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Matema´ ticas Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Ana María Gaztelu Villoria Augusto González García José Lorenzo Blanco Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra Federico Rodríguez Merinero Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN Sonia Alejo Sánchez Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno. 1 B A C H I L L E R A T O

Índice Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 1 Números reales 9 1. Números racionales _ 10 2. Números irracionales _ 11 3. Números reales _ 12 4. Intervalos _ 14 5. Notación científica _ 15 6. Aproximaciones y errores _ 16 7. Acotación de errores _ 17 8. Radicales _ 18 9. Operaciones con radicales _ 20 10. Racionalización _ 21 11. Logaritmos _ 22 • Escribir números irracionales • Representar en la recta real los números de la forma n • Escribir un número en notación científica • Simplificar radicales • Reducir radicales a índice común • Racionalizar expresiones del tipo b a n • Racionalizar binomios con raíces cuadradas • Operar con números decimales periódicos 2 Ecuaciones e inecuaciones 37 1. Polinomios _ 38 2. Raíces de un polinomio _ 40 3. Factorización de polinomios _ 41 4. Fracciones algebraicas _ 42 5. Operaciones con fracciones algebraicas _ 43 6. Ecuaciones de segundo grado _ 44 7. Otros tipos de ecuaciones _ 46 8. Factorización de ecuaciones _ 47 9. Ecuaciones logarítmicas _ 48 10. Ecuaciones exponenciales _ 49 11. Inecuaciones _ 50 • Utilizar la regla de Ruffini para dividir polinomios • Calcular las raíces enteras de un polinomio • Factorizar un polinomio • Simplificar fracciones algebraicas • Reducir a común denominador fracciones algebraicas • Sumar y restar fracciones algebraicas • Resolver ecuaciones bicuadradas • Resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales • Resolver una inecuación de primer grado con una incógnita • Resolver una inecuación de segundo grado con una incógnita • Calcular las raíces de un polinomio con un parámetro 3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones 65 1. Sistemas de ecuaciones lineales _ 66 2. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas _ 67 3. Discusión de un sistema de ecuaciones _ 69 4. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas _ 70 5. Método de Gauss _ 71 6. Discusión de un sistema por el método de Gauss _ 72 7. Sistemas de ecuaciones no lineales _ 74 8. Sistemas de inecuaciones _ 75 • Resolver un sistema con el método de sustitución • Resolver un sistema con el método de igualación • Resolver un sistema con el método de reducción • Resolver un sistema con el método gráfico • Resolver un sistema de tres ecuaciones por el método de Gauss • Resolver un sistema expresado matricialmente por el método de Gauss • Resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita • Resolver una inecuación lineal con dos incógnitas 4 Trigonometría 91 1. Medida de ángulos _ 92 2. Razones trigonométricas _ 93 3. Relaciones entre razones trigonométricas _ 94 4. Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60° _ 95 5. Razones de un ángulo cualquiera _ 96 6. Fórmulas trigonométricas _ 98 7. Ecuaciones trigonométricas _ 100 8. Resolución de triángulos rectángulos _ 101 9. Teorema del seno _ 102 10. Teorema del coseno _ 103 11. Resolución de triángulos cualesquiera _ 105 • Transformar grados en radianes, y viceversa • Calcular las razones de un ángulo reduciéndolo al 1.er cuadrante • Calcular las razones de ángulos mayores que 360 ° • Resolver un triángulo rectángulo conociendo dos lados o un ángulo y un lado • Resolver un triángulo conociendo sus tres lados o dos lados y el ángulo que comprenden • Resolver un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos • Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos 5 Números complejos 119 1. Números complejos _ 120 2. Representación de números complejos _ 122 3. Operaciones con números complejos _ 123 4. Forma polar de un número complejo _ 124 5. Multiplicación y división en forma polar _ 126 6. Potencias de números complejos _ 127 7. Raíces de números complejos _ 128 • Pasar un número complejo de forma binómica a forma polar, y viceversa • Calcular las raíces de un número complejo • Calcular las soluciones complejas de una ecuación • Calcular un número que cumpla una cierta condición • Resolver ecuaciones con números complejos • Resolver operaciones con potencias de i 6 Geometría analítica 141 1. Vectores. Operaciones _ 142 2. Bases _ 144 3. Coordenadas de un vector _ 145 4. Operaciones con coordenadas _ 146 5. Producto escalar _ 147 6. Aplicaciones del producto escalar _ 148 7. Aplicaciones de los vectores _ 149 8. Ecuaciones de la recta _ 150 9. Posiciones relativas de dos rectas _ 153 10. Distancias y ángulos entre rectas _ 154 • Operar con vectores gráficamente • Expresar un vector como combinación lineal de otros dos • Calcular vectores perpendiculares a un vector dado • Calcular la distancia entre dos rectas en el plano • Expresar un vector como combinación lineal de dos vectores que forman base • Calcular las coordenadas del extremo de un vector conocido el otro y un vector equipolente • Calcular las coordenadas de dos vectores conocidas su suma y su diferencia 7 Lugares geométricos. Cónicas 169 1. Secciones cónicas _ 170 2. Lugares geométricos _ 171 3. Elipse _ 172 4. Hipérbola _ 175 5. Parábola _ 178 6. Circunferencia _ 179 7. Posiciones de dos circunferencias _ 180 8. Posiciones de rectas y circunferencias _ 181 • Hallar la ecuación de una elipse o una hipérbola • Calcular los elementos de una elipse o una hipérbola • Reconocer la ecuación de una circunferencia • Determinar la posición relativa de dos circunferencias o de una recta y una circunferencia • Calcular los puntos de corte de una circunferencia y una recta • Calcular la ecuación de los puntos de un lugar geométrico • Hallar una elipse con su excentricidad y su distancia focal 2

