3 E S O Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Alber to César Barbero Silvia Marín García José Emilio Bascuñana Fernández Carlos Pérez Saavedra María Isabel Bascuñana Gallego Juan Miguel Ribera Puchades José Carlos Gámez Pérez Federico Rodríguez Merinero Ana Gaztelu Villorria Domingo Sánchez Figueroa Queralt Gonfaus Saumell José María Vázquez de la Torre EDICIÓN Ana de la Cruz Fayos Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno. Matema´ ticas
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 1 Números racionales 9 1. Fracciones _ 10 2. Fracción irreducible _ 12 3. Comparación de fracciones _ 14 4. Operaciones con fracciones _ 15 5. Números decimales _ 18 6. F racciones y números decimales _ 19 7. Números racionales _ 23 2 Potencias y raíces 33 1. Potencias de números racionales _ 34 2. Operaciones con potencias _ 36 3. Notación científica _ 38 4. Operaciones en notación científica _ 40 5. Raíces _ 41 6. Radicales _ 42 7. Operaciones con radicales _ 44 8. Números reales _ 47 9. A proximaciones y errores _ 48 10. Intervalos _ 49 3 Progresiones 59 1. Sucesiones _ 60 2. Progresión aritmética _ 62 3. Progresión geométrica _ 66 4. Interés compuesto _ 72 4 Polinomios 83 1. Monomios _ 84 2. Operaciones con monomios _ 85 3. Polinomios _ 86 4. O peraciones con polinomios _ 88 5. Factor común _ 91 6. Igualdades notables _ 93 7. F actorización de un polinomio _ 96 5 Ecuaciones de primer y segundo grado 105 1. Ecuaciones de primer grado _ 106 2. Ecuaciones de segundo grado _ 108 3. Otros tipos de ecuaciones _ 112 4. R esolución de problemas mediante ecuaciones _ 114 6 Sistemas de ecuaciones 125 1. Ecuaciones lineales _ 126 2. Sistemas de ecuaciones lineales _ 128 3. Métodos de resolución de sistemas _ 130 4. R esolución de problemas mediante sistemas _ 134 2
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se halla el término desconocido de una fracción equivalente a otra • Cómo se calcula la fracción irreducible • Cómo se realizan operaciones combinadas con fracciones • Cómo se expresa un número decimal exacto mediante una fracción • Cómo se expresa un número decimal periódico puro mediante una fracción • Cómo se expresa un número decimal periódico mixto mediante una fracción • Cómo se representa una fracción en la recta numérica • Cómo se puede calcular una fracción comprendida entre otras dos • Cómo se resuelven operaciones con decimales periódicos • Cómo se calcula el total conociendo una parte MATEMÁTICAS Y… • Alimentación • Biología • Consumo • Atletismo • Economía FAKE NEWS. Análisis de publicidad ¡No es magia, es industria! (Medidas y ensamblaje de las piezas de juegos de construcción) • Cómo se calculan productos y cocientes de potencias • Cómo se expresan números en notación científica • Cómo se calculan las raíces de un radical • Cómo se extraen factores de un radical • Cómo se suman y restan radicales sacando factores • Cómo se resuelven productos de potencias con bases opuestas • Cómo se resuelven operaciones con potencias • Cómo se resuelven operaciones combinadas con potencias y raíces MATEMÁTICAS Y… • Biología • Medicina • Naturaleza • Joyería • Ciencias FAKE NEWS. Análisis del consumo eléctrico en una ciudad ¡Socorro! Me quedo sin batería (Estudio sobre la duración de la batería en un móvil y su optimización) • Cómo se calcula la diferencia, el primer término y el término general de una progresión aritmética • Cómo se halla la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética • Cómo se calcula la razón, el primer término y el término general de una progresión geométrica • Cómo se suman los n primeros términos de una progresión geométrica • Cómo se suman infinitos términos de una progresión geométrica • Cómo se resuelven problemas de interés compuesto • Cómo se añaden números entre dos términos de una progresión aritmética • Cómo se determina si una progresión es aritmética o geométrica MATEMÁTICAS Y… • Biología • Deporte • Medioambiente • Ciberseguridad FAKE NEWS. Reflexión crítica sobre la expansión de una pandemia Tu propia vivienda: entre el miedo y la esperanza (Análisis de créditos hipotecarios) • Cómo se dividen polinomios • Cómo se dividen polinomios con la regla de Ruffini • Cómo se extrae factor común en un polinomio • Cómo se expresa un polinomio mediante una igualdad notable • Cómo se factoriza un polinomio MATEMÁTICAS Y… • Sociedad • Química • Física FAKE NEWS. Análisis del IMC Desciframos el recibo de la luz (Análisis de los distintos conceptos que aparecen en el recibo de la luz) • Cómo se resuelve una ecuación de primer grado • Cómo se averigua el número de soluciones de una ecuación de segundo grado • Cómo se resuelven ecuaciones de segundo grado • Cómo se resuelve una ecuación mediante factorización • Cómo se resuelven problemas mediante ecuaciones • Cómo se resuelven ecuaciones de segundo grado con paréntesis y denominadores MATEMÁTICAS Y… • Economía • Consumo FAKE NEWS. Análisis de publicidad ¡Mamá, no quiero ser artista! Prefiero tener mi propia empresa (Estudio del proyecto para crear una empresa) • Cómo se representan gráficamente las soluciones de una ecuación lineal • Cómo se determina gráficamente el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales • Cómo se resuelve un problema mediante un sistema de ecuaciones lineales • Cómo se determina el número de soluciones de un sistema MATEMÁTICAS Y… • Cocina • Igualdad • Mundo laboral FAKE NEWS. Análisis de un recibo de comida ¡Qué grande es el cine! (Estudio del formato de pantallas y su relación con el número de píxeles) 3
