncs, generalment, indicant a quina carretera es troba i a quin quilòmetre de la via ha succeït el contratemps. Per fixar les distàncies en una carretera es pren com a origen (km 0) una intersecció amb una altra carretera o el centre d’una ciutat, per exemple. A la calçada, uns pals separats entre si un quilòmetre ajuden a fixar la nostra posició sobre el mapa. D’aquesta manera, és fàcil indicar a altres persones en quin lloc d’una carretera ens trobem. El moviment 21 20 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 21 5/4/22 10:49 Determinar el vector desplaçament El vector de posició d’una pilota que es mou en el pla XY és aquest: W r (t ) = (6 + t ) W i + 2 ? t W j (en metres) Calcula el vector desplaçament entre els instants t = 0 s i t = 3 s, i el seu mòdul. 1. Comprèn l’enunciat. Dades conegudes Resultats a obtenir ● Vector de posició W r en funció del temps. ● Instants inicial t = 0 s i final t = 3 s. ● Vector desplaçament DW r entre t = 0 s i t = 3 s. ● Mòdul del vector desplaçament. 2. Calcula el vector de posició W r en cada instant. Has de conèixer el valor de W r en els instants t = 0 s i t = 3 s per calcular el desplaçament. DW r = W r (t = 3 s) - W r (t = 0 s) Escriu el valor del vector de posició W r (t) en funció del temps i substitueix per als instants que indica l’enunciat: ● Inicial, t = 0: W r (t) = (6 + t) W i + 2 ? t W j m Substitueix: W r (t = 0 s) = (6 + 0) W i + 2 ? 0 W j m Opera: W r (t = 0 s) = 6 W i + 0 W j m Simplifica: W r (t = 0 s) = 6 W i m ● Final, t = 3: W r (t) = (6 + t) W i + 2 ? t W j m Substitueix: W r (t = 3 s) = (6 + 3) W i + 2 ? 3 W j m Opera: W r (t = 3 s) = 9 W i + 6 W j m Pots dibuixar aquests dos vectors sobre el pla: X O Y W r (t = 3 s) W r (t = 0 s) 3. Determina el vector desplaçament DW r. Resta els dos vectors de posició obtinguts abans: DW r = W r (t = 3 s) - W r (t = 0 s) DW r = (9 W i + 6 W j ) - (6 W i ) m DW r = (9 - 6) W i + 6 W j m = 3 W i + 6 W j m Dibuixa aquest vector: X O Y W r (t = 3 s) W r (t = 0 s) D W r 4. Determina el mòdul de DW r. A partir de les seves components: ;D r W; = ;3 W i + 6 W j ; = 45 m 3 6 9 36 2 2 + = + = 5. Avalua el resultat. La pilota s’ha desplaçat una distància aproximada a 45 = 6,71 m, ja que a l’enunciat diuen que W r (t) s’expressa en metres. Si et fixes en el dibuix, el mòdul de DW r correspon a la hipotenusa d’un triangle rectangle els catets del qual mesuren 3 m i 6 m, és a dir, les components del vector DW r . X O Y 6 m D W r 3 m S O L U C I Ó 1 29 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 29 5/4/22 10:53 Continguts de la unitat. Algunes preguntes relacionen els continguts amb el que ja s’ha estudiat. Altres conviden a la reflexió o al debat a partir d’alguna imatge. Una imatge i un text inicials presenten la unitat. Algunes pàgines inclouen procediments o experiències per aprendre d’una forma activa. En elles es mostra pas a pas el treball que cal seguir. Els continguts es presenten d’una manera visual i amb abundants esquemes i organitzadors. 1. Energia L’energia és una propietat dels cossos o dels sistemes materials que els permet produir canvis en ells mateixos o en altres cossos. En el sistema internacional l ’energia es mesura en joules, J. Altres unitats utilitzades són la caloria, cal; el quilojoule, kJ; i la kilocaloria, kcal o Cal. ● 1 J = 0,24 cal ● 1 kJ = 103 J ● 1 cal = 4,18 J ● 1 Cal = 1 kcal = 103 cal Tipus d’energia Energia mecànica (EM) Energia cinètica (EC) Energia potencial (EP) És la que tenen els cossos pel fet d’estar en moviment. El seu valor depèn de la massa del cos, m, i de la velocitat, v : ? ? E m v 2 1 C 2 = Gravitatòria Elàstica És la que tenen els cossos pel fet d’estar a una alçada h sobre el terra. EP = m ? g ? h És la que tenen els cossos que pateixen una deformació, com ara les molles. L’energia mecànica, EM, d’un cos és la suma de les seves energies cinètica i potencial: EM = EC + EP . Energia tèrmica És la que tenen els cossos a causa del moviment de vibració de les seves partícules. És l’energia que es transfereix quan es posen en contacte dos cossos que estan a diferent temperatura. Energia química És l’energia deguda als enllaços que s’estableixen entre els àtoms i les altres partícules que formen una substància. Energia nuclear És l’energia que emeten els àtoms quan els seus nuclis es trenquen (energia de fissió) o s’uneixen (energia de fusió), o quan un nucli passa d’un estat a un altre de menys energètic. Energia radiant És l’energia que es propaga per mitjà d’ones electromagnètiques, com ara la llum. Són exemples d’energia radiant l’energia solar, les microones o els raigs X. Energia elèctrica És l’energia que tenen les càrregues que es mouen en un circuit elèctric. Propietats de l’energia ● L’energia es transfereix d’uns cossos a uns altres. Per exemple, quan un arc llança una fletxa. ● L ’ e n e r g i a e s p o t e mm a g a t z e m a r i t r a n s p o r t a r . P e r exemple, a la bateria d’un telèfon mòbil. ● L’energia es transforma. Per exemple, en una central eòlica es transforma de cinètica (vent) en elèctrica. ● L’energia es degrada. Per exemple, l’escalfor dels gasos del tub d’escapament d’un motor. ● L ’ ene rg i a es conser va . Pe r exemp l e , quan una pedra cau, perd altura, però guanya velocitat. Les fonts d’energia Una font d’energia és qualsevol material o un altre recurs natural del qual es pot obtenir energia, ja sigui per utilitzar-la directament o bé per transformar-la en una altra energia d’ús més còmode. Fonts d’energia més utilitzades: Fonts d’energia Renovable No renovable Combustibles fòssils (carbó, petroli, gas natural) ✓ Nuclear ✓ Hidràulica ✓ Eòlica ✓ Solar ✓ Geotèrmica ✓ Mareomotriu ✓ Biomassa ✓ Biocombustibles