Pract i ca las competenc ias espec í f i cas Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Realizar operaciones combinadas con potencias • Reconocer números en la recta real • Efectuar la unión y la intersección de dos intervalos • Operar con números en notación científica • Escribir ciertas expresiones mediante un solo radical • Introducir factores en un radical • Racionalizar fracciones con un producto de radicales en el denominador • Resolver operaciones entre fracciones con radicales • Calcular unos logaritmos a partir de otros M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Química • Astronomía • Historia • Física • Sismografía • Acústica FA K E N E W S . Estudio crítico de noticias de prensa Determinar la velocidad en un accidente de tráfico • Descomponer una fracción algebraica en suma de dos fracciones • Determinar un coeficiente para que una ecuación de 2.º grado tenga un número de soluciones • Resolver ecuaciones del tipo ax bx c 0 n n 2 + + = • Resolver ecuaciones del tipo ( ) / ( ) ( ) P x Q x R x = • Resolver ecuaciones del tipo ( ) / ( ) ( ) / ( ) P x Q x R x S x = • Resolver ecuaciones del tipo ( ) ( ) P x Q x = • Resolver ecuaciones del tipo ( ) ( ) ( ) P x Q x R x + = • Resolver ecuaciones mediante factorización • Resolver inecuaciones que contienen fracciones algebraicas M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Consumo • Historia • Baloncesto • Física FA K E N E W S . Análisis de informaciones con cálculos numéricos Encontrar la tarifa telefónica que mejor se adapta a tus necesidades • Resolver un sistema de inecuaciones con dos incógnitas • Determinar el número de soluciones de un sistema con dos incógnitas • Resolver sistemas en función de un parámetro • Resolver problemas con un sistema de ecuaciones • Expresar las soluciones de un sistema compatible indeterminado con dos y con tres incógnitas • Discutir sistemas con tres incógnitas en función de un parámetro • Resolver problemas con un sistema de ecuaciones con tres incógnitas • Resolver sistemas no lineales que contienen expresiones radicales • Resolver sistemas no lineales que contienen fracciones algebraicas • Resolver problemas mediante un sistema de inecuaciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Fútbol • Industria • Automovilismo • Baloncesto • Biología • Historia FA K E N E W S . Análisis de datos Calcular el precio de un producto • Calcular las razones de un ángulo conocida una de ellas o a partir de otros ángulos • Resolver ecuaciones trigonométricas del tipo sen f(x) = k, cos f(x) = k o tg f(x) = k • Resolver ecuaciones trigonométricas en las que aparecen razones con ángulos distintos o varias razones • Demostrar una igualdad trigonométrica • Calcular distancias inaccesibles mediante triángulos opuestos por el vértice • Calcular alturas mediante triángulos superpuestos • Calcular el área de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman o un lado y sus dos ángulos adyacentes • Resolver problemas aplicando el teorema del seno y el del coseno M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Astronomía • Seguridad • Arquitectura • Cartografía • Geografía • Topografía • Historia FA K E N E W S . Búsqueda de datos incoherentes Entender cómo funciona la fibra óptica • Calcular el conjugado, el opuesto y el inverso de un número complejo en forma polar • Operar con números complejos • Resolver operaciones combinadas con complejos • Determinar las coordenadas de las raíces de un número complejo • Resolver ecuaciones del tipo zn - k = 0 M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Historia • Arte FA K E N E W S . Comparación de datos gráficos Conocer el funcionamiento de los circuitos eléctricos • Calcular vectores perpendiculares con un cierto módulo • Resolver problemas geométricos con vectores • Hallar varios puntos que dividan un segmento en partes iguales • Determinar si tres puntos están alineados • Determinar la ecuación de una recta con algunos de sus elementos • Determinar la ecuación de una recta paralela a otra que pasa por un punto • Hallar una recta paralela a otra que está a una cierta distancia • Hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra • Hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto y forma un ángulo dado con otra M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Ajedrez • Tráfico • Urbanismo • Aviación • Deporte FA K E N E W S . Investigación geométrica de una situación Fijar el rumbo de un rescate en alta mar • Hallar una elipse o una hipérbola con ejes paralelos a OX y a OY • Calcular la ecuación de una parábola con eje paralelo al eje OY • Determinar la ecuación general de una circunferencia que pasa por tres puntos • Calcular el centro y el radio de una circunferencia que pasa por tres puntos • Calcular la ecuación de una circunferencia conociendo dos de sus puntos y una recta que pase por su centro • Identificar la ecuación de una cónica • Estudiar posiciones relativas entre un punto y una circunferencia M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Arquitectura • Astronomía • Urbanismo • Industria FA K E N E W S . Valoración de datos numéricos Entender cómo funcionan las antenas parabólicas 3

Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 8 Funciones 195 1. Funciones reales de variable real _ 196 2. Dominio y recorrido _ 197 3. Simetría y periodicidad _ 198 4. Funciones polinómicas _ 199 5. Transformaciones de funciones _ 200 6. Funciones racionales _ 201 7. Funciones con radicales _ 202 8. Función inversa _ 203 9. Funciones exponenciales _ 204 10. Funciones logarítmicas _ 205 11. Funciones trigonométricas _ 206 12. Funciones definidas a trozos _ 208 13. Operaciones con funciones _ 210 14. Composición de funciones _ 212 • Determinar el dominio de una función • Determinar la simetría de una función • Representar una función cuadrática • Representar una función de proporcionalidad inversa • Representar la función ( ) f x x n = • Calcular la función inversa de una función • Representar una función exponencial • Representar una función logarítmica • Representar una función definida a trozos • Hallar los valores de las operaciones con funciones • Componer funciones • Calcular el dominio de funciones no elementales • Calcular el periodo de las funciones trigonométricas 9 Límite de una función 225 1. Sucesiones. Límite