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 7 Lugares geométricos. Áreas y perímetros 145 1. Lugares geométricos _ 146 2. Mediatriz y bisectriz _ 147 3. Ángulos _ 148 4. Teorema de Pitágoras _ 149 5. Áreas y perímetros _ 150 8 Movimientos y semejanzas 165 1. Vectores _ 166 2. M ovimientos en el plano _ 167 3. T raslaciones y giros _ 168 4. Simetrías _ 170 5. Teorema de Tales _ 172 6. E scalas y mapas _ 176 9 Cuerpos geométricos 187 1. Poliedros _ 188 2. Área de poliedros _ 189 3. Simetrías en los poliedros _ 192 4. Cuerpos de revolución. Área _ 193 5. Volumen de cuerpos geométricos _ 196 6. La esfera terrestre _ 200 10 Funciones 211 1. Concepto de función _ 212 2. Dominio y recorrido de una función _ 214 3. Continuidad y puntos de corte _ 216 4. C recimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos _ 218 5. Periodicidad y simetría _ 220 11 Funciones lineales y cuadráticas 231 1. Funciones lineales _ 232 2. Ecuación punto-pendiente _ 237 3. Ecuación general de una recta _ 238 4. Funciones cuadráticas _ 239 5. Aplicaciones _ 242 12 Estadística y probabilidad 253 1. Variables estadísticas _ 254 2. Recuento de datos _ 255 3. Frecuencias. Tablas de frecuencias _ 256 4. Gráficos estadísticos _ 258 5. Medidas estadísticas _ 260 6. Experimentos aleatorios. Sucesos _ 264 7. P robabilidad de un suceso. Regla de Laplace _ 266 4
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se calcula el área de un cuadrilátero utilizando el teorema de Pitágoras • Cómo se calcula el área de un polígono regular utilizando el teorema de Pitágoras • Cómo se calcula el área de una figura plana • Cómo se calcula la altura de un triángulo equilátero o isósceles MATEMÁTICAS Y… • Gimnasia • Baloncesto • Transportes • Artesanía • Publicidad • Arte FAKE NEWS. Análisis de asistencia a concentraciones ¡Vamos a dar la nota! (Diseño y confección de camisetas deportivas) • Cómo se realizan traslaciones y giros • Cómo se realizan simetrías de figuras geométricas • Cómo se divide un segmento en partes iguales o proporcionales • Cómo se determinan distancias utilizando triángulos en posición de Tales • Cómo se determinan distancias utilizando triángulos opuestos por el vértice • Cómo se resuelven problemas con escalas • Cómo se hallan los ejes y el centro de simetría de un polígono regular MATEMÁTICAS Y… • Dibujo • Deporte • Astronomía • Geografía • Biología FAKE NEWS. Lectura crítica del plano de una vivienda ¿Todo el universo dentro de un mandala? (Estudio y uso de giros y simetrías para realizar dibujos) • Cómo se calcula el área de un poliedro • Cómo se calcula el área de un cuerpo de revolución • Cómo se calcula el volumen de un cuerpo geométrico • Cómo se resuelven problemas de diferencias horarias • Cómo se calcula la altura de un tronco de cono • Cómo se calcula el área de un tronco de pirámide MATEMÁTICAS Y… • Consumo • Medicina • Medioambiente FAKE NEWS. Cálculo de superficies aplicado a la reducción de residuos Una imagen, ¿cien historias? (Cálculo de áreas y volúmenes para preparar un equipaje) • Cómo se representa gráficamente una función • Cómo se calcula el dominio y el recorrido de una función • Cómo se hallan los puntos de corte con los ejes • Cómo se interpreta el crecimiento y decrecimiento de una función • Cómo se estudia una función • Cómo se calcula el dominio de una función con su expresión algebraica MATEMÁTICAS Y… • Consumo • Economía • Salud FAKE NEWS. Análisis de relaciones funcionales que no lo son Pero... ¿dónde se come aquí? (Elección de restaurante en función de los días que se va a ir) • Cómo se representa gráficamente una función lineal • Cómo se halla la ecuación de una recta representada gráficamente • Cómo se representa gráficamente una función cuadrática • Cómo se calcula la pendiente de una recta de forma gráfica • Cómo se calcula la intersección entre dos funciones lineales MATEMÁTICAS Y… • Economía • Atletismo FAKE NEWS. Estudio del impacto de los impuestos en la renta ¿Y si no tengo suficientes megas? (Estudio comparativo de ofertas telefónicas) • Cómo se construyen tablas de frecuencias para datos agrupados • Cómo se construye un histograma y su polígono de frecuencias • Cómo se calculan e interpretan las medidas estadísticas para datos agrupados • Cómo se determina el espacio muestral utilizando un diagrama de árbol • Cómo se calcula la probabilidad utilizando permutaciones • Cómo se calcula la media de un grupo de datos desconocidos MATEMÁTICAS Y… • Ciencias sociales • Comunicaciones • Igualdad de género • Videojuegos • Teléfonos móviles FAKE NEWS. Estudio de incidencia geográfica de enfermedades ¡Había una vez un patito chiquitito! (Estudio empírico de la probabilidad) 5
6 Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Cómo se calcula un porcentaje El tanto por ciento, a, de una cantidad, C, se calcula así: ? % a C a C 100 de = E J E M P LO Calcula el 18 % de 300 €. 18 % de 300 = ? ? , 100 18 300 0 18 300 54 = = € El 12 % de una cantidad es 30 €. ¿Cuál es la cantidad? 30 = ? ? C C 100 12 12 30 100 250 = = " € A C T I V I D A D E S 2 Calcula el 15 % de 120. a) 8 b) 18 c) 180 d) 800 3 El 20 % de una cantidad es 125. ¿Cuál es la cantidad? a) 25 b) 250 c) 500 d) 625 Qué es un intervalo Un intervalo de extremos a y b está formado por todos los números comprendidos entre a y b. Los extremos pueden estar contenidos o no en el intervalo. ABIERTO: el extremo no pertenece al intervalo. CERRADO: el extremo pertenece al intervalo. a b F F (a, b] F F E J E M P LO 3 4 5 Los puntos 3; 3,01; 4; 4,9; … pertenecen al intervalo [3, 5). A C T I V I D A D E S 1 ¿Qué punto pertenece al intervalo (-2, 7]? a) -2 b) -2,1 c) 7 d) 7,01 ¿Qué sabes ya? Estadística y probabilidad 12 Secreto... ¿secreto? ¿Sabes que uno de los métodos para descifrar un mensaje es analizar la frecuencia de sus letras? 14 12 10 8 6 4 2 A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z Frecuencia de las letras ¿Qué pone aquí? OEFO XOFAÑA OE XGJ BANA EOQGDA BLDL XLYÑLD XOYELTOE EONDOFAE D E SA F Í O 253 ES0000000094712 931957_U12_253_277_100923.indd 253 4/2/22 10:31 21 Halla el perímetro y el área de estos polígonos. a) b) 22 Averigua la medida del lado de este polígono regular de área 101 cm2. 