Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda , dissenyada i creada al Depar tament d ’ Edicions de Grup Promotor / Santillana , dirigit per Teresa Grence Ruiz i Anna Sagristà Mas. En l ’elaboració ha par ticipat l ’equip següent: Alber to César Barbero Silvia Marín García José Emilio Bascuñana Fernández Carlos Pérez Saavedra María Isabel Bascuñana Gallego Juan Miguel Ribera Puchades José Carlos Gámez Pérez Federico Rodríguez Merinero Ana Gaztelu Villorria Domingo Sánchez Figueroa Queralt Gonfaus Saumell José María Vázquez de la Torre EDICIÓ Ana de la Cruz Fayos Silvia Marín García EDICIÓ EXECUTIVA Núria Grinyó Mar torell Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa Les activitats d’aquest llibre no s’han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s’hi inclouen són models perquè l ’alumnat els traslladi a la llibreta. 3 E S O Matema` tiques
Índex Un i t a t Const rue i x cone i xement Sabers bàs i cs 1 Nombres racionals 9 1. Fraccions _ 10 2. Fracció irreductible _ 12 3. Comparació de fraccions _ 14 4. Operacions amb fraccions _ 15 5. Nombres decimals _ 18 6. F raccions i nombres decimals _ 19 7. Nombres racionals _ 23 2 Potències i arrels 33 1. Potències de nombres racionals _ 34 2. Operacions amb potències _ 36 3. Notació científica _ 38 4. Operacions en notació científica _ 40 5. Arrels _ 41 6. Radicals _ 42 7. Operacions amb radicals _ 44 8. Nombres reals _ 47 9. Aproximacions i errors _ 48 10. Intervals _ 49 3 Progressions 59 1. Successions _ 60 2. Progressió aritmètica _ 62 3. Progressió geomètrica _ 66 4. Interès compost _ 72 4 Polinomis 83 1. Monomis _ 84 2. Operacions amb monomis _ 85 3. Polinomis _ 86 4. O peracions amb polinomis _ 88 5. Factor comú _ 91 6. Igualtats notables _ 93 7. F actorització d ’un polinomi _ 96 5 Equacions de primer i segon grat 105 1. Equacions de primer grau _ 106 2. Equacions de segon grau _ 108 3. Altres tipus d ’equacions _ 112 4. R esolució de problemes mitjançant equacions _ 114 6 Sistemes d’equacions 125 1. Equacions lineals _ 126 2. Sistemes d ’equacions lineals _ 128 3. Mètodes de resolució de sistemes _ 130 4. R esolució de problemes mitjançant sistemes _ 134 2
Pract i ca l es competènc i es espec í f iques Procediment s bàs i cs Matemàt iques en e l món rea l S i tuac i ó d ’aprenentatge • Com es troba el terme desconegut d ’una fracció equivalent a una altra • Com es calcula la fracció irreductible • Com es fan operacions combinades amb fraccions • Com s’expressa un nombre decimal exacte mitjançant una fracció • Com s’expressa un nombre decimal periòdic pur mitjançant una fracció • Com s’expressa un nombre decimal periòdic mixt mitjançant una fracció • Com es representa una fracció en la recta numèrica • Com es pot calcular una fracció compresa entre altres dues • Com es resolen operacions amb decimals periòdics • Com es calcula el total coneixent-ne una part MATEMÀTIQUES I… • Alimentació • Biologia • Consum • Atletisme • Economia FAKE NEWS. Anàlisi de publicitat FAM ZERO AIGUA NE TA I SANE JAMENT No és màgia, és indústria! (Mesures i acoblament de les peces de jocs de construcció) • Com es calculen productes i quocients de potències • Com s’expressen nombres en notació científica • Com es calculen les arrels d ’un radical • Com es extrauen factors d ’un radical • Com se sumen i resten radicals traient factors • Com es resolen productes de potències amb bases oposades • Com es resolen operacions amb potències • Com es resolen operacions combinades amb potències i arrels MATEMÀTIQUES I… • Biologia • Medicina • Naturalesa • Joieria • Ciències FAKE NEWS. Anàlisi del consum elèctric en una ciutat SALUT I BENESTAR FI DE L A POBRESA Auxili! Em quedo sense bateria (Estudi sobre la durada de la bateria en un mòbil i la seva optimització) • Com es calcula la diferència, el primer terme i el terme general d ’una progressió aritmètica • Com es troba la suma dels n primers termes d ’una progressió aritmètica • Com es calcula la raó, el primer terme i el terme general d ’una progressió geomètrica • Com se sumen els n primers termes d ’una progressió geomètrica • Com se sumen infinits termes d ’una progressió geomètrica • Com es resolen problemes d ’interès compost • Com s’afegeixen nombres entre dos termes d ’una progressió aritmètica • Com es determina si una progressió és aritmètica o geomètrica MATEMÀTIQUES I… • Biologia • Esport • Medi ambient • Ciberseguretat FAKE NEWS. Reflexió crítica sobre l’expansió d ’una pandèmia VIDA SUBMARINA CIUTATS I COMUNITATS SOSTENIBLES La teva casa pròpia: entre la por i l’esperança (Anàlisi de crèdits hipotecaris) • Com es divideixen polinomis • Com es divideixen polinomis amb la regla de Ruffini • Com s’extreu factor comú en un polinomi • Com s’expressa un polinomi mitjançant una igualtat notable • Com es factoritza un polinomi MATEMÀTIQUES I… • Societat • Química • Física FAKE NEWS. Anàlisi de l’IMC ALIANÇA PELS OBJECTIUS CONSUM I PRODUCCIÓ RESPONSABLES Desxifrem el rebut de la llum (Anàlisi dels diferents conceptes que figuren en el rebut de la llum) • Com es resol una equació de primer grau • Com s’esbrina el nombre de solucions d ’una equació de segon grau • Com es resolen equacions de segon grau • Com es resol una equació mitjançant factorització • Com es resolen problemes mitjançant equacions • Com es resolen equacions de segon grau amb parèntesis i denominadors MATEMÀTIQUES I… • Economia • Consum FAKE NEWS. Anàlisi de publicitat AIGUA NE TA I SANE JAMENT INDÚSTRIA, INNOVACIÓ INFRAESTRUCTURES Mare, no vull ser artista! Prefereixo tenir una empresa pròpia (Estudi del projecte per crear una empresa) • Com es representen gràficament les soluciones d ’una equació lineal • Com es determina gràficament el nombre de solucions d ’un sistema d ’equacions lineals • Com es resol un sistema d ’equacions lineals • Com es resol un problema mitjançant un sistema d ’equacions lineals • Com es determina el nombre de solucions d ’un sistema MATEMÀTIQUES I… • Cuina • Igualtat • Món laboral FAKE NEWS. Anàlisi d ’un rebut d ’un àpat IGUALTAT DE GÈNERE TREBALL DIGNE I CREIXEMENT ECONÒMIC Que gran que és el cine! (Estudi del format de pantalles i la seva relació amb el nombre de píxels) 3
