Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Funciones 8 Cu ent a l a l e yend a qu e en el paí s d e l as Marav i l l as se reuní an cada año todos los magos y las magas y organizaban una fiesta . Al final, participaban en un torneo en el que se sentaban formando un círculo. Se numerab an to d a s l a s p ers ona s y l a pr imera c og í a l a úni ca varita mágica del torneo. A c ont inuac ión , e st a p ers ona hac í a de sapare cer a l a segunda y pasaba la varita mágica a la tercera . La tercera hacía desaparecer a la cuarta y pasaba la varita mágica a la quinta . Así seguían haciéndolo hasta que solo quedaba un mago o maga , que ganaba el torneo. Visto y no visto D E SA F Í O El primer año se presentaron 13 personas al torneo y la joven Alicia fue la ganadora. ¿En qué posición se puso? Si el segundo año se presentaron 100 personas y también ganó Alicia, ¿en qué posición comenzó? Alicia siempre conseguía ganar, sin importar cuántas personas se presentaran. ¿Cómo sabía en qué posición debía colocarse? 193 4.1. Funciones polinómicas de primer grado Características Si m = 0, la función f (x) = n se denomina función constante, y su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, n). Si n = 0, la función f (x) = mx se denomina función lineal, y su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el origen de coordenadas. Si m ! 0 y n ! 0, su gráfica es una recta creciente si m > 0 o decreciente si m < 0, que corta al eje Y en el punto (0, n). 4.2. Funciones polinómicas de segundo grado Características El dominio de una función cuadrática es R. El vértice de la parábola es , V a b a b ac 2 4 4 2 - - - e o . Si a > 0, el vértice es un mínimo. Si a < 0, el vértice es un máximo. Cuanto mayor sea ;a;, más cerradas están las ramas de la parábola. 7 Representa, sobre los mismos ejes, las funciones f(x) = 3x - 1 y g(x) = 5x + 4. Halla el punto en el que se intersecan las dos funciones. 8 Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas. a) f(x) = -3x2 - x - 1 b) f(x) = x2 - x - 2 A C T I V I D A D E S E J E M P LO 3. Esta es la gráfica en el intervalo [0, 5] de una función de periodo 5. Representa gráficamente la función para cualquier valor de x. Se desplaza la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha del intervalo representado. 3.2. Funciones periódicas Una fun c i ón e s p er i ó di ca, d e p e r i o do T (T > 0 ) , si su g rá f i ca s e re pi t e en inter valos de longitud T. Así , conocida su gráfica en un inter valo de longitud T, se puede construir el resto trasladándola a la derecha y a la izquierda en todo el dominio. G E O G E B R A 3. Simetría y periodicidad Determinar la simetría de una función Estudia la simetría de estas funciones. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primero. Se sustituye x por -x en la expresión algebraica de la función. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segundo. Se comprueba si esta función es igual a la primera o a su opuesta. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) es simétrica respecto del origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) es simétrica respecto del eje Y. 5 Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gráfica de esta función periódica de periodo 3. A C T I V I D A D E S 3.1. Funciones simétricas Dada una función f de variable real , se dice que es: Simétrica respecto del eje Y, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = f (x). Estas funciones también se denominan funciones pares. Simétrica respecto del origen de coordenadas, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = -f (x). Estas funciones también se denominan funciones impares. G E O G E B R A x X Y Función par f (-x) = f (x) -x X Y Función impar f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 D A T E C U E N T A Hay funciones que no son pares ni impares. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Esta expresión no coincide con la expresión de f(x) ni con la expresión de -f (x). 8 4. Funciones polinómicas Mínimo Máximo a < 0 a > 0 Y X m > 0 y = mx + n y = n m = 0 m < 0 y = mx n Y X Y X 1 f(x) = -x2 + 4x - 1 1 Las funciones polinómicas de primer grado se denominan funciones afines y son del tipo f (x) = mx + n. Su gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen. Las funciones polinómicas de segundo grado se denominan funciones cuadráticas y son del tipo f (x) = ax2 + bx + c, con a ! 