de una sucesión _ 226 2. Cálculo de límites _ 228 3. Operaciones con límites _ 229 4. Indeterminaciones _ 230 5. Resolución de algunas indeterminaciones _ 231 6. Límite de una función en el infinito _ 233 7. Límite de una función en un punto _ 235 8. Ramas infinitas. Asíntotas _ 238 9. Continuidad de una función _ 240 • Calcular límites con una indeterminación del tipo / 3 3 • Resolver límites con una indeterminación del tipo 3 3 - • Calcular el límite de una función en un punto • Calcular el límite de una función definida a trozos • Resolver límites con una indeterminación del tipo 0/0 • Calcular las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función • Estudiar la continuidad de una función elemental • Determinar el límite de un cociente de polinomios con radicales 10 Derivada de una función 255 1. Tasa de variación media _ 256 2. Derivada de una función en un punto _ 257 3. Interpretación geométrica de la derivada _ 258 4. Función derivada _ 259 5. Derivadas de funciones elementales _ 260 6. Derivadas del producto y del cociente de funciones _ 263 7. Regla de la cadena _ 265 • Calcular la derivada y la tangente de una función en un punto • Calcular la derivada de un producto y de un cociente de funciones • Calcular la derivada de una función compuesta • Calcular el valor de un parámetro de una función conociendo su derivada en un punto • Estudiar la derivabilidad de una función en un punto dependiendo de parámetros • Calcular la tangente de una función en un punto de abscisa u ordenada conocidas 11 Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones 279 1. Crecimiento y decrecimiento _ 280 2. Concavidad y convexidad _ 283 3. Representación gráfica de funciones _ 284 4. Representación de funciones polinómicas _ 286 5. Representación de funciones racionales _ 288 • Analizar la monotonía de una función • Determinar los máximos y los mínimos de una función utilizando la derivada segunda • Determinar la concavidad y la convexidad de una función • Representar una función conociendo algunas características • Representar funciones polinómicas y racionales • Estudiar la monotonía en una función definida a trozos • Resolver problemas mediante la monotonía de una función 12 Integrales 303 1. Función primitiva de una función _ 304 2. Integral de una función _ 305 3. Integrales de funciones elementales _ 306 4. Integral definida. Regla de Barrow _ 310 5. Aplicaciones de la integral definida _ 311 6. Área encerrada bajo una curva _ 312 7. Área comprendida entre dos curvas _ 313 • Calcular una integral definida • Calcular el área entre la gráfica de una función y el eje X • Calcular el área comprendida entre dos gráficas en un intervalo • Resolver una integral donde falta un factor • Calcular integrales que se pueden reducir a una función potencial • Resolver una integral del tipo ( ) ( ) f x f x n m l y , ( ) x P x n y o ( ) ( ) f x f x n l y • Resolver una integral del tipo ( ) P x n y donde P(x) es un polinomio o un radical 13 Probabilidad 327 1. Experimentos aleatorios _ 328 2. Sucesos. Operaciones con sucesos _ 330 3. Frecuencia y probabilidad _ 332 4. Propiedades de la probabilidad _ 333 5. Regla de Laplace _ 334 6. Probabilidad condicionada _ 335 7. Tablas de contingencia _ 336 8. Dependencia e independencia de sucesos _ 337 • Determinar el espacio muestral con un diagrama de árbol • Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace • Calcular probabilidades con una tabla de contingencia • Calcular el número de posibilidades utilizando métodos de conteo • Calcular el número total de sucesos elementales • Hallar el espacio muestral de un experimento con una tabla de doble entrada 14 Estadística bidimensional 351 1. Variable estadística unidimensional _ 352 2. Medidas de centralización _ 353 3. Medidas de dispersión _ 354 4. Variable estadística bidimensional _ 355 5. Diagrama de dispersión _ 357 6. Correlación _ 358 7. Rectas de regresión _ 360 8. Estimación de resultados _ 362 9. Estadística con calculadora _ 363 • Calcular la covarianza • Calcular e interpretar el coeficiente de correlación • Determinar y representar la recta de regresión • Estimar valores utilizando la recta de regresión • Trabajar la estadística unidimensional y bidimensional con calculadora • Interpretar las medidas estadísticas en una variable unidimensional • Interpretar la media y la desviación típica Índice 4

Pract i ca las competenc ias espec í f i cas Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Representar funciones del tipo f ( x) = ax n con n $ 2 • Determinar la gráfica de una función a partir de transformaciones • Representar funciones del tipo kf ( x) conocida la gráfica de f ( x) • Representar funciones del tipo ( ) f x x a k = + y ( ) f x x c ax b = + + • Representar la gráfica de una función inversa • Representar funciones del tipo f ( x) = a kx • Representar funciones del tipo f ( x) = a x+b + c • Representar funciones del tipo f ( x) = loga kx • Representar funciones del tipo g( x) = ;f ( x); • Representar funciones en las que interviene el valor absoluto • Expresar una función como composición de otras funciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Astronomía • Viajes • Precios • Biología • Sociedad • Física • Arquitectura FA K E N E W S . Contraste de informaciones numéricas Distinguir las capas de la atmósfera por su temperatura • Calcular el límite de una función en un punto • Calcular un límite que presenta una indeterminación del tipo 0/0 cuando hay radicales • Representar una función conociendo sus asíntotas y sus puntos de corte • Determinar el signo de las ramas infinitas de una función racional • Determinar si una función racional tiene asíntotas horizontales y oblicuas • Hallar asíntotas horizontales en funciones del tipo [P(x)/Q(x)]R(x) • Estudiar la continuidad de una función definida a trozos • Calcular el valor de un parámetro para que una función sea continua M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Ecología • Historia • Precios • Filosofía • Medicina FA K E N E W S . Reflexión sobre situaciones paradójicas Determinar a qué siglo pertenece un año • Determinar