6 Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Cómo se calcula un porcentaje El tanto por ciento, a, de una cantidad, C, se calcula así: ? % a C a C 100 de = E J E M P LO Calcula el 18 % de 300 €. 18 % de 300 = ? ? , 100 18 300 0 18 300 54 = = € El 12 % de una cantidad es 30 €. ¿Cuál es la cantidad? 30 = ? ? C C 100 12 12 30 100 250 = = " € A C T I V I D A D E S 2 Calcula el 15 % de 120. a) 8 b) 18 c) 180 d) 800 3 El 20 % de una cantidad es 125. ¿Cuál es la cantidad? a) 25 b) 250 c) 500 d) 625 Qué es un intervalo Un intervalo de extremos a y b está formado por todos los números comprendidos entre a y b. Los extremos pueden estar contenidos o no en el intervalo. ABIERTO: el extremo no pertenece al intervalo. CERRADO: el extremo pertenece al intervalo. a b F F (a, b] F F E J E M P LO 3 4 5 Los puntos 3; 3,01; 4; 4,9; … pertenecen al intervalo [3, 5). A C T I V I D A D E S 1 ¿Qué punto pertenece al intervalo (-2, 7]? a) -2 b) -2,1 c) 7 d) 7,01 ¿Qué sabes ya? Estadística y probabilidad 12 Secreto... ¿secreto? ¿Sabes que uno de los métodos para descifrar un mensaje es analizar la frecuencia de sus letras? 14 12 10 8 6 4 2 A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z Frecuencia de las letras ¿Qué pone aquí? OEFO XOFAÑA OE XGJ BANA EOQGDA BLDL XLYÑLD XOYELTOE EONDOFAE D E SA F Í O 253 ES0000000094712 931957_U12_253_277_100923.indd 253 4/2/22 10:31 21 Halla el perímetro y el área de estos polígonos. a) b) 22 Averigua la medida del lado de este polígono regular de área 101 cm2. 23 R E F L E X I O N A . Calcula la altura y el perímetro de un triángulo equilátero de área 3 cm2. A C T I V I D A D E S 5.2. Área y perímetro de un polígono regular El perímetro de un polígono regular es igual al producto de la medida de uno de sus lados por el número de lados, n. P = n ? l E J E M P LO 10. Calcula el perímetro y el área de estos polígonos regulares. a) ? ? P n l 40 5 8 cm = = = ? ? , A P a 2 2 40 5 5 110 cm2 = = = b) Por ser un hexágono regular: l = r = 3,5 cm ? ? , P n l 21 6 3 5 cm = = = ? ? , A P a 2 2 21 3 31 5 cm2 = = = El área de un polígono regular también en función del lado es: ? A P a 2 = P = n ? l " ? ? A n l a 2 = Cualquier polígono regular se puede descomponer en tantos triángulos isósceles iguales como número de lados tenga . El área de cada triángulo es ? A l a 2 t = , donde l es el lado del polígono y a es la apotema . Para obtener el área del polígono hay que multiplicar por el número de triángulos en que lo hemos dividido: ? ? ? ? ? ? A n A n l a n l a P a 2 2 2 t Total = = = = siendo n el número de lados y P el perímetro del polígono regular. Apotema G Radio Lado El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre 2. ? A P a 2 = 3 cm 3,5 cm 8 cm 5,5 cm 5,4 cm 101 cm2 10 cm 10,4 cm 7,7 cm 5 cm El hexágono regular es el único polígono en el que el lado es igual al radio. 152 ES0000000094712 931957_U07_145_164_99428.indd 152 3/2/22 16:25 1. Representa e interpreta información cuantitativa con racionales 59 Expresa estos enunciados utilizando una fracción. a) Ya he aprobado 4 de las 8 asignaturas que tenía. b) He visto 3 de las 5 películas de estreno. c) Los bebés de 1 mes duermen 17 horas al día. d) Nos hemos comido una barra y media de pan. A C T I V I D A D E S F L A S H 60 I N V E S T I G A . Escribe la fracción que representa la parte coloreada. Cómo se representa una fracción en la recta numérica 61 Representa las fracciones. a) 5 4 b) 6 11 Si el numerador es menor que el denominador: primero. Se divide el segmento entre 0 y 1 en tantas partes como indique el denominador, 5. segundo. Se toman las partes que señale el numerador, 4. a) 0 5 4 1 Si el numerador es mayor que el denominador: primero. Se expresa la fracción como la suma de un número natural más una fracción propia. 1 1 6 5 1 6 11 1 6 5 = + segundo. La fracción está comprendida entre el cociente y su número natural siguiente. En este caso es entre 1 y 2. Se representa en este tramo la fracción que aparece en la suma, 6 5 . b) 1 2 F 6 11 1 6 5 = + G E O G E B R A 62 Representa en la recta numérica estas fracciones. a) 2 5 b) 10 7 c) 6 5 d) 5 2 - e) 3 8 - 63 Indica la fracción que representa cada letra. 