Índex Un i t a t Const rue i x e l teu cone i xement Sabers bàs i cs 7 Llocs geomètrics. Àrees i perímetres 145 1. Llocs geomètrics _ 146 2. Mediatriu i bisectriu _ 147 3. Angles _ 148 4. Teorema de Pitàgores _ 149 5. Àrees i perímetres _ 150 8 Moviments i semblances 165 1. Vectors _ 166 2. M oviments en el pla _ 167 3. T ranslacions i girs _ 168 4. Simetries _ 170 5. Teorema de Tales _ 172 6. E scales i mapes _ 176 9 Cossos geomètrics 187 1. Poliedres _ 188 2. Àrea de poliedres _ 189 3. Simetries en els poliedres _ 192 4. Cossos de revolució. Àrea _ 193 5. Volum de cossos geomètrics _ 196 6. L’esfera terrestre _ 200 10 Funcions 211 1. Concepte de funció _ 212 2. Domini i recorregut d ’una funció _ 214 3. Continuïtat i punts de tall _ 216 4. C reixement i decreixement. Màxims i mínims _ 218 5. Periodicitat i simetria _ 220 11 Funciones lineals i quadràtiques 231 1. Funcions lineals _ 232 2. Equació punt-pendent _ 237 3. Equació general d ’una recta _ 238 4. Funciones quadràtiques _ 239 5. Aplicacions _ 242 12 Estadística i probabilitat 253 1. Variables estadístiques _ 254 2. Recompte de dades _ 255 3. Freqüències. Taules de freqüències _ 256 4. Gràfics estadístics _ 258 5. Mesures estadístiques _ 260 6. Experiments aleatoris. Esdeveniments _ 264 7. P robabilitat d ’un esdeveniment. Regla de Laplace _ 266 4
Pract i ca l es competènc i es espec í f iques Procediment s bàs i cs Matemàt iques en e l món rea l S i tuac i ó d ’aprenentatge • Com es calcula l’àrea d ’un quadrilàter utilitzant el teorema de Pitàgores • Com es calcula l’àrea d ’un polígon regular utilitzant el teorema de Pitàgores • Com es calcula l’àrea d ’una figura plana • Com es calcula l’altura d ’un triangle equilàter o isòsceles MATEMÀTIQUES I… • Gimnàstica • Bàsquet • Transports • Artesania • Publicitat • Art FAKE NEWS. Anàlisi d ’assistència a concentracions INDÚSTRIA, INNOVACIÓ INFRAESTRUCTURES AIGUA NE TA I SANE JAMENT Ens farem veure! (Disseny i confecció de samarretes esportives) • Com es fan translacions i girs • Com es fan simetries de figures geomètriques • Com es divideix un segment en parts iguals o proporcionals • Com es determinen distàncies utilitzant triangles en posició de Tales • Com es determinen distàncies utilitzen triangles oposats pel vèrtex • Com es resolen problemes amb escales • Com es troben els eixos i el centre de simetria d ’un polígon regular MATEMÀTIQUES I… • Dibuix • Esport • Astronomia • Geografia • Biologia FAKE NEWS. Lectura crítica del plànol d ’un habitatge EDUCACIÓ DE QUALITAT SALUT I BENESTAR Tot l’univers dins d ’un mandala? (Estudi i ús de girs i simetries per fer dibuixos) • Com es calcula l’àrea d ’un poliedre • Com es calcula l’àrea de un cossos de revolució • Com es calcula el volum d ’un cos geomètric • Com es resolen problemes de diferències horàries • Com es calcula l’altura d ’un tronc de con • Com es calcula l’àrea d ’un tronc de piràmide MATEMÀTIQUES I… • Consum • Medicina • Medi ambient FAKE NEWS. Càlcul de superfícies aplicat a la reducció de residus SALUT I BENESTAR AIGUA NE TA I SANE JAMENT Una imatge, cent històries? (Càlcul d ’àrees i volums per preparar un equipatge) • Com es representa gràficament una funció • Com es calcula el domini i el recorregut d ’una funció • Com es troben els punts de tall amb els eixos • Com s’interpreta el creixement i decreixement d ’una funció • Com s’estudia una funció • Com es calcula el domini d ’una funció amb la seva expressió algebraica MATEMÀTIQUES I… • Consum • Economia • Salut FAKE NEWS. Anàlisi de relacions funcionals que no ho son ENERGIA NE TA I ASSEQUIBLE IGUALTAT DE GÈNERE Però... on puc dinar? (Elecció de restaurant en funció dels dies que s’hi va) • Com es representa gràficament una funció lineal • Com es troba l’equació d ’una recta representada gràficament • Com es representa gràficament una funció quadràtica • Com es calcula gràficament el pendent d ’una recta • Com es calcula la intersecció entre dues funcions lineals MATEMÀTIQUES I… • Economia • Atletisme FAKE NEWS. Estudi de l’impacte dels impostos en la renda FAM ZERO TREBALL DIGNE I CREIXEMENT ECONÒMIC I si no tinc prou megues? (Estudi comparatiu d ’ofertes telefòniques) • Com es construeixen taules de freqüències per a dades agrupades • Com es construeix un histograma i el polígon de freqüències corresponent • Com es calculen i interpreten les mesures estadístiques per a dades agrupades • Com es determina l’espai mostral utilitzant un diagrama d ’arbre • Com es calcula la probabilitat utilitzant permutacions • Com es calcula la mesura d ’un grup de dades desconegudes MATEMÀTIQUES I… • Ciències socials • Comunicacions • Igualtat de gènere • Videojocs • Telèfons mòbils FAKE NEWS. Estudi d ’incidència geogràfica de malalties INDÚSTRIA, INNOVACIÓ INFRAESTRUCTURES IGUALTAT DE GÈNERE Hi havia una vegada un aneguet petitonet! (Estudi empíric de la probabilitat) 5
6 Aprendre és un camí de llarg recorregut que durarà tota la vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Com es calcula un percentatge El tant per cent, a, d’una quantitat, Q, es calcula així: ? % a a Q Q 100 de = E X E M P L E Calcula el 18 % de 300 €. 18 % de 300 = ? ? , 100 18 300 0 18 300 54 = = € El 12 % d’una quantitat és 30 €. Quina és la quantitat? 30 = ? ? Q Q 100 12 12 30 100 250 = = " € A C T I V I T A T S 2 Calcula el 15 % de 120. a) 8 b) 18 c) 180 d) 800 3 El 20 % d’una quantitat és 125. Quina és la quantitat? a) 25 b) 250 c) 500 d) 625 Què és un interval Un interval d’extrems a i b està format per tots els nombres compresos entre a i b. Els extrems poden estar continguts o no en l’interval. OBERT: l’extrem no pertany a l’interval. TANCAT: l’extrem pertany a l’interval. a b F F (a, b] F F E X E M P L E 3 4 5 Els punts 3; 3,01; 4; 4,9; … pertanyen a l’interval [3, 5). A C T I V I T A T S 1 Quin punt pertany a l’interval (-2, 7]? a) -2 b) -2,1 c) 7 d) 7,01 Què en saps , ja? Estadística i probabilitat 12 Secret... secret? Saps que un dels mètodes per desxifrar un missatge és analitzar la freqüència de les lletres que conté? Què posa aquí? RHLWJK DWKFVW EF WJ YRAIW JWYLI GWI WEMARI DAJJRKYWJ JWTIWKJ T ’ H I AT R E V E I X E S ? 14 12 10 8 6 4 2 0 Freqüència relativa A B C Ç D E F G H I J K L N O P Q R S T U V X Y Z M W 253 12 Representa aquests dades en un diagrama de sectors: A l’aula hi ha 50 estudiants. Han suspès 12 alumnes i 30 han tret suficient. El 12 % ha tret notable. La resta ha tret excel·lent. 13 R E F L E X I O N A . Dibuixa el diagrama de sectors que correspon a aquest de barres. 6 5 4 3 2 1 fi 37 38 39 40 41 42 43 44 xi A C T I V I T A T S 4. Gràfics estadístics Les dades estadístiques se solen expressar de forma gràfica , ja que així , d’una ullada , ens podem fer una idea de la seva distribució. Els diagrames de barres s’utilitzen per a la representació de variables qualitatives i quantitatives discretes. Si les variables són contínues, se solen fer ser vir els diagrames de sectors i els histogrames. 