3.1. Tir parabòlic senzill Les condicions del tir parabòlic senzill són: altura inicial nul·la, y0 = 0; velocitat inicial amb angle positiu, a > 0 o v0y > 0; i altura final nul·la, yfinal = 0. Triem el sistema de referència x0 = 0. També considerem negligible el fregament amb l’aire. En substituir a les equacions del moviment: Component horitzontal (MRU) Component vertical (MRUA) Posició x = v0 ? cos a ? t ? ? ? ? y v t g t 2 1 sina 0 2 = - Velocitat vx = v0 ? cos a vy = v0 ? sin a - g ? t Temps de vol Quan el projectil torna a arribar a terra es compleix yfinal = 0 en la segona component de la posició. Per trobar el temps que triga a recórrer la trajectòria, partim de l’equació de la component de la posició a la component vertical. D’aquí, substituïm i aïllem el temps: ? ? ? ? ? ? ? ? y v t g t v t g t 2 1 0 2 1 s n s n i i a a 0 2 0 2 = - = - & Es tracta d’una equació de segon grau amb la incògnita a la variable t: ? ? ? ? ? ? v g t t t t g v 0 2 1 0 2 s n s n i i a a 0 1 2 0 = - = = & d n * La primera solució es correspon amb l’instant inicial: coincideix amb la condició d’altura inicial nul·la, y0 = 0. La segona solució és la que busquem, el temps de vol: ? ? a t g v 2 sin vol 0 = Abast màxim L’abast màxim és la distància horitzontal que recorre després del vol, xmàx. El podem calcular tot substituint el temps de vol a l’equació de la posició a la component horitzontal: ? ? ? ? ? ? ? ? ? x v t v g v g v 2 2 cos cos s n s n cos i i a a a a a màx vol 0 0 0 0 2 = = = Obtenim l’expressió per calcular l’abast màxim: ? a x g v i s n 2 màx 0 2 = Per a una mateixa velocitat inicial v0 podem aconseguir diferents abastos en variar l’angle a. Amb l’angle de 45°, s’aconsegueix el màxim abast per a una mateixa velocitat, perquè sin (2 ? 45°) = sin 90° = 1, valor màxim del sinus. Per a angles complementaris, s’aconsegueix el mateix abast, perquè: sin 2 (90° - a) = sin (180° - 2a) = sin 2a. Es pot comprovar que aconseguim el mateix abast amb a = 30° i a = 60°, per exemple. Quan cau al terra, yfinal = 0. Y X yfinal = 0 L’abast màxim depèn de l’angle a i de la velocitat inicial v0. Y X xmáx F F R E C O R D A ● Sinus de l’angle doble: sin 2a = 2 ? sin a ? cos a ● Simetria entre suplementaris: sin (180° - a) = sin a 3. Moviment parabòlic 62 253052 DEMO FisQ_1BTX U2 p048a79.indd 62 5/4/22 10:54 E X E M P L E R E S O LT 1 2 En l’instant t1 = 0 h 47 min 27 s, la posició d’un cos és W r 1 = 2 W i + 6 W j - 3 W k m. Una dècima de segon després, en t2 = 0 h 47 min 27,1 s, la posició és W r 2 = 2,2 W i + 5,9 W j - 3,3 W k m. a) Calcula el vector desplaçament, DW r . b) Calcula el vector velocitat mitjana, W vm. a) Per calcular el vector desplaçament cal fer la diferència entre la posició inicial i final: DW r = W r2 - W r1 DW r = (2,2 W i + 5,9 W j - 3,3 W k ) m - (2 W i + 6 W j - 3 W k ) m DW r = 0,2 W i - 0,1 W j - 0,3 W k m El mòdul d’aquest vector desplaçament és: ;DW r ;= , ( , ) ( , ) 0 2 0 1 0 3 2 2 2 + - + - m c 0,37 m b) Per calcular el vector velocitat mitjana: W vm = DW r Dt Necessites el vector desplaçament, ja calculat en l’apartat anterior, i el lapse de temps: Dt = t2 - t1 Dt = (0 h 47 min 27,1 s) - (0 h 47 min 27 s) = 0,1 s Substitueix: W vm = 0,2 W i - 0,1 W j - 0,3 W k m 0,1 s = W vm = 2 W i - 1 W j - 3 W k m/s El mòdul d’aquest vector velocitat mitjana és: ;DW vm; = ( ) ( ) 2 1 3 2 2 2 + - + - m . 3,7 m/s 26 Com és el vector velocitat mitjana per a una volta completa de qualsevol trajectòria tancada? ¿Depèn del sistema de referència? ¿Diu el primer resultat alguna cosa sobre el valor de la velocitat mitjana? 27 Com es mou un cos si la velocitat mitjana i la instantània són iguals en tot moment? 28 Serviria de res parlar de les components tangencial i normal de la velocitat? 