Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Mª Encarnación Almécija Mar tínez Silvia Marín García Alber to César Barbero María Magdalena Moyano de la Cruz José Emilio Bascuñana Fernández Carlos Pérez Saavedra María Isabel Bascuñana Gallego Juan Miguel Ribera Puchades José Carlos Gámez Pérez Federico Rodríguez Merinero Ana Gaztelu Villorria Domingo Sánchez Figueroa Queralt Gonfaus Saumell José María Vázquez de la Torre EDICIÓN Ana de la Cruz Fayos Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno. 1 E S O Matema´ ticas
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 1 Divisibilidad 9 1. Potencias. Operaciones con potencias _ 10 2. Divisibilidad de números naturales _ 12 3. Múltiplos de un número _ 13 4. Divisores de un número _ 14 5. Números primos y compuestos _ 16 6. D escomposición en factores _ 18 7. Máximo común divisor _ 20 8. Mínimo común múltiplo _ 22 2 Números enteros 33 1. Números enteros _ 34 2. Comparación de números enteros _ 36 3. Suma y resta de dos números enteros _ 38 4. Suma y resta de varios números enteros _ 39 5. Multiplicación y división de números enteros _ 42 6. Potencias de números enteros _ 44 7. Raíz cuadrada de números enteros _ 46 8. O peraciones combinadas de números enteros _ 48 3 Fracciones 59 1. Fracciones _ 60 2. Fracciones propias e impropias _ 61 3. Fracciones equivalentes _ 62 4. Comparación de fracciones _ 66 5. Suma y resta de fracciones _ 68 6. Multiplicación de fracciones _ 70 7. División de fracciones _ 71 8. Operaciones combinadas con fracciones _ 72 4 Números decimales 83 1. Números decimales _ 84 2. Comparación de números decimales _ 86 3. Aproximación de números decimales _ 88 4. M ultiplicación y división por la unidad seguida de ceros _ 89 5. S uma, resta y multiplicación de números decimales _ 90 6. D ivisión de números decimales _ 92 7. E xpresión de una fracción como un número decimal _ 96 8. C lasificación de números decimales _ 97 5 Álgebra 105 1. Expresiones algebraicas _ 106 2. Monomios _ 108 3. Polinomios. Operaciones _ 110 4. Ecuaciones _ 112 5. Elementos de una ecuación _ 113 6. Ecuaciones equivalentes _ 114 7. Resolución de ecuaciones de primer grado _ 115 8. Resolución de problemas con ecuaciones _ 118 6 Proporcionalidad y porcentajes 129 1. Razón y proporción _ 130 2. Magnitudes directamente proporcionales _ 132 3. Problemas de proporcionalidad directa _ 134 4. Repartos directamente proporcionales _ 136 5. Porcentajes _ 138 6. Problemas con porcentajes _ 139 7. Aumentos y disminuciones porcentuales _ 142 2
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se calculan todos los divisores de un número • Cómo se determina si un número es primo • Cómo se factorizan números naturales • Cómo se resuelven problemas de máximo común divisor • Cómo se resuelven problemas de mínimo común múltiplo • Cómo se calcula una cifra de un número para que sea divisible por otro MATEMÁTICAS Y… • Biología • Redes sociales • Fútbol • Consumo • Construcción FAKE NEWS. Análisis de noticias ¿Qué hago con las salchichas que me sobran? (Comparación de los empaquetados de ciertos productos que compramos en los supermercados) • Cómo se ordenan números enteros • Cómo se suman y restan varios números enteros • Cómo se realizan sumas y restas con paréntesis • Cómo se multiplican y dividen varios números enteros • Cómo se calcula el valor de la potencia de un número entero • Cómo se calcula la raíz cuadrada de un número entero • Cómo se realizan operaciones combinadas con corchetes • Cómo se resuelven sumas y restas de números enteros eliminando paréntesis MATEMÁTICAS Y… • Climatología • Historia • Electrodomésticos • Medicina • Finanzas FAKE NEWS. Análisis de datos ¡Canasta! (Estudio sobre la efectividad en las puntuaciones en el baloncesto) • Cómo se reducen fracciones a común denominador • Cómo se calcula la fracción irreducible • Cómo se comparan fracciones • Cómo se resuelven operaciones combinadas de suma y resta de fracciones • Cómo se resuelven operaciones combinadas con fracciones • Cómo se representa una fracción en la recta numérica • Cómo se calcula una parte del total MATEMÁTICAS Y… • Deporte • Naturaleza • Música • Cocina FAKE NEWS. Reflexión crítica sobre la población mundial ¡Si lo sé hago puré! (Cálculo de cantidades para realizar recetas de cocina) • Cómo se representan números decimales en la recta numérica • Cómo se ordenan números decimales • Cómo se resuelven operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación con números decimales • Cómo se obtienen cifras decimales en un cociente MATEMÁTICAS Y… • Construcción • Medioambiente • Astronomía • Consumo FAKE NEWS. Búsqueda de datos incoherentes ¿Un segundo dura siempre lo mismo? (Investigación sobre la utilidad relativa de la medida del tiempo en distintos deportes) • Cómo se calcula el valor numérico de una expresión algebraica • Cómo se suman y restan monomios • Cómo se suman y restan polinomios • Cómo se resuelven ecuaciones con paréntesis • Cómo se resuelven ecuaciones con denominadores • Cómo se resuelven problemas mediante ecuaciones • Cómo se resuelven ecuaciones con un solo denominador MATEMÁTICAS Y… • Deporte • Nutrición • Naturaleza FAKE NEWS. Análisis de ofertas. Educación financiera ¡Tres piezas al día dan alegría! (Resolución de problemas de consumo) • Cómo se calcula el término desconocido en una proporción • Cómo se averigua si dos magnitudes son directamente proporcionales • Cómo se resuelven problemas de proporcionalidad directa mediante una regla de tres • Cómo se realizan repartos directamente proporcionales • Cómo se resuelven problemas de porcentajes mediante una regla de tres • Cómo se calculan aumentos y disminuciones porcentuales • Cómo se calcula la cantidad repartida sabiendo una parte MATEMÁTICAS Y… • Economía • Vida saludable • Sociedad • Monedas FAKE NEWS. Análisis de ofertas. Educación financiera Espera o… desespera (Estudio del funcionamiento de algunos medios de comunicación) 3