23 R E F L E X I O N A . Calcula la altura y el perímetro de un triángulo equilátero de área 3 cm2. A C T I V I D A D E S 5.2. Área y perímetro de un polígono regular El perímetro de un polígono regular es igual al producto de la medida de uno de sus lados por el número de lados, n. P = n ? l E J E M P LO 10. Calcula el perímetro y el área de estos polígonos regulares. a) ? ? P n l 40 5 8 cm = = = ? ? , A P a 2 2 40 5 5 110 cm2 = = = b) Por ser un hexágono regular: l = r = 3,5 cm ? ? , P n l 21 6 3 5 cm = = = ? ? , A P a 2 2 21 3 31 5 cm2 = = = El área de un polígono regular también en función del lado es: ? A P a 2 = P = n ? l " ? ? A n l a 2 = Cualquier polígono regular se puede descomponer en tantos triángulos isósceles iguales como número de lados tenga . El área de cada triángulo es ? A l a 2 t = , donde l es el lado del polígono y a es la apotema . Para obtener el área del polígono hay que multiplicar por el número de triángulos en que lo hemos dividido: ? ? ? ? ? ? A n A n l a n l a P a 2 2 2 t Total = = = = siendo n el número de lados y P el perímetro del polígono regular. Apotema G Radio Lado El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre 2. ? A P a 2 = 3 cm 3,5 cm 8 cm 5,5 cm 5,4 cm 101 cm2 10 cm 10,4 cm 7,7 cm 5 cm El hexágono regular es el único polígono en el que el lado es igual al radio. 152 ES0000000094712 931957_U07_145_164_99428.indd 152 3/2/22 16:25 1. Representa e interpreta información cuantitativa con racionales 59 Expresa estos enunciados utilizando una fracción. a) Ya he aprobado 4 de las 8 asignaturas que tenía. b) He visto 3 de las 5 películas de estreno. c) Los bebés de 1 mes duermen 17 horas al día. d) Nos hemos comido una barra y media de pan. A C T I V I D A D E S F L A S H 60 I N V E S T I G A . Escribe la fracción que representa la parte coloreada. Cómo se representa una fracción en la recta numérica 61 Representa las fracciones. a) 5 4 b) 6 11 Si el numerador es menor que el denominador: primero. Se divide el segmento entre 0 y 1 en tantas partes como indique el denominador, 5. segundo. Se toman las partes que señale el numerador, 4. a) 0 5 4 1 Si el numerador es mayor que el denominador: primero. Se expresa la fracción como la suma de un número natural más una fracción propia. 1 1 6 5 1 6 11 1 6 5 = + segundo. La fracción está comprendida entre el cociente y su número natural siguiente. En este caso es entre 1 y 2. Se representa en este tramo la fracción que aparece en la suma, 6 5 . b) 1 2 F 6 11 1 6 5 = + G E O G E B R A 62 Representa en la recta numérica estas fracciones. a) 2 5 b) 10 7 c) 6 5 d) 5 2 - e) 3 8 - 63 Indica la fracción que representa cada letra. 0 1 A B C D 2 3 4 69 J U E G O . Dos jugadores lanzan un dado cada uno y forman una fracción menor o igual que 1. Si es irreducible, gana quien tenga el denominador de la fracción. ¿Cuántas fracciones irreducibles podéis obtener? ¿Qué fracción representa respecto del total de posibilidades? 70 Decide si estas fracciones son irreducibles y, en caso contrario, simplifícalas. a) 4 7 b) 9 12 c) 200 124 d) 17 51 e) 65 13 71 I N V E S T I G A . Dos fracciones equivalentes a 2 1 y a 3 1 con el mismo denominador, ¿pueden ser irreducibles? 72 Descompón el numerador y el denominador de estas fracciones en factores primos. Después, simplifica hasta obtener la fracción irreducible. a) 98 56 b) 60 108 c) 294 504 d) 375 250 e) 1 260 210 73 I N V E S T I G A . ¿Verdadero o falso? «Cualquier fracción es equivalente a su fracción irreducible». Comparación de fracciones 74 Ordena de menor a mayor estas fracciones. a) , , , , , , , 7 3 7 8 7 11 7 1 7 4 7 2 7 3 7 5 - - - - - b) , , , , , , , 2 6 5 6 9 6 3 6 7 6 5 6 4 6 10 6 - - A C T I V I D A D E S F L A S H 75 La altura de la torre Eiffel coincide con el denominador común a estas fracciones. ¿Cuál es? 4 1 6 5 9 2 12 7 18 11 27 17 36 7 54 11 81 13 108 5 76 ¿Quién escribió La vida del Buscón? Ordena las fracciones de mayor a menor para averiguarlo. U E Q D O E V 15 7 15 2 - 3 7 10 3 - 5 3 - 10 3 10 1 Fracciones equivalentes 64 Indica la fracción que representa la parte coloreada de cada figura. Después, relaciona las fracciones que sean equivalentes. A C T I V I D A D E S F L A S H 65 Resuelve el crucigrama, calculando x para que las fracciones sean equivalentes. HORIZONTALES 1. x 1 36 18 = 2. x 7 2 72 = 3. x 6 3 17 = x 2 7 4 = 4. x 63 4 6 = x 63 3 2 = 5. x 14 52 7 = x 3 6 1 = 6. x 15 2 50 = 7. x 1 60 12 = VERTICALES 1. x 2 24 12 = 6. x 49 7 64 = 2. x 28 2 23 = 7. x 7 16 56 = 3. x 3 8 1 = x 9 1 7 = 4. x 3 5 15 = x 15 1 5 = 5. x 3 7 1 = x 12 45 4 = 66 Obtén, por amplificación, tres fracciones equivalentes. a) 3 2 b) 5 4 - c) 2 7 d) 7 6 - 67 Obtén tres fracciones equivalentes por simplificación. a) 100 50 b) 90 60 c) 32 8 d) 540 180 Fracción irreducible 68 Halla la fracción irreducible de estas fracciones. a) 70 28 b) 18 45 c) 112 40 d) 55 88 e) 315 63 C Á L C U L O M E N TA L C Á L C U L O M E N TA L a c t i v i da d e s f i n a l e s Sobrante al final a) b) c) d) e) f ) 24 ES0000000094712 931957_U01_009_032_94323.indd 24 2/2/22 16:48 5 70 I N V E N TA . Escrib , en cada caso, una ecuación de segundo grado que cumpla estas condiciones. a) Tiene como solución única x = 2. b) Una de sus soluciones es x = -1, el término independiente es -3 y el coeficiente de x2 es 1. c) No tiene solución, es incompleta y el coeficiente de x2 es 2. 71 J U E G O . Elaborad 12 cartas con estas ecuaciones. x 2 50 2 = x x 2 2 + = ( ) x x 2 1 - = - x x 3 9 2 = - x x 2 2 - = ( ) x x 1 6 + = x 2 8 2 = x x 10 7 2 + = ( ) x x 3 10 - = x x 3 6 2 = x x 6 7 2 + = ( ) x x 2 1 + = En cada turno, una persona saca una carta, resuelve la ecuación y muev su ficha en el ta lero tantas casillas como marque una de sus soluciones, eligiendo la solución que le interese. La escalera sirve para avanzar; sin embargo, la cabeza de la serpiente te desliza hasta la cola. Gana quien primero llegue a la meta. 72 I N V E S T I G A . D v lores a y b para que la ecuación ax2 + bx - 16 = 0 tenga dos soluciones diferentes. Busca otros valores de a y b para que tenga una única solución y otros para que no tenga solución. 73 R E T O . ¿Cómo hallarías las soluciones de esta ecuación? ( ) x x 5 5 1 x x 2 4 60 2 - + = + - Ecuaciones de grado superior a 2 74 Resuelve estas ecuaciones bicuadradas. a) x x 8 15 0 4 2 - + = d) x x 24 25 0 4 2 - - = b) x x 5 4 0 4 2 - + = e) x x 5 6 0 4 2 + + = c) x x 3 2 0 4 2 + + = f ) x 9 0 4 - = 75 Calcula los valores de x que cumplan estas igualdades. a) x x x 2 8 0 2 3 2 + - = d) x x x 2 11 12 0 3 2 - + = b) x x x 2 0 4 3 2 - + = e) x x x 4 4 16 0 3 2 - - + = c) x x x x 2 3 2 3 3 - = + f ) x x x 2 3 3 4 3 3 - + = - + 76 I N V E N TA . Escribe una ecuación de grado cuatro con soluciones x1 = 1, x2 = -2, x3 = 3, x4 = -4. 