las tangentes de una función con pendiente m • Calcular la tangente en un punto de un lugar geométrico • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = g(x)n y f (x) = ag (x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = ln g(x) • Calcular la derivada de una función del tipo f(x) = sen g(x) • Calcular la derivada de una función del tipo f(x) = arc cos g(x) • Calcular la derivada de una función del tipo f(x) = g(x)h(x) • Calcular la derivada de la composición de tres funciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Física • Aviación • Cinética • Seguridad FA K E N E W S . Análisis de gráficas Comprender el concepto de coste marginal en economía • Determinar los parámetros de una función de la que se conocen un máximo o un mínimo • Determinar una función conociendo algún punto y un máximo o un mínimo • Estudiar el crecimiento y el decrecimiento en una función a partir de la gráfica o de la expresión algebraica de su derivada • Determinar la concavidad y convexidad de una función definida a trozos o a partir de su representación gráfica • Estudiar la posición de la gráfica respecto a una asíntota horizontal o vertical M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Medicina • Edición • Fútbol • Naturaleza FA K E N E W S . Estudio de las pendientes en una gráfica Diseñar una montaña rusa • Resolver integrales del tipo ( ) ( ) a f x f x 2 + l y o ( ) ( ) a f x f x 2 - l y , a > 0 • Resolver integrales del tipo ax bx c 1 2 + + y si el denominador no tiene raíces reales • Resolver integrales del tipo ( ) ( ) x a x b 1 - - y • Hallar la expresión de una función conociendo algunas de sus características • Calcular el área comprendida entre las gráficas de dos funciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Economía • Física • Farmacia • Arquitectura • Cinética FA K E N E W S . Investigación sobre áreas encerradas bajo una curva Calcular el trabajo realizado por una fuerza • Calcular probabilidades experimentalmente y utilizando sus propiedades • Resolver problemas de probabilidad con sucesos compuestos • Calcular la probabilidad de la intersección de sucesos utilizando un diagrama de árbol • Utilizar la regla del producto en experimentos con reemplazamiento • Calcular probabilidades de sucesos compuestos • Calcular probabilidades condicionadas de sucesos compuestos M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Trabajo • Comercio • Historia • Globalización FA K E N E W S . Investigación sobre los mitos de la lotería Comprender el diseño del juego de dominó • Agrupar los datos de las variables bidimensionales en intervalos • Interpretar una tabla de doble entrada a partir de la tabla de frecuencias • Representar variables bidimensionales • Calcular el coeficiente de correlación en las tablas de doble entrada agrupadas en intervalos • Calcular la recta de regresión con la calculadora • Determinar la media de una de las variables a partir de la recta de regresión • Determinar e interpretar el signo del coeficiente de correlación a partir de la recta de regresión M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Biología • Medioambiente • Biodiversidad • Economía FA K E N E W S . Contrastar las medidas estadísticas de una variable Tomar decisiones 5

Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Funciones 8 Cu ent a l a l e yend a qu e en el paí s d e l as Marav i l l as se reuní an cada año todos los magos y las magas y organizaban una fiesta . Al final, participaban en un torneo en el que se sentaban formando un círculo. Se numerab an to d a s l a s p ers ona s y l a pr imera c og í a l a úni ca varita mágica del torneo. A c ont inuac ión , e st a p ers ona hac í a de sapare cer a l a segunda y pasaba la varita mágica a la tercera . La tercera hacía desaparecer a la cuarta y pasaba la varita mágica a la quinta . Así seguían haciéndolo hasta que solo quedaba un mago o maga , que ganaba el torneo. Visto y no visto D E SA F Í O El primer año se presentaron 13 personas al torneo y la joven Alicia fue la ganadora. ¿En qué posición se puso? Si el segundo año se presentaron 100 personas y también ganó Alicia, ¿en qué posición comenzó? Alicia siempre conseguía ganar, sin importar cuántas personas se presentaran. ¿Cómo sabía en qué posición debía colocarse? 193 4.1. Funciones polinómicas de primer grado Características Si m = 0, la función f (x) = n se denomina función constante, y su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, n). Si n = 0, la función f (x) = mx se denomina función lineal, y su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el origen de coordenadas. Si m ! 0 y n ! 0, su gráfica es una recta creciente si m > 0 o decreciente si m < 0, que corta al eje Y en el punto (0, n). 4.2. Funciones polinómicas de segundo grado Características El dominio de una función cuadrática es R. El vértice de la parábola es , V a b a b ac 2 4 4 2 - - - e o . Si a > 0, el vértice es un mínimo. Si a < 0, el vértice es un máximo. Cuanto mayor sea ;a;, más cerradas están las ramas de la parábola. 7 Representa, sobre los mismos ejes, las funciones f(x) = 3x - 1 y g(x) = 5x + 4. Halla el punto en el que se intersecan las dos funciones. 8 Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas. a) f(x) = -3x2 - x - 1 b) f(x) = x2 - x - 2 A C T I V I D A D E S E J E M P LO 3. Esta es la gráfica en el intervalo [0, 5] de una función de periodo 5. Representa gráficamente la función para cualquier valor de x. Se desplaza la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha del intervalo representado. 3.2. Funciones periódicas Una fun c i ón e s p er i ó di ca, d e p e r i o do T (T > 0 ) , si su g rá f i ca s e re pi t e en inter valos de longitud T. Así , conocida su gráfica en un inter valo de longitud T, se puede construir el resto trasladándola a la derecha y a la izquierda en todo el dominio. G E O G E B R A 3. Simetría y periodicidad Determinar la simetría de una función Estudia la simetría de estas funciones. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primero. Se sustituye x por -x en la expresión algebraica de la función. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segundo. Se comprueba si esta función es igual a la primera o a su opuesta. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) es simétrica respecto del origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) es simétrica respecto del eje Y. 5 Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gráfica de esta función periódica de periodo 3. A C T I V I D A D E S 3.1. Funciones simétricas Dada una función f de variable real , se dice que es: Simétrica respecto del eje Y, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = f (x). Estas funciones también se denominan funciones pares. Simétrica respecto del origen de coordenadas, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = -f (x). Estas funciones también se denominan funciones impares. G E O G E B R A x X Y Función par f (-x) = f (x) -x X Y Función impar f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 D A T E C U E N T A Hay funciones que no son pares ni impares. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Esta expresión no coincide con la expresión de f(x) ni con la expresión de -f (x). 8 4. Funciones polinómicas Mínimo Máximo a < 0 a > 0 Y X m > 0 y = mx + n y = n m = 0 m < 0 y = mx n Y X Y X 1 f(x) = -x2 + 4x - 1 1 Las funciones polinómicas de primer grado se denominan funciones afines y son del tipo f (x) = mx + n. Su gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen. Las funciones polinómicas de segundo grado se denominan funciones cuadráticas y son del tipo f (x) = ax2 + bx + c, con a ! 0. Su gráfica es una parábola . Representar una función cuadrática Representa gráficamente la función f ( x) = -x 2 + 4x - 1. primero. Se calcula el vértice de la parábola y se estudia si es un máximo (a < 0) o un mínimo (a > 0). ? ( ) ( , ) a b f V v v v 2 2 4 2 2 4 2 1 3 2 3 x y x 2 = - = - - = = = - + - = " 4 a < 0 " máximo segundo. Se construye una tabla con valores alrededor del vértice y se representa la parábola. x 0 1 2 3 4 f (x) -1 2 3 2 -1 197 196 8 a c t i v i da d e s r e s u e lta s Función inversa Dibuja la gráfica de la función f(x) = 2x y la gráfica de su función inversa. primero. Se dibuja la gráfica de la función y = x, que es la bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes. segundo. Se representa la gráfica de f(x) y su simétrica con respecto a esa recta. Y X 1 1 f -1(x) = log 2 x f (x) = 2x PRACTICA 39. Representa la gráfica de las funciones inversas de estas funciones. a) ( ) f x x2 = b) ( ) ( ) f x x 1 log = - Representar la gráfica de una función inversa Función exponencial Representa gráficamente estas funciones. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primero. Se escribe la función como f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segundo. Se representa la función resultante como una función exponencial del tipo f (x) = ax. PRACTICA 40. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funciones del tipo ( ) f x akx = Función valor absoluto Representa gráficamente la función ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gráfica, escribe su expresión como una función definida a trozos. primero. Se representa la función sin el valor absoluto. ( ) f x x x 4 2 = - + es una función cuadrática; por tanto, se determina su vértice y si es un máximo o un mínimo. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Como a = -1 < 0, el vértice es un máximo. segundo. Se dibujan las figuras simétricas, con respecto al eje X, de las partes de la gráfica que correspondan a valores negativos de la función. tercero. Se escribe la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los puntos de corte con los ejes. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 43. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x sen x ; ; = en el intervalo [0, 2r]. Representar funciones del tipo ( ) ( ) g x f x ; ; = Función exponencial Representa gráficamente la función ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primero. Se expresa la función que se quiere representar en función de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segundo. Se obtiene la gráfica de la función desplazando la gráfica de ( ) f x ax = en horizontal y en vertical. f (x - 2) " Se desplaza f (x) hacia la derecha 2 unidades. f (x - 2) - 1 " Se desplaza f (x - 2) hacia abajo 1 unidad. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 41. Representa gráficamente la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funciones del tipo ( ) f x a c x b = + + Función valor absoluto Dibuja la gráfica de la siguiente función. g(x) = x2 - 4;x; primero. Se define la función a trozos teniendo en cuenta que ;x; es x cuando es un número positivo y es -x cuando es negativo. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segundo. Se representa la función definida a trozos en cada uno de los tramos. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 44. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funciones en las que interviene el valor absoluto Función logarítmica Representa gráficamente las siguientes funciones. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primero. Se aplican las propiedades de los logaritmos. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segundo. Se representan las funciones haciendo las transformaciones necesarias sobre la gráfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 42. Dibuja la gráfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funciones del tipo f(x) = loga kx Composición de funciones Expresa esta función como composición de funciones más sencillas. h(x) = cos [ln (x2 - 1)] primero. Se divide la función en funciones más sencillas. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = cos x segundo. Se componen las funciones para comprobar que el resultado es igual a la función inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = cos [ln(x2 - 1)] = h(x) F h3(x) = cos x PRACTICA 45. Expresa estas funciones como composición de funciones más sencillas. a) f(x) = sen2 (x2 + 1) b) ( ) f x x 1 1 = - Expresar una función como composición de otras funciones g(x) h(x) 1 1 Y X f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X G E O G E B R A 213 212 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL utilizando GeoGebra para investigar y manipular algunos contenidos. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Ayúdate de tu razonamiento y PIENSA para descubrir algunas propiedades y aplicaciones de esos saberes. Afianza los saberes básicos aprendiendo, paso a paso, métodos generales para las destrezas básicas que necesitas aprender. Aprende a partir de textos claros y estructurados. 6