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 7 Rectas y ángulos 153 1. Rectas _ 154 2. Semirrectas y segmentos _ 156 3. Ángulos _ 158 4. Posiciones relativas de ángulos _ 160 5. Polígonos _ 162 6. Ángulos en los polígonos _ 164 8 Triángulos 173 1. Triángulos _ 174 2. R elaciones entre los elementos de un triángulo _ 176 3. Rectas y puntos notables en el triángulo _ 180 4. Teorema de Pitágoras _ 182 9 Cuadriláteros y circunferencia 195 1. Cuadriláteros _ 196 2. Propiedades de los paralelogramos _ 198 3. Polígonos regulares _ 200 4. Circunferencia _ 202 5. Posiciones relativas _ 204 6. Círculo _ 207 10 Perímetros y áreas 215 1. Perímetro de un polígono _ 216 2. Longitud de la circunferencia _ 217 3. Área de los paralelogramos _ 218 4. Área de un triángulo _ 221 5. Área de un trapecio _ 224 6. Área de un polígono regular _ 226 7. Área del círculo _ 228 11 Funciones 239 1. Coordenadas cartesianas _ 240 2. Concepto de función _ 244 3. Expresión de una función mediante una tabla _ 245 4. E xpresión de una función mediante una ecuación _ 246 5. E xpresión de una función mediante una gráfica _ 248 6. Interpretación de gráficas _ 250 7. Funciones de proporcionalidad directa _ 252 12 Estadística y probabilidad 263 1. Población y muestra _ 264 2. Variables estadísticas _ 265 3. Frecuencias. Tablas de frecuencias _ 266 4. Gráficos estadísticos _ 268 5. Medidas estadísticas _ 272 6. Experimentos aleatorios _ 273 7. Probabilidad _ 274 4
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se trazan rectas paralelas y perpendiculares a una recta que pasan por un punto • Cómo se traza la mediatriz de un segmento • Cómo se traza la bisectriz de un ángulo • Cómo se calcula la medida de los ángulos de un polígono • Cómo se determinan los ejes de simetría de un polígono MATEMÁTICAS Y… • Yoga • Videojuegos • Televisión • Arquitectura FAKE NEWS. Análisis de gráficos ¿Qué pinto yo aquí? (Examen de obras artísticas y la utilización de las formas geométricas) • Cómo se dibuja un triángulo conocida la medida de sus lados • Cómo se construye un triángulo conocidos un lado y sus ángulos contiguos • Cómo se construye un triángulo conocidos dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos • Cómo se determina si un triángulo es rectángulo • Cómo se determina un lado desconocido en un triángulo rectángulo • Cómo se resuelven problemas mediante el teorema de Pitágoras • Cómo se dibuja un triángulo conociendo uno de sus lados y dos ángulos, uno de ellos no contiguo MATEMÁTICAS Y… • Telefonía • Construcción • Tecnología • Deporte FAKE NEWS. Estudio de ciertas propiedades de los triángulos Los triángulos del fútbol (Análisis de distintas estrategias para jugar al fútbol ) • Cómo se construyen paralelogramos • Cómo se calculan elementos de un cuadrilátero utilizando el teorema de Pitágoras • Cómo se calcula la apotema de un polígono regular utilizando el teorema de Pitágoras • Cómo se dibuja una circunferencia que pasa por tres puntos • Cómo se construyen polígonos regulares MATEMÁTICAS Y… • Tecnología • Astronomía FAKE NEWS. Análisis de los datos necesarios para determinar cuadriláteros Otra vuelta de tuerca (Estudio de las propiedades de la circunferencia) • Cómo se calcula el área de un paralelogramo utilizando el teorema de Pitágoras • Cómo se calcula el área de un triángulo rectángulo • Cómo se calcula el área de un triángulo equilátero o isósceles • Cómo se calcula el área de un trapecio utilizando el teorema de Pitágoras • Cómo se calcula el área de un polígono regular utilizando el teorema de Pitágoras • Cómo se calcula el área de una figura plana • Cómo se calcula la altura de un triángulo conociendo su base y su área MATEMÁTICAS Y… • Ajedrez • Arquitectura • Automovilismo • Monedas FAKE NEWS. Cálculo de áreas en representaciones gráficas La casa de las ventanas azules (Elaboración de un presupuesto a partir del cálculo de áreas) • Cómo se calculan las coordenadas de un punto • Cómo se determina si un punto pertenece a una función • Cómo se representa gráficamente una función • Cómo se representa gráficamente un enunciado • Cómo se representan funciones de proporcionalidad directa • Cómo se obtiene una tabla de valores a partir de la expresión algebraica • Cómo se determina si una gráfica corresponde a una función MATEMÁTICAS Y… • Medicina • Economía • Teléfonos móviles FAKE NEWS. Educación financiera Quien mueve las piernas mueve el corazón (Estudio gráfico de precios) • Cómo se construyen tablas de frecuencias • Cómo se construye un diagrama de barras y su polígono de frecuencia • Cómo se construye un diagrama de sectores • Cómo se calculan probabilidades utilizando la regla de Laplace • Cómo se calcula el tanto por ciento que representa un dato MATEMÁTICAS Y… • Ecología • Nutrición • Seguridad vial FAKE NEWS. Análisis estadísticos en medios de comunicación Los mitos de la lotería de Navidad (Investigación de la veracidad de algunas opiniones sobre la lotería) 5
6 Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Afianza esos saberes mediante los EJEMPLOS incluidos para cada contenido. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL aprendiendo, paso a paso, las destrezas básicas. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Pon a prueba tus conocimientos y ayúdate de tu razonamiento matemático para resolver el RETO. ¡Llegarás a resultados inesperados! Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: JUEGOS, INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver estas actividades mediante CÁLCULO MENTAL, utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Aprende a partir de textos claros y estructurados. Recuerda los contenidos que ya sabes y que te serán útiles para la unidad. Evalúa esos conocimientos resolviendo las actividades propuestas.
7 PASA A LA ACCIÓN: SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 5 EVALÚA LO QUE HAS APRENDIDO: AUTOEVALUACIÓN 6 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones generalizadas en nuestro mundo. Repasa los saberes básicos de la unidad. Evalúa lo que has aprendido resolviendo las actividades que se proponen en la AUTOEVALUACIÓN. Identifica y gestiona tus emociones aceptando el error como parte de tu aprendizaje. Comprende y analiza con sentido crítico situaciones reales en los contenidos que has aprendido para abordarlas de manera global.