77 I N V E S T I G A . Al igual que existe una fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, investiga si existe otra para ecuaciones de tercer grado; en caso afirmativo, discute si es fácil de usar. 78 Halla con ayuda de una ecuación. a) Tres números enteros consecutivos tales que su producto es -60. b) Dos números naturales pares consecutivos tales que su producto es 168. c) Tres números enteros impares consecutivos tales que su producto es -105. 2. Formula una situación de la vida cotidiana mediante ecuaciones 79 Escribe en forma de ecuación y contesta. a) La ficha amarilla estaba en la casilla 41 y en tres tiradas llega a la 50. Si ha sacado la misma puntuación las tres veces, ¿qué número sacó? b) La ficha roja estaba en la casilla 19 hace tres tiradas y ahora está en la 31. En la primera tirada sacó un 2 y en las otras dos sacó el mismo número. ¿Qué puntuación obtuvo en las dos tiradas? c) La ficha azul estaba en la casilla 11 hace dos tiradas. ¿Cuáles han podido ser las puntuaciones que ha obtenido en las dos tiradas? 80 Laura paga 67,50 € por estos tres pantalones. ¿Cuánto cuesta cada uno? ¿Cuánto costarían dos? 81 Una ruta de senderismo larga se ha planeado hacer en 15 etapas de la misma distancia. Hoy han terminado la séptima etapa, pero aún les quedan 12 km para llegar a la mitad de la ruta. ¿Qué longitud tiene la ruta? I N T E R N E T DTO 50 % 3.ª unidad DTO. 25 % 2.ª unidad 119 ES0000000094712 931957_U05_105_124_94426.indd 119 3/2/22 15:13 7 24 Halla el perímetro de estos polígonos. a) Heptágono de radio 5 cm y apotema 4,5 cm. b) Eneágono de radio 8 cm y apotema 7,5 cm. 25 Calcula el área de estos polígonos regulares. a) b) 26 Calcula el perímetro y el área de estos hexágonos. a) b) 27 Calcula el radio de estos polígonos regulares. a) Pentágono de área 42 cm2 y apotema 3,4 cm. b) Heptágono de área 102 cm2 y apotema 5,5 cm. c) Endecágono de área 81 cm2 y apotema 5 cm. A C T I V I D A D E S Cómo se calcula el área de un polígono regular utilizando el teorema de Pitágoras Calcula el área de estos polígonos regulares. a) b) 1 Determinamos los elementos necesarios para calcular el área de la figura. 2 Identificamos el triángulo rectángulo que determina la medida desconocida. 3 Aplicamos el teorema de Pitágoras y despejamos para calcular la medida desconocida. 4 Hallamos el área de la figura. 1,7 cm 2 cm 5,2 cm 3,55 cm 2 cm 7,8 cm a) ? ? A n l a 2 = b) ? ? A n l a 2 = n = 5 lados n = 8 lados l = 6 cm l " Desconocido a " Desconocida a = 11 cm , , , , , a a a a 5 1 2 6 26 01 9 26 01 9 17 01 4 12 cm 2 2 2 2 2 = + = + = - = = e o , , , , , , l l l l l 11 9 11 2 141 61 121 2 4 141 61 121 20 61 82 44 9 08 cm 2 2 2 2 2 2 = + = + = - = = = " e e o o ? ? ? ? , , A n l a 2 2 4 12 61 8 5 6 cm2 = = = = ? ? ? ? , , A n l a 2 2 8 11 399 52 8 9 0 cm2 = = = = 6 cm 5,1 cm 6 cm 5,1 cm 11 cm 11 cm 11,9 cm 11,9 cm La apotema es perpendicular al lado y lo corta en su punto medio. En los polígonos regulares, el radio, la apotema y la mitad del lado forman un triángulo rectángulo. l 2 r a 153 ES0000000094712 931957_U07_145_164_99428.indd 153 3/2/22 16:25 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Afianza esos saberes mediante los EJEMPLOS incluidos para cada contenido. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL aprendiendo, paso a paso, las destrezas básicas. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Pon a prueba tus conocimientos y ayúdate de tu razonamiento matemático para resolver el RETO. ¡Llegarás a resultados inesperados! Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: JUEGOS, INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver estas actividades mediante CÁLCULO MENTAL, utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Aprende a partir de textos claros y estructurados. Recuerda los contenidos que ya sabes y que te serán útiles para la unidad. Evalúa esos conocimientos resolviendo las actividades propuestas.
7 a c t i v i da d e s f i n a l e s 6 ¡Creo que algo está mal! Ayer tomamos algo en la cafetería del hospital y, como la comida estaba bastante buena, hoy hemos vuelto a hacerlo. Cuando he ido a pagar me he dado cuenta de que los precios han variado y, al comentárselo a la encargada, me ha dicho que los precios no han cambiado. Y tú, ¿qué opinas? 81 Para aprobar la evaluación de Matemáticas se hace la media entre dos exámenes. Se necesita una media de 5 puntos para aprobar. a) Plantea una ecuación de dos incógnitas que exprese este enunciado. b) Escribe dos posibles resultados en los exámenes si la nota ha sido un 7,5. 82 ¿Cuánto cuesta cada churro y cada porra si una porra cuesta 0,25 € más que un churro? 83 Escribe un problema que responda a estos gráficos. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo. 84 En una compra se han utilizado monedas de 2 € y billetes de 5 €. En total, entre monedas y billetes son 13 y se han pagado 41 €. ¿Cuántas monedas de 2 € se utilizan? ¿Y cuántos billetes de 5 €? 85 Para una merienda se compran bocadillos de jamón a 2,80 € la unidad y de queso a 2,50 €. Se pagan 48 € en total por 18 bocadillos. ¿Cuántos bocadillos se compran de jamón? ¿Y de queso? 86 Plantea un sistema y ayuda a Raquel. 94 M AT E M ÁT I C A S E . . . I G U A L D A D . Hasta el año pasado, el porcentaje de mujeres que ocupaban un puesto directivo en una empresa en España era del 22 % del total. Este año 2 436 mujeres han sustituido a hombres en este cargo, lo que ha hecho que la representación de la mujer en este puesto haya aumentado hasta el 24 %. ¿Cuántas mujeres más tienen que sustituir a hombres para que el número de directores y directoras sea el mismo? 95 M AT E M ÁT I C A S Y. . . M U N D O L A B O R A L . Para cubrir algunos puestos de trabajo se realizan pruebas eliminatorias que, en algunos casos, consisten en exámenes tipo test de 50 preguntas. Puntuación de la prueba Respuesta correcta .................... 3 puntos Respuesta incorrecta ................. Se resta 1 punto Pregunta no contestada ............. 0 puntos a) La prueba se supera a partir de 74 puntos. Si se contesta a todas las preguntas, ¿cuántas hay que acertar como mínimo? b) Si no se contestan 12 preguntas y la puntuación final es 78 puntos, ¿cuántas preguntas se han contestado bien? 87 Juan ha ido a las rebajas a comprar una camisa y un pantalón. Los precios de estas dos prendas sumaban 60 €, pero le han hecho un 10 % de descuento en la camisa y un 20 % en el pantalón, y paga por todo 50,15 €. ¿Cuál era el precio sin rebajar de cada prenda? 