4.1. Diagrama de sectors Un diagrama de sectors consisteix en un cercle dividit en sectors circulars que representen els valors de la variable. L’amplitud de cada sector circular, el seu angle, és proporcional a la freqüència de la dada que representa : Angle del sector circular = ? ? N f h 360 360 ° ° i i = Cada sector del cercle representa un valor de la variable. E X E M P L E 5. En la taula següent s’han recollit les edats dels professors i professores d’un centre educatiu. Representa les dades en un diagrama de sectors. Edat fi hi Amplitud [36, 42) 4 0,26 ! ? , ° ° 0 26 360 96 = ! [42, 48) 4 0,26 ! ? , ° ° 0 26 360 96 = ! [48, 54) 5 0,3 ! ? , ° ° 0 3 360 120 = ! [54, 60) 2 0,13 ! ? , ° ° 0 13 360 48 = ! [36, 42) [42, 48) [48, 54) [54, 60) G E O G E B R A 4.2. Histograma En un histograma representem : En l’eix horitzontal , les dades de la variable. Per fer -ho, el dividim en inter vals. En l’eix vertical representem les freqüències. Cada classe i la freqüència corresponent es representa per un rectangle la base del qual és l’amplitud de cada inter val i l’altura del qual és igual a la freqüència corresponent. Si unim amb una línia poligonal els punts mitjans dels costats superiores dels rectangles, obtenim el polígon de freqüències corresponent. 258 12 14 Les longituds, en cm, de 18 grills són: 1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,8 1,7 1,9 2,3 1,6 2,1 3 2,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6 a) Elabora la taula de freqüències agrupant les dades en intervals. b) Representa les dades mitjançant un histograma i un polígon de freqüències. 15 El nombre de vídeos que veuen durant el cap de setmana un grup d’estudiants és: 27 12 4 32 19 8 0 38 15 9 6 24 23 4 1 13 54 29 34 16 7 Representa les dades mitjançant un histograma i el polígon de freqüències corresponent. 16 Aquest és el nombre de pacients d’una consulta mèdica durant l’últim mes. 54 37 45 51 29 0 0 49 33 57 41 38 0 0 47 52 34 36 46 0 0 44 52 48 a) Construeix la taula de freqüències. b) Dibuixa l’histograma i traça’n el polígon de freqüències. 17 Aquests són els temps recollits en una cursa. 29l 35m 29l 45m 29l 47m 30l 46m 30l 50m 30l 51m 31l 01m 31l 08m 31l 24m 31l 35m 31l 52m 32l 05m 32l 17m 32l 23m 32l 41m 33l 15m Representa les dades en un histograma. A C T I V I T A T S Com es construeix un histograma i el seu polígon de freqüències S’ha preguntat a 100 persones pel nombre de llibres que ha llegit l’últim any. Les dades s’han recollit a la taula següent. Nre. de llibres [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) Marca de classe (xi) 5 15 25 35 45 55 Total Nre. de persones (fi) 5 15 25 35 10 10 N = 100 Representa les dades en un histograma i traça’n el polígon de freqüències. En un diagrama de barres, les barres estan separades (les dades estan aïllades). En un histograma els rectangles es representen units. 1 Dibuixem els eixos de coordenades i hi representem, mitjançant rectangles units, les dades de la taula. 2 Unim amb una línia poligonal els punts mitjans dels costats superiors dels rectangles per obtenir el polígon de freqüències. Graduem l’eix vertical amb les freqüències. Sobre cada interval, alcem un rectangle amb altura igual a la seva freqüència. Marquem en l’eix horitzontal els extrems de les classes que es mostren en la taula. Polígon de freqüències 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 fi Nre. de llibres 259 1. Distingeix població, mostra i els diferents tipus de variables 41 Classifica aquestes variables en qualitatives, quantitatives discretes o qualitatives contínues. Indica’n la població i una mostra, i digues si per dur a terme un estudi estadístic seria millor estudiar-ne una mostra o tota la població. a) Marca de telèfon mòbil dels teus amics. b) Nre. de germans dels i les alumnes del teu centre. c) Pes de les persones de la teva família. d) Hores que dorm la gent de la teva localitat. e) Nre. d’ascensors dels hotels de Lleida. f ) Lloc de naixement de les persones que assisteixen a un congrés. g) Qualificació en un examen de Matemàtiques dels estudiants de classe. h) Nre. de whatsaps que escrius en un dia. 42 Raona si és cert o fals. a) La grandària d’una mostra pot ser més gran que el nombre d’individus de la població. b) La grandària d’una mostra pot ser més petita que el nombre d’individus d’una població. c) La grandària d’una mostra i de la població sempre han de coincidir. A C T I V I T A T S F L A I X 43 I N V E N TA . Troba informació sobre els esports que practiquen els i les alumnes del teu centre. Determina’n una mostra representativa. 44 R E P T E . En un centre escolar hi ha 100 estudiants de 1r d’ESO, 80 de 2n, 70 de 3r i 50 de 4t. Es vol prendre una mostra representativa de 60 estudiants del centre per fer-los una prova psicotècnica. Quants estudiants caldrà agafar de cada curs? 45 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C I È N C I E S S O C I A L S . Segons l’Instituto Galego de Estatística, els habitants que viuen en cada província gallega són 1 119 596 a la Corunya, 329 587 a Lugo, 307 651 a Ourense i 942 665 a Pontevedra. Si volem entrevistar 600 persones per saber la seva opinió sobre els serveis públics de la comunitat, a quants habitants de cada província haurem de preguntar? 2. Elabora taules de freqüències i construeix gràfics estadístics 46 Copia i completa a la llibreta aquesta taula de freqüències que representa el nombre d’hores setmanals que un grup de persones fa esport. Dades fi hi Fi Percentatge 3 3 0,15 5 0,2 7 9 0,3 12 5 a) A quantes persones s’ha preguntat? b) Quant val f4? I F3? Què significa? 47 Aquestes són les qualificacions en Matemàtiques de 50 estudiants de 3r d’ESO. 5 2 4 9 7 4 5 6 5 7 7 5 5 2 10 5 6 5 4 5 8 8 4 0 8 4 8 6 6 3 6 7 6 6 7 6 7 3 5 6 9 6 1 4 6 3 5 5 6 7 a) Elabora una taula amb les dades agrupades en 4 classes: la marca de classe, les freqüències absolutes, relatives i acumulades, i els percentatges. b) Quants estudiants han suspès? c) Quin és el percentatge d’estudiants suspesos? I d’aprovats? d) Fes ara una taula de freqüències que mostri el percentatge de suspensos, el d’estudiants que han tret suficient, bé, notable i excel·lent. 48 Aquestes són les velocitats, en km/h, a què circulaven 80 cotxes sotmesos a un control de velocitat en un tram d’autovia. Velocitat (km/h) 80-90 90-100 100-110 110-120 Percentatge de cotxes 15 % 20 % 35 % 30 % a) Elabora una taula de freqüències. b) Representa la taula mitjançant un histograma i el polígon de freqüències corresponent. a c t i v i tat s f i n a l s 268 49 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . X A R X E S S O C I A L S . La taula mostra els 4 canals amb més subscriptors a YouTube el 2020, indicant el país, l’idioma i amb cada total arrodonit al milió. Nom del canal País del canal Idioma principal Nombre de subscriptors T-Series Índia Hindi 135 000 000 PewDiePie Suècia Anglès 104 000 000 CocomelonNursery Estats Units Anglès 78 100 000 SET Índia Índia Hindi 69 200 000 Representa les dades amb un gràfic adequat. 