Cómo se realiza la prueba de la división En una división siempre se cumple que: Dividendo divisor resto cociente F Dividendo = divisor ? cociente + resto D = d · c + r y r < d E J E M P LO Comprueba si se cumple la prueba de estas divisiones. 57 5 2 11 F D = 57, d = 5, c = 11, r = 2 57 = 5 ? 11 + 2 = 55 + 2 = 57 y 2 < 5 89 17 21 4 F D = 89, d = 17, c = 4, r = 21 89 = 17 ? 4 + 21 No se cumple, porque 21 > 17. A C T I V I D A D E S 2 Localiza la división que tiene algún error. a) 75 9 3 8 b) 43 5 3 8 c) 92 12 8 7 d) 61 6 7 9 Cuándo una división es exacta • Una división es exacta si el resto de la división es cero. • Una división es entera si el resto es distinto de cero. E J E M P LO Decide si estas divisiones son exactas o no. a) 27 3 0 9 El resto de la división es cero. La división es exacta. b) 29 3 2 9 El resto de la división es distinto de cero. La división es entera. A C T I V I D A D E S 1 Señala cuál de las siguientes divisiones es exacta. a) 35 : 4 c) 54 : 6 b) 93 : 9 d) 62 : 7 ¿Qué sabes ya? Divisibilidad 1 Creo que hoy no duermo ¿Cuánto tiempo crees que tardarías en contar en voz alta desde 1 hasta 100? ¿Y en contar desde 1 hasta 1 000 000? ¿Crees que si comienzas ahora mismo te dará tiempo a terminar antes de irte a acostar? D E SA F Í O 9
Una potencia es una forma de escribir una multiplicación de factores iguales. La base es el factor que se repite y el exponente es el número de veces que se repite la base. an = a ? a ? a ? a ? … ? a 1444442444443 n veces 1.1. Producto y cociente de potencias con la misma base 1.2. Potencias de exponente 1 y 0 Una potencia de exponente 1 es igual a la base: a1 = a. Una potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1: a0 = 1. E J E M P LO 1. Calcula estas operaciones. a) 63 ? 65 = (6 ? 6 ? 6) ? (6 ? 6 ? 6 ? 6 · 6) = 63 + 5 = 68 c) 54 ? 52 = (5 ? 5 ? 5 · 5) ? (5 ? 5) = 54 + 2 = 56 1442443 144444424444443 14444244443 123 3 veces 5 veces 4 veces 2 veces b) 45 : 42 = (4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4) : (4 ? 4) = 45 - 2 = 43 d) 75 : 73 = (7 ? 7 ? 7 ? 7 · 7) : (7 ? 7 ? 7) = 75 - 3 = 72 144444424444443 123 144444424444443 1442443 5 veces 2 veces 5 veces 3 veces E J E M P LO 2. Calcula. a) 61 = 6 c) 171 = 17 b) 50 = 1 d) 240 = 1 1. Potencias. Operaciones con potencias 1 Escribe el resultado de estos productos en forma de una sola potencia. a) 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 c) 10 ? 10 ? 10 ? 10 b) 3 ? 3 ? 3 d) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 2 Calcula y escribe como una sola potencia. a) 25 ? 24 d) 106 : 102 b) 37 ? 36 e) 87 : 83 c) 103 ? 100 f ) 65 : 6 3 Calcula las siguientes potencias. a) 30 b) 51 c) 01 4 ¿Cuántos huevos hay en 12 cajas con 12 hueveras de una docena cada una? Escríbelo en forma de potencia. 5 R E F L E X I O N A . Calcula el valor del triángulo y del rombo para que se cumplan las igualdades. a) 5m ? (56 : 52) = 57 b) (37 : 3r) ? 33 = 3r A C T I V I D A D E S Para multiplicar dos o más potencias con la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes. am ? an = am + n Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes. am : an = am - n No olvides comprobar antes de operar si las dos potencias tienen la misma base. F G 34 base exponente 10
1.3. Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. (am)n = am ? n E J E M P LO 3. Calcula. a) (54)2 = 54 ? 54 = 54 + 4 = 54 ? 2 = 58 b) (72)3 = 72 ? 72 ? 72 = 72 + 2 + 2 = 72 ? 3 = 76 1.4. Potencia de un producto y de un cociente La potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencias de sus factores. (a ? b)n = an ? bn La potencia de una división es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. (a : b)n = an : bn 1 6 Expresa en forma de una sola potencia. a) (32)6 c) (412)2 e) (69)4 b) (75)3 d) (53)6 f ) (123)0 7 Da el resultado como una sola potencia. a) 22 ? 32 c) 312 ? 412 e) 5 ? 5 ? 5 ? 3 ? 3 ? 3 b) 53 ? 73 d) 59 ? 69 f ) (7 ? 4)6 : (7 ? 4)3 8 Calcula para que se cumplan las igualdades. a) 5d ? 3d = 152 c) 76 ? 3d = d6 b) d3 : 43 = 3d d) 68 : dd = 28 9 REFLEXIONA. Completa para que sean ciertas las igualdades. a) (24)3 ? (33)d = d6 b) 34 ? d4 : d2 = 1 A C T I V I D A D E S E J E M P LO S 4. Expresa como producto o cociente de dos potencias. a) (6 ? 5)2 = (6 ? 5) ? (6 ? 5) = 6 ? 6 ? 5 ? 5 = 62 ? 52 b) (15 : 2)4 = (15 : 2) ? (15 : 2) ? (15 : 2) ? (15 : 2) = (15 ? 15 ? 15 ? 15) : (2 ? 2 ? 2 ? 2) = 154 : 24 5. Escribe como una sola potencia. a) 83 ? 53 = 8 ? 8 ? 8 ? 5 ? 5 ? 5 = (8 ? 5) ? (8 ? 5) ? (8 ? 5) = (8 ? 5)3 = 403 b) 165 : 85 = (16 ? 16 ? 16 ? 16 ? 16) : (8 ? 8 ? 8 ? 8 ? 8) = (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) = (16 : 8)5 = 25 Utilizando estas propiedades se pueden simplificar los cálculos. 54 ? 24 = (5 ? 2)4 = 104 63 : 23 = (6 : 2)3 = 33 R E T O ¿Cuál es el número más grande que se puede escribir con tres cifras? 11
2. Divisibilidad de números naturales E J E M P LO 6. Estudia si hay alguna relación de divisibilidad entre estos números. a) Entre 204 y 6. 204 6 24 34 0 La división es exacta porque el resto es 0. Dividendo = divisor ? cociente 204 = 6 ? 34 Decimos que: – 204 es divisible por 6. – 204 contiene exactamente 34 veces a 6. – Como 204 es divisible por 6, entre 204 y 6 existe una relación de divisibilidad. b) Entre 87 y 5. 87 5 37 17 2 La división no es exacta porque el resto es distinto de 0. Decimos que: – 87 no es divisible por 5. – 87 no contiene un número exacto de veces a 5. – Como 87 no es divisible por 5, entre 87 y 5 no existe relación de divisibilidad. 10 Indica, si existe, la relación de divisibilidad entre estos números. a) 5 y 25 d) 14 y 88 g) 17 y 357 b) 6 y 36 e) 13 y 91 h) 12 y 150 c) 7 y 47 f ) 80 y 81 i) 22 y 220 11 El número 504 contiene a algunos de estos números un número exacto de veces. ¿Cuáles son? a) 28 c) 63 e) 36 b) 49 d) 34 f ) 42 12 Ordena de menor a mayor los números que tengan una relación de divisibilidad con 900. a) 75 d) 27 g) 24 b) 8 e) 50 h) 36 c) 45 f ) 12 i) 180 13 REFLEXIONA. Si un número a contiene b veces a otro número c, ¿cuál de las igualdades que hay a continuación es cierta? a) c = a ? b b) b = a ? c c) a = b ? c A C T I V I D A D E S Cuando el mayor de dos números no es divisible por el menor, entre ambos no existe relación de divisibilidad. Un número es divisible por otro cuando la división entre ellos es exacta , es decir, su resto es 0. D es divisible por d. D contiene exactamente c veces a d. Si D es divisible por d, decimos que entre D y d existe una relación de divisibilidad. D d 0 c Dividendo divisor resto cociente R E T O Si soy un número, ¿los divisores de mis divisores son mis divisores? 12