88 Un teatro tiene una capacidad de 200 personas. La entrada infantil tiene un descuento del 20 % sobre la entrada de adulto, que cuesta 45 €. Si se ha llenado el teatro y se han recaudado 8 370 €, ¿cuántas personas adultas y cuántos menores han ido? 89 Lee y contesta. #bAskEtFiNaL ¡El partido ha estado muy igualado! #bAskEtReSuLTS Ambos equipos han anotado un total de 24 canastas, entre ellas 7 tiros libres cada uno. ¿Cuántas canastas de dos y cuántos triples anotó cada equipo? 90 Las edades de Esther y su padre suman 30 años. Dentro de 18 años, la edad de su padre será el doble que la de Esther. ¿Cuántos años tiene cada uno? 91 Ana y Elsa son hermanas. Sus edades suman 16 años. a) ¿Cuántos años tiene cada una si hace dos años Elsa tenía el doble de años que su hermana? b) ¿Cuánto hace que Elsa tenía el triple de edad que Ana? 92 M AT E M ÁT I C A S Y. . . C O C I N A . Los batidos de helado se elaboran añadiendo leche al helado. Si el batido solo tiene leche y helado, ¿qué porcentaje de cada componente tiene 1 litro de batido? 93 En una cafetería elaboran el zumo de naranja mezclando naranjas que cuestan 2 €/kg y otras que cuestan 3 €/kg. Por cada 2 kg de naranjas se obtiene 1 ℓ de zumo. Si queremos hacer 20 litros de zumo que cueste 4,50 € el litro, ¿qué cantidad de cada tipo de naranjas debemos utilizar? P R O B L E M A S A P A R E N T E M E N T E D I S T I N T O S 96 Expresa en lenguaje algebraico y resuelve. El triple de un número más el doble de otro suma ciento treinta; sin embargo, el doble del primer número más el triple del segundo solo suma ciento veinte. 97 Hoy han comenzado las rebajas. Javier ha comprado 2 pares de pantalones y 3 camisas por 120 €. Luis se ha gastado 130 € en 2 camisas y 3 pares de pantalones. ¿Cuánto cuesta cada prenda? 98 Lee y escribe en lenguaje algebraico. Después, calcula la solución. El doble de un número más el triple de otro es 9,9; además, el primer número más el cuádruple del segundo es 10,7. 99 Después del partido de baloncesto, mis compañeras y yo hemos tomado 2 botellas de agua y 3 refrescos que nos han costado 9,90 €. Ayer también fuimos al mismo lugar y por 4 refrescos y una botella de agua pagamos 10,70 €. ¿Cuánto cuesta cada bebida? 100 Estudia y resuelve, si es posible, la siguiente situación. La suma de dos números es 11 y el producto de uno de ellos por 11 más el producto del otro por 12 es 128. a) ¿Cuánto vale cada número? b) ¿Hay más de una solución en el problema anterior? 101 Hemos encargado comida a domicilio, menús con ensalada y carne a la plancha por 12 € y hamburguesas con guarnición a 11 € cada una. En total, 11 menús que cuestan 128 €. ¿Cuántas personas han pedido hamburguesa? 1 docena de churros 1/2 docena de porras + =6,90 € 5 # = + = 18 € Batido 3,95 €/ℓ Leche 0,85 €/ℓ NE WS FAKE ? Necesitamos 72 bocadillos, uno para cada persona que va a la excursión. Irá un monitor o monitora por cada 8 estudiantes, así que… Regalamos una gorra a cada estudiante. ¡Vale! ¿Cuántas compro? ¿Ya está todo organizado para la excursión? Raquel Helado 5,50 €/ℓ Producto Cantidad Plato combinado 4 Refresco/Agua 4 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = HOSPITAL REST Fecha 15/11/22 TOTAL 47 € - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Producto Cantidad Plato combinado 2 Refresco/Agua 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = HOSPITAL REST Fecha 16/11/22 TOTAL 25 € - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 141 140 ES0000000094712 931957_U06_125_145_95376.indd 140-141 3/2/22 15:40 ¡ r l t l! r t s lg la f t ría l s it l , la id st st t , s lt rlo. id r t los r ios ria , l t rs lo la r , ic los r ios ia . t , i 1 r r r l l i t ti l i tr . it i t r r r. ) la t ió s in it s r s st ia . ) s rib s sibles r s lt s los s si la t sid , . t t r r i r t , r ri r l r t r fi . l t i t i r l l . r tili il t . t t l, tr il t . t tili t il t r ri r il j , l i , . t t l r il . t il r j l t i t l. I . I . t l , l r t j j r t ir ti r r l % l t t l. t 4 j r tit i r t r , l l r r t i l j r t t t t l %. t j r ti tit ir r r l r ir t r ir t r l i I . . r rir lg t tr jo r liz r limin t ria , lg , ist tip t t r t . t i l s st r t . t s s st in r t . r st t r t t st . t s ) L r s s r rtir t s. i s t st t s las r t s, t s rt r ínim ) i n s c t st 1 pr t s y la p t ió fin l es p t s, ¿ t s pr t s s h c t st bie J i l r j r r i t l . r i t r , r l % t l i % l t l , r t , . l r l r i i r j r r t tr ti i r . tr i f til ti t l % r l tr lt , t . i l l t tr r 3 , t r lt t r i t t . t i ¡ l rti t i l ! t i t t t l t , tr l tir li r . t s st s s t s triples t ip t r r . tr , l r r l l l t r. t ti 1 l r . . ) t s s tie si s s ls t ía l le s s r ) t h q Els t ía el triple d e q A I . I . ti l l r i l l l . i l ti l ti l l , r t j t ti litr ti f t rí l r l r j l r j t / tr t / . r r j ti . i r r litr t , l litr , ti ti r j tili r I I r l j l r i r l . l triple r l le tr ie t tr int ; in r , l le l rim r r l triple l lo ie t int . l r j . J i r r r t l i r . i t i r t l . t t r ri l j l r i . , l l l l i . l le r l triple tr , ; , l rim r r l r le l , . l rti l t , i r t t l r fr t , . r t i f i l i l r r r fr t l , . t t i 1 t i r l , i i l , l i i t it i . r l r t l o r l r t l tr r . ) t le r ) lu ió l r le t rior 1 1 r i i ili , l r l l r r r i i . t t l, t . t r i r 1 d c r 1/ d p r , atid 3,95 €/ℓ L c 0,85 €/ℓ it il , r r l r i . Ir it r it r r t i t , í l r t i t . ¡V l ! ¿ t r ? ¿ t t r i r l r i ? l la 5,50 €/ℓ r t ti l t c i R fr sc / = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = I F c / / - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - r t ti l t c i fr sc / 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = I F c / / - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 1 ES0 94712 931957_ 06_125_145_95376.ind 140-141 3/2/2 15:40 6 S I T U A C I Ó N D E A P R E N D I Z A J E 1 La importancia del formato Desde el origen de los teléfonos inteligentes, el formato más utilizado en las pantallas era 16 : 9. Esto hacía que todos los contenidos audiovisuales que se generaban se adaptasen a este formato. En un teléfono con formato de pantalla 16 : 9, ¿cuál será la longitud en vertical de la pantalla si mide 11,36 cm en horizontal? ¿Y la longitud en horizontal si la pantalla mide 7,5 cm en vertical? Considera la variable x como la longitud en horizontal de la pantalla y la variable y como la longitud en vertical. Escribe una ecuación lineal con estas dos incógnitas que relacione estas medidas en una pantalla de formato 16 : 9. 