bioetanol, biodièsel) ✓ 2. El treball i la potència El treball és l’energia que es transfereix d’un cos a un altre mitjançant una força que provoca un desplaçament. La unitat de treball en l’SI és el joule, J. La potència és una magnitud física que relaciona el treball fet (o l’energia aportada) amb el temps que s’utilitza per dur-lo a terme. La unitat de potència en l’SI és el watt, W. REPASSO FÍSICA I QUÍMICA 82 253052 DEMO FisQ_1BTX U4 p080a105.indd 82 5/4/22 10:51 2.3. El vector de posició Hi ha una manera més senzilla i manejable de fer la descripció del moviment en un sistema de referència utilitzant vectors. El vector de posició en l’instant t, r W(t), es representa mitjançant una fletxa que va des de l’origen de coordenades, O, fins a la posició del mòbil, P. En coordenades cartesianes en el pla, les dues components del vector r W = x i W+ y j W coincideixen amb les coordenades cartesianes del punt. Observa el dibuix de la dreta. Els vectors de posició successius van formant la trajectòria seguida pel nostre mòbil (en aquest cas, la libèl·lula), que es pot resumir en la funció r W(t). En cada punt de la trajectòria, r W(t) = x(t) i W+ y (t) j W. El vector de posició, r W(t), determina la posició en funció del temps. 1 Vectors de posició successius al llarg d’una trajectòria. Y X y2 W j x2 i W W r0 W r1 W r2 E X E M P L E R E S O LT 2 Dibuixa en el pla XY els vectors de posició dels punts P = (-2, 0) m, Q = (2, 0) m i R = (1, 2) m. Recorda que els vectors que representen magnituds físiques han de tenir unitats. a) Representa’ls segons els vectors unitaris. b) Calcula’n els mòduls i digues quin és el significat físic d’aquesta quantitat. En primer lloc, dibuixa els vectors: Y X i W j W OP W OQ W OR W R (1, 2) P (-2, 0) Q (2, 0) O a) Quan els vectors unitaris estan en el sentit negatiu de l’eix, s’anteposa el signe -. ● OP = -2 i W m ● OQ = 2 i W m ● OR = i W + 2 j W m b) Com que les components del vector són perpendiculars entre si, pots calcular el mòdul aplicant el teorema de Pitàgores. El mòdul es calcula fàcilment a partir de les components: ● ;OP; = ( 2) 0 2 m 2 2 - + = ● ;OQ; = 2 0 2 m 2 2 + = ● ;OR; = ( 1) 2 5 m 2 2 + = Els mòduls representen la longitud dels segments, o el que és el mateix, la distància a l’origen. W W W W W W 5 Un punt en una trajectòria (-3, 2, 6) està determinat pel vector de posició W r1 i un altre punt (6, -2, 3) ho està pel vector W r2. Amb les distàncies expressades en metres, quines seran les coordenades del vector W r2 - W r1? Solució: 9 W i - 4 W j - 3 W k m 6 Una pilota es desplaça des del punt P1, W r1 = 2 i W - 4 j W m, fins al punt P2, W r2 = -i W + 3 j W m. Calcula la distància entre els punts P1 i P2 en metres. Quines són les components del vector W r2 - W r1? Solució: 7,62 m ; -3 W i + 7 W j m A C T I V I T A T S 27 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 27 5/4/22 10:52 Abans de tractar els continguts de cada unitat, en el repàs inicial es recorden continguts de matemàtiques, física o química. 4
3.1. Tir parabòlic senzill Les condicions del tir parabòlic senzill són: altura inicial nul·la, y0 = 0; velocitat inicial amb angle positiu, a > 0 o v0y > 0; i altura final nul·la, yfinal = 0. Triem el sistema de referència x0 = 0. També considerem negligible el fregament amb l’aire. En substituir a les equacions del moviment: Component horitzontal (MRU) Component vertical (MRUA) Posició x = v0 ? cos a ? t ? ? ? ? y v t g t 2 1 sina 0 2 = - Velocitat vx = v0 ? cos a vy = v0 ? sin a - g ? t Temps de vol Quan el projectil torna a arribar a terra es compleix yfinal = 0 en la segona component de la posició. Per trobar el temps que triga a recórrer la trajectòria, partim de l’equació de la component de la posició a la component vertical. D’aquí, substituïm i aïllem el temps: ? ? ? ? ? ? ? ? y v t g t v t g t 2 1 0 2 1 s n s n i i a a 0 2 0 2 = - = - & Es tracta d’una equació de segon grau amb la incògnita a la variable t: ? ? ? ? ? ? v g t t t t g v 0 2 1 0 2 s n s n i i a a 0 1 2 0 = - = = & d n * La primera solució es correspon amb l’instant inicial: coincideix amb la condició d’altura inicial nul·la, y0 = 0. La segona solució és la que busquem, el temps de vol: ? ? a t g v 2 sin vol 0 = Abast màxim L’abast màxim és la distància horitzontal que recorre després del vol, xmàx. El podem calcular tot substituint el temps de vol a l’equació de la posició a la component horitzontal: ? ? ? ? ? ? ? ? ? x v t v g v g v 2 2 cos cos s n s n cos i i a a a a a màx vol 0 0 0 0 2 = = = Obtenim l’expressió per calcular l’abast màxim: ? a x g v i s n 2 màx 0 2 = Per a una mateixa velocitat inicial v0 podem aconseguir diferents abastos en variar l’angle a. Amb l’angle de 45°, s’aconsegueix el màxim abast per a una mateixa velocitat, perquè sin (2 ? 45°) = sin 90° = 1, valor màxim del sinus. Per a angles complementaris, s’aconsegueix el mateix abast, perquè: sin 2 (90° - a) = sin (180° - 2a) = sin 2a. Es pot comprovar que aconseguim el mateix abast amb a = 30° i a = 60°, per exemple. Quan cau al terra, yfinal = 0. Y X yfinal = 0 L’abast màxim depèn de l’angle a i de la velocitat inicial v0. Y X xmáx F F R E C O R D A ● Sinus de l’angle doble: sin 2a = 2 ? sin a ? cos a ● Simetria entre suplementaris: sin (180° - a) = sin a 3. Moviment parabòlic 62 253052 DEMO FisQ_1BTX U2 p048a79.indd 62 5/4/22 10:54 E X E M P L E R E S O LT 1 2 En l’instant t1 = 0 h 47 min 27 s, la posició d’un cos és W r 1 = 2 W i + 6 W j - 3 W k m. Una dècima de segon després, en t2 = 0 h 47 min 27,1 s, la posició és W r 2 = 2,2 W i + 5,9 W j - 3,3 W k m. a) Calcula el vector desplaçament, DW r . b) Calcula el vector velocitat mitjana, W vm. a) Per calcular el vector desplaçament cal fer la diferència entre la posició inicial i final: DW r = W r2 - W r1 DW r = (2,2 W i + 5,9 W j - 3,3 W k ) m - (2 W i + 6 W j - 3 W k ) m DW r = 0,2 W i - 0,1 W j - 0,3 W k m El mòdul d’aquest vector desplaçament és: ;DW r ;= , ( , ) ( , ) 0 2 0 1 0 3 2 2 2 + - + - m c 0,37 m b) Per calcular el vector velocitat mitjana: W vm = DW r Dt Necessites el vector desplaçament, ja calculat en l’apartat anterior, i el lapse de temps: Dt = t2 - t1 Dt = (0 h 47 min 27,1 s) - (0 h 47 min 27 s) = 0,1 s Substitueix: W vm = 0,2 W i - 0,1 W j - 0,3 W k m 0,1 s = W vm = 2 W i - 1 W j - 3 W k m/s El mòdul d’aquest vector velocitat mitjana és: ;DW vm; = ( ) ( ) 2 1 3 2 2 2 + - + - m . 