E J E M P LO 7. Comprueba si 56 es múltiplo de 7. ¿Y de 6? 56 7 0 8 La división 56 : 7 es exacta. 56 es múltiplo de 7. " 56 es divisible por 7. 56 6 2 9 La división 56 : 6 no es exacta. 56 no es múltiplo de 6. " 56 no es divisible por 6. E J E M P LO S 8. Obtén los ocho primeros múltiplos de 7. {7 ? 1 , 7 ? 2, 7 ? 3, 7 ? 4, 7 ? 5, 7 ? 6, 7 ? 7, 7 ? 8} = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56} 9. Comprueba que 3 es múltiplo de sí mismo y de la unidad. 3 3 0 1 La división 3 : 3 es exacta. 3 es múltiplo de 3. 3 1 0 3 La división 3 : 1 es exacta. 3 es múltiplo de 1. 14 Copia y completa las frases para que sean ciertas. a) Como 48 : 3 es una división exacta, entonces 48 es … de 3. b) Como 102 : 8 no es una división exacta, entonces … c) Como 65 : 7 … d) Como 78 : 13 … e) Como 221 : 17 … 15 Calcula los cinco primeros múltiplos de 15. 16 Copia los múltiplos de 9 y los múltiplos de 6. ¿Qué números son múltiplos de ambos? a) 12 d) 297 g) 72 b) 260 e) 212 h) 216 c) 153 f ) 198 i) 318 17 REFLEXIONA. Explica si es verdadero o falso. a) Los múltiplos de un número son divisibles entre sí. b) Cualquier número es divisible por uno de sus múltiplos. A C T I V I D A D E S Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a es exacta . Si b es múltiplo de a, entonces b es divisible por a. Los múltiplos de un número natural se obtienen multiplicándolo por los sucesivos números naturales. Múltiplos de a " a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7… Esto lo escribimos así: a o = {a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7…} Es decir, el número de múltiplos de a es ilimitado. Además, cualquier número es múltiplo de sí mismo y de la unidad: a ? 1 = a. 3. Múltiplos de un número 1 R E T O ¿Cuál es el menor número que es múltiplo de tres números exactamente? S E E S C R I B E A S Í a o " Representa el conjunto de todos los múltiplos del número a. 3 o " Todos los múltiplos de 3. 12 o " Todos los múltiplos de 12. 13
Los div i sores de un número se obtienen div idiendo ese número entre los sucesivos números naturales hasta que el cocient e de la div i sión sea menor o igual que el div i sor. Es decir, el número de divisores de a es limitado. Además, cualquier número tiene como divisores a sí mismo y la unidad . Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta . Si a es divisor de b, entonces b es divisible por a. E J E M P LO S 10. Comprueba si 5 y 7 son divisores de 65. 65 5 15 13 0 La división 65 : 5 es exacta. 5 es divisor de 65. " 65 es divisible por 5. 65 7 2 9 La división 65 : 7 es entera. 7 no es divisor de 65. " 65 no es divisible por 7. 11. Decide si 4 y 6 son divisores de 36. 36 4 0 9 36 6 0 6 Las dos divisiones son exactas, por lo que 4 y 6 son divisores de 36. E J E M P LO 12. Estudia si 14 y 1 son divisores de 14. 14 14 0 1 La división 14 : 14 es exacta. 14 1 0 14 La división 14 : 1 es exacta. 14 es divisor de 14. 1 es divisor de 14. 18 Calcula cuáles de estos números tienen a 12 como uno de sus divisores. a) 144 c) 184 e) 84 b) 56 d) 24 f ) 112 19 Observa el dividendo, el divisor y el cociente de estas divisiones y establece dos relaciones de divisibilidad en cada caso. a) 63 : 3 = 21 d) 72 : 4 = 18 b) 88 : 11 = 8 e) 375 : 15 = 25 c) 96 : 8 = 12 f ) 136 : 8 = 17 20 R E F L E X I O N A . Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Cualquier número es divisor de 1. b) 1 es divisor de cualquier número. c) 1 es múltiplo de cualquier número. d) Cualquier número par es divisor de 2. e) 2 es divisor de cualquier número par. f ) Cualquier número impar es múltiplo de 3. g) Cualquier número es divisor de su doble. h) Todo número tiene por lo menos 3 divisores. A C T I V I D A D E S 4. Divisores de un número S E E S C R I B E A S Í Div (a) " Representa el conjunto de todos los divisores del número a. Div (8) " Todos los divisores de 8. Div (12) " Todos los divisores de 12. 24 es divisible por 3. 3 es divisor de 24. 24 es múltiplo de 3. G F G F G F 14
21 Copia y relaciona cada número con sus divisores. 22 Halla todos los divisores de estos números. a) 12 c) 18 e) 49 g) 33 b) 35 d) 28 f ) 52 h) 98 23 Calcula todos los divisores de estos números. a) 96 c) 441 e) 150 b) 100 d) 245 f ) 304 24 Rocío va a hacer piñatas con 48 gominolas para repartir entre los asistentes a su fiesta de despedida. a) ¿Cuántas piñatas de 8 gominolas puede hacer? b) Si solo invita a 3 personas a su fiesta, ¿cuántas gominolas habrá en cada piñata? 25 A partir de los divisores de 12, calcula los divisores de 24. ¿Qué relación encuentras? 26 Después de calcular los divisores de 18, indica cuáles son los divisores de: a) 36 b) 54 c) 90 27 Halla todos los divisores de 10. A partir de ellos encuentra todos los divisores de los siguientes. a) 20 b) 40 c) 80 28 Andrés tiene 45 pegatinas. Va a hacer montones con el mismo número de pegatinas y sin que sobre ninguna. a) ¿Cuántos tipos de montones puede hacer? b) ¿Cuántas pegatinas tendrían en cada caso? 29 Por la mañana, se reparten 60 tizas entre varias aulas, de manera que cada aula tiene el mismo número de tizas y no sobra ninguna. a) ¿Cuántas aulas puede haber? b) ¿Cuántas tizas se reparten por aula en cada caso? A C T I V I D A D E S Cómo se calculan todos los divisores de un número Calcula todos los divisores de 50. G E O G E B R A 1 Dividimos el número entre 1, 2, 3… hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. 2 De cada división exacta extraemos dos divisores: el divisor y el cociente. El cociente es menor o igual que el divisor. Dejamos de dividir. Si se multiplican los divisores de un número que están situados en los extremos, el resultado es el número del que has calculado los divisores. Div (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45 } 45 45 45 1 50 1 0 50 50 4 10 12 2 50 2 10 25 0 50 5 0 10 50 6 2 8 50 3 20 16 2 50 7 1 7 50 : 1 = 50 " 1 y 50 son divisores de 50. 50 : 2 = 25 " 2 y 25 son divisores de 50. 50 : 5 = 10 " 5 y 10 son divisores de 50. Las demás divisiones no son exactas. Los divisores de 50 son Div (50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}. a) 6 b) 18 c) 30 d) 42 e) 50 1 6 14 25 2 7 15 30 3 9 18 42 5 10 21 50 15
Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer, sin realizar la división , si un número es divisible por otro. Los criterios de divisibilidad más importantes son : Divisible por Criterio de divisibilidad 2 Si la última cifra es 0 o par. 3 Si la suma de sus cifras es divisible por 3. 5 Si la última cifra es 0 o 5. 10 Si la última cifra es 0. 11 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o divisible por 11. E J E M P LO 13. Averigua si los números 19 y 91 son primos o compuestos. Calculamos sus divisores y comprobamos cuántos tienen. Div (19) = {1, 19} " 19 solo tiene dos divisores. 19 es un número primo. Div (91) = {1, 7, 13, 91} " 91 tiene más de dos divisores. 91 es un número compuesto. 30 Decide si estos números son primos o compuestos. a) 127 c) 109 e) 261 g) 199 b) 183 d) 217 f ) 389 h) 251 31 Indica algunos de los divisores de estos números utilizando los criterios de divisibilidad. a) 54 b) 729 c) 575 d) 444 32 Copia y completa la cifra que falta para que cada número sea divisible por 3. a) 62d c) 7d0 e) 8 d88 b) d15 d) 1 8d0 f ) 3 0d4 33 R E F L E X I O N A . ¿Hay algún número primo que acabe en 2? ¿Y en 3? Razona tu respuesta. A C T I V I D A D E S Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad . a es primo. " Div (a) = {1, a} Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. El número 1 no es primo ni compuesto. 5. Números primos y números compuestos 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 Números primos hasta 100 R E T O Después del 11, ¿cuáles son los siguientes tres números primos capicúas? 16
34 Aplica los criterios de divisibilidad y explica si estos números son primos o compuestos. a) 42 c) 191 e) 291 b) 320 d) 286 f ) 7 007 35 Justifica que estos números son compuestos escribiendo al menos 3 divisores de cada uno. a) 32 c) 270 e) 451 b) 72 d) 321 f ) 667 36 ¿Puedes escribir un número primo de 23 cifras que acabe en 6? Razona tu respuesta. 37 ¿En qué cifras puede terminar un número primo? ¿Son primos todos los números que acaban en esas cifras? 38 ¿Cuál es el menor número primo capicúa de 3 cifras? 39 ¿Hay algún número primo capicúa de 4 cifras? A C T I V I D A D E S Cómo se determina si un número es primo Determina si estos números son primos o compuestos. a) 51 b) 85 c) 119 d) 59 1 Aplicamos los criterios de divisibilidad que conocemos para encontrar divisores del número. S i no los encontramos, dividimos entre los números primos para los que no conocemos criterios: 7, 13, 17…, hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. 2 S i el número es divisible por alguno de ellos, es un número compuesto. 3 S i no es divisible por ninguno de ellos, el número es primo. Los números primos para los que no tenemos un criterio de divisibilidad son 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47… 1 a) 51 no es divisible por 2, porque no termina en 0 ni en cifra par. 51 es divisible por 3, porque la suma de sus cifras lo es: 5 + 1 = 6. Por tanto, 51 es un número compuesto. b) 85 no es divisible por 2, porque no termina en 0 ni en cifra par. 85 no es divisible por 3, porque la suma de sus cifras no lo es. 85 es divisible por 5, porque termina en 5. Por tanto, 85 es un número compuesto. c) 119 no es divisible por 2, porque no termina en 0 ni en cifra par. 119 no es divisible por 3, porque la suma de sus cifras no lo es. 119 no es divisible por 5, porque no termina en 0 ni en 5. 119 no es divisible por 11, porque (1 + 9) - 1 = 9 no es 0 ni divisible por 11. 119 7 49 17 0 " 119 es un número compuesto. d) 59 no es divisible por 2, porque no termina en 0 ni en cifra par. 59 no es divisible por 3, porque la suma de sus cifras no lo es. 59 no es divisible por 5, porque no termina en 0 ni en 5. 59 no es divisible por 11, porque 9 - 5 = 4 no es 0 ni divisible por 11. 59 7 3 8 59 11 4 5 59 es un número primo. 119 es divisible por 7. El cociente es menor que el divisor. Dejamos de dividir. 17
R E T O ¿Cuál es el menor número de dos cifras que solo tiene dos descomposiciones? E J E M P LO 14. Halla todas las descomposiciones en dos factores de 11 y de 36. 11 es un número primo. " Div (11) = {1, 11} 11 ? 1 es la única descomposición en dos factores de 11. 36 es un número compuesto. " Div (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 36 = 1 ? 36 = 2 ? 18 = 3 ? 12 = 4 ? 9 = 6 ? 6 1 ? 36, 2 ? 18, 3 ? 12, 4 ? 9 y 6 ? 6 son las descomposiciones en dos factores de 36. Descomponer un número en factores es expresarlo como un producto de varios factores. Un número primo solo admite una descomposición en factores: el producto de sí mismo por la unidad . Un número compuesto admite más de una descomposición en factores. Factorización de un número Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como producto de sus divisores primos. 40 Halla una descomposición en dos factores y otra en tres factores de cada uno de estos números. a) 40 c) 96 e) 560 g) 385 b) 84 d) 88 f ) 105 h) 625 ¿Coincide alguna con su factorización? 41 Escribe dos descomposiciones diferentes para cada número en las que aparezca el factor 3. a) 90 b) 126 c) 156 d) 294 e) 273 42 Calcula el número al que corresponden estas factorizaciones. a) 22 ? 33 ? 7 b) 24 ? 3 ? 5 c) 2 ? 7 ? 112 ¿Cómo escribirías la factorización del doble de cada uno de estos números? ¿Y de sus triples? 43 R E F L E X I O N A . La descomposición en factores de un número es 2 ? 3 ? 5. ¿Cuál sería la factorización si lo multiplicamos por 6? ¿Y por 10? ¿Y por 15? A C T I V I D A D E S 6. Descomposición en factores E J E M P LO 15. Razona cuál es la descomposición en factores primos de 90. a) 90 = 2 ? 45 " 45 no es primo. No es la factorización de 90. b) 90 = 2 ? 9 ? 5 " 9 no es primo. No es la factorización de 90. c) 90 = 2 ? 32 ? 5 " Todos son primos. Es la factorización de 90. Al escribir la factorización se suelen anotar los factores primos de menor a mayor. 18