29 L’Alícia diu que ha vist moure’s un avió en línia recta a 980 km/h. En Benet, per la seva banda, sosté que l’avió estava immòbil. És possible que es refereixin al mateix avió? Com? 30 La guanyadora d’una cursa ciclista recorre els últims 10 m en 0,72 s. a) Quina és la seva velocitat mitjana en aquest tram? b) Expressa-la en les unitats més comunes, km/h. Solució: a) 13, = 8 m/s; b) 50 km/h 31 Un penya-segat ens torna eco retardant la nostra veu en 0,4 s. Si sabem que la velocitat del so és de 340 m/s, a quina distància es troba el penya-segat? Solució: 68 m 32 Se sol triar la superfície de la Terra com a sistema de referència fix respecte al qual mesurar, però ¿està realment quieta la Terra? a) Calcula la velocitat amb què es mou un punt de l’equador en el seu gir al voltant de l’eix. b) Calcula la velocitat de translació de la Terra al voltant del Sol, sabent que un raig de llum des del Sol a la Terra triga aproximadament 8 minuts i 19 segons. c) Com és possible que anem a aquesta velocitat sense assabentar-nos-en? Dades: radi equatorial de la Terra: 6.378 km; vllum = 299.792 km/s; 1 any = 365,25 dies; 1 dia = 24 h. Solució: a) 1670 km/h; b) 1,07 ? 105 km/h 33 Per al mateix vehicle teledirigit de l’exercici 23: C (0, 750) 900 600 300 300 900 1.500 2.100 0 Y X D (1.200, 750) B (0, 300) A (450, 150) a) Calcula el vector velocitat mitjana i el seu mòdul per a cada tram sabent que els temps emprats a recórrer cada tram són: de A a B 15 min, de B a C 40 min i de C a D 28 min. b) Calcula la velocitat i el vector velocitat mitjana totals. Solució: a) W vAB = -0,5 W i + 0,1 = 6 W j m/s, vAB = 0,527 m/s; W vBC = 0,1875 W j m/s, vBC = 0,1875 m/s; W vCD = 0,714 W i m/s, vCD = 0,714 m/s; b) W vtotal = 0,15 W i + 0,12 W j m/s, vtotal = 0,427 m/s. 34 Després del llançament d’una falta, la posició d’una pilota de futbol, mesurada des del punt on es xuta, canvia des de 5 W i + 2 W j + 3 W k m fins a 5,3 W i + 1,8 W j + + 3,1 W k m en un interval de temps Dt = 0,02 s. Escriu el vector velocitat de la pilota durant aquest interval i calcula’n el mòdul. Solució: 15 W i - 10 W j + 5 W k m/s; 18,7 m/s . 67 km/h 35 Un protó viatja amb una velocitat (3 W i + 2 W j - 4 W k ) ? 105 m/s i passa per l’origen de coordenades en t = 9,0 s. a) Quin és el mòdul de la velocitat en l’origen? b) Quin valor podem donar per a la seva posició en t = 9,7 s? c) Has hagut de fer alguna suposició per calcular la posició? Solució: a) v = 5,39 ? 105 m/s; b) W r = (2,1 W i + 1,4 W j - 2,8 W k ) ? 105 m 36 Calcula la velocitat en l’instant t = 2 s d’un mòbil el vector de posició del qual és W r (t) = (4 ? t - 4 ? t 2) W i m. Solució: -12 W i m/s activitats finals 0 42 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 42 5/4/22 11:10 4.1. Components intrínseques de l’acceleració En variar el vector velocitat , en pot canviar el mòdul o la direcció. Per això definim: ● Acceleració tangencial, a WT: quan canvia el mòdul de la velocitat. ● Acceleració normal, a WN: quan canvia la direcció de la velocitat. Components de la velocitat Podem expressar el vector velocitat així: v W = v ? u WT on W uT és un vector de mòdul u amb direcció tangent a la trajectòria. Aleshores: a W = d v W d t = d (v ? u WT) d t Derivem segons la regla del producte: a W = d v d t ? u WT + v ? d u WT d t = W aT + W aN Veiem que W aT té la mateixa direcció que el vector W uT. W aN és perpendicular a W aT. W aN W aT L’acceleració tangencial En el llenguatge comú anomenem acceleració a l’acceleració tangencial. Acceleració tangencial L’acceleració tangencial indica com canvia el mòdul de la velocitat amb el temps. a WT = lím Dt"0 Dv Dt ? W uT L’acceleració tangencial és un vector que té la mateixa direcció que el vector velocitat. ● Té el mateix sentit del moviment si el mòdul de la velocitat augmenta. ● Té el sentit contrari al moviment si el mòdul de la velocitat disminueix. L’acceleració normal Una moto agafa un revolt mantenint constant el mòdul del vector velocitat (70 km/h). En aquest cas, la direcció del vector velocitat canvia contínuament, però el mòdul no varia; és a dir, l’acceleració tangencial és zero. ;W v1; = ;W v2; = 70 km/h W v2 W v1 Com que varia la direcció del vector velocitat, existeix una acceleració anomenada acceleració normal o centrípeta, W aN. Sempre amb ;W v ; constant. W aN = W v2 - W v1 t S’anomena acceleració centrípeta perquè el vector W aN va dirigit cap al centre del revolt. 