3,7 m/s 26 Com és el vector velocitat mitjana per a una volta completa de qualsevol trajectòria tancada? ¿Depèn del sistema de referència? ¿Diu el primer resultat alguna cosa sobre el valor de la velocitat mitjana? 27 Com es mou un cos si la velocitat mitjana i la instantània són iguals en tot moment? 28 Serviria de res parlar de les components tangencial i normal de la velocitat? 29 L’Alícia diu que ha vist moure’s un avió en línia recta a 980 km/h. En Benet, per la seva banda, sosté que l’avió estava immòbil. És possible que es refereixin al mateix avió? Com? 30 La guanyadora d’una cursa ciclista recorre els últims 10 m en 0,72 s. a) Quina és la seva velocitat mitjana en aquest tram? b) Expressa-la en les unitats més comunes, km/h. Solució: a) 13, = 8 m/s; b) 50 km/h 31 Un penya-segat ens torna eco retardant la nostra veu en 0,4 s. Si sabem que la velocitat del so és de 340 m/s, a quina distància es troba el penya-segat? Solució: 68 m 32 Se sol triar la superfície de la Terra com a sistema de referència fix respecte al qual mesurar, però ¿està realment quieta la Terra? a) Calcula la velocitat amb què es mou un punt de l’equador en el seu gir al voltant de l’eix. b) Calcula la velocitat de translació de la Terra al voltant del Sol, sabent que un raig de llum des del Sol a la Terra triga aproximadament 8 minuts i 19 segons. c) Com és possible que anem a aquesta velocitat sense assabentar-nos-en? Dades: radi equatorial de la Terra: 6.378 km; vllum = 299.792 km/s; 1 any = 365,25 dies; 1 dia = 24 h. Solució: a) 1670 km/h; b) 1,07 ? 105 km/h 33 Per al mateix vehicle teledirigit de l’exercici 23: C (0, 750) 900 600 300 300 900 1.500 2.100 0 Y X D (1.200, 750) B (0, 300) A (450, 150) a) Calcula el vector velocitat mitjana i el seu mòdul per a cada tram sabent que els temps emprats a recórrer cada tram són: de A a B 15 min, de B a C 40 min i de C a D 28 min. b) Calcula la velocitat i el vector velocitat mitjana totals. Solució: a) W vAB = -0,5 W i + 0,1 = 6 W j m/s, vAB = 0,527 m/s; W vBC = 0,1875 W j m/s, vBC = 0,1875 m/s; W vCD = 0,714 W i m/s, vCD = 0,714 m/s; b) W vtotal = 0,15 W i + 0,12 W j m/s, vtotal = 0,427 m/s. 34 Després del llançament d’una falta, la posició d’una pilota de futbol, mesurada des del punt on es xuta, canvia des de 5 W i + 2 W j + 3 W k m fins a 5,3 W i + 1,8 W j + + 3,1 W k m en un interval de temps Dt = 0,02 s. Escriu el vector velocitat de la pilota durant aquest interval i calcula’n el mòdul. Solució: 15 W i - 10 W j + 5 W k m/s; 18,7 m/s . 67 km/h 35 Un protó viatja amb una velocitat (3 W i + 2 W j - 4 W k ) ? 105 m/s i passa per l’origen de coordenades en t = 9,0 s. a) Quin és el mòdul de la velocitat en l’origen? b) Quin valor podem donar per a la seva posició en t = 9,7 s? c) Has hagut de fer alguna suposició per calcular la posició? Solució: a) v = 5,39 ? 105 m/s; b) W r = (2,1 W i + 1,4 W j - 2,8 W k ) ? 105 m 36 Calcula la velocitat en l’instant t = 2 s d’un mòbil el vector de posició del qual és W r (t) = (4 ? t - 4 ? t 2) W i m. Solució: -12 W i m/s activitats finals 0 42 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 42 5/4/22 11:10 4.1. Components intrínseques de l’acceleració En variar el vector velocitat , en pot canviar el mòdul o la direcció. Per això definim: ● Acceleració tangencial, a WT: quan canvia el mòdul de la velocitat. ● Acceleració normal, a WN: quan canvia la direcció de la velocitat. Components de la velocitat Podem expressar el vector velocitat així: v W = v ? u WT on W uT és un vector de mòdul u amb direcció tangent a la trajectòria. Aleshores: a W = d v W d t = d (v ? u WT) d t Derivem segons la regla del producte: a W = d v d t ? u WT + v ? d u WT d t = W aT + W aN Veiem que W aT té la mateixa direcció que el vector W uT. W aN és perpendicular a W aT. W aN W aT L’acceleració tangencial En el llenguatge comú anomenem acceleració a l’acceleració tangencial. Acceleració tangencial L’acceleració tangencial indica com canvia el mòdul de la velocitat amb el temps. a WT = lím Dt"0 Dv Dt ? W uT L’acceleració tangencial és un vector que té la mateixa direcció que el vector velocitat. ● Té el mateix sentit del moviment si el mòdul de la velocitat augmenta. ● Té el sentit contrari al moviment si el mòdul de la velocitat disminueix. L’acceleració normal Una moto agafa un revolt mantenint constant el mòdul del vector velocitat (70 km/h). En aquest cas, la direcció del vector velocitat canvia contínuament, però el mòdul no varia; és a dir, l’acceleració tangencial és zero. ;W v1; = ;W v2; = 70 km/h W v2 W v1 Com que varia la direcció del vector velocitat, existeix una acceleració anomenada acceleració normal o centrípeta, W aN. Sempre amb ;W v ; constant. W aN = W v2 - W v1 t S’anomena acceleració centrípeta perquè el vector W aN va dirigit cap al centre del revolt. 