44 Halla la descomposición factorial de estos números y escríbelos como producto de factores primos. a) 6 d) 54 g) 82 b) 20 e) 77 h) 91 c) 23 f ) 72 i) 99 45 Halla la factorización de estos números. a) 102 d) 675 b) 242 e) 391 c) 405 f ) 2 431 46 Factoriza el número 210. A partir de su descomposición factorial, descompón los siguientes números en factores primos. a) 105 c) 30 b) 70 d) 840 47 Expresa como producto de factores primos. a) 8 ? 9 ? 25 c) 27 ? 12 ? 24 e) 153 ? 122 b) 10 ? 15 ? 6 d) 162 ? 63 f ) 352 ? 213 48 Razona si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. A C T I V I D A D E S Cómo se factorizan números naturales Descompón el número 588 como producto de factores primos. G E O G E B R A 1 Dividimos el número entre los sucesivos números primos: 2, 3, 5, 7... tantas veces como se pueda hasta obtener la unidad. 2 Escribimos el número como el producto de todos los divisores primos obtenidos. Como 2 y 7 están repetidos, los expresamos como potencia. 588 es divisible por 2. 588 : 2 = 294 294 es divisible por 2. 294 : 2 = 147 147 no es divisible por 2. 147 es divisible por 3. 147 : 3 = 49 49 no es divisible por 2, ni por 3, ni por 5. 49 es divisible por 7. 49 : 7 = 7 7 es un número primo. 7 : 7 = 1 1 Una forma de evitar errores al escribir la factorización de un número es comenzar con los números primos menores y continuar en orden creciente. Esta descomposición se puede escribir de una forma abreviada de este modo: 588 2 294 2 147 3 49 7 7 7 1 La factorización de 588 es 588 = 2 ? 2 ? 3 ? 7 ? 7 = 22 ? 3 ? 72. a) Un número puede tener dos descomposiciones en factores primos diferentes. b) Al factorizar 500 aparecen los factores 2, 10 y 25. c) Cualquier número acabado en 0 tiene, al menos, dos factores primos en su descomposición. d) No existe un número de cuatro cifras con un solo factor primo en su descomposición. 19
49 Calcula todos los divisores de cada número. Después, indica el mayor divisor común de cada pareja. a) 42 y 63 c) 27 y 36 b) 30 y 54 d) 18 y 25 50 Halla el máximo común divisor de los siguientes números. a) 4 y 14 d) 6 y 15 b) 20 y 25 e) 20, 30 y 35 c) 45 y 75 f ) 12, 18 y 20 51 Halla el máximo común divisor de 36 y 56. A partir de él, calcula sin factorizar. a) m. c. d. (18, 28) d) m. c. d. (54, 84) b) m. c. d. (9, 14) e) m. c. d. (360, 560) c) m. c. d. (72, 112) f ) m. c. d. (90, 140) 52 R E F L E X I O N A . Encuentra tres parejas de números cuyo máximo común divisor sea 12. a) ¿Qué condición deben cumplir? b) ¿Qué otros divisores tienen en común? A C T I V I D A D E S 7. Máximo común divisor E J E M P LO 16. Calcula los divisores de 12 y 30, y su máximo común divisor. Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Div (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Los divisores comunes de 12 y 30 son 1, 2, 3 y 6. El mayor de los divisores comunes es 6. m. c. d. (12, 30) = 6 G E O G E B R A E J E M P LO 17. Halla el máximo común divisor de 54, 90 y 126. Primero descomponemos los números en factores primos. 54 2 90 2 126 2 27 3 45 3 63 3 9 3 15 3 21 3 3 3 5 5 7 7 1 1 1 54 = 2 ? 33 90 = 2 ? 32 ? 5 126 = 2 ? 32 ? 7 Los factores primos comunes son 2 y 3. Elevados al menor exponente son 2 y 32. m. c. d. (54, 90, 126) = 2 ? 32 = 18 El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. El máximo común divisor de dos o más números a, b, c… se expresa como m. c. d . (a, b, c…). S i a y b no tienen divisores comunes, entonces: m. c. d. (a, b) = 1 Decimos que a y b son números primos entre sí. Para calcular el máximo común divisor seguimos estos pasos: 1.o Descomponemos los números en factores primos. 2.o Escogemos los factores comunes elevados al menor exponente. 3.o El producto de estos factores es el m. c. d. de los números. R E T O Si un número es múltiplo de otro, ¿cuál es el máximo común divisor de los dos números? 20
53 Lucía necesita 90 ℓ de pintura roja y 126 ℓ de pintura verde para realizar su próximo trabajo. Sabe que comprando los botes más grandes el precio del litro es más barato. Por otro lado, quiere comprar todos los botes del mismo tamaño para poder almacenar los más cómodamente en el trastero. a) ¿De cuántos litros debe comprar los botes? b) ¿Cuántos botes de cada tipo tiene que comprar? 54 En la clase de 2.º de Bachillerato han encargado ramilletes de flores para la fiesta de graduación. Darán ramilletes rojos para aquellas personas que se gradúan con un sobresaliente de nota media y azules para el resto. En la floristería tienen 147 flores rojas y 252 flores azules, y las van a utilizar todas. Quieren que cada ramillete tenga el mismo número de flores. a) ¿Cuántas tendrán que poner como máximo en cada uno? b) ¿Cuántos estudiantes se gradúan y con qué calificaciones? A C T I V I D A D E S Cómo se resuelven problemas de máximo común divisor Para una fiesta se han preparado 84 magdalenas con lactosa y 36 sin lactosa. Se van a colocar en bandejas diferentes para no mezclarlas, pero con el mismo número de magdalenas en cada una. Además, quieren que haya el mínimo número posible de bandejas para hacer menos viajes. ¿Cuántas magdalenas debe tener cada bandeja? ¿Cuántas bandejas habrá de cada tipo? Las bandejas deben tener la misma cantidad de magdalenas y no se mezclan. El número de magdalenas por bandeja tiene que ser un divisor común de 84 y 36. Quieren hacer el mínimo número de bandejas, por lo que las bandejas deben tener el mayor número posible de magdalenas. G E O G E B R A 4 Interpretamos el resultado. El tamaño de cada bandeja debe de ser de 12 magdalenas. 84 : 12 = 7 " Se preparan 7 bandejas de 12 magdalenas con lactosa. 36 : 12 = 3 " Se preparan 3 bandejas de 12 magdalenas sin lactosa. 3 Elegimos los que sean comunes y calculamos el máximo común divisor. Factores comunes: 2 y 3 Elevados al menor exponente: 22 y 3 m. c. d. (84, 36) = 22 ? 3 = 12 1 Decidimos si se trata de un problema donde interviene el máximo común divisor. 1 Los problemas de m. c. d. consisten en dividir en grupos varios tipos de elementos sin que sobre ninguno. 2 Descomponemos los números en factores primos. 84 2 36 2 42 2 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1 84 = 22 ? 3 ? 7 36 = 22 ? 32 Se trata del máximo común divisor. 21
55 Calcula los primeros múltiplos de 18 y de 24 hasta encontrar tres múltiplos comunes. Indica cuál es el menor múltiplo común. 56 Halla el mínimo común múltiplo en cada caso. a) 22 y 8 c) 15 y 45 b) 14 y 5 d) 18 y 64 57 Calcula el mínimo común múltiplo. a) 10, 14 y 20 b) 8, 12 y 18 58 Calcula el mínimo común múltiplo de estas parejas de números, sin factorizarlos, sabiendo que m. c. m. (36, 27) = 22 ? 33. a) m. c. m. (72, 54) b) m. c. m. (72, 27) c) m. c. m. (108, 81) 59 R E F L E X I O N A . Piensa y explica razonadamente si puede existir alguna pareja de números cuyo mínimo común múltiplo sea 1. A C T I V I D A D E S E J E M P LO 18. Calcula el mínimo común múltiplo de 8 y 20. Múltiplos de 8 = 8 o = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…} Múltiplos de 20 = 20 o = {20, 40, 60, 80…} Múltiplos comunes de 8 y 20 = {40, 80…} El menor de los múltiplos comunes es 40. m. c. m. (8, 20) = 40 G E O G E B R A E J E M P LO 19. Halla el mínimo común múltiplo de 24, 30 y 45. Primero descomponemos los números en factores primos. 24 2 30 2 45 3 12 2 15 3 15 3 6 2 5 5 5 5 3 3 1 1 1 1 1 24 = 23 ? 3 30 = 2 ? 3 ? 5 45 = 32 ? 5 Los factores primos comunes y no comunes son 2, 3 y 5. Elevados al mayor exponente son 23, 32 y 5. m. c. m. (24, 30, 45) = 23 ? 32 ? 5 = 360 El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes. El mínimo común múltiplo de dos o más números a, b, c… se expresa como m. c. m. (a, b, c…). S i m. c. m. (a, b) = a ? b, a y b no tienen ningún divisor común. 8. Mínimo común múltiplo Si un número es divisor de otro, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de ambos? Para calcular el mínimo común múltiplo seguimos estos pasos: 1.o Descomponemos los números en factores primos. 2.o Escogemos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3.o El producto de estos factores es el m. c. m. de los números. R E T O 22