50 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C I È N C I E S S O C I A L S . Aquesta és la distribució de la despesa d’una família catalana. Alimentació i vestit 20,7 % Habitatge 35,3 % Transport i comunicacions 15,9 % Oci i cultura 15,4 % Altres 12,7 % a) Representa les dades amb un gràfic adequat. b) La renda mitjana anual d’una família catalana és 25 072 €, quants diners dedicarà a cada concepte? 51 I N V E S T I G A . Formeu grups de 5 persones. Aporteu cada un una factura d’aigua i feu-ne un estudi estadístic complet. Indiqueu les variables estadístiques, feu gràfics, taules de freqüències, etc. Després, compareu-lo amb els dels altres grups. 3. Calcula i interpreta les mesures de posició i dispersió 52 Observa la taula i contesta. xi 1 2 3 4 5 fi 12 8 5 3 2 a) Què serà més gran: la mitjana o la moda? b) Què serà més gran: la moda o la mediana? c) Serà la mitjana un valor pròxim a 5? A C T I V I T A T S F L A I X 53 Els salaris mensuals de les 5 persones que treballen en un magatzem són aquests: Director del magatzem . . . . . . . . . . 3 962 € Encarregat de magatzem . . . . . . . 1 851 € Operari especialitzat . . . . . . . . . . . . . 1 489 € Operari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 326 € Aprenent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 142 € a) Calcula el sou mitjà dels treballadors del magatzem. b) Calcula’n la mediana. c) Quina mesura representa millor els 5 salaris? Per què? 54 Aquest és el color dels cotxes que s’han venut en un concessionari durant l’últim any. Blanc: 20 Vermell: 42 Gris: 16 Blau: 35 Verd: 18 Altres: 19 Es pot calcular la mitjana, la mediana i la moda d’aquestes dades? Què representarien cada una d’elles? Troba les mesures que es puguin calcular. Com es calcula la mitjana d’un grup de dades desconegudes 55 La mitjana de 9 dades és 5. Si afegim una dada més al conjunt, la mitjana és 6. Quina nova dada hem afegit a les dades inicials? PRIMER. Es calcula la suma de les dades inicials. x 9 5 Suma datos = = de Suma dades = 5 ? 9 = 45 SEGON. S’afegeixen les dades noves a la mitjana nova i es calculen les dades desconegudes. Si anomenem a la dada nova: x a 10 6 Suma datos = + = des 1 a 10 = 6 a = 6 ? 10 - Suma dades = 60 - 45 = 15 56 I N V E N TA . Donades les dades: 25 8 7 9 12 10 21 12 a) Afegeix una dada que faci que la mitjana continuï sent la mateixa. Què els passa a la mediana i a la moda? b) Pots afegir una dada més i que la mediana continuï sent la mateixa? I dues dades? c) Pots afegir una dada més i que la moda continuï sent la mateixa? I perquè canviï? 12 269 Com es calculen i interpreten les mesures estadístiques per a dades agrupades Aquesta taula mostra el nombre de gols que han marcat 32 jugadores de futbol des del principi de temporada. Calcula les mesures estadí tiques i int rpreta-l s. Gols [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) Marca de classe (xi) 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 Nre. de jugadores (fi) 12 9 1 4 6 Freq. acumulades (Fi) 12 21 22 26 32 12 1 Calculem les mesures de centralització. Mitjana: ? ? ? ? ? , , , , , , x 32 2 5 12 7 5 9 12 5 1 17 5 4 22 5 6 9 84 = + + + + = Moda: Interval modal: [0, 5) " Mo = 2,5 Mediana: El primer valor de Fi més gran o igual que 32 : 2 = 16 és 21, que correspon a l’interval [5, 10). " Me = 7,5 Interpretació: De mitjana, les jugadores han marcat més de 9 gols ( x = 9,84), però la meitat de les jugadores ha fet menys de 8 gols (Me = 7,5). La majoria han marcat entre 0 i 5 gols (Mo = 2,5). 2 Completem la taula de freqüències amb les columnes necessàries per facilitar-nos el càlcul de les mesures de posició i de dispersió. 3 Trob em les mesures de posició. Primer quartil: 0,25 ? 32 = 8 " F1 = 12 " Q1 = 2,5 Segon quartil: 0,5 ? 32 = 16 " F2 = 21 " Q2 = 7,5 Tercer quartil: 0,75 ? 32 = 24 " F4 = 26 " Q3 = 17,5 0 2,5 17,5 7,5 25 Interpretació: La quarta part, 8 jugadores, ha fet una mitjana de 2,5 gols i la meitat, 16 jugadores, ha fet menys de 8 gols. 4 Calculem les mesures de dispersió. R = 25 - 0 = 25 , , DM 32 218 4 6 83 = = , , 32 1 899 22 59 35 2 v = = , , 59 35 7 7 v = = , , , CV 9 84 7 7 0 78 = = Interpretació: La desviació mitjana és superior a 6 i el coeficient de variació és del 78 %. Tot i que la mitjana de l’equip ha estat de gairebé 10 gols, el nombre de gols que han fet és molt divers. S’ha d’afegir a la taula de freqüències les columnes que ens faciliten els càlculs. Gols [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 fi 12 9 1 4 6 32 Fi 12 21 22 26 32 ? f x x i i - 88,08 21,06 2,66 30,64 75,96 218,4 ? ( ) x x f i i 2 - 646,51 49,28 7,08 234,7 961,65 1 899,22 24 Calcula i interpreta les mesures estadístiques de les dades recollides en aquesta taula. Nre. de menús [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) Nre. de dies 2 6 16 6 25 L’estatura d’un grup d’estudiants és: 1,55 1,59 1,64 1,55 1,65 1,62 1,70 1,67 1,74 1,49 1,71 1,66 Troba totes les mesures estadístiques, agrupant les dades en cinc classes, i interpreta-les. A C T I V I T A T S 263 EL PUNT DE PARTIDA: T’HI ATREVEIXES? 1 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 CONSTRUEIX EL TEU CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, utilitza l’enginy i raonament per a resoldre el DESAFIAMENT MATEMÀTIC que et proposem a l’inici de la unitat. Reforça aquests sabers mitjançant els EXEMPLES inclosos per a cada contingut. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL aprenent, pas a pas, les destreses bàsiques. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit fent les ACTIVITATS. Posa a prova els teus coneixements i ajuda’t del raonament matemàtic per resoldre el REPTE. Arribaràs a resultats inesperats! Treballa els continguts que has après resolent activitats de tots mena: JOCS, INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre aquestes activitats mitjançant CÀLCUL MENTAL, utilitzant GEOGEBRA, buscant informació a INTERNET… Aprèn a partir de textos clars i estructurats. Recorda els continguts que ja saps i que et seran útils per a la unitat. Avalua aquests coneixements resolent les activitats proposades.