1 ● La direcció de l’acceleració normal. Prenent un interval de temps molt petit, podem veure que W aN apunta cap al centre de la circumferència (o el centre de curvatura). Per aquesta raó, l’acceleració normal és també un vector la direcció del qual és la mateixa que el radi de curvatura. L’acceleració normal té la direcció del radi de curvatura i el sentit cap al centre de la corba. ● El mòdul de l’acceleració normal. En el valor de l ’acceleració normal de la moto que agafa un revolt només influeixen el mòdul de la velocitat, ;W v ;, de la moto i R, el radi del revolt. Com més ràpid vagi la moto i com més tancat sigui el revolt, més intensa és l’acceleració normal. Acceleració normal Aquesta expressió permet calcular el mòdul de l’acceleració normal: a R v2 N = En calcular DW v = W v2 - W v1 observem que apunta cap al centre de la circumferència. Per tant, l’acceleració normal també ho fa. Per això s’anomena acceleració centrípeta. W v1 DW v W v2 W r2 W r1 W v 2 E X E M P L E R E S O LT 8 Com es modifica el valor de l’acceleració normal quan la velocitat es triplica sense modificar el radi de la trajectòria? Com que aN depèn del quadrat de la velocitat, esdevé nou vegades més gran. En efecte: ? ? ( ) ( ) a a R v R v v v v v 3 9 9 a aN, , , , 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 N N 2 N 2 1 = = = = = & f f p p aN,1 i aN,2 són les acceleracions corresponents a les velocitats v1 i v2, respectivament. 15 Imagina que et porten amb cotxe per un revolt amb forma d’arc de circumferència amb velocitat constant. Com que t’han embenat els ulls i tapat les orelles, només pots notar que t’estàs movent perquè hi ha acceleració (si el moviment fos uniforme i en línia recta, no te n’adonaries). a) De quins factors depèn que notis més o menys que el cotxe està agafant un revolt? O, altrament dit, de què depèn l’acceleració normal d’aquest moviment circular uniforme? b) Quines magnituds físiques relacionades amb la trajectòria i la forma de recórrer‐la influeixen en el fet que es noti més el canvi de direcció? 16 Quin factor influeix més en aN, la velocitat o el radi de la corba? Suposa que decideixes duplicar la teva velocitat en un revolt (de v a 2 ? v) i, per compensar, demanes al Ministeri de Foment que faci el revolt més obert, duplicant-ne també el radi (de R a 2 ? R). a) Calcula l’expressió del mòdul de l’acceleració normal abans i després de duplicar la velocitat. b) Troba els valors numèrics de aN per a un revolt de 20 m de radi agafat a 60 km/h. c) Esbrina el valor de aN per a un altre revolt de 40 m de radi que s’agafa a una velocitat de 120 km/h. Compara els resultats amb els obtinguts en l’apartat anterior. Solució: b) 13,8 ! m/s2 ; c) 27,7 ! m/s2 A C T I V I T A T S 37 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 37 5/4/22 10:56 LA POSICIÓ Podem situar un mòbil indicant-ne la posició al llarg de la trajectòria. La trajectòria és el conjunt de punts pels quals passa l’objecte (punt material). Un sistema de referència (o de coordenades) proporciona una manera de situar un punt qualsevol respecte a un altre que hàgim establert prèviament i que serveix de referència. El vector de posició en l’instant t, W r (t), es representa mitjançant una fletxa que va des de l’origen de coordenades, O, fins a la posició del punt. W r (t) determina la posició segons el temps. Definim el vector desplaçament entre dos punts, P i Q, els vectors de posició dels quals són W r1 i W r2, com la diferència entre aquests dos vectors, així: DW r = W r2 - W r1 D r W W r2 Q W r1 P Y X LA VELOCITAT La velocitat mitjana per a un recorregut entre els punts P1 i P2 iniciat en el temps t1 i finalitzat en t2 és: Velocitat mitjana vm = Ds Dt = s2 - s1 t2 - t1 v Wm = DW r Dt = W r2 - W r1 t2 - t1 Escalar Vectorial La velocitat instantània per a un recorregut entre els punts P1 i P2 en l’interval de temps Dt serà: v W = DW r Dt , quan Dt és «molt petit». El moviment és relatiu, depèn del sistema de referència que es faci servir per mesurar. Sovint se sol escollir com a sistema de referència la superfície de la Terra. L’ACCELERACIÓ L’acceleració mitjana es defineix com la variació de la velocitat respecte al temps: W a = DW v Dt = W v2 - W v1 t2 - t1 L’acceleració instantània és el límit quan Dt " 0 del quocient entre el vector velocitat i l’increment del temps. W a = DW v Dt , quan Dt és «molt petit». Acceleració Quan canvia el mòdul de la velocitat. aT = Ds Dt Quan Dt és «molt petit». (Tangent a la trajectòria). a R v2 N = (Dirigida cap al centre de curvatura de la trajectòria). Quan canvia la direcció de la velocitat. Acceleració tangencial Acceleració normal o centrípeta Les components de l’acceleració també són vectors: W a = W aT + W aN ; a a a 2 2 T N = + W aT W aN W a L’acceleració relativa a un observador en moviment si el sistema de referència mòbil de l’observador està accelerat és: W arel = W aobj - W asis El sistema de referència inercial és aquell en què W asis = 0. El sistema de referència no inercial és aquell en què W asis ! 0. Classificació dels moviments segons la seva acceleració: )v = ct. a W = 0 MRU )aN = ct. ! 0 aT = 0 MCU )aN = 0 aT = ct. ) aN ! 