60 En una parada de autobuses coinciden dos líneas diferentes. Los autobuses de una de las líneas pasan cada 15 minutos, y los de la otra, cada 12 minutos. Si han salido a las 8:00 h: a) ¿A qué hora vuelven a coincidir? b) ¿Cuántas veces habrá pasado cada uno en ese tiempo? 61 Una ONG envía, cada 36 días, ayuda inmediata a un poblado: comida, agua… Otra ONG les proporciona, cada 84 días, financiación para el desarrollo: compra de semillas, construcción de pozos… Si el día 1 de enero el poblado ha recibido los dos tipos de ayuda, ¿qué día volverán a coincidir? 62 En el pueblo de Raúl montan una feria cada verano con tres atracciones. El viaje en noria dura 10 minutos, los coches eléctricos 12 minutos y el tren de la bruja 18 minutos. Si todas han comenzado a funcionar a las 17:45 h: a) ¿A qué hora volverán a iniciar juntas su funcionamiento? b) ¿Cuántas veces habrá funcionado cada una hasta entonces? 63 En una calle, cuatro establecimientos tienen luces intermitentes como decoración navideña. Los intervalos de tiempo durante los que están encendidas son 2, 3, 6 y 8 segundos, respectivamente. Si inician el encendido todas a la vez, a las 7 de la tarde, ¿cuánto tiempo transcurre hasta que vuelven a encenderse al mismo tiempo? A C T I V I D A D E S Cómo se resuelven problemas de mínimo común múltiplo Juan vive en Almería y cada 42 días va a Sevilla a visitar a su familia. Su hermana Encarna vive en Ávila y va a Sevilla cada 56 días. Si hoy es Año Nuevo y han ido los dos, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir? ¿Cuántas veces habrá ido cada uno hasta entonces? Para que coincidan tiene que pasar un número de días que sea múltiplo común de 42 y 56. Como buscamos la primera vez que vuelven a coincidir, tendrá que ser el menor número de días posible, es decir, el menor de los múltiplos comunes. 4 Interpretamos el resultado. Volverán a coincidir dentro de 168 días. 168 : 42 = 4 " Juan habrá ido 4 veces a visitar a su familia. 168 : 56 = 3 " Encarna habrá ido 3 veces a visitar a su familia. 3 Elegimos los que sean comunes y no comunes y calculamos el mínimo común múltiplo. Factores comunes y no comunes: 2, 3 y 7 Elevados al mayor exponente: 23, 3 y 7 m. c. m. (42, 56) = 23 ? 3 ? 7 = 168 1 Decidimos si se trata de un problema donde interviene el mínimo común múltiplo. Se trata del mínimo común múltiplo. Los problemas de m. c. m. consisten en encontrar el primer número que es múltiplo de varios números a la vez. 2 Descomponemos los números en factores primos. 42 2 56 2 21 3 28 2 7 7 14 2 1 7 7 1 42 = 2 ? 3 ? 7 56 = 23 ? 7 1 23
1. Opera con potencias 64 Escribe, si es posible, en forma de potencia. a) 2 ? 2 ? 2 c) 6 + 6 + 6 + 6 e) 5 ? 5 b) 3 ? 5 ? 3 ? 5 d) 7 f ) 1 65 Realiza estas operaciones y di cómo lo haces. a) 32 ? 37 e) 38 : 3 i) 39 : 32 : 33 b) 56 : 54 f ) 53 ? 54 ? 5 j) 84 : 8 ? 83 c) 78 ? 72 g) 62 ? 63 : 64 k) 4 ? (43)2 d) 65 : 62 h) 75 ? (72 ? 73) l) (45)3 : 47 A C T I V I D A D E S F L A S H 66 Completa en tu cuaderno. a) 2d = 128 b) d3 = 27 c) 53 = d 67 Descubre la puntuación oculta de la diana y di cómo obtener 41 puntos con 4 dardos. A. d7 : 53 = 54 B. 12d : 126 = 129 C. 95 : 9d = 93 D. 39 : 3d = 32 E. 415 : 4d = 4 68 Completa en tu cuaderno. a) 34 ? d2 ? 37 = 3d c) (d7 ? 10d) : 10 = 108 b) (58 : 5d) ? 53 = d4 d) 68 ? (d7 : 6d) = 612 69 Completa en tu cuaderno los exponentes que faltan. a) 83 = 2d b) 274 = 3d c) 1256 = 5d 70 Expresa en forma de una única potencia, si se puede. a) 82 ? 42 c) 26 ? 75 e) 612 ? 62 b) 153 : 33 d) 63 : 63 f ) 183 : 29 71 Copia y relaciona. a) 32 ? (24 : 22) b) 23 ? (3 ? 32) c) 26 : 22 ? 34 1) 64 2) 62 3) 63 72 J U E G O . Se escribe en un papel el número 100. Cada participante, en su turno, tiene que restar al número escrito en el papel una potencia de 2. Se tacha el número anterior y se escribe como nuevo número la diferencia. Gana el que alcance el número 0. 73 Detecta el error en las siguientes operaciones. a) 32 ? 45 = 127 c) 44 : 23 = 2 e) 25 ? 22 = 47 b) 23 ? 32 = 66 d) 78 : 58 = 28 f ) 25 : 22 = 13 74 M AT E M ÁT I C A S Y. . . B I O L O G Í A . Una célula se reproduce mediante mitosis, dividiéndose en dos células idénticas a la anterior, cada dos horas. a) ¿Cuántas células habrá dentro de 4 horas? b) ¿Y dentro de 6 horas? ¿Y después de 100? c) ¿Puedes escribir una fórmula general para saber el número de células después de n horas? 75 La hidratación es muy importante para las personas. Adrián se encarga de darle un vaso de zumo cada día a los 72 mayores de una residencia. Compra los vasos en cajas que tienen 4 filas de vasos con 4 vasos en cada fila. ¿Tendrá suficientes vasos si compra 4 cajas? 76 M AT E M ÁT I C A S Y. . . R E D E S S O C I A L E S . De media, cada persona que utiliza Twitter publica 5 tuits diarios. Si una persona manda un tuit a otras 5 que lo reenvían a otras 5 personas diferentes, ¿a cuántas les llegará después de enviarlo seis veces? 77 I N V E S T I G A . ¿En qué cifra termina 52 020? ¿Y el número 42 020? 78 R E T O . Busca el menor número a tal que 24 ? a sea el cuadrado de un número natural. 2. Aplica los criterios de divisibilidad Múltiplos y divisores 79 Di cinco múltiplos de cada número. a) 4 b) 7 c) 8 d) 3 80 Dada la relación 104 = 4 ? 26, explica qué afirmaciones son verdaderas. a) 104 es divisible por 4. b) 104 es múltiplo de 4. c) 26 es divisor de 104. d) 104 es divisible por 26. 81 Di tres números que sean múltiplos de 2 y de 3 a la vez y explica cómo lo haces. 82 Razona y di cuáles son los primeros tres múltiplos de 5 que también son múltiplos de 2. A C T I V I D A D E S F L A S H a c t i v i da d e s f i n a l e s A B C D E 24