1 ● La direcció de l’acceleració normal. Prenent un interval de temps molt petit, podem veure que W aN apunta cap al centre de la circumferència (o el centre de curvatura). Per aquesta raó, l’acceleració normal és també un vector la direcció del qual és la mateixa que el radi de curvatura. L’acceleració normal té la direcció del radi de curvatura i el sentit cap al centre de la corba. ● El mòdul de l’acceleració normal. En el valor de l ’acceleració normal de la moto que agafa un revolt només influeixen el mòdul de la velocitat, ;W v ;, de la moto i R, el radi del revolt. Com més ràpid vagi la moto i com més tancat sigui el revolt, més intensa és l’acceleració normal. Acceleració normal Aquesta expressió permet calcular el mòdul de l’acceleració normal: a R v2 N = En calcular DW v = W v2 - W v1 observem que apunta cap al centre de la circumferència. Per tant, l’acceleració normal també ho fa. Per això s’anomena acceleració centrípeta. W v1 DW v W v2 W r2 W r1 W v 2 E X E M P L E R E S O LT 8 Com es modifica el valor de l’acceleració normal quan la velocitat es triplica sense modificar el radi de la trajectòria? Com que aN depèn del quadrat de la velocitat, esdevé nou vegades més gran. En efecte: ? ? ( ) ( ) a a R v R v v v v v 3 9 9 a aN, , , , 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 N N 2 N 2 1 = = = = = & f f p p aN,1 i aN,2 són les acceleracions corresponents a les velocitats v1 i v2, respectivament. 15 Imagina que et porten amb cotxe per un revolt amb forma d’arc de circumferència amb velocitat constant. Com que t’han embenat els ulls i tapat les orelles, només pots notar que t’estàs movent perquè hi ha acceleració (si el moviment fos uniforme i en línia recta, no te n’adonaries). a) De quins factors depèn que notis més o menys que el cotxe està agafant un revolt? O, altrament dit, de què depèn l’acceleració normal d’aquest moviment circular uniforme? b) Quines magnituds físiques relacionades amb la trajectòria i la forma de recórrer‐la influeixen en el fet que es noti més el canvi de direcció? 16 Quin factor influeix més en aN, la velocitat o el radi de la corba? Suposa que decideixes duplicar la teva velocitat en un revolt (de v a 2 ? v) i, per compensar, demanes al Ministeri de Foment que faci el revolt més obert, duplicant-ne també el radi (de R a 2 ? R). a) Calcula l’expressió del mòdul de l’acceleració normal abans i després de duplicar la velocitat. b) Troba els valors numèrics de aN per a un revolt de 20 m de radi agafat a 60 km/h. c) Esbrina el valor de aN per a un altre revolt de 40 m de radi que s’agafa a una velocitat de 120 km/h. Compara els resultats amb els obtinguts en l’apartat anterior. Solució: b) 13,8 ! m/s2 ; c) 27,7 ! m/s2 A C T I V I T A T S 37 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 37 5/4/22 10:56 LA POSICIÓ Podem situar un mòbil indicant-ne la posició al llarg de la trajectòria. La trajectòria és el conjunt de punts pels quals passa l’objecte (punt material). Un sistema de referència (o de coordenades) proporciona una manera de situar un punt qualsevol respecte a un altre que hàgim establert prèviament i que serveix de referència. El vector de posició en l’instant t, W r (t), es representa mitjançant una fletxa que va des de l’origen de coordenades, O, fins a la posició del punt. W r (t) determina la posició segons el temps. Definim el vector desplaçament entre dos punts, P i Q, els vectors de posició dels quals són W r1 i W r2, com la diferència entre aquests dos vectors, així: DW r = W r2 - W r1 D r W W r2 Q W r1 P Y X LA VELOCITAT La velocitat mitjana per a un recorregut entre els punts P1 i P2 iniciat en el temps t1 i finalitzat en t2 és: Velocitat mitjana vm = Ds Dt = s2 - s1 t2 - t1 v Wm = DW r Dt = W r2 - W r1 t2 - t1 Escalar Vectorial La velocitat instantània per a un recorregut entre els punts P1 i P2 en l’interval de temps Dt serà: v W = DW r Dt , quan Dt és «molt petit». El moviment és relatiu, depèn del sistema de referència que es faci servir per mesurar. Sovint se sol escollir com a sistema de referència la superfície de la Terra. L’ACCELERACIÓ L’acceleració mitjana es defineix com la variació de la velocitat respecte al temps: W a = DW v Dt = W v2 - W v1 t2 - t1 L’acceleració instantània és el límit quan Dt " 0 del quocient entre el vector velocitat i l’increment del temps. W a = DW v Dt , quan Dt és «molt petit». Acceleració