0 aT = ct. MRUA MCUA Controls de velocitat per tram Per millorar la seguretat dels conductors i les conductores, la Direcció General de Trànsit ha situat radars fixos per les carreteres. Aquests aparells mesuren directament la velocitat de l’automòbil. Però és una mesura puntua l . Un vehi c l e pot c i rcul ar a una velocitat més gran que la permesa, alentir la marxa just abans d’arribar al radar per no ser sancionat i tornar a circular després a una velocitat superior al límit legal. El s controls per tram pretenen dur a terme un control més exhaustiu, ja que no mesuren la velocitat en un instant, com els radars fixos, sinó la velocitat mitjana dels vehicles durant un tram, que pot ser de diversos quilòmetres. Així, si un vehicle circula amb una velocitat mitjana més gran que la permesa, serà sancionat. En l’esquema següent es mostra com funcionen aquests controls de velocitat per tram. Especialista en aeronàutica Què fan? Els especialistes en enginyeria aeronàutica s’ocupen de dissenyar i fabricar aeronaus i sondes espacials. També s’ocupen de controlar-ne el funcionament i posar en pràctica les operacions de manteniment necessàries. Així mateix, analitzen l’impacte ambiental de les seves actuacions. Com ho fan? Analitzen el moviment de les aeronaus en l’atmosfera tenint en compte, per exemple, la resistència de l’aire o les característiques dels materials i els combustibles utilitzats pels motors. Utilitzen les matemàtiques i la física constantment en els seus càlculs, i l’idioma anglès és essencial en molts projectes, ja que sovint impliquen personal de diferents països. 1 P E R F I L P R O F E S S I O N A L En aquest exemple el límit de velocitat és de 120 km/h i la distància que abraça el tram és de 5 km. Els vehicles que recorrin aquest tram en menys de 150 s seran sancionats. En el segon control es registra l’instant de pas de cada vehicle i s’envia al control central. En el primer control, identificant la matrícula de cada vehicle, es registra l’instant de pas i s’envia al control central. En el control central s’ordenen les dades rebudes segons les matrícules. S’efectuen les operacions que s’indiquen més avall. Si és el cas, d’una manera automàtica es tramita la sanció. (vmitjana > vpermesa) & Sanció v t t temp emp a longitud del tram longitud del tram s r t mi a final inicial tjan = = - 150 s Els controls per tram, a més d’informar de quin és el límit de velocitat, estan identificats amb aquest senyal. Por su seguridad Control de velocidad en tramo A B C R E C O R D O E L Q U E H E A P R È S A P L I C O E L Q U E H E A P R È S 47 46 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 46-47 5/4/22 10:58 Al llarg de tota la unitat s’inclouen nombrosos exemples resolts, numèrics o no, que ajuden a posar en pràctica els conceptes exposats. En el material digital de suport trobaràs animacions que faciliten l’assimilació dels continguts. Les activitats acompanyen el treball dels continguts propers. Les activitats finals afermen els continguts i permeten relacionar uns coneixements amb altres i elaborar una anàlisi més profunda. Després de les activitats finals, un resum recopila els continguts més rellevants que s’acaben d’estudiar. La secció Perfil professional presenta algunes professions relacionades amb els continguts de la unitat. En la secció Aplico el que he après s’inclouen continguts pràctics relacionats amb la unitat. 5
0 La mesura 1 Introducció 4 Representació gràfica de la mesura 3 Incertesa i error APLICO EL QUE HE APRÈS. Els nombres del món 2 Magnituds i unitats de mesura 5 La comunicació científica E N AQ U E S TA U N I TAT… 6
1. Introducció 0 Hi ha molta bibliografia entre especialistes en història, sociologia, filosofia i ciència sobre el que és la ciència i , tot i que falta una resposta generalment acceptada, sembla clar que no existeix un mètode científic que es pugui resumir en una recepta per fer ciència. Tot i això, sí que sembla haver-hi alguns elements propis d’aquesta activitat. Les científiques i els científics construeixen models i teories que proven de donar resposta a diversos aspectes de la natura. Els models i les teories científiques donen lloc a explicacions i prediccions que s’han de confrontar amb les dades obtingudes sobre la natura, també mitjançant altres observacions i experiments. Les seves afirmacions es basen en observacions i experiments que ens ofereixen dades del comportament de la natura. D’aquesta manera , els models i les teories van canviant, afermant-se o sent descartats, sempre de manera revisable. A més, la ciència funciona en dos fronts íntimament relacionats: el teòric i l’experimental. Les observacions i els experiments proven d’obtenir dades fiables sobre el món real, mentre que la teoria ha d’explicar els resultats de les observacions i experiments i fer prediccions sobre fenòmens encara no coneguts . Tot i el que pugui semblar , en general no es pot di r que l ’ exper iència sempre sigui anterior a la teoria, o viceversa. La ciència és ciència només quan compara les seves afirmacions amb el «món exterior», en particular quan s’arrisca a fer prediccions que d’una manera o una altra es compleixen. En tot plegat, la mesura és un instrument central. En aquest tema introductori analitzarem aspectes generals de la mesura que aplicarem posteriorment, començant pels diferents tipus de magnituds existents i els sistemes d’unitats utilitzats per expressar els resultats de càlculs i els mesuraments. Hem de deixar clar que la conveniència de fer servir el sistema internacional d’unitats no significa que altres sistemes no puguin ser més apropiats en determinades circumstàncies i que, per tant, el seu ús no ha de ser tabú en el Batxillerat com no ho és per a la comunitat científica. A continuació, farem una ullada als càlculs i als experiments tal com de veritat es fan en ciència . Els resultats que ens proporcionen aquests processos mai no s’obtenen de manera immediata i indiscutible (tot i que la pràctica a les aules i laboratoris dels instituts suggereix el contrari), sinó que són el resultat del tractament de dades, la missió del qual és la de determinar el mi l lor valor possible d’un observable desconegut o provar la consistència d’un model o teoria amb les dades obtingudes. Una etapa fonamental del tractament de dades és esbrinar quina confiança hem de tenir en els nostres resultats o, de manera negativa, quina és la seva incertesa. Qualsevol resultat experimental (com