3. Incertesa i error 3.2. Incertesa en els resultats Els resultats de mesurar una quantitat q repetides vegades ens ofereix un conjunt d’observacions {q1; q2; q3; …; qi; …; qn}, moltes de les quals repetides diver - ses vegades (freqüència de la dada, m), que es distribueixen segons l’histograma del marge . La major ia del s valors observats s ’ agrupen pròxims al valor central GqH i al seu voltant es dispersen els resultats. La freqüència (m) és menor com més ens allunyem del valor central. El valor central sol adoptar-se com a millor valor de q i sol calcular-se amb la mitjana aritmètica de les observacions: G H ? q N m q i i i n 1 = = / Una manera d’indicar si els valors s’aparten molt o poc del valor mitjà és utilitzant la desviació estàndard o típica de q, sq, que es calcula així: G H ? s N m q q i i i n 2 1 2 q = - = / Una bona valoració de la incertesa en els resultats és l’amplada de la distribució de les dades, quantificada per la desviació estàndard: q = Gq H ! sq Les distribucions de freqüència que tenen la forma de les dues anteriors s’anomenen gaussianes o normals, i es troben sovint en les anàlisis d’experiments. Un dels principals avantatges d’aquesta distribució és que les seves propietats matemàtiques es coneixen molt bé. Sempre que el nombre d’observacions sigui molt alt, se sap que hi ha una probabilitat del 68 % d’aconseguir resultats en observacions futures dins de l’interval donat per (GqH - sq , GqH + sq) i del 99 % en l’interval (GqH - 3 ? sq , GqH + 3 ? sq). Sense aquestes estimacions, i d’altres que estudia l’estadística, cap resultat experimental es pot prendre seriosament. L’estadística estudia quina confiança es pot atorgar als valors dins de la incertesa si cadascun d’ells es considera el valor veritable, q0. EXEMPLE RESOLT 1 En un experiment mesurem cinc vegades amb un cronòmetre la caiguda lliure d’un objecte. Els resultats són: t 1 = 2,25 s; t 2 = 2,27 s; t 3 = 2,33 s; t 4 = 2,28 s; t 5 = 2,35 s. Calcula el millor valor fent servir la mitjana aritmètica i l’interval d’incertesa fent servir la desviació típica. Per al millor valor calculem la mitjana aritmètica: G H , s , s , s , s , s t N t 5 2 25 2 27 2 33 2 28 2 35 2,296 s i N i 1 = = + + + + = = / Per a la desviació del conjunt de dades, la desviació típica és: G H ? , , , , , , s m t t N 5 2 25 2 27 2 33 2 28 2 35 2 296 i i i N 2 1 2 2 2 2 2 2 2 t = - = + + + + - = / En aquest cas, m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = 1. Calculant, st = 0,0377 s La incertesa del valor de la caiguda lliure és: t = G t H ! st = 2,296 s ! 0,0377 s c (2,30 ! 0,04) s La quantitat de xifres decimals del resultat no ha d’excedir la de les dades. Histograma del conjunt de les observacions d’un experiment. m Q sq G q H Si l’histograma tingués l’aspecte de les barres blaves, indicaria que la incertesa seria més gran, en estar els resultats més desviats del valor central. m Q s sl 4 Determina la mitjana aritmètica i la desviació típica per expressar l’interval d’incertesa del conjunt de nombres següent: {9,01; 8,97; 9,05; 8,96; 9,00; 9,02}. Solució: 9,00 ! 0,03 A C T I V I T A T S R E C O R D A Incertesa En una mesura, les xifres entre parèntesis representen la incertesa estàndard en els últims dígits. Per exemple, x = 23,738(31) m determina una posició que també es pot escriure així: x = 27,738 ! 0,031 m. Aquesta expressió vol dir que s’ha calculat que el valor més probable de x = 27,738 m i la probabilitat més gran que el valor de x estigui en un interval de 0,031 m de radi al voltant d’aquest valor (zona acolorida de la figura). 27,738 27,738 - 0,031 27,738 + 0,031 12
RkJQdWJsaXNoZXIy