1 Calcular la velocitat mitjana i l’acceleració mitjana d’un mòbil El vector de posició d’una partícula ve donat per aquesta expressió: W r (t ) = 3 ? t W i + t 2 W j (en metres) a) Calcula el mòdul del vector velocitat mitjana des que comença a moure’s fins que han passat 5 s. b) Calcula el mòdul del vector acceleració mitjana en el mateix interval de temps. 1. Comprèn l’enunciat. Dades conegudes Resultats a obtenir ● Vector de posició W r en funció del temps. ● Instants inicial t = 0 s i final t = 5 s. ● Vector W vm entre t = 0 s i t = 5 s. ● Vector W am entre t = 0 s i t = 5 s. A p a r t a t A Per calcular W vm cal conèixer com varia el vector W r (t). 2. Calcula W r (t) per als instants indicats. Substitueix per als instants assenyalats: W r (t) = 3 ? t W i + t2 W j ● Instant inicial, t = 0 s: W r (t = 0 s) = 3 ? 0 W i + 02 W j = 0 W i + 0 W j m És a dir, la partícula parteix de l’origen de coordenades. ● Instant final, t = 5 s: W r (t = 5 s) = 3 ? 5 W i + 52 W j = 15 W i + 25 W j m 3. Determina el valor de DW r . A partir del valor de W r en t = 0 i t = 5 s. DW r = W r (t = 5 s) - W r (t = 0 s) DW r = (15 W i + 25 W j ) - (0 W i + 0 W j ) DW r = 15 W i + 25 W j m 4. Determina la velocitat mitjana, W vm. Se sap que Dt = 5 s - 0 s = 5 s. A partir de la definició de velocitat mitjana: W vm = DW r Dt = 15 W i + 25 W j m 5 s = 15 W i 5 + 25 W j 5 m s W vm = 3 W i + 5 W j m/s 5. Calcula el mòdul de la velocitat mitjana. A partir del vector W vm i aplicant el teorema de Pitàgores: ;W vm; = ;3 W i + 5 W j ; ;W vm; 3 5 9 25 34 m/s 2 2 = + = + = ;W vm; c 5,83 m/s A p a r t a t B Per calcular W am cal conèixer com varia el vector W v (t). 6. Expressa W v en funció del temps. Segons la definició de la velocitat instantània: W v = lím Dt"0 DW r Dt Opera: W v = lím Dt"0 DW r Dt = lím Dt"0 W r (t + Dt) - W r (t) Dt W v = lím Dt"0 [3 (t + Dt) W i + (t + Dt)2 W j ] - [3 t W i + t2 W j ] Dt W v = lím Dt"0 3 Dt W i + 2 ? t ? Dt W j + Dt ? Dt W j Dt W v =lím Dt"0 (3 W i + 2 ? t W j + Dt W j ) W v = 3 W i + 2 ? t W j + 0 W j = 3 W i + 2 ? t W j m/s 7. Determina W v (t) per als instants indicats. Substitueix per a t = 0 s i t = 5 s: W v (t ) = 3 W i + 2 ? t W j ● Instant inicial, t = 0 s: W v (t = 0 s) = 3 W i + 2 ? 0 W j = 3 W i m/s ● Instant final, t = 5 s: W v (t = 5 s) = 3 W i + 2 ? 5 W j = 3 W i + 10 W j m/s 8. Calcula el vector W am. A partir de la seva definició: am = W vfinal - W vinicial Dt = (3 W i + 10 W j ) - (3 W i ) 5 - 0 = 2 W j s m 2 9. Calcula el mòdul del vector W am. Com que el vector W am només té una component, el mòdul és 2 m/s2. 10. Avalua el resultat. El vector W vm té una component en l’eix horitzontal que no depèn del temps; és constant. Tot i així, com que la component vertical sí que depèn del temps, hi haurà una acceleració. El mòbil porta una trajectòria curvilínia. S O L U C I Ó 35
RkJQdWJsaXNoZXIy