3 Ahora viene el problema de los datos Una pantalla con resolución Full HD en formato 16 : 9 tiene en total más de 2 millones de píxeles. Cada imagen que se reproduzca en esa pantalla necesita almacenar la información de cómo se tienen que iluminar todos esos píxeles. Eso hace que el consumo de datos sea muy grande. Un vídeo es una serie de imágenes que se proyectan a gran velocidad, normalmente se utilizan 24 imágenes por segundo. ¿Cuántos megabytes se necesitan para reproducir una imagen en una pantalla con formato 16 : 9 en una resolución Full HD? ¿Y 20 segundos de vídeo? Considera x como el número de columnas de píxeles que tiene una pantalla e y como el número de píxeles que tiene cada columna. Escribe una fórmula que nos dé el número de megabytes que se necesitan para reproducir una imagen en una pantalla con formato 16 : 9 en resolución Full HD. Formatos de pantalla El formato en un teléfono móvil es la relación que existe entre el ancho y el alto de su pantalla . El formato más habitual suele ser 16 : 9. Esto significa que por cada 9 cm que mida en vertical debe medir 16 cm en horizontal . O lo que es lo mismo: , 9 16 1 78 = " Por cada centímetro que mida en vertical , debe medir 1,78 cm, aproximadamente, en horizontal . Es decir, un teléfono cuya pantalla mida 6,95 cm de alto medirá 6,95 ? 1,78 = 12,371 cm de ancho. Resolución de pantalla Las imágenes que ves en un móvil se forman iluminando multitud de puntos que se encuentran en la pantalla . Estos puntos se llaman píxeles. La resolución de la pantalla viene dada por el número de píxeles que tiene. Cuanto mayor número de píxeles haya , mayor resolución tendrán las imágenes y aumentará el consumo de datos. Si tu móvil tiene un formato de pantalla 16 : 9 y una resolución Full HD, significa que la pantalla está formada por 1 920 columnas de píxeles. Para calcular cuántos píxeles hay en cada columna , hay que resolver la siguiente operación : ? x x 1 920 9 16 16 1 920 9 1 080 = = = " Es decir, un móvil con formato de pantalla 16 : 9 y con resolución Full HD tiene 1 920 columnas con 1 080 puntos de luz en cada línea . En total: ? 1 920 1 080 2 073 600 = píxeles. Por tanto, cada imagen que veas en tu móvil está formada por más de 2 millones de puntos de luz. 1 cm 1,78 cm G F G F ¡Qué grande es el cine! 2 La resolución En ocasiones, se tiende a confundir el tamaño de una pantalla con la resolución. Sin embargo, dos pantallas de igual tamaño pueden tener resoluciones distintas y, en consecuencia, ofrecernos resultados completamente diferentes. Una pantalla con formato 16 : 9 en resolución Ultra HD, ¿cuántas columnas de píxeles tiene? ¿Y cuántos píxeles en cada columna? Considera x como el número de columnas de píxeles que tiene una pantalla e y como el número de píxeles que tiene cada columna. Escribe una ecuación lineal que relacione estas variables en una pantalla con formato 16 : 9. Equivalencia píxel-bytes 1 píxel = 2 bytes Unidades de información • 1 byte (b) = 8 bits • 1 kilobyte (KB) = 103 bytes • 1 megabyte (MB) = 106 bytes • 1 gigabyte (GB) = 109 bytes • 1 terabyte (TB) = 1012 bytes Resoluciones para el formato 16 : 9 • 4 K: ℎ = 4 096 píxeles • Ultra HD: ℎ = 3 840 píxeles • Full HD: ℎ = 1 920 píxeles • HD: ℎ = 1 280 píxeles 143 142 ES0000000094712 931957_U06_125_145_95376.indd 142-143 3/2/22 15:40 E ¿ C produzca en esa pantalla necesita al ¿ Considera como el número de columnas de píxeles = " P . u mó nt cada co 1 G F G F U C s Eq íx l-bytes byte (KB 3 1 megab Resoluciones para i R E S U M E N D E U N I D A D 9 A U T O E V A L U A C I Ó N 1. Identifica los principales poliedros y cuerpos de revolución 1 ¿Qué polígono regular tiene más vértices? a) Cubo. c) Dodecaedro. b) Octaedro. d) Icosaedro. 2. Calcula áreas de cuerpos geométricos 2 Calcula el área de este prisma pentagonal regular. a) 31,25 cm2 b) 42 cm2 c) 52,75 cm2 d) 63,3 cm2 3. Identifica ejes y planos de simetría en poliedros 3 ¿Cuál es un eje de simetría del prisma? 4. Halla volúmenes de cuerpos geométricos 4 ¿Cuál es la altura de una pirámide de base octogonal de lado 1 cm y apotema 1,21 cm, si su volumen es de 8,07 cm3? a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm 5 Calcula el volumen de este cuerpo geométrico. a) 150 cm3 c) 523 cm3 b) 262 cm3 d) 785 cm3 5. Conoce los elementos de la esfera terrestre y las coordenadas geográficas 6 ¿Qué longitud y latitud separan los puntos A(14° E, 55° N) y B(37° O, 45° S)? a) Longitud: 51° Latitud: 100° c) Longitud: 23° Latitud: 10° b) Longitud: 100° Latitud: 51° d) Longitud: 10° Latitud: 23° 1,72 cm 2,5 cm 2,5 cm PR I SMAS P I RÁM I DES C I L I NDROS CONOS ES F ERAS h h r 2rr h r h PB A = PBase ? h + 2ABase V = ABase ? h A = 2rr(h + r) V = rr2h A = rr(g + r) V r h 3 1 2 r = A = 4rr2 V r 3 4 3 r = a a al h r r g 2rr g r ? ? A A P a V A h 2 3 1 Base Base Base = + = F 1,21 cm F a) b) c) d) 5 cm 10 cm G • ¿Qué aportan las matemáticas a tu vida? • ¿Cómo valoras las opiniones diferentes a la tuya? V A L O R A T U A P R E N D I Z A J E 210 ES0000000094712 931957_U09_187_210_100062.indd 210 4/2/22 9:04 PASA A LA ACCIÓN: SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 5 EVALÚA LO QUE HAS APRENDIDO: AUTOEVALUACIÓN 6 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones generalizadas en nuestro mundo. Repasa los saberes básicos de la unidad. Evalúa lo que has aprendido resolviendo las actividades que se proponen en la AUTOEVALUACIÓN. Identifica y gestiona tus emociones aceptando el error como parte de tu aprendizaje. Comprende y analiza con sentido crítico situaciones reales en los contenidos que has aprendido para abordarlas de manera global.