també els de càlculs teòrics) està afectat inevitablement per una certa incertesa, la determinació de la qual no és un complement de la mesura o el càlcul, sinó una part constitutiva. Per acabar , en Els nombres del món farem un recorregut pels valors de les principals constants físiques i els d’alguns nombres que ens diuen com és el món en què vivim. Quantes molècules hi ha en un got d’aigua? Quants estels hi ha en una galàxia? R E C O R D A Observació i experimentació Els experiments impliquen observacions en condicions controlades en un laboratori. És una situació artificial en què eliminem variables que podrien pertorbar el fenomen a estudiar. Hi ha disciplines científiques, com l’astronomia, en què els experiments són impossibles (no es pot manipular un estel per controlar determinades variables), de manera que només hi ha observacions dels fenòmens tal com es donen en la natura amb totes les variables implicades. 7
2. Magnituds i unitats de mesura Una magni tud f í s i ca és una propi etat d ’ un s i s tema que es pot mesurar . La mesura cons i s t e i x en l ’ as s i gnac i ó d ’ un nombr e a una prop i e t a t mi t j ançant l a comparac i ó amb un pa t ró que s ’ anomenarà uni tat de mesura. 2.1. Magnituds Poden ser escalars o vectorials: També hi ha magnituds discretes i altres contínues: En l es magni tuds cont ínues , una di f icul tat que cal teni r en compte és que qualsevol càlcul s’ha de fer amb un nombre finit de xifres decimals, cosa que dona l loc a aproximacions al valor veritabl e. Per exemple, la posició inicial d’un cos és x = 1,75 m, però mesurada amb més detall resulta ser x = 1,748 m i, si som encara més precisos, x = 1,7482 m... Quina és la posició «real»? 2.2. El sistema internacional d’unitats Mentre no es digui el contrari , en aquest l l ibre trebal larem amb el sistema internacional d’unitats, SI, que té la gran virtut de ser un sistema coherent, ben definit i d’ús internacional (cada vegada hi ha menys països que es resisteixen a fer-lo servir). Però, com veurem, la comunitat científica utilitza altres unitats quan resulta convenient. Anomenem magnituds fonamentals cadascuna de les magnituds que s’accepten per conveni com a fonamentalment independents entre elles i magnituds derivades aquelles que s’obtenen combinant les fonamentals. Les magn i t ud s f o n ame n t a l s d e l ’ S I s ó n l e s s e t q u e s ’ i n c l o u e n e n l a t a u l a s e g ü e n t juntament amb les seves unitats. Magnitud Nom de la unitat en l’SI Símbol Longitud metre m Massa quilogram kg Temps segon s Intensitat de corrent elèctric amper A Temperatura termodinàmica kelvin K Quantitat de substància mol mol Intensitat lluminosa candela cd Les magnituds escalars són les que es poden expressar únicament amb un nombre i una unitat. Entre elles hi ha l’energia, la pressió, la temperatura, la concentració d’una dissolució, etc. En les vectorials necessitem un nombre per expressar-ne la intensitat, a més de direcció i sentit. Entre elles hi ha, per exemple, la velocitat del vent; a la xifra de 35 km/h cal afegir-hi la direcció i el sentit, per exemple, nord-oest. Vectorials Escalars Les discretes es poden representar mitjançant nombres enters, com el nombre de partícules d’un sistema o els nivells d’energia d’un àtom. Les contínues són aquelles que admeten la seva representació amb nombres reals, com pot ser el valor de la temperatura. Discretes Contínues En un anemòmetre ha d’haver-hi unes cassoletes que mesurin la intensitat del vent i un penell que en determini la direcció. La velocitat del vent és una magnitud vectorial. La definició de les unitats fonamentals o bàsiques de l’SI es fa amb referència a patrons de mesura que es poden reproduir amb facilitat. En la pàgina següent hi figuren les definicions oficials. Semblen complexes, però, en la pràctica, l’ús d’aquestes unitats és senzill. 8
0 El segon, s, unitat de temps, es defineix assignant el valor de 9 192 631 770, quan s’expressa en hertzs, (1 hertz = 1 s-1) a la freqüència del cesi, Dn Cs, corresponent a la freqüència de la transició entre els dos nivells hiperfins de l’estat fonamental de l’àtom de cesi-133. El metre, m, unitat de longitud, es defineix assignant el valor numèric fix de 299 792 458 a la velocitat de la llum en el buit, c, quan aquesta s’expressa en la unitat m · s-1, on el segon és definit en termes de la freqüència del cesi DnCs. El quilogram, kg, unitat de massa, es defineix assignant el valor fix de 6,626 070 040 ? 10-34 a la constant de Planck, h, quan aquesta s’expressa en la unitat J ? s, que és igual a kg ? m2 ? s-1, on el metre i el segon es defineixen en termes de c i DnCs. El kelvin, K, unitat de temperatura termodinàmica, es defineix assignant a la constant de Boltzmann, KB , el valor numèric fix 1,380 648 52 ? 10-23, quan s’expressa en la unitat J ? K-1, que és igual a kg ? m2 ? s-2 ? K-1, on el quilogram, el metre i el segon es defineixen en termes de h, c i DnCs. L’amper, A, unitat d’intensitat de corrent, es defineix assignant el valor numèric fix per a la càrrega elemental, e, de 1,602 176 6208 ? 10-19, quan s’expressa en la unitat coulomb, C, que és igual a A ? s, on el segon està definit en termes de DnCs. El mol, símbol mol, és la quantitat de substància d’una entitat elemental especificada, que pot ser un àtom, molècula, ió, electró, qualsevol altra partícula o un grup especificat d’aquestes partícules. Es defineix assignant el valor numèric fix de 6,022 140 76 ? 1023 a la constant d’Avogadro, NA , quan aquesta s’expressa en la unitat mol -1. La candela, cd, és la unitat d’intensitat lluminosa en una direcció donada. Es defineix assignant el valor numèric fix 683 a l’eficàcia lluminosa, Kcd, de la radiació monocromàtica de freqüència 540 ? 