83 Copia, completa el texto y resuelve el crucigrama. 24 : 4 = 6 " 24 es _(1)_ por 4 y, además, 24 es un _(2)_ de 4. Entre 24 y 4 existe una _(3)_ de divisibilidad. 24 : 4 es una división _(4)_ porque el _(5)_ es 0. 2 3 5 1 4 84 Indica si existe relación de divisibilidad entre estos pares de números y di cuál es. a) 16 y 48 b) 23 y 90 c) 40 y 41 d) 57 y 58 ¿Puede existir relación de divisibilidad entre dos números consecutivos? 85 I N V E S T I G A . Escribe todos los números del 2 al 20. a) ¿Qué números son múltiplos de otro número distinto? b) ¿Cuántos números no son múltiplos de ninguno? c) ¿Cuáles son los números que son múltiplos de más números? 86 Indica los múltiplos de 3 que no son múltiplos de 2 y que estén comprendidos entre 50 y 70. 87 Calcula un número entre 540 y 550 que sea: a) Múltiplo de 14. c) Múltiplo de 26. b) Múltiplo de 17. d) Múltiplo de 39. ¿Existe algún múltiplo de 19 entre esos números? 88 Escribe el menor múltiplo de 43 que sea mayor que 1 500 y el mayor múltiplo que sea menor que 2 000. 89 ¿Cuántos múltiplos de 3 y 11 a la vez hay menores que 200? 90 Piensa tres números que sean múltiplos de 6 y de 5 a la vez. ¿Son múltiplos de 10? ¿Por qué? 91 R E T O . Escribe un número con las cifras del 1 al 6, sin repetir ninguna, de tal manera que el número que formen la primera y la segunda cifra sea múltiplo de 2, el número que formen la segunda y la tercera cifra sea múltiplo de 3, el número que formen la tercera y la cuarta cifra sea múltiplo de 4, y así sucesivamente. De todos los números posibles, ¿cuál es el menor? 92 Explica si las siguientes afirmaciones equivalen a esta: «La división de 56 entre 4 es exacta». a) 56 es divisor de 4. d) 4 es divisible por 56. b) 4 es divisor de 56. e) 4 es múltiplo de 56. c) 56 es divisible por 4. f ) 56 es múltiplo de 4. 93 De la relación 27 ? 4 = 108, razona y di qué afirmaciones son verdaderas. a) 27 es divisor de 108. d) 4 es múltiplo de 27. b) 27 es múltiplo de 108. e) 4 es divisor de 27. c) 4 es divisor de 108. f ) 108 es divisible por 27. 94 Piensa y contesta. a) ¿Es 1 divisor de 7? ¿Y de 17? b) ¿Es 9 divisor de 8? ¿Y 10? ¿Puede ser divisor de 8 un número mayor que 8? c) ¿Cuáles son el menor y el mayor divisor de un número? 95 Comenta razonadamente si es verdadero o falso. a) Los únicos divisores de 12 son 2 y 4. b) 2, 5 y 10 son divisores de 40. c) Los divisores de 77 son 1, 7, 11 y 77. A C T I V I D A D E S F L A S H 96 Encuentra todos los divisores de cada uno de los diez primeros números naturales. 97 Mediante el movimiento del caballo de ajedrez, recorre todos los divisores de 126 sin pasar dos veces por el mismo divisor. 1 22 15 51 10 2 37 11 40 31 26 63 32 16 47 50 56 14 45 25 43 39 3 29 20 41 13 34 6 24 61 4 58 23 42 5 28 55 48 38 30 49 35 52 21 33 19 57 12 126 8 44 59 54 120 9 36 27 53 18 17 7 46 60 98 I N V E S T I G A . Razona si todos los números divisibles por 2 son divisibles también por 4. ¿Y al revés? 99 Razona si son correctas las siguientes afirmaciones. a) Como 9 es divisor de 72, 3 también lo es. b) Como 3 es divisor de 42, 9 también lo es. 1 25
a c t i v i da d e s f i n a l e s 100 Completa el crucigrama escribiendo una cifra en cada casilla, la suma de cada fila o columna debe ser igual. A B C 1 2 3 HORIZONTALES 1. Divisible por 2. Cociente = 13. 2. Al dividir por 13, el cociente es 4 y el resto es 10. 3. Al dividir por 9, el cociente y el resto valen 8. 101 36 deportistas van a organizarse por equipos con el mismo número de personas. ¿Pueden organizarse en equipos con un número impar de personas? 102 I N V E S T I G A . En una clase de 25 estudiantes hay 16 pupitres de dos plazas. ¿Cuál es el número máximo de personas que se pueden sentar solas? ¿Y si hubiese solo 20 estudiantes? 103 Encuentra tres números naturales que cumplan cada una de las condiciones. a) Divisibles por 2, por 4 y por 8 a la vez. b) Divisibles por 3, por 9 y por 27 a la vez. c) Divisibles por 2, por 3 y por 4 a la vez. d) Divisibles por 2, por 3 y por 9 a la vez. e) Divisibles por 3, por 6 y por 9 a la vez. 104 Encuentra los múltiplos de 11 que se pueden formar ordenando las cifras 1, 3, 4 y 6. 105 Utiliza las cifras 3, 4, 5 y 6 para escribir números de 4 cifras que sean divisibles por 11. 106 J U E G O . Se recortan 32 papelitos y se agrupan en un montón. Por turnos, cada persona debe dividir en montones iguales los papelitos que tenga en cualquiera de los montones que hay sobre la mesa, pero no puede dividirlos en más de 4 montones. Quien consiga primero un montón con un solo papelito gana. 107 M AT E M ÁT I C A S Y. . . F Ú T B O L . En la liga de fútbol, por cada partido que gana un equipo obtiene 3 puntos, si empata obtiene 1 punto y si pierde obtiene 0 puntos. Busca los puntos obtenidos por tu equipo de fútbol favorito en su liga. ¿Puedes saber cuántas victorias ha logrado como máximo conociendo solo los puntos totales? ¿Y como mínimo? I N T E R N E T 108 Escribe varios números pares e impares y razona si es verdadero o falso. a) Un número par puede ser divisor de un número impar. b) Un número impar puede ser divisor de un número par. c) Un número impar puede ser múltiplo de un número par. d) Un número impar puede ser divisible por un número par. e) Entre un número par y un número impar puede existir una relación de divisibilidad. Criterios de divisibilidad 109 Utiliza los criterios de divisibilidad y di si estos números son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11. a) 128 b) 251 c) 495 d) 968 e) 116 160 110 Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. Comenta si estos números son múltiplos de 4. a) 128 c) 434 e) 11 610 b) 271 d) 952 f ) 5 624 A C T I V I D A D E S F L A S H 111 I N V E N TA . Escribe un número de 10 cifras divisible por 2, 3, 5, 7 y 11. 112 Determina si 215 ? 3 es divisible por estos números. a) 2 c) 4 e) 6 g) 8 i) 10 k) 12 b) 3 d) 5 f ) 7 h) 9 j) 11 l) 14 Cómo se calcula una cifra de un número para que sea divisible por otro 113 ¿Cuánto debe valer a para que el número 3a2 sea múltiplo de 3? primero. Se aplica el criterio de divisibilidad. En este caso, la suma de las cifras del número debe ser un múltiplo de 3. 3 + a + 2 = 5 + a La suma, 5 + a, tiene que ser un múltiplo de 3. segundo. Se tantean los valores de a para que se cumpla el criterio de divisibilidad. a = 1, ya que 5 + 1 = 6. a = 4, ya que 5 + 4 = 9. a = 7, ya que 5 + 7 = 12. 26
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