Quan canvia el mòdul de la velocitat. aT = Ds Dt Quan Dt és «molt petit». (Tangent a la trajectòria). a R v2 N = (Dirigida cap al centre de curvatura de la trajectòria). Quan canvia la direcció de la velocitat. Acceleració tangencial Acceleració normal o centrípeta Les components de l’acceleració també són vectors: W a = W aT + W aN ; a a a 2 2 T N = + W aT W aN W a L’acceleració relativa a un observador en moviment si el sistema de referència mòbil de l’observador està accelerat és: W arel = W aobj - W asis El sistema de referència inercial és aquell en què W asis = 0. El sistema de referència no inercial és aquell en què W asis ! 0. Classificació dels moviments segons la seva acceleració: )v = ct. a W = 0 MRU )aN = ct. ! 0 aT = 0 MCU )aN = 0 aT = ct. ) aN ! 0 aT = ct. MRUA MCUA Controls de velocitat per tram Per millorar la seguretat dels conductors i les conductores, la Direcció General de Trànsit ha situat radars fixos per les carreteres. Aquests aparells mesuren directament la velocitat de l’automòbil. Però és una mesura puntua l . Un vehi c l e pot c i rcul ar a una velocitat més gran que la permesa, alentir la marxa just abans d’arribar al radar per no ser sancionat i tornar a circular després a una velocitat superior al límit legal. El s controls per tram pretenen dur a terme un control més exhaustiu, ja que no mesuren la velocitat en un instant, com els radars fixos, sinó la velocitat mitjana dels vehicles durant un tram, que pot ser de diversos quilòmetres. Així, si un vehicle circula amb una velocitat mitjana més gran que la permesa, serà sancionat. En l’esquema següent es mostra com funcionen aquests controls de velocitat per tram. Especialista en aeronàutica Què fan? Els especialistes en enginyeria aeronàutica s’ocupen de dissenyar i fabricar aeronaus i sondes espacials. També s’ocupen de controlar-ne el funcionament i posar en pràctica les operacions de manteniment necessàries. Així mateix, analitzen l’impacte ambiental de les seves actuacions. Com ho fan? Analitzen el moviment de les aeronaus en l’atmosfera tenint en compte, per exemple, la resistència de l’aire o les característiques dels materials i els combustibles utilitzats pels motors. Utilitzen les matemàtiques i la física constantment en els seus càlculs, i l’idioma anglès és essencial en molts projectes, ja que sovint impliquen personal de diferents països. 1 P E R F I L P R O F E S S I O N A L En aquest exemple el límit de velocitat és de 120 km/h i la distància que abraça el tram és de 5 km. Els vehicles que recorrin aquest tram en menys de 150 s seran sancionats. En el segon control es registra l’instant de pas de cada vehicle i s’envia al control central. En el primer control, identificant la matrícula de cada vehicle, es registra l’instant de pas i s’envia al control central. En el control central s’ordenen les dades rebudes segons les matrícules. S’efectuen les operacions que s’indiquen més avall. Si és el cas, d’una manera automàtica es tramita la sanció. (vmitjana > vpermesa) & Sanció v t t temp emp a longitud del tram longitud del tram s r t mi a final inicial tjan = = - 150 s Els controls per tram, a més d’informar de quin és el límit de velocitat, estan identificats amb aquest senyal. Por su seguridad Control de velocidad en tramo A B C R E C O R D O E L Q U E H E A P R È S A P L I C O E L Q U E H E A P R È S 47 46 253052 DEMO FisQ_1BTX U1 p020a47.indd 46-47 5/4/22 10:58 Al llarg de tota la unitat s’inclouen nombrosos exemples resolts, numèrics o no, que ajuden a posar en pràctica els conceptes exposats. En el material digital de suport trobaràs animacions que faciliten l’assimilació dels continguts. Les activitats acompanyen el treball dels continguts propers. Les activitats finals afermen els continguts i permeten relacionar uns coneixements amb altres i elaborar una anàlisi més profunda. Després de les activitats finals, un resum recopila els continguts més rellevants que s’acaben d’estudiar. La secció Perfil professional presenta algunes professions relacionades amb els continguts de la unitat. En la secció Aplico el que he après s’inclouen continguts pràctics relacionats amb la unitat. 5
RkJQdWJsaXNoZXIy