0 1 A B C D 2 3 4 69 J U E G O . Dos jugadores lanzan un dado cada uno y forman una fracción menor o igual que 1. Si es irreducible, gana quien tenga el denominador de la fracción. ¿Cuántas fracciones irreducibles podéis obtener? ¿Qué fracción representa respecto del total de posibilidades? 70 Decide si estas fracciones son irreducibles y, en caso contrario, simplifícalas. a) 4 7 b) 9 12 c) 200 124 d) 17 51 e) 65 13 71 I N V E S T I G A . Dos fracciones equivalentes a 2 1 y a 3 1 con el mismo denominador, ¿pueden ser irreducibles? 72 Descompón el numerador y el denominador de estas fracciones en factores primos. Después, simplifica hasta obtener la fracción irreducible. a) 98 56 b) 60 108 c) 294 504 d) 375 250 e) 1 260 210 73 I N V E S T I G A . ¿Verdadero o falso? «Cualquier fracción es equivalente a su fracción irreducible». Comparación de fracciones 74 Ordena de menor a mayor estas fracciones. a) , , , , , , , 7 3 7 8 7 11 7 1 7 4 7 2 7 3 7 5 - - - - - b) , , , , , , , 2 6 5 6 9 6 3 6 7 6 5 6 4 6 10 6 - - A C T I V I D A D E S F L A S H 75 La altura de la torre Eiffel coincide con el denominador común a estas fracciones. ¿Cuál es? 4 1 6 5 9 2 12 7 18 11 27 17 36 7 54 11 81 13 108 5 76 ¿Quién escribió La vida del Buscón? Ordena las fracciones de mayor a menor para averiguarlo. U E Q D O E V 15 7 15 2 - 3 7 10 3 - 5 3 - 10 3 10 1 Fracciones equivalentes 64 Indica la fracción que representa la parte coloreada de cada figura. Después, relaciona las fracciones que sean equivalentes. A C T I V I D A D E S F L A S H 65 Resuelve el crucigrama, calculando x para que las fracciones sean equivalentes. HORIZONTALES 1. x 1 36 18 = 2. x 7 2 72 = 3. x 6 3 17 = x 2 7 4 = 4. x 63 4 6 = x 63 3 2 = 5. x 14 52 7 = x 3 6 1 = 6. x 15 2 50 = 7. x 1 60 12 = VERTICALES 1. x 2 24 12 = 6. x 49 7 64 = 2. x 28 2 23 = 7. x 7 16 56 = 3. x 3 8 1 = x 9 1 7 = 4. x 3 5 15 = x 15 1 5 = 5. x 3 7 1 = x 12 45 4 = 66 Obtén, por amplificación, tres fracciones equivalentes. a) 3 2 b) 5 4 - c) 2 7 d) 7 6 - 67 Obtén tres fracciones equivalentes por simplificación. a) 100 50 b) 90 60 c) 32 8 d) 540 180 Fracción irreducible 68 Halla la fracción irreducible de estas fracciones. a) 70 28 b) 18 45 c) 112 40 d) 55 88 e) 315 63 C Á L C U L O M E N TA L C Á L C U L O M E N TA L a c t i v i da d e s f i n a l e s Sobrante al final a) b) c) d) e) f ) 24 ES0000000094712 931957_U01_009_032_94323.indd 24 2/2/22 16:48 5 70 I N V E N TA . Escrib , en cada caso, una ecuación de segundo grado que cumpla estas condiciones. a) Tiene como solución única x = 2. b) Una de sus soluciones es x = -1, el término independiente es -3 y el coeficiente de x2 es 1. c) No tiene solución, es incompleta y el coeficiente de x2 es 2. 71 J U E G O . Elaborad 12 cartas con estas ecuaciones. x 2 50 2 = x x 2 2 + = ( ) x x 2 1 - = - x x 3 9 2 = - x x 2 2 - = ( ) x x 1 6 + = x 2 8 2 = x x 10 7 2 + = ( ) x x 3 10 - = x x 3 6 2 = x x 6 7 2 + = ( ) x x 2 1 + = En cada turno, una persona saca una carta, resuelve la ecuación y muev su ficha en el ta lero tantas casillas como marque una de sus soluciones, eligiendo la solución que le interese. La escalera sirve para avanzar; sin embargo, la cabeza de la serpiente te desliza hasta la cola. Gana quien primero llegue a la meta. 72 I N V E S T I G A . D v lores a y b para que la ecuación ax2 + bx - 16 = 0 tenga dos soluciones diferentes. Busca otros valores de a y b para que tenga una única solución y otros para que no tenga solución. 73 R E T O . ¿Cómo hallarías las soluciones de esta ecuación? ( ) x x 5 5 1 x x 2 4 60 2 - + = + - Ecuaciones de grado superior a 2 74 Resuelve estas ecuaciones bicuadradas. a) x x 8 15 0 4 2 - + = d) x x 24 25 0 4 2 - - = b) x x 5 4 0 4 2 - + = e) x x 5 6 0 4 2 + + = c) x x 3 2 0 4 2 + + = f ) x 9 0 4 - = 75 Calcula los valores de x que cumplan estas igualdades. a) x x x 2 8 0 2 3 2 + - = d) x x x 2 11 12 0 3 2 - + = b) x x x 2 0 4 3 2 - + = e) x x x 4 4 16 0 3 2 - - + = c) x x x x 2 3 2 3 3 - = + f ) x x x 2 3 3 4 3 3 - + = - + 76 I N V E N TA . Escribe una ecuación de grado cuatro con soluciones x1 = 1, x2 = -2, x3 = 3, x4 = -4. 