7 a c t i v i tat s f i n a l s 73 Determina l’espai mostral d’aquests esdeveniments. a) Triar, amb els ulls tapats, una fitxa d’un dòmino. b) Obrir a l’atzar un llibre de 300 pàgines i anotar el número de la pàgina de l’esquerra. c) Llançar dos daus i sumar els punts obtinguts. 74 I N V E N TA . Proposa un experiment. Determina unes condicions perquè l’experiment sigui aleatori i altres perquè no ho sigui. 75 Utilitza un diagrama d’arbre per determinar l’espai mostral. a) Es llancen tres monedes i s’observa el nombre de cares. b) Es llancen dos daus, un de vermell i un altre de verd, i es resten els punts del dau verd menys els del vermell. c) Es llança una moneda. Si surt cara es llança un dau i si surt creu s’extreu una bola d’una bossa amb una bola vermella, una de verda i una de blava i s’anota el color. 76 Tenim tres targetes: una de negra, una de vermella i una d e b l a n c a . Q u a n t e s s e q ü è n c i e s d i f e r e n t s e s p o d e n formar? I si en tenim 2 de negres, una de vermella i una de blanca? 6. Assigna probabilitats a esdeveniments en experiments aleatoris 77 Considera l’experiment que consisteix a agafar una targeta d’una urna que conté targetes numerades de l’1 al 10. Calcula la probabilitat d’aquests esdeveniments. a) «Agafar una targeta amb un nombre més gran que 8». b) «Agafar una targeta amb un nombre divisible entre 3». c) «Agafar una targeta amb el número 0». d) «Agafar una targeta amb un nombre menor que 11». 78 Extraiem una bola d’una bossa on hi ha 3 boles negres, 2 de vermelles i 1 de verda. Calcula la probabilitat d’aquests esdeveniments. a) «Que surti bola negra». b) «Que surti bola negra o vermella». c) «Que no surti bola vermella». d) «Que no surti bola negra ni vermella». 79 I N V E S T I G A . Quina és la probabilitat que, en obrir a l’atzar un llibre que té 96 pàgines, la pàgina de l’esquerra sigui un nombre parell? 80 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . J O C S D ’AT Z A R . La ruleta és un joc que utilitza un plat giratori horitzontal amb 37 buits on pot caure la bola. En cada buit hi ha escrit un nombre, del 0 al 36, pintat de color vermell o negre, excepte el 0, que està pintat de color verd. Es poden fer aquestes apostes: Apostes simples Apostes múltiples – Nombre vermell – Nombre negre – Nombre parell – Nombre senar – Alt: nombre de l’1 al 18 – Baix: nombre del 19 al 36 – Aposta a un únic nombre. – A cavall: aposta a dos nombres consecutius. – Columna: aposta a una columna del tauler, 12 nombres. Calcula la probabilitat de guanyar en cada aposta. 81 A la família d’en Raül fan l’amic invisible per Nadal. Per sortejar qui fa el regal a qui, escriuen el nom de cada un en un paperet i van extraient papers. En Raül té dues germanes i són 15 familiars en total. a) Quina és la probabilitat que li toqui fer el regal a una de les seves germanes? b) Quina és la probabilitat que el paper que agafi no dugui el seu nom? 7. Pren decisions tenint en compte les probabilitats 82 La Clara i la Marta han d’endreçar l’habitació que comparteixen. La Clara posa en una bossa 3 boles vermelles, 2 de verdes i 1 de blava, i proposa a la seva germana agafar-ne una. Si és vermella, endreça la Marta, i si és blava, ho fa ella. a) És just el que proposa la Clara? b) La Marta no accepta el tracte i proposa que si surt vermella endreçarà ella, i que si surt blava o verda, ho farà la Clara. És just aquest tracte? Per què? 83 J O C . Organitzeu-vos en grups de 6 persones. Per ordre, trieu un nombre de l’1 al 12 sense repetir nombres. Després, tireu dos daus i sumeu els punts. Si algun participant ha triat el nombre resultant obté 1 punt. Guanya el jugador que primer arriba als 10 punts. G E O G E B R A 272 84 I N V E S T I G A . Tenim un cobretaula rectangular i a l’interior hi ha un paral·lelogram que es forma unint el punt mitjà del seus costats. Si hi llancem una boleta, en quina zona és més probable que caigui? 85 R E P T E . Dos jugadores de bàsquet tenen un percentatge d’encert del 50 % en els tirs lliures. Disputen un duel alternant els tirs fins que una d’elles encistelli. Tenen les dues la mateixa probabilitat de guanyar? 86 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . T E L È F O N S M Ò B I L S . El PIN d’un telèfon té quatre dígits i hi ha tres oportunitats d’encertar abans que es bloquegi. a) Si l’has oblidat, quina probabilitat tens de no bloquejar-lo? b) Probabilísticament, és el mateix oblidar les dues primeres xifres que les dues últimes? c) Si només dubtes en una xifra, quina probabilitat tens que es bloquegi? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 87 Calcula la mitjana i la mediana del conjunt de dades representades en aquest histograma. 88 Aquest gràfic mostra les hores setmanals que juguen amb videojocs els estudiants de 3r d’ESO. La Nina hi juga 3 hores a la setmana. De mitjana, hi juga més que els altres? És de la meitat dels estudiants que hi juguen menys hores? 89 Troba la mitjana i la desviació típica d’aquestes dades. xi [5, 25) [25, 45) [45, 65) [65, 85) fi 12 8 21 2 90 En una botiga 12 persones van pagar entre 5 € i 25 €, 8 entre 25 € i 45 €, 21 entre 45 € i 65 € i 2 entre 65 i 85 €. Quant van gastar de mitjana? Quina és la desviació típica d’aquesta despesa? 91 En una urna tenim 7 boles de color groc i 9 de color verd. Si n’extraiem una bola a l’atzar, quina és la probabilitat que la bola sigui groga? I la probabilitat que no sigui groga? 92 El temari d’una oposició convocada per l’Ajuntament consta de 16 temes. El dia de l’examen es tria un tema a l’atzar i s’exposa davant el tribunal. En Pau ha estudiat 7 temes, quina és la probabilitat que se sàpiga el tema? I que no se’l sàpiga? 