-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa de ozono (km) L a a tm ó s f e ra d e l a Ti e r ra e s u n a m e z c l a d e v a r i o s g a s e s , principalmente nitrógeno (78 %), oxígeno (21 %), argón , dióxi do de carbono y vapor de agua . Estos gase s rodean cons - tantemente la atmósfera debido a que el campo gravitatorio impi de que se escapen . L a atmósfera se div i de en capas, en l as qu e l a t emp eratura var í a de forma si gni f i cat iva . D i chas capas son : Tropo sfera : formad a p or el ai re situado en lo s pr imero s ki lómetros de l a atmósfera cal entado desde abajo, por lo que la temperatura disminuye a razón de 6 °C por cada kilómetro que se asciende. Su espesor varía entre 8 y 17 km. En esta capa ocurre la mayor parte de los fenómenos del clima . E st ra to sf e ra : s e ubi c a p o r en c ima d e l a t rop o sf e ra y en el l a l a t emperatura aumenta desde -53 °C hasta 20 °C a unos 50 km. Su espesor varía entre los 17 km de los polos y los 35 km del ecuador. Mesosfera : en esta capa la temperatura vuelve a disminuir c on l a altura , qu e va d e sd e uno s 50 km ha st a aprox imad ament e 90 km , c omo re sult ado d el rápi do d e sc ens o d e la densidad del aire. Te rmo sf e ra : e n e st a c ap a l a t emp e ra tu ra aum e n t a c on la altura y puede l legar a presentar temperaturas de hasta 1 500 °C cuando el Sol está activo. La termosfera incluye a la ionosfera , que es donde se producen las auroras polares. E xo sfera : e st á lo cal i zad a en alt itud e s p or enc ima d e lo s 950 km. Es la zona de transición entre la atmósfera terrestre y el espacio interplanetario. ¿ PA R A Q U É S I RV E N L A S F U N C I O N E S ? 8 L E E Y C O M P R E N D E 1 ¿Cuál es el espesor de la estratosfera en el ecuador? 2 ¿Qué relación hay entre la temperatura y las capas de la atmósfera? 3 ¿En qué capa se registra la menor temperatura? I N T E R P R E TA 4 De acuerdo con el gráfico, ¿qué temperatura tiene la atmósfera a 110 km de altura? R E F L E X I O N A 5 ¿Dónde se encuentra la capa de ozono? Investiga cuál es la actual situación de la capa de ozono y por qué resulta tan importante su recuperación y conservación. A P L I C A 6 Si se asume que la temperatura a nivel del mar es de 20 °C, ¿qué temperatura deberá tener aproximadamente la cima del Everest a 8 848 m de altura? Entre otras muchas cosas… Para distinguir las capas de la atmósfera por su temperatura 224 ES0000000136131 177456_U08_195_224_111342.indd 224 28/04/2022 13:17:12 2. Selecciona de manera adecuada ejes, unidades, dominio y escalas Funciones polinómicas 61 Asocia cada función con su gráfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2 x2 62 Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 x2 - 2 x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I D A D E S F L A S H 63 Representa, sin completar las tablas de valores correspondientes, las funciones lineales y afines. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 64 Escribe la expresión algebraica de estas funciones y calcula su pendiente y su ordenada en el origen. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 65 Representa estas funciones en los mismos ejes de coordenadas y relaciona la abertura de las ramas de cada parábola con el coeficiente de x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 x2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 66 Halla el vértice de estas parábolas. a) f (x) = x2 - 6x + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4x + 10 d) f (x) = -x2 - 4x + 2 67 I N V E N TA . Escribe la ecuación de tres parábolas cuyo vértice sea (2, 3). a c t i v i da d e s f i n a l e s 1. Reconoce analítica y gráficamente las funciones elementales 46 Di si estas gráficas corresponden a una función. a) c) b) d) Y X Y X Y X Y X A C T I V I D A D E S F L A S H 47 I N V E N TA . Esboza una gráfica que pueda ser la representación de una función y otra que no pueda serlo. 48 Realiza una tabla de valores y representa estas funciones. a) Cada número entero se relaciona con su número de divisores positivos. b) Cada número real se relaciona con su parte entera. c) A cada real le corresponde él menos su valor absoluto. d) A cada número le corresponde el valor 2. 49 A lo largo de un día se mide la longitud, en metros, de la sombra que proyecta una farola desde el amanecer hasta que anochece. Las medidas, tomadas cada dos horas, desde las 6:00 h, son estas: 0 25 17 5 2 6 19 32 0 a) ¿Crees que esta relación define una función? b) Si es así, identifica sus variables. 50 Comprueba si los puntos x = -3, x = 0, x = 2 pertenecen al dominio de estas funciones. a) f (x) = x2 - 2 x + 1 c) ( ) f x x 2 1 = - + b) ( ) f x x x x 3 3 1 2 = + - d) ( ) ( ) f x x 4 ln = - - 51 Determina si estas funciones tienen simetrías. a) f (x) = x3 - 3x c) f (x) = x2 - x b) f (x) = x4 - 1 d) f (x) = x4 - 2 x2 52 Determina el tipo de simetría de estas funciones. a) ( ) f x x x x 3 2 = - b) ( ) f x x x x 1 2 2 3 = + - 53 I N V E N TA . Dibuja una función f (x) de simetría impar que pase por (2, 0) de tal forma que f (x + 3) sea una función par. 54 Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas funciones. a) y = 3, y = 2, y = -5 para ( ) f x x 3 3 = - b) y = 0, y = 30, y = -3 para f (x) = x2 - 5x + 6 55 M AT E M ÁT I C A S . . . Y A S T R O N O M Í A . Considera la función que relaciona el tiempo, en días, con la superficie visible de la Luna. ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica el periodo. 