10 12 Hz, quan aquest valor s’expressa en la unitat lm ? W-1, que és igual a cd ? sr ? W-1 o cd ? sr ? kg-1 ? m-2 ? s3, on el quilogram, el metre i el segon estan definits en termes de les constants h, c i DnCs. La resta d’unitats són unitats derivades, el que significa que poden expressar-se en termes de les unitats fonamental s. Per exemple, per obtenir la unitat de veloci tat de l ’SI hem de teni r en compte la seva def inició i expressar les unitats: temps at espai recorregut v utilitz = . . . . , ? s m s m 120 120 3 600 1 000 3 600 120 1 000 33 3 h km s m = = = ! R E C O R D A Unitats suplementàries Hi ha dues unitats suplementàries de caràcter matemàtic: ● El radian, rad, és l’amplitud de l’angle central en una circumferència l’arc de la qual és de la mateixa longitud que el radi. ● L’estereoradian, sr, és l’amplitud de l’angle sòlid central en una esfera de radi R, tal que intercepta una superfície d’àrea igual que R2. R Nom de les unitats Algunes unitats derivades tenen nom propi, per exemple, la força, que podem obtenir recordant la definició de força: F = m ? a. unitat de força = unitat de massa ? ? unitat d’acceleració = kg ? m/s2 Aquesta combinació d’unitats rep nom propi, newton, N: 1 N = 1 kg ? m/s2 1 Completa a la teva llibreta aquesta taula d’unitats derivades per a les magnituds corresponents. Magnitud Unitat derivada Nom Símbol Superfície Volum Acceleració Densitat Pressió A C T I V I T A T S El lumen ( lm) és una unitat de la potència lluminosa d’una font. 9
Prefixos multiplicatius Les unitats en l’SI també es modifiquen amb prefixos que permeten multiplicar i dividi r les seves quant i tats per potències de deu. Observa la taula del marge per a les correspondències del s valors del s factors amb cada pref ix. Exemple: 5,34 ? 10-6 m = 5,34 mm 2.3. Altres unitats Hi ha altres unitats que, tot i que no formen part de l’SI, són d’ús tan estès que han estat acceptades dins del sistema, tals com el litre, l; les hores, h; els minuts, min; els dies, d; etc. Finalment, altres unitats que no són del sistema internacional resulten adequades en alguns camps: l’electronvolt, eV, en física nuclear i de partícules; i la unitat de massa atòmica, u, en química. Magnitud Nom Símbol Valor en unitats de l’SI Massa unitat de massa atòmica u 1,660 540 2(10) ? 10-27 kg Energia electronvolt eV 1,602 177 33(49) ? 10-19 J Canvi d’unitats De vegades escollim determinades unitats perquè són d’ús quotidià i ens resulten més familiars. Així, per a la velocitat fem servir els km/h en lloc dels m/s, o els kWh en lloc del joule per referir-nos a l’energia elèctrica que consumim a les nostres llars. Per convertir unes unitats en altres n’hi ha prou de substituir les que volem canviar per la seva equivalència. Per exemple, 1 km = 1.000 m i 1 h = 3.600 s. . . . . , ? s m s m 120 120 3 600 1 000 3 600 120 1 000 33 3 h km s m = = = ! Tot i això, de vegades no és sobrer disposar d’un mètode sistemàtic per efectuar els canvis. Es tracta del mètode dels factors de conversió. Per exemple, si volem transformar en litres, l, partim de l’equivalència entre metres cúbics i litres: 1 m3 = 1.000 l, que també es pot expressar amb un factor de conversió: . . m m 1 000 1 1 1 000 l o l 3 3 Si volem canviar les unitats de volum de metres cúbics de l’expressió 2,5 ? 10-4 m3 i substituir-les per una altra més familiar com és el litre, n’hi ha prou de multipli - car pel factor de conversió apropiat: , , . , . , ? ? ? ? ? m m m 2 5 10 2 5 10 1 1 000 2 5 10 1 000 0 25 l l l 4 4 4 3 3 3 = = = - - - 2. Magnituds i unitats de mesura Factor Prefix Símbol 1024 yotta Y 1021 zeta Z 1018 exa E 1015 peta P 1012 tera T 109 giga G 106 mega M 103 quilo k 102 hecto h 101 deca da 10-1 deci d 10-2 centi c 10-3 mil·li m 10-6 micro m 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a 10-21 zepto z 10-24 yocto y 2 Els especialistes en física de partícules no utilitzen com a unitat d’energia la unitat de l’SI, el joule, sinó l’electronvolt, eV. Escriu els factors de conversió i fes-los servir per posar en unitats del sistema internacional l’energia de 14 TeV amb què xoquen els protons a l’accelerador del CERN. Dada: 1 eV = 1,602 ? 10-19 J. Solució: 2,24 ? 10-6 J 3 El rècord mundial d’atletisme femení en els 100 m llisos representa una velocitat mitjana de 33,5 km/h. Quina velocitat és en unitats de l’SI? Solució: 9,3 m/s A C T I V I T A T S 10
En prendre la mesura d’algun observable, hem de tenir -hi en compte dos aspectes: la fiabilitat o precisió i l’exactitud. La fiabilitat més gran indica que, mesurant en les mateixes condicions, aconseguim el mateix valor o mesurar sempre igual. Una arquera molt fiable llançaria les fletxes sempre al mateix lloc sota les mateixes condicions. La major exactitud d’un aparell ens indica com de prop està la mesura del valor real. Una arquera que llança sempre les fletxes al centre de la diana, a més de fiable, és exacta. Exactitud Fiabilitat o precisió El procés de mesurar una quantitat no és senzill. Hi ha algunes dificultats amb què sovint ens podem trobar, entre elles el sempre possible error humà, fruit de distraccions, errades en el disseny, equívocs o estats de salut variables de l’observador. ● Què passa si intento mesurar la temperatura de l’aigua continguda en un didal amb un termòmetre d’una mida semblant al didal? Doncs si el termòmetre està, per exemple, molt més fred que l’aigua, no mesuraré la temperatura que tenia l’aigua, sinó una nova temperatura modificada per la presència de l’aparell de mesura. ● Per més ben dissenyat que estigui l’experiment, si els nostres instruments són prou fiables, ens trobarem que en repetir la mesura els resultats són una mica diferents fins i tot en circumstàncies tan semblants com siguem capaços d’aconseguir. El món és ple d’influències aleatòries, desconegudes i incontrolables. La manera de reduir aquestes inf luències és fer moltes mesures per arribar a trobar, mitjançant mètodes estadístics, el valor més probable i la incertesa de la mesura. 