12 La mortalitat per infart varia un 50 % entre comunitats Els cardiòlegs culpen de la diferència a l’organització dels serveis A la Comunitat Valenciana, amb una incidència d’infarts durant l’any passat del 2,36 per cada 100 000 habitants, va morir un 9,57 % de les persones afectades. Mentre que a Navarra, amb un 18,61 d’afectats per cada 100 000 habitants, va morir el 6,06 %. Aquesta diferència de més d’un 50 % s’ha posat de manifest en un treball que es va presentar ahir durant la Setmana del Cor celebrada a Tarragona. I tu, què en penses? NE WS FAKE ? D A G E C B F H Pitjor que la mitjana Millor que la mitjana Mortalitat intrahospitàlaria 931957_12_p279_esp na_mort_intrahospitalaria MORTALITAT INTRAHOSPITALÀRIA 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 fi xi Estudiants Hores 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 273 S I T U A C I Ó D ’ A P R E N E N T A T G E Hi havia una vegada un aneguet petitonet! S’acosta festa! Avui comencen les festes del barri i m’ ho passaré genial amb la meva colla . Fa uns quants dies que van arribant els camions i les caravanes dels firaires, la majoria dels quals tornen any rere any. L’any passat em vaig quedar amb les ganes d’aconseguir el peluix gegant de la barraca dels aneguets de la sort. Tothom hi guanya, ningú no hi perd amb els aneguets de la sort! Pesca un aneguet i mira’n el numeret, torna l ’aneguet i emporta’t el regalet! E l s a n e g u e t s d e l a s o r t L l i s t a d e p rem i s 1 Paquet de llaminadures 2 Bossa sorpresa 3 Joguina petita 4 Joguina gran 5 Peluix gegant Ca n v i a l a s o r t 274 12 1 En què consisteix el joc? Es tracta de pescar un dels molts aneguets de goma que suren en una mena de piscina circular. Un cop pescat, es mira el nombre que porta escrit a sota i es torna a la piscina perquè els jugadors següents continuïn pescant-ne. Els aneguets tenen nombres de l’1 al 5. L’acció de pescar un aneguet i mirar el nombre que porta escrit a sota, és un experiment aleatori? És un experiment regular? Quines condicions ha de complir perquè sigui un experiment regular? Descriu l’espai mostral d’aquest experiment. Digues dos esdeveniments elementals i dos esdeveniments compostos. Quin és l’esdeveniment que permet guanyar una joguina? I el que fa guanyar el peluix gegant? 2 L’experiència importa Nombre 1 2 3 4 5 Total Nre. de vegades 1 201 489 198 102 10 2 000 Guanyar el peluix gegant és prou difícil. L’any passat, amb la colla vam fer torns durant tota la fira per anotar els nombres que treia la gent que hi jugava i guanyava premis. Amb totes les dades vam fer aquesta taula. Què és més probable: que et toqui una joguina o un paquet de llaminadures? És un experiment regular? Quina és la probabilitat d’obtenir cada premi? 3 Val més anar a cop segur Enguany ens hem fet amics del fill del firaire i ens ha dit que guanyar el peluix gegant és molt difícil. De fet, diu que només hi ha un aneguet que porta el 5. Li hem fet més preguntes i dels 200 aneguets que neden a la piscina 120 duen l’1, 50 duen el 2 i 20 porten el 3. Quina és la probabilitat que en pescar un aneguet tingui el 4? I la probabilitat d’obtenir el peluix gegant? Es correspon això amb les dades que vam apuntar l’any passat? Per què creus que és així? 275 12 1. Distingeix població, mostra i els diferents tipus de variables 1 Selecciona la variable quantitativa discreta. a) Edat. b) Color d’ulls. c) Estatura. 2. Elabora taules de freqüències i construeix gràfics estadístics 2 En un edifici hi ha 90 veïns. S’han recopilat les dades sobre el nombre de mascotes de cada veí. Quants veïns tenen 2 mascotes? a) 5 b) 10 c) 20 d) 45 3. Calcula i interpreta les mesures de posició i dispersió 3 Calcula la desviació típica de 5, 4, 3, 2, 4. a) 1,02 b) 1,04 c) 3 d) 3,6 4. Interpreta informació estadística recollida de diferents mitjans 4 Quin és la nota mitjana dels estudiants? Nota 2 5 7 8 10 Nre. alumnes 1 4 8 5 2 a) 6,375 b) 6,68 c) 6,9 5. Identifica i assigna probabilitats als d’experiments aleatoris i pren decisions 5 En llançar un dau, quina és la probabilitat d’obtenir un divisor de 4? a) 0 b) 0,25 c) 0,5 d) 1 esdeveniments GRÀF I CS ESTAD Í ST I CS MESURES DE CENTRAL I TZAC I Ó I POS I C I Ó Mitjana: ? : x n f x Medi i i = / Mediana: Me Moda: Mo Quartils: Q1, Q2, Q3 MESURES DE D I SPERS I Ó ? DM N f x x i i = - / ? ( ) N f x x i i 2 v = - / ? ( ) N f x x i i 2 2 v = - / CV x v = R = Màx. - Mín. EXPER I MENTS AL EATOR I S REGLA DE LAPLACE P(A) = nre. de casos favorables a l’esdeveniment A nre. de casos possibles ( ) P A 0 1 # # ( ) P E 1 = ( ) P 0 Q = TAULA DE FREQÜÈNC I ES 0 1 2 3 4 180° 20° 40° 40° 80° Diagrama de sectors Diagrama de barres Freqüències Dades Histograma Freqüències Dades Polígon de freqüències Freqüències Dades Interval xi fi Fi hi Hi [35, 40) 37,5 6 6 0,3 0,3 [40, 45) 42,5 3 9 0,15 0,45 [45, 50) 47,5 5 14 0,25 0,7 [50, 55) 52,5 3 17 0,15 0,85 [55, 60) 57,5 3 20 0,15 1 20 1 Intervals o classes Espai mostral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Esdeveniment elemental {5} Esdeveniment elemental {3} Esdeveniment elemental {1} F F F • Utilitzes les matemàtiques en altres matèries? • T’agrada dur a terme les tasques dins del grup? A U T O A V A L U A C I Ó V A L O R A E L T E U A P R E N E N T A T G E R E S U M D E L A U N I T A T 276 PASSA A L’ACCIÓ: SITUACIÓ D’APRENENTATGE 5 AVALUA EL QUE HAS APRÈS: AUTOAVALUACIÓ 6 PRACTICA LES TEVES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diversos àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURALESA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… Enfronta’t a les FAKE NEWS. Utilitza els continguts apresos per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions generalitzades en el nostre món. Repassa els sabers bàsics de la unitat. Avalua el que has après resolent les activitats que es proposen a l’AUTOAVALUACIÓ. Identifica i gestiona les emocions acceptant l’error com a part de l’aprenentatge. Comprèn i analitza amb sentit crític situacions reals amb els continguts que has après per abordar-les de manera global.