56 Determina el periodo de estas funciones. a) 1 1 Y X b) X Y 1 1 c) X Y 1 -1 r 2 r 57 I N V E S T I G A . Una función f (x) toma todos los valores entre 0 y 1 pero ningún otro. ¿Cuál de las siguientes funciones toma todos los valores entre -1 y 1? a) f (x) - 1 c) 2f (x) - 1 b) f (x) + 1 d) 2f (x) + 1 58 El dominio de una función f es [0, 2], y su recorrido, [0, 1]. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función g(x) = 1 - f (x + 1)? 59 R E T O . La función f toma solamente valores mayores o iguales que cero y satisface las dos condiciones siguientes: f (1) = 2, f (x + y) = f (x) · f ( y). ¿Cuánto vale f 2 1 e o? 60 R E T O . Sea ( ) ( ) f x x x x x f x 1 6 2 2 + + = + e o . ¿Cuánto es f (4)? I N T E R N E T Día % de visibilidad Tipo de luna 0 50 % Creciente 3 81 % Creciente 7 100 % Luna llena 11 81 % Menguante 15 39 % Menguante 21 0 Luna nueva 216 ES0000000136131 177456_U08_195_224_111342.indd 216 12/05/2022 11:12:00 2. Selecciona de maner adecuada ejes, unidades, ominio y escalas Funciones polinóm cas 61 Asocia cada función con su gráfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2x2 62 Relaciona cada gráfica con su expresión algebr ica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 2 - x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I D A D E S F L A H 63 Representa, in completar las b de v lor s corresp ndientes, las funciones l neales y fines. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 64 Escribe la expresión algebr ica de estas funciones y calcula su pendiente y su ordenada el orig n. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 65 Representa estas funciones en lo mismos ejes de coordenadas y rel ciona la abertura de las ramas de c da parábol con el eficiente d x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 66 Halla el vértice de estas parábol s. a) f (x) = x2 - 6 + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4 + 10 d) f (x) = -x2 - 4 + 2 67 I N V E N TA . Escribe la ecuación de tres parábol s cuyo vértice sea (2, 3). 68 Representa las siguientes funciones polinómicas, indicando los puntos de corte con los ejes. a) f(x) = 4x2 + 4x + 1 b) f(x) = x3 - x2 - 9x + 9 c) f(x) = x3 - 2 x2 - 7x - 4 d) f(x) = x3 - 2 x2 - 2 x - 3 69 Representa la función y = x2. A partir de ella, dibuja las gráficas de estas funciones polinómicas. a) f(x) = (x - 2)2 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = (x + 3)2 ¿Qué relación guardan las gráficas de las últimas tres funciones con la gráfica de la primera? 70 Haz la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 x. Determina la expresión algebraica de cada una de las siguientes funciones y represéntalas. a) f(x - 2) b) f(x) - 4 c) f(x + 1) d) f(x) + 2 ¿Hay alguna relación entre estas gráficas? 71 Obtén la expresión algebraica y representa la función cuadrática que pasa por los puntos A(1, -2), B(2, -2) y C(3, 0). 72 Halla y representa las funciones polinómicas de grado mínimo que pasan por los siguientes puntos. a) A(0, 0), , B 5 2 5 e o y C(-2, -1) b) A(3, 0), B(4, 1) y C(5, 0) c) A(1, 0), B(2, 1), C(3, 0) y D(4, 1) 73 R E T O . Si ( ) f x px qx rx 4 7 3 = + + - y ( ) f 7 3 - = , ¿cuánto vale ( ) f 7? Funciones racionales 74 Asocia cada gráfica con su función. a) ( ) f x x 3 1 = + b) ( ) g x x 4 1 = - c) ( ) h x x 1 2 = + 75 Asocia cada gráfica con su función. a) ( ) f x x 2 1 3 = - + b) ( ) g x x 4 1 2 = + - A C T I V I D A D E S F L A S H 8 Y X 1 1 Y X 1 1 217 ES0000000136131 177456_U08_195_224_111342.indd 217 28/04/2022 13:15:37 a c t i v i da d e s f i n a l e s 131 El precio en euros de un artículo perecedero que empieza a venderse el primer día de un determinado mes varía con el tiempo, en días, según la función: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo? b) Dibuja la gráfica de la función P(t). 132 M AT E M ÁT I C A S Y. . . B I O L O G Í A . La dinámica de poblaciones es una rama de la biología que, con el auxilio de las matemáticas, trata de describir y cuantificar los cambios que ocurren en una población. El desarrollo de una población de peces viene modelado por la función ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , con t 0 $ . En el modelo, P(t) es el tamaño de la población en toneladas y t el número de años después del instante inicial. a) Determina cuántos años deben transcurrir para que la población de peces llegue a las 15 toneladas. b) ¿Puede suceder que la población sobrepase alguna vez las 20 toneladas? 133 M AT E M ÁT I C A S Y. . . S O C I E D A D . Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días transcurridos desde el tsunami. a) ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día? b) ¿Y cuántas habrá al cabo de tres semanas? c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de 2 000 camas, ¿hasta qué día estuvo desbordada la capacidad? 134 M AT E M ÁT I C A S Y. . . F Í S I C A . Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto sigue la función f (t) = T + (C - T) ? e-kt, donde T es la temperatura ambiente, C la temperatura inicial, t el tiempo transcurrido y k la tasa de enfriamiento del objeto por unidad de tiempo. Un objeto con una temperatura de 40 °C se deja al aire libre, donde la temperatura es de 25 °C, y después de 10 minutos la temperatura del objeto es de 34 °C. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el objeto se enfríe hasta tener una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 135 Nina y Simón compiten en una carrera ciclista de ida y vuelta entre dos ciudades. A la ida Nina va a 25 km/h y a la vuelta, ya cansada, a 15 km/h. Simón, sin embargo, va a 20 km/h todo el rato. a) ¿Quién gana? b) ¿Hay alguna forma de que Nina, yendo más rápida a la ida y más lenta a la vuelta, gane a Simón teniendo en cuenta que la media de las dos velocidades de Nina es 20 km/h? 136 En una carrera de 1 000 metros, Mamen saca 50 metros de ventaja a Camilo. En la próxima carrera, Mamen saldrá 50 metros por detrás de Camilo. a) ¿Es suficiente para que lleguen a la vez a la meta? b) Si no lo es, ¿cuántos metros serían necesarios? 137 Considera una piscina de agua llena hasta el borde en la que se abre una válvula para vaciarla. La altura (en metros) del agua de la piscina viene dada por esta función: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - con t el tiempo (en minutos) desde que se abre la válvula. Determina tras cuánto tiempo la altura del agua es la mitad de la altura de la piscina. 