3.1. Incertesa en l’aparell Els fabricants d’un instrument ens han d’informar de les seves qualitats. ● La sensibilitat de l’instrument, s, és la diferència més petita que es pot dist ingir entre dues mesures pròximes . Està relacionada amb la qual i tat de l’instrument. En un termòmetre clínic, la divisió més petita és 0,1 °C, és a dir, no podrem diferenciar entre els 36,574 °C o els 36,643 °C, ja que l’instrument llegirà 36,6 °C per a qualsevol valor comprès en l’interval (36,55, 36,65). más del s 2 división pequeña instrumento = ● E l func i onament i nt e rn de l ’ i ns t rument de mesura en de t e rmi na e l seu comportament. En un termòmetre convencional , com es dilata l ’alcohol? I, en el cas d’un termòmetre electrònic, com varia la resistència del circuit amb la temperatura? ● Com s’ha calibrat? És a dir, com s’ha graduat el termòmetre perquè correspongui amb les mesures d’altres termòmetres? ● Està ben dissenyat perquè la resposta sigui tan estable com sigui possible davant de pertorbacions que poguessin alterar el resultat? El termòmetre ha de respondre als canvis de temperatura de la mateixa manera al nivell del mar que en una estació d’esquí entre muntanyes. R E C O R D A Precisió De vegades utilitzem el terme precisió per referir-nos a la sensibilitat d’un aparell; altres vegades fem servir l’adjectiu precís per parlar d’un aparell exacte. Ves amb compte de no confondre aquests termes. A més, anomenem cota mínima o llindar el valor mínim de la mesura davant la qual un instrument és capaç de respondre. No s’ha de confondre amb sensibilitat. 3. Incertesa i error 0 Bàscula amb sensibilitat de 50 g. Termòmetre clínic amb sensibilitat de 0,05 °C. divisió més petita de l’instrument 11
3. Incertesa i error 3.2. Incertesa en els resultats Els resultats de mesurar una quantitat q repetides vegades ens ofereix un conjunt d’observacions {q1; q2; q3; …; qi; …; qn}, moltes de les quals repetides diver - ses vegades (freqüència de la dada, m), que es distribueixen segons l’histograma del marge . La major ia del s valors observats s ’ agrupen pròxims al valor central GqH i al seu voltant es dispersen els resultats. La freqüència (m) és menor com més ens allunyem del valor central. El valor central sol adoptar-se com a millor valor de q i sol calcular-se amb la mitjana aritmètica de les observacions: G H ? q N m q i i i n 1 = = / Una manera d’indicar si els valors s’aparten molt o poc del valor mitjà és utilitzant la desviació estàndard o típica de q, sq, que es calcula així: G H ? s N m q q i i i n 2 1 2 q = - = / Una bona valoració de la incertesa en els resultats és l’amplada de la distribució de les dades, quantificada per la desviació estàndard: q = Gq H ! sq Les distribucions de freqüència que tenen la forma de les dues anteriors s’anomenen gaussianes o normals, i es troben sovint en les anàlisis d’experiments. Un dels principals avantatges d’aquesta distribució és que les seves propietats matemàtiques es coneixen molt bé. Sempre que el nombre d’observacions sigui molt alt, se sap que hi ha una probabilitat del 68 % d’aconseguir resultats en observacions futures dins de l’interval donat per (GqH - sq , GqH + sq) i del 99 % en l’interval (GqH - 3 ? sq , GqH + 3 ? sq). Sense aquestes estimacions, i d’altres que estudia l’estadística, cap resultat experimental es pot prendre seriosament. L’estadística estudia quina confiança es pot atorgar als valors dins de la incertesa si cadascun d’ells es considera el valor veritable, q0. EXEMPLE RESOLT 1 En un experiment mesurem cinc vegades amb un cronòmetre la caiguda lliure d’un objecte. Els resultats són: t 1 = 2,25 s; t 2 = 2,27 s; t 3 = 2,33 s; t 4 = 2,28 s; t 5 = 2,35 s. Calcula el millor valor fent servir la mitjana aritmètica i l’interval d’incertesa fent servir la desviació típica. Per al millor valor calculem la mitjana aritmètica: G H , s , s , s , s , s t N t 5 2 25 2 27 2 33 2 28 2 35 2,296 s i N i 1 = = + + + + = = / Per a la desviació del conjunt de dades, la desviació típica és: G H ? , , , , , , s m t t N 5 2 25 2 27 2 33 2 28 2 35 2 296 i i i N 2 1 2 2 2 2 2 2 2 t = - = + + + + - = / En aquest cas, m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = 1. Calculant, st = 0,0377 s La incertesa del valor de la caiguda lliure és: t = G t H ! st = 2,296 s ! 0,0377 s c (2,30 ! 0,04) s La quantitat de xifres decimals del resultat no ha d’excedir la de les dades. Histograma del conjunt de les observacions d’un experiment. m Q sq G q H Si l’histograma tingués l’aspecte de les barres blaves, indicaria que la incertesa seria més gran, en estar els resultats més desviats del valor central. m Q s sl 4 Determina la mitjana aritmètica i la desviació típica per expressar l’interval d’incertesa del conjunt de nombres següent: {9,01; 8,97; 9,05; 8,96; 9,00; 9,02}. Solució: 9,00 ! 0,03 A C T I V I T A T S R E C O R D A Incertesa En una mesura, les xifres entre parèntesis representen la incertesa estàndard en els últims dígits. Per exemple, x = 23,738(31) m determina una posició que també es pot escriure així: x = 27,738 ! 0,031 m. Aquesta expressió vol dir que s’ha calculat que el valor més probable de x = 27,738 m i la probabilitat més gran que el valor de x estigui en un interval de 0,031 m de radi al voltant d’aquest valor (zona acolorida de la figura). 27,738 27,738 - 0,031 27,738 + 0,031 12
RkJQdWJsaXNoZXIy