Calcular el m. c. d. y el m. c. m. de varios números • El m. c. d. se obtiene multiplicando los factores primos comunes elevados al menor de sus exponentes. • El m. c. m. se obtiene multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de sus exponentes. E J E M P LO Calcula el m. c. d. y el m. c. m. de 18 y 27. 18 = 2 ? 32 m. c. d. (18, 27) = 32 = 9 27 = 33 m. c. m. (18, 27) = 2 ? 33 = 54 A C T I V I D A D E S 2 Decide cuál es el mínimo común múltiplo de 15 y 21. a) 3 b) 21 c) 45 d) 105 Descomponer en factores primos Descomponer factorialmente un número es escribirlo como producto de potencias de números primos. E J E M P LO Realiza la descomposición factorial de 18 y 28. 18 2 18 : 2 " 9 3 9 : 3 " 3 3 3 : 3 " 1 18 = 2 ? 3 ? 3 = 2 ? 32 32 28 2 28 : 2 " 14 2 14 : 2 " 7 7 7 : 7 " 1 28 = 2 ? 2 ? 7 = 22 ? 7 22 A C T I V I D A D E S 1 ¿Cuál es la descomposición de 90 en factores primos? a) 2 ? 32 ? 7 b) 2 ? 32 ? 5 c) 2 ? 3 ? 5 d) 23 ? 5 ¿Qué sabes ya? Números racionales 1 Un montón… En un montón de piedras hay 33 piedras que pesan 1 g, 2 g, 3 g… y 33 g, respectivamente. ¡A que no las repartes en tres montones que pesen lo mismo! D E SA F Í O 9
Una fracción es una expresión b a , con a y b números enteros y b ! 0. Al número a se le llama numerador, y a b, denominador. Fracciones equivalentes Dos fracciones b a y d c son equivalentes, y se escribe b a d c = , si se cumple que a ? d = b ? c. E J E M P LO 1. Escribe fracciones que cumplan lo siguiente. a) Sus dos términos son positivos: , 5 2 4 3 b) Tienen un término positivo y otro negativo: , 6 1 9 7 - - c) Sus dos términos son negativos: , 5 7 3 4 - - - - E J E M P LO 2. Decide si estas fracciones son equivalentes. a) 10 8 15 12 y - - ? ? ( ( ) ) 8 15 120 10 12 120 10 8 15 12 y = - - = - - " " ) son equivalentes. b) 5 3 25 16 y - - ? ? ( ) ( ) 3 25 75 5 16 80 5 3 25 16 y - = - - = - - - " " ) no son equivalentes. Todo número entero puede expresarse en forma de fracción. 3 1 3 2 6 3 9 … = = = = 4 1 4 2 8 3 12 … - = - = - = - = 1. Fracciones R E T O ¿Qué fracción del cuadrado está coloreada? 1 Escribe en forma de fracción. a) En una ciudad, 8 de cada 45 habitantes son mayores de 65 años. b) En el examen de Matemáticas resolví bien 5 de los 6 problemas. c) Esta semana ha habido 25 nacimientos en el hospital. En total han nacido 14 niñas. 2 Comprueba si estas fracciones son equivalentes. a) 12 10 18 16 y - - b) 42 12 49 14 y - - 3 Relaciona las fracciones que sean equivalentes. , , , , , , , 3 2 2 3 12 8 6 4 3 2 6 4 6 9 9 6 - - - - - - - - 4 R E F L E X I O N A . Inventa dos fracciones equivalentes de forma que: a) Sus numeradores sean uno el opuesto del otro. b) Sus denominadores sean de diferente signo y distinto valor absoluto. c) El denominador de una sea igual al numerador de la otra. d) Sus numeradores sean uno múltiplo de otro. A C T I V I D A D E S 10
1 5 Calcula el valor desconocido en estas igualdades. 6 Escribe fracciones equivalentes a 2 y a -3. ¿Cuántas fracciones equivalentes a un número entero existen? 7 Encuentra el término desconocido en cada caso. a) x 5 10 - = b) x 4 11 = c) x 7 14 = - 8 Escribe una fracción equivalente a 8 10 tal que: a) Su numerador es múltiplo de 3. b) Su denominador es múltiplo de 10 y su numerador es impar. 9 Calcula el valor de x e y. a) y x 25 18 5 3 = = d) y x 10 9 5 27 = = b) x y 21 35 6 7 = = e) x y 28 11 7 33 = = c) x y 9 6 18 2 = = f ) x y 5 6 24 35 = = 10 Determina los valores desconocidos y completa en tu cuaderno. a) 3 5 15 24 30 12 = = = - = 4 4 4 4 b) 11 2 121 18 30 77 = = - = = - 4 4 4 4 c) 8 12 3 4 40 45 = = - = = - 4 4 4 4 11 Escribe una fracción equivalente a 5 2 y otra equivalente a 4 9 tales que tengan el mismo: a) Denominador. b) Numerador. A C T I V I D A D E S Cómo se halla el término desconocido de una fracción equivalente a otra Calcula los términos desconocidos para que estas fracciones sean equivalentes. a) x 3 5 12 - = b) x 7 4 8 = - 1 Aplicamos la propiedad que deb en cumplir las fracciones equivalentes. x 3 60 20 = - = - La fracción equivalente a 3 5 - con denominador 12 es 12 20 12 20 - = - . x 4 56 14 = - = - La fracción equivalente a 7 4 con numerador -8 es 14 8 14 8 - - = . El coeficiente de x pasa dividiendo con su signo. Una fracción equivalente a una fracción negativa es siempre negativa. Una fracción equivalente a una fracción positiva es siempre positiva. a) x 3 5 12 - = b) x 7 4 8 = - 5 ? 12 = -3 ? x 4 ? x = 7 ? (-8) 60 = -3x 4x = -56 2 Despejamos el valor desconocido. Las fracciones del tipo b a - y b a - se escriben como - b a . 4 3 4 3 4 3 - = - = - se denominan fracciones negativas. Las fracciones del tipo b a - - se escriben como b a . 8 7 8 7 - - = se denominan fracciones positivas. a) x 8 6 18 = d) x 3 7 12 - = - b) x 2 5 8 = e) x 5 4 12 - = c) x 4 6 9 = f ) x 8 7 56 = - 11
2. Fracción irreducible 2.1. Amplificación y simplificación de fracciones Existen dos métodos para obtener fracciones equivalentes a una fracción . Amplificar. Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Simplificar. Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción entre un divisor común a ambos distinto de la unidad . 2.2. Fracción irreducible La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción equivalente a ella en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de la unidad . ? ? b a b n a n = : : b a b n a n = E J E M P LO 3. Escribe tres fracciones equivalentes a 12 8 por amplificación y dos más por simplificación. Amplificación " ? ? 12 4 12 2 4 2 24 8 = = ? ? 12 4 12 3 4 3 36 12 = = ? ? 12 4 12 4 1 4 4 48 6 = = Simplificación " : : 12 4 12 2 4 2 6 2 = = : : 12 4 12 4 4 4 3 1 = = E J E M P LO 4. Decide si estas fracciones son irreducibles. a) 32 6 ? 6 2 3 32 25 = = " " ) 6 y 32 tienen un divisor común, 2. No es irreducible. b) 14 15 ? ? 15 3 5 14 2 7 = = " " ( 15 y 14 no tienen divisores comunes. Es irreducible. 12 Halla dos fracciones equivalentes por amplificación y otras dos por simplificación. a) 18 6 b) 27 9 c) 30 10 d) 42 28 13 Estudia si las siguientes fracciones son irreducibles. a) 16 6 b) 42 23 - c) 105 36 - d) 41 39 14 Calcula, si se puede, fracciones equivalentes a estas con denominador impar. a) 18 30 - b) 20 12 c) 6 15 d) 30 6 - 15 R E F L E X I O N A . Decide si estas fracciones pueden ser irreducibles, donde n es un número entero. a) n n 1 + b) n n 1 + c) n n 2 + A C T I V I D A D E S R E T O Quitar una cifra de cada fracción las hace irreducibles. 19/95, 26/65, 16/64 Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar. Cada fracción tiene una única fracción irreducible equivalente a ella. 12