Calcular el m .c. d. i el m. c. m. de diversos nombres • El m .c. d. de diversos nombres s’obté multiplicant els factors primers comuns elevats al menor dels exponents. • El m. c. m. s’obté multiplicant els factors primers comuns i no comuns elevats al més gran dels exponents. E X E M P L E Calcula el m .c. d. i el m. c. m. de 18 i 27. 18 = 2 ? 32 m .c. d. (18, 27) = 32 = 9 27 = 33 m. c. m. (18, 27) = 2 ? 33 = 54 A C T I V I T A T S 2 Decideix quin és el mínim comú múltiple de 15 i 21. a) 3 b) 21 c) 45 d) 105 Descompondre en factors primers Descompondre factorialment un nombre és escriure’l com a producte de potències de nombres primers. E X E M P L E Fes la descomposició factorial de 18 i 28. 18 2 18 : 2 " 9 3 9 : 3 " 3 3 3 : 3 " 1 18 = 2 ? 3 ? 3 = 2 ? 32 32 28 2 28 : 2 " 14 2 14 : 2 " 7 7 7 : 7 " 1 28 = 2 ? 2 ? 7 = 22 ? 7 22 A C T I V I T A T S 1 Quina és la descomposició de 90 en factors primers? a) 2 ? 32 ? 7 b) 2 ? 32 ? 5 c) 2 ? 3 ? 5 d) 23 ? 5 Què en saps , ja? Nombres racionals 1 Una pila… En una pila de pedres hi ha 33 pedres que pesen 1 g, 2 g, 3 g… i 33 g, respectivament. Sabries repartir-les en tres piles que pesin igual? T ’ H I AT R E V E I X E S ? 9
Una fracció és una expressió b a , amb a i b nombres enters i b ! 0. El nombre a s’anomena numerador, i b, denominador. Fraccions equivalents Dues fraccions b a i d c són equivalents, i s’escriu b a d c = , si es compleix que a ? d = b ? c. E X E M P L E 1. Escriu fraccions que compleixin el següent. a) Els dos termes són positius: , 5 2 4 3 b) Tenen un terme positiu i un altre de negatiu: , 6 1 9 7 - - c) Els dos termes són negatius: , 5 7 3 4 - - - - E X E M P L E 2. Decideix si aquestes fraccions són equivalents. a) 10 8 15 12 i - - ? ? ( ) 8 15 120 10 12 120 10 8 15 12 i = - - = - - " " ) són equivalents. b) 5 3 25 16 i - - ? ? ( ) ( ) 3 25 75 5 16 80 5 3 25 16 i - = - - = - - - " " ) no són equivalents. Qualsevol nombre enter pot expressar-se en forma de fracció. 3 1 3 2 6 3 9 … = = = = 4 1 4 2 8 3 12 … - = - = - = - = 1. Fraccions R E P T E Quina fracció del quadrat està pintada? 1 Escriu en forma de fracció. a) En una ciutat, 8 de cada 45 habitants són majors de 65 anys. b) En l’examen de Matemàtiques he resolt bé 5 dels 6 problemes. c) Aquesta setmana hi ha hagut 25 naixements a l’hospital. En total hi han nascut 14 nenes. 2 Comprova si aquestes fraccions són equivalents. a) 12 10 18 16 i - - b) 42 12 49 14 i - - 3 Relaciona les fraccions que siguin equivalents. , , , , , , , 3 2 2 3 12 8 6 4 3 2 6 4 6 9 9 6 - - - - - - - - 4 R E F L E X I O N A . Inventa dues fraccions equivalents de manera que: a) Els numeradors siguin l’un l’oposat de l’altre. b) Els denominadors siguin de signe diferent i valor absolut diferent. c) El denominador d’una fracció sigui igual al numerador de l’altra. d) Els numeradors siguin l’un múltiple de l’altre. A C T I V I T A T S 10
1 5 Calcula el valor desconegut en aquestes igualtats. 6 Escriu fraccions equivalents a 2 i a -3. Quantes fraccions equivalents a un nombre enter hi ha? 7 Troba el terme desconegut en cada cas. a) x 5 10 - = b) x 4 11 = c) x 7 14 = - 8 Escriu una fracció equivalent a 8 10 tal que: a) El numerador és múltiple de 3. b) El denominador és múltiple de 10 i el denominador és senar 9 Calcula el valor de x i y. a) y x 25 18 5 3 = = d) y x 10 9 5 27 = = b) x y 21 35 6 7 = = e) x y 28 11 7 33 = = c) x y 9 6 18 2 = = f ) x y 5 6 24 35 = = 10 Determina els valors desconeguts i completa a la llibreta. a) 3 5 15 24 30 12 = = = - = 4 4 4 4 b) 11 2 121 18 30 77 = = - = = - 4 4 4 4 c) 8 12 3 4 40 45 = = - = = - 4 4 4 4 11 Escriu una fracció equivalent a 5 2 i una altra d’equivalent a 4 9 tals que tinguin el mateix: a) Denominador. b) Numerador. A C T I V I T A T S Com es troba el terme desconegut d’una fracció equivalent a una altra Calcula els termes desconeguts perquè aquestes fraccions siguin equivalents. a) x 3 5 12 - = b) x 7 4 8 = - 1 Apliquem la propietat que han de complir les fraccions equivalents. x 3 60 20 = - = - La fracció equivalent a 3 5 - amb denominador 12 és 12 20 12 20 - = - . x 4 56 14 = - = - La fracció equivalent a 7 4 amb numerador -8 és 14 8 14 8 - - = . El coeficient de x passa dividint amb el seu signe. Una fracció equivalent a una fracció negativa és sempre negativa Una fracció equivalent a una fracció positiva és sempre positiva a) x 3 5 12 - = b) x 7 4 8 = - 5 ? 12 = -3 ? x 4 ? x = 7 ? (-8) 60 = -3x 4x = -56 2 Aïllem el valor desconegut. Les fraccions del tipus b a - i b a - s’escriuen - b a . 4 3 4 3 4 3 - = - = - s’anomenen fraccions negatives. Les fraccions del tipus b a - - s’escriuen b a . 8 7 8 7 - - = s’anomenen fraccions positives. a) x 8 6 18 = d) x 3 7 12 - = - b) x 2 5 8 = e) x 5 4 12 - = c) x 4 6 9 = f ) x 8 7 56 = - 11
2. Fracció irreductible 2.1. Amplificació i simplificació de fraccions Hi ha dos mètodes per a obtenir fraccions equivalents a una fracció. Amplificar. Consisteix a multiplicar el numerador i el denominador de la fracció per un mateix nombre, diferent de zero. Simplificar. Consisteix a dividir el numerador i el denominador de la fracció entre un divisor comú als dos, diferent de la unitat. 2.2. Fracció irreductible La fracció irreductible d’una fracció donada és una fracció equivalent a aquesta en què el numerador i el denominador no tenen divisors comuns diferents de la unitat. ? ? b a b n a n = : : b a b n a n = E X E M P L E 3. Escriu tres fraccions equivalents a 12 8 per amplificació i dues més per simplificació. Amplificació " ? ? 12 4 12 2 4 2 24 8 = = ? ? 12 4 12 3 4 3 36 12 = = ? ? 12 4 12 4 1 4 4 48 6 = = Simplificació " : : 12 4 12 2 4 2 6 2 = = : : 12 4 12 4 4 4 3 1 = = E X E M P L E 4. Decideix si aquestes fraccions són irreductibles. a) 32 6 ? 6 2 3 32 25 = = " " ) 6 i 32 tenen un divisor comú, 2. No és irreductible. b) 14 15 ? ? 15 3 5 14 2 7 = = " " ( 15 i 14 no tenen divisors comuns. És irreductible. 12 Troba dues fraccions equivalents per amplificació i dues més per simplificació. a) 18 6 b) 27 9 c) 30 10 d) 42 28 13 Estudia si les fraccions següents són irreductibles. a) 16 6 b) 42 23 - c) 105 36 - d) 41 39 14 Calcula, si es pot, fraccions equivalents a aquestes amb denominador senar. a) 18 30 - b) 20 12 c) 6 15 d) 30 6 - 15 R E F L E X I O N A . Decideix si aquestes fraccions poden ser irreductibles, en què n és un nombre enter. a) n n 1 + b) n n 1 + c) n n 2 + A C T I V I T A T S R E P T E Si treus una xifra de cada fracció les converteixes en irreductibles. 19/95, 26/65, 16/64 Una fracció és irreductible quan no es pot simplificar. Cada fracció té una única fracció irreductible equivalent a aquesta. 12