0. Su gráfica es una parábola . Representar una función cuadrática Representa gráficamente la función f ( x) = -x 2 + 4x - 1. primero. Se calcula el vértice de la parábola y se estudia si es un máximo (a < 0) o un mínimo (a > 0). ? ( ) ( , ) a b f V v v v 2 2 4 2 2 4 2 1 3 2 3 x y x 2 = - = - - = = = - + - = " 4 a < 0 " máximo segundo. Se construye una tabla con valores alrededor del vértice y se representa la parábola. x 0 1 2 3 4 f (x) -1 2 3 2 -1 197 196 8 a c t i v i da d e s r e s u e lta s Función inversa Dibuja la gráfica de la función f(x) = 2x y la gráfica de su función inversa. primero. Se dibuja la gráfica de la función y = x, que es la bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes. segundo. Se representa la gráfica de f(x) y su simétrica con respecto a esa recta. Y X 1 1 f -1(x) = log 2 x f (x) = 2x PRACTICA 39. Representa la gráfica de las funciones inversas de estas funciones. a) ( ) f x x2 = b) ( ) ( ) f x x 1 log = - Representar la gráfica de una función inversa Función exponencial Representa gráficamente estas funciones. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primero. Se escribe la función como f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segundo. Se representa la función resultante como una función exponencial del tipo f (x) = ax. PRACTICA 40. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funciones del tipo ( ) f x akx = Función valor absoluto Representa gráficamente la función ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gráfica, escribe su expresión como una función definida a trozos. primero. Se representa la función sin el valor absoluto. ( ) f x x x 4 2 = - + es una función cuadrática; por tanto, se determina su vértice y si es un máximo o un mínimo. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Como a = -1 < 0, el vértice es un máximo. segundo. Se dibujan las figuras simétricas, con respecto al eje X, de las partes de la gráfica que correspondan a valores negativos de la función. tercero. Se escribe la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los puntos de corte con los ejes. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 43. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x sen x ; ; = en el intervalo [0, 2r]. Representar funciones del tipo ( ) ( ) g x f x ; ; = Función exponencial Representa gráficamente la función ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primero. Se expresa la función que se quiere representar en función de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segundo. Se obtiene la gráfica de la función desplazando la gráfica de ( ) f x ax = en horizontal y en vertical. f (x - 2) " Se desplaza f (x) hacia la derecha 2 unidades. f (x - 2) - 1 " Se desplaza f (x - 2) hacia abajo 1 unidad. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 41. Representa gráficamente la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funciones del tipo ( ) f x a c x b = + + Función valor absoluto Dibuja la gráfica de la siguiente función. g(x) = x2 - 4;x; primero. Se define la función a trozos teniendo en cuenta que ;x; es x cuando es un número positivo y es -x cuando es negativo. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segundo. Se representa la función definida a trozos en cada uno de los tramos. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 44. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funciones en las que interviene el valor absoluto Función logarítmica Representa gráficamente las siguientes funciones. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primero. Se aplican las propiedades de los logaritmos. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segundo. Se representan las funciones haciendo las transformaciones necesarias sobre la gráfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 42. Dibuja la gráfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funciones del tipo f(x) = loga kx Composición de funciones Expresa esta función como composición de funciones más sencillas. h(x) = cos [ln (x2 - 1)] primero. Se divide la función en funciones más sencillas. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = cos x segundo. Se componen las funciones para comprobar que el resultado es igual a la función inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = cos [ln(x2 - 1)] = h(x) F h3(x) = cos x PRACTICA 45. Expresa estas funciones como composición de funciones más sencillas. a) f(x) = sen2 (x2 + 1) b) ( ) f x x 1 1 = - Expresar una función como composición de otras funciones g(x) h(x) 1 1 Y X f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X G E O G E B R A 213 212 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL utilizando GeoGebra para investigar y manipular algunos contenidos. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Ayúdate de tu razonamiento y PIENSA para descubrir algunas propiedades y aplicaciones de esos saberes. Afianza los saberes básicos aprendiendo, paso a paso, métodos generales para las destrezas básicas que necesitas aprender. Aprende a partir de textos claros y estructurados. 6
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