1 16 Halla las fracciones irreducibles de las siguientes. a) 72 56 d) 143 22 g) 120 70 - j) 810 81 b) 45 35 - e) 91 14 h) 108 90 k) 105 45 c) 14 4 f ) 92 23 i) 54 36 - l) 108 99 - 17 Decide si estas fracciones son irreducibles o no, sin hacer los cálculos, utilizando los criterios de divisibilidad. Reduce aquellas que no lo sean. 18 Copia y completa los huecos para que estas fracciones sean propias y, además, irreducibles. Justifica qué números puedes colocar y cuáles no. a) 6 4 b) 6 4 c) 15 4 d) 15 4 e) 36 4 f ) 36 4 19 Comprueba si estos pares de fracciones son equivalentes, hallando previamente su fracción irreducible. a) 8 14 12 21 y c) 10 12 25 30 y e) 18 8 43 20 y b) 18 15 35 30 y d) 9 12 15 20 y f ) 12 9 28 21 y 20 Calcula dos fracciones diferentes cuya fracción irreducible sean las siguientes. a) 5 6 d) 11 3 g) 17 6 - b) 7 4 - e) 9 4 - h) 5 4 c) 12 5 f ) 13 12 i) 17 23 21 Agrupa las fracciones que tengan la misma fracción irreducible. a) 75 50 18 12 10 15 27 18 24 36 60 90 20 30 15 10 30 45 b) 24 42 40 56 20 28 36 45 12 21 - - - - - 16 20 12 15 15 21 8 10 - - - - A C T I V I D A D E S Cómo se calcula la fracción irreducible Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones. a) 60 36 b) 135 90 - 1 Calculamos el m. c. d. del numerador y del denominador de la fracción, sin tener en cuenta el signo. 2 Dividimos el numerador y el denominador entre el m. c. d. que hemos calculado. 36 = 22 ? 32 60 = 22 ? 3 ? 5 90 = 2 ? 32 ? 5 135 = 33 ? 5 m. c. d. (36, 60) = 12 m. c. d. (90, 135) = 45 : : 60 36 60 12 36 12 5 3 = = : : 135 90 135 45 90 45 3 2 - = - = - La fracción irreducible de 60 36 es 5 3 . La fracción irreducible de 135 90 - es 3 2 - . 36 18 9 3 1 2 2 3 3 90 45 15 5 1 2 3 3 5 60 30 15 5 1 2 2 3 5 135 45 15 5 1 3 3 3 5 Como la fracción irreducible a otra fracción dada es equivalente a ella, ambas deben tener el mismo signo. La fracción irreducible de una fracción positiva es siempre positiva. La fracción irreducible de una fracción negativa es siempre negativa. a) 21 15 d) 45 24 g) 13 11 b) 8 15 e) 45 15 h) 81 27 c) 60 50 f ) 125 6 i) 202 27 13
3.2. Comparación de fracciones Para comparar fracciones, primero las reducimos a común denominador. Será mayor la fracción que tenga mayor numerador. G E O G E B R A 3.1. Reducción a común denominador Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener otras fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. E J E M P LO 5. Reduce a común denominador las fracciones 6 5 14 9 y - . Para hallar el denominador común, calculamos el m. c. m. de los denominadores. ? ? ? ? . . ( , ) 6 2 3 14 2 7 6 14 2 3 7 42 m c m. = = = = 2 Para hallar los numeradores, dividimos el m. c. m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por su numerador. ? 6 5 42 5 7 42 35 = = ? 14 9 42 9 3 42 27 - = - = - E J E M P LO 6. Ordena de menor a mayor estas fracciones: , , 6 5 9 4 12 7 . Primero reducimos a común denominador: m. c. m. (6, 9 y 12) = 36 " ? ? 6 5 6 6 5 6 36 30 = = ? ? 9 4 9 4 4 4 36 16 = = ? ? 12 7 12 3 7 3 36 21 = = Después, comparamos las fracciones y las ordenamos: 36 16 36 21 36 30 9 4 12 7 6 5 1 1 1 1 " 22 Reduce las fracciones a común denominador. a) 12 7 18 5 y b) 20 11 35 14 y c) , 10 7 15 6 45 23 y 23 Ordena de menor a mayor estas fracciones. a) , 10 7 6 5 9 4 y c) , 12 5 15 4 18 7 y b) , 15 8 25 12 50 27 y d) , 21 4 18 11 4 3 y 24 Ordena de mayor a menor, reduciendo previamente a común denominador. a) , 3 5 9 13 12 17 y b) , 10 4 15 8 20 10 y 25 R E F L E X I O N A . En cada caso, encuentra una fracción comprendida entre estas dos. a) 2 1 3 1 y b) 5 2 6 2 y - - c) 7 3 7 4 y A C T I V I D A D E S 3. Comparación de fracciones Existen infinitos denominadores comunes. El menor de ellos es el m. c. m. de los denominadores. 14
1 4.1. Suma de fracciones Para sumar fracciones con igual denominador se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Para sumar fracciones con distinto denominador, primero se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman como fracciones con igual denominador. 4.2. Resta de fracciones Para restar fracciones que tienen el mismo denominador se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Para restar fracciones que tienen distinto denominador, primero se reducen las fracciones a común denominador y, después, se restan como fracciones con igual denominador. E J E M P LO 7. Suma estas fracciones. m. c. m. (6, 15) = 30 simplificando F F 6 2 15 3 - + 30 10 30 6 30 10 6 30 4 15 2 = - + = - + = - = - E J E M P LO 8. Realiza esta resta. m. c. m. (1, 15) = 15 F 15 7 2 - ? ? 15 7 1 2 15 7 1 15 2 15 15 7 15 30 15 23 = - = - = - = - 4. Operaciones con fracciones Los números enteros se pueden representar como fracciones de denominador 1. 26 Calcula estas sumas y restas de fracciones. a) 5 3 6 5 10 1 + + c) 5 7 3 4 10 1 - - b) 9 7 6 1 12 1 + + d) 3 1 6 5 12 3 - - 27 Opera con los siguientes números. a) 3 2 4 1 1 - + c) 9 5 7 4 3 - + + b) 5 3 6 7 2 - - d) 2 5 6 9 7 - - 28 Resuelve. a) 8 1 1 6 1 4 3 8 1 6 2 - + - + - - b) 3 8 6 2 1 3 1 2 6 1 4 1 - + - - + - + c) 10 1 2 1 2 4 1 20 1 10 1 5 2 - + - + + - + 29 R E F L E X I O N A . Encuentra dos fracciones con denominadores 2 y 4 tales que al restarlas el resultado sea un número entero negativo. A C T I V I D A D E S Al operar con fracciones hay que simplificar el resultado hasta obtener la fracción irreducible. 15
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