1 16 Troba les fraccions irreductibles de les següents. a) 72 56 d) 143 22 g) 120 70 - j) 810 81 b) 45 35 - e) 91 14 h) 108 90 k) 105 45 c) 14 4 f ) 92 23 i) 54 36 - l) 108 99 - 17 Decideix si aquestes fraccions són irreductibles o no, sense fer els càlculs, utilitzant els criteris de divisibilitat. Redueix les que no ho siguin. 18 Copia i completa els buits perquè aquestes fraccions siguin pròpies i, a més, irreductibles. Justifica quins nombres hi pots col·locar i quins no. a) 6 4 b) 6 4 c) 15 4 d) 15 4 e) 36 4 f ) 36 4 19 Comprova si aquests parells de fraccions són equivalents, trobant-ne prèviament la fracció irreductible. a) 8 14 12 21 i c) 10 12 25 30 i e) 18 8 43 20 i b) 18 15 35 30 i d) 9 12 15 20 i f ) 12 9 28 21 i 20 Calcula dues fraccions diferents la fracció irreductible de les quals sigui la següent. a) 5 6 d) 11 3 g) 17 6 - b) 7 4 - e) 9 4 - h) 5 4 c) 12 5 f ) 13 12 i) 17 23 21 Agrupa les fraccions que tinguin la mateixa fracció irreductible. a) 75 50 18 12 10 15 27 18 24 36 60 90 20 30 15 10 30 45 b) 24 42 40 56 20 28 36 45 12 21 - - - - - 16 20 12 15 15 21 8 10 - - - - A C T I V I T A T S Com es calcula la fracció irreductible Troba la fracció irreductible de les fraccions següents. a) 60 36 b) 135 90 - 1 Calculem el m .c. d. del numerador i del denominador de la fracció, sense tenir en compte el signe. 2 Dividim el numerador i el denominador entre el m .c. d. que hem calculat. 36 = 22 ? 32 60 = 22 ? 3 ? 5 90 = 2 ? 32 ? 5 135 = 33 ? 5 m. c .d. (36, 60) = 12 m .c. d. (90, 135) = 45 : : 60 36 60 12 36 12 5 3 = = : : 135 90 135 45 90 45 3 2 - = - = - La fracció irreductible de 60 36 és 5 3 . La fracció irreductible de 135 90 - és 3 2 - . 36 18 9 3 1 2 2 3 3 90 45 15 5 1 2 3 3 5 60 30 15 5 1 2 2 3 5 135 45 15 5 1 3 3 3 5 Com que la fracció irreductible a una altra fracció donada és equivalent a aquesta, ambdues han de tenir el mateix signe. La fracció irreductible d’una fracció positiva és sempre positiva. La fracció irreductible d’una fracció negativa és sempre negativa. a) 21 15 d) 45 24 g) 13 11 b) 8 15 e) 45 15 h) 81 27 c) 60 50 f ) 125 6 i) 202 27 13
3.2. Comparació de fraccions Per comparar fraccions, primer les reduïm a comú denominador. Serà més gran la fracció que tingui el numerador més gran . 3.1. Reducció a comú denominador Reduir a comú denominador dues o més fraccions consi st ei x a obt enir altres fraccions equivalents a aquestes que tinguin el mateix denominador. E X E M P L E 5. Redueix a comú denominador les fraccions 6 5 14 9 i - . Per trobar el denominador comú, calculem el m. c. m. dels denominadors. ? ? ? ? . . ( , ) 6 2 3 14 2 7 6 14 2 3 7 42 m c m. = = = = 2 Per trobar els numeradors, dividim el m. c. m. entre cada denominador i el resultat el multipliquem pel numerador. ? 6 5 42 5 7 42 35 = = ? 14 9 42 9 3 42 27 - = - = - E X E M P L E 6. Ordena de més petita a més gran aquestes fraccions: , , 6 5 9 4 12 7 . Primer, les reduïm a comú denominador: m. c. m. (6, 9 i 12) = 36 " ? ? 6 5 6 6 5 6 36 30 = = ? ? 9 4 9 4 4 4 36 16 = = ? ? 12 7 12 3 7 3 36 21 = = Després, comparem les fraccions i les ordenem: 36 16 36 21 36 30 9 4 12 7 6 5 1 1 1 1 " 22 Redueix les fraccions a comú denominador. a) 12 7 18 5 i b) 20 11 35 14 i c) , 10 7 15 6 45 23 i 23 Ordena de més petita a més gran aquestes fraccions. a) , 10 7 6 5 9 4 i c) , 12 5 15 4 18 7 i b) , 15 8 25 12 50 27 i d) , 21 4 18 11 4 3 i 24 Ordena de més gran a més petita, reduint-les prèviament a comú denominador. a) , 3 5 9 13 12 17 i b) , 10 4 15 8 20 10 i 25 R E F L E X I O N A . En cada cas, troba una fracció compresa entre aquestes dues. a) 2 1 3 1 i b) 5 2 6 2 i - - c) 7 3 7 4 i A C T I V I T A T S 3. Comparació de fraccions Hi ha infinits denominadors comuns. El menor d’aquests és el m. c. m. dels denominadors. G E O G E B R A 14
1 4.1. Suma de fraccions Per sumar fraccions amb el mateix denominador se sumen els numeradors i es deixa el mateix denominador. Per sumar fraccions amb denominadors diferents primer es redueixen les fraccions a comú denominador i , després, se sumen com a fraccions amb el mateix denominador. 4.2. Resta de fraccions Per restar fraccions que tenen el mateix denominador es resten els numeradors i es deixa el mateix denominador. Per restar fraccions que tenen denominador diferent primer es redueixen les fraccions a comú denominador i , després, es resten com a fraccions amb igual denominador. E X E M P L E 7. Suma aquestes fraccions. m. c. m. (6, 15) = 30 simplificant F F 6 2 15 3 - + 30 10 30 6 30 10 6 30 4 15 2 = - + = - + = - = - E X E M P L E 8. Fes aquesta resta. m. c. m. (1, 15) = 15 F 15 7 2 - ? ? 15 7 1 2 15 7 1 15 2 15 15 7 15 30 15 23 = - = - = - = - 4. Operacions amb fraccions Els nombres enters es poden representar com a fraccions de denominador 1. 26 Calcula aquestes sumes i restes de fraccions. a) 5 3 6 5 10 1 + + c) 5 7 3 4 10 1 - - b) 9 7 6 1 12 1 + + d) 3 1 6 5 12 3 - - 27 Opera amb els nombres següents. a) 3 2 4 1 1 - + c) 9 5 7 4 3 - + + b) 5 3 6 7 2 - - d) 2 5 6 9 7 - - 28 Resol. a) 8 1 1 6 1 4 3 8 1 6 2 - + - + - - b) 3 8 6 2 1 3 1 2 6 1 4 1 - + - - + - + c) 10 1 2 1 2 4 1 20 1 10 1 5 2 - + - + + - + 29 R E F L E X I O N A . Troba dues fraccions amb denominadors 2 i 4 tals que en restar-les el resultat sigui un nombre enter negatiu. A C T I V I T A T S En operar amb fraccions cal simplificar el resultat fins a obtenir la fracció irreductible. 15
RkJQdWJsaXNoZXIy