3.2. La velocitat instantània Per descriure el moviment interessa conèixer la velocitat en cada moment. Quan ens fixem en el velocímetre d’un cotxe durant un viatge, observem que la velocitat varia. Al f inal , per calcular la velocitat mitjana del viatge fem el quocient entre l’espai recorregut i el temps esmerçat. Durant el viatge podem fer aquest quocient per a un temps breu, 1 min; així coneixem la velocitat mitjana durant aquest minut. Podem reduir el temps encara més, 5 s, i tindrem la velocitat mitjana durant aquests 5 s. Així , si reduïm el temps tant com vulguem, tindrem : Velocitat instantània La velocitat instantània és: v = D Ds t lím Dt 0 " I e l v e c tor v e l o c i t at in st ant àni a p e r a un re c or regut entre e l s punt s P1 i P2 molt pròxims entre ells: W v = lím Dt 0 " DW r Dt La definició de velocitat instantània és més precisa com més petit sigui l’inter val de temps, Dt. (Recorda que Dr W = W r2 - W r1). Obser va com canvia la direcció de W v a mesura que Dr W es fa més petit, fins que és tangent a la corba en el punt A, on estem calculant la velocitat instantània . Així , W v indica la celeritat o rapidesa (v ), la direcció i el sentit del moviment en cada instant. W r1 W r2 Dr W W v Vehicle agafant un revolt. Si un cotxe «trepitja» una placa de gel o una taca d’oli, en agafar un revolt seguirà el seu camí per la tangent, en la direcció que ja portava. Observa en el dibuix el vector W v, que té la mateixa direcció que Dr W. El vector velocitat instantània és tangent a la trajectòria en aquest punt. W v W vm, 4 W vm, 3 W vm, 2 W vm, 1 X Y A W r1 W r2 W r3 W r4 W rA R E C O R D A La derivada En matemàtiques hi ha un procediment basat a calcular un quocient quan el denominador es va fent cada vegada més i més petit. És la funció derivada. Es diu que W v és el límit de la velocitat mitjana quan Dt tendeix a zero (Dt " 0) i s’escriu: v W = lím Dt"0 D r W Dt = d r W d t Essent D r W= r W( t + Dt ) - r W( t ). E X E M P L E R E S O LT 5 Calcula la velocitat en l’instant t = 5 s d’un vehicle el vector de posició del qual és W r (t ) = 2 ? t 2 W j m. Fent la derivada, el límit del vector de posició enfront del temps, trobaràs la velocitat instantània per a cada instant: v W = d r W d t = lím Dt"0 Dr W Dt = lím Dt"0 2 ? (t + Dt)2 W j - 2 ? t 2 W j Dt v W = lím Dt"0 (2 ? t 2 + 4 ? t ? Dt + 2 ? Dt 2) W j - 2 ? t 2 W j Dt v W = lím Dt"0 (4 ? t + 2 ? Dt) ? Dt W j Dt = lím Dt"0 (4 ? t + 2 ? Dt) W j = 4 ? t W j s m Substitueix el valor del temps en l’instant que interessa, t = 5 s: v W(t = 5 s) = 4 ? 5 W j m/s = 20 W j m/s 1 31
RkJQdWJsaXNoZXIy