77 I N V E S T I G A . Al igual que existe una fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, investiga si existe otra para ecuaciones de tercer grado; en caso afirmativo, discute si es fácil de usar. 78 Halla con ayuda de una ecuación. a) Tres números enteros consecutivos tales que su producto es -60. b) Dos números naturales pares consecutivos tales que su producto es 168. c) Tres números enteros impares consecutivos tales que su producto es -105. 2. Formula una situación de la vida cotidiana mediante ecuaciones 79 Escribe en forma de ecuación y contesta. a) La ficha amarilla estaba en la casilla 41 y en tres tiradas llega a la 50. Si ha sacado la misma puntuación las tres veces, ¿qué número sacó? b) La ficha roja estaba en la casilla 19 hace tres tiradas y ahora está en la 31. En la primera tirada sacó un 2 y en las otras dos sacó el mismo número. ¿Qué puntuación obtuvo en las dos tiradas? c) La ficha azul estaba en la casilla 11 hace dos tiradas. ¿Cuáles han podido ser las puntuaciones que ha obtenido en las dos tiradas? 80 Laura paga 67,50 € por estos tres pantalones. ¿Cuánto cuesta cada uno? ¿Cuánto costarían dos? 81 Una ruta de senderismo larga se ha planeado hacer en 15 etapas de la misma distancia. Hoy han terminado la séptima etapa, pero aún les quedan 12 km para llegar a la mitad de la ruta. ¿Qué longitud tiene la ruta? I N T E R N E T DTO 50 % 3.ª unidad DTO. 25 % 2.ª unidad 119 ES0000000094712 931957_U05_105_124_94426.indd 119 3/2/22 15:13 7 24 Halla el perímetro de estos polígonos. a) Heptágono de radio 5 cm y apotema 4,5 cm. b) Eneágono de radio 8 cm y apotema 7,5 cm. 25 Calcula el área de estos polígonos regulares. a) b) 26 Calcula el perímetro y el área de estos hexágonos. a) b) 27 Calcula el radio de estos polígonos regulares. a) Pentágono de área 42 cm2 y apotema 3,4 cm. b) Heptágono de área 102 cm2 y apotema 5,5 cm. c) Endecágono de área 81 cm2 y apotema 5 cm. A C T I V I D A D E S Cómo se calcula el área de un polígono regular utilizando el teorema de Pitágoras Calcula el área de estos polígonos regulares. a) b) 1 Determinamos los elementos necesarios para calcular el área de la figura. 2 Identificamos el triángulo rectángulo que determina la medida desconocida. 3 Aplicamos el teorema de Pitágoras y despejamos para calcular la medida desconocida. 4 Hallamos el área de la figura. 1,7 cm 2 cm 5,2 cm 3,55 cm 2 cm 7,8 cm a) ? ? A n l a 2 = b) ? ? A n l a 2 = n = 5 lados n = 8 lados l = 6 cm l " Desconocido a " Desconocida a = 11 cm , , , , , a a a a 5 1 2 6 26 01 9 26 01 9 17 01 4 12 cm 2 2 2 2 2 = + = + = - = = e o , , , , , , l l l l l 11 9 11 2 141 61 121 2 4 141 61 121 20 61 82 44 9 08 cm 2 2 2 2 2 2 = + = + = - = = = " e e o o ? ? ? ? , , A n l a 2 2 4 12 61 8 5 6 cm2 = = = = ? ? ? ? , , A n l a 2 2 8 11 399 52 8 9 0 cm2 = = = = 6 cm 5,1 cm 6 cm 5,1 cm 11 cm 11 cm 11,9 cm 11,9 cm La apotema es perpendicular al lado y lo corta en su punto medio. En los polígonos regulares, el radio, la apotema y la mitad del lado forman un triángulo rectángulo. l 2 r a 153 ES0000000094712 931957_U07_145_164_99428.indd 153 3/2/22 16:25 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Afianza esos saberes mediante los EJEMPLOS incluidos para cada contenido. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL aprendiendo, paso a paso, las destrezas básicas. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Pon a prueba tus conocimientos y ayúdate de tu razonamiento matemático para resolver el RETO. ¡Llegarás a resultados inesperados! Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: JUEGOS, INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver estas actividades mediante CÁLCULO MENTAL, utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Aprende a partir de textos claros y estructurados. Recuerda los contenidos que ya sabes y que te serán útiles para la unidad. Evalúa esos conocimientos resolviendo las actividades propuestas.
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