138 Tras lanzar un globo aerostático, su altura, en metros, viene determinada por la función: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - para [ , ] t 0 5 ! , con t en minutos a) Halla los metros que sube el globo en el primer minuto. b) Cuando el globo se encuentra entre 12 y 20 metros de altura, se destapan dos paneles publicitarios. ¿Durante cuántos segundos se verá la publicidad? 139 Estáis organizando el viaje de fin de curso para tu clase. Agencia 1. Si el número de estudiantes que va al viaje es de 40 o menos, cada uno pagará 200 €. Si es superior a 40, se descontará un 10 % a cada uno. Agencia 2. Si completan un autobús de 60 personas, el precio será 150 € por persona. Por cada asiento vacío en el autobús, se incrementará el precio un 1 % a persona. ¿Qué agencia os conviene? P R O B L E M A S A P A R E N T E M E N T E D I S T I N T O S 142 Considera la siguiente función. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Halla el dominio de la función. b) Calcula f -1(x). 143 El número de días que necesita una población de plancton para llegar a pesar x microgramos viene dado por ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) ¿Entre qué valores varía el peso? b) Indica el peso en función del tiempo. 144 Sea la función: f (x) = 200 · b x a) ¿Cuál es la variable independiente? b) Sea b = 2,5 y g(x) = 20 000, determina el valor de x para que se cumpla f (x) = g(x). c) Indica los posibles valores de b para que f (x) sea decreciente. 145 El ritmo básico de reproducción, RO, de un virus en una región es 2,5. Es decir, cada persona enferma infecta a otras 2,5. Si el primer día había 200 personas enfermas, expresa el número de infectados en función del tiempo. a) ¿Cuál es la variable independiente? b) ¿Cuándo se alcanzaron 20 000 infectados? c) ¿En qué intervalo debe estar el RO para que la epidemia esté controlada? 146 Considera las funciones: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Halla ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 147 Dayana infla su balón de playa para jugar con él. a) Halla el radio del balón en función del volumen. b) Se le pincha y comienza a desinflarse. La medida de su radio sigue la función ( ) t t g 50 000 = , t > 10, con t en minutos. Indica el radio en función del tiempo. I N T E R N E T 222 ES0000000136131 177456_U08_195_224_111342.indd 222 28/04/2022 13:17:03 140 M AT E M ÁT I C A S Y. . . A R Q U I T E C T U R A . En la figura está representado un puente peatonal sobre el río Sella. Considerando O el origen de coordenadas, el arco del puente viene dado por ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , con [ , ] x 0 7 ! . a) Sea S el punto sobre el segmento OR que verifica la ecuación ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resuelve la ecuación e interpreta la solución en el contexto del problema. b) En el puerto, junto al puente, hay un barco de vela cuyo mástil mide 6 metros desde el punto más alto hasta el agua. ¿Podrá pasar bajo el puente? 141 En un lago existe una especie de pez grande que se alimenta de una raza de peces más pequeña, y esta, a su vez, se alimenta de plancton. El número de peces grandes es una función f (x) de la cantidad x de peces pequeños y el número de peces pequeños es una función g( y) de la cantidad y de plancton del lago. Expresa la población de peces grandes en función del plancton del lago si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 8 P R O B L E M A S P A R E N T E M E N T E D I S T N O S 142 Considera la siguiente fu ción. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Halla el domini de la función. b) Calcula f -1(x). 143 El número d días que nec sita una pobl ción de plancton para llegar a pes r x microgramos viene dado por ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) ¿Entre qué valores va ía el peso? b) Indica el peso en función del tiempo. 144 Sea la función: f (x) =200 · b x a) ¿Cuál es la vari ble indepe iente? b) Sea b = 2,5 y g(x) = 20 000, determina el valor de x para que se cumpla f (x) = g(x). c) Indica los posibles va ores de b para que f (x) sea decreci nt . 145 El ritmo básico de reproducción, RO, de un vir s en na región es 2,5. Es decir, cada persona enferma infecta a o ras 2,5. Si el pr mer día habí 200 personas e fermas, expresa el número de infectados en función del tiempo. a) ¿Cuál es la vari ble indepe iente? b) ¿Cuándo se alcanz ro 20 000 infectados? c) ¿En qué intervalo debe estar l RO para que la epidemia sté controlada? 146 Considera las funciones: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Halla ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 147 Dayana infla su b lón de playa ra jugar con él. a) Halla el radio del balón en función del volumen. b) Se le pincha y omienza a desinflar e. L medida de su radio sigue la f nción ( ) t t g 50 000 = , t > 10, con t en minutos. Indica el radio en función del tiempo. ¿Baja el paro? Un estudio sobre la repercusión del turismo en la costa española asegura que durante los días festivos se crean cerca de 10 000 nuevos puestos de trabajo en el sector. Los últimos datos del Ministerio de Trabajo muestran que en el mes de junio se contrataron 40 000 personas en hostelería en la costa, a pesar de que solo hubo dos días festivos. La oposición asegura que los datos están manipulados de cara a las próximas elecciones. Y tú, ¿qué opinas? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 223 ES0000000136131 177456_U08_195_224_111342.indd 223 28/04/2022 13:17:09 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 PASA A LA ACCIÓN: PARA QUÉ SIRVEN... 5 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver actividades utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Encuentra aplicaciones de los contenidos que has estudiado y comprende cómo se utilizan y PARA QUÉ SIRVEN en la vida real. Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones que aparecen en distintos medios. Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… 7

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