6 Aprendre és un camí de llarg recorregut que durarà tota la vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Com es calcula un percentatge El tant per cent, a, d’una quantitat, Q, es calcula així: ? % a a Q Q 100 de = E X E M P L E Calcula el 18 % de 300 €. 18 % de 300 = ? ? , 100 18 300 0 18 300 54 = = € El 12 % d’una quantitat és 30 €. Quina és la quantitat? 30 = ? ? Q Q 100 12 12 30 100 250 = = " € A C T I V I T A T S 2 Calcula el 15 % de 120. a) 8 b) 18 c) 180 d) 800 3 El 20 % d’una quantitat és 125. Quina és la quantitat? a) 25 b) 250 c) 500 d) 625 Què és un interval Un interval d’extrems a i b està format per tots els nombres compresos entre a i b. Els extrems poden estar continguts o no en l’interval. OBERT: l’extrem no pertany a l’interval. TANCAT: l’extrem pertany a l’interval. a b F F (a, b] F F E X E M P L E 3 4 5 Els punts 3; 3,01; 4; 4,9; … pertanyen a l’interval [3, 5). A C T I V I T A T S 1 Quin punt pertany a l’interval (-2, 7]? a) -2 b) -2,1 c) 7 d) 7,01 Què en saps , ja? Estadística i probabilitat 12 Secret... secret? Saps que un dels mètodes per desxifrar un missatge és analitzar la freqüència de les lletres que conté? Què posa aquí? RHLWJK DWKFVW EF WJ YRAIW JWYLI GWI WEMARI DAJJRKYWJ JWTIWKJ T ’ H I AT R E V E I X E S ? 14 12 10 8 6 4 2 0 Freqüència relativa A B C Ç D E F G H I J K L N O P Q R S T U V X Y Z M W 253 12 Representa aquests dades en un diagrama de sectors: A l’aula hi ha 50 estudiants. Han suspès 12 alumnes i 30 han tret suficient. El 12 % ha tret notable. La resta ha tret excel·lent. 13 R E F L E X I O N A . Dibuixa el diagrama de sectors que correspon a aquest de barres. 6 5 4 3 2 1 fi 37 38 39 40 41 42 43 44 xi A C T I V I T A T S 4. Gràfics estadístics Les dades estadístiques se solen expressar de forma gràfica , ja que així , d’una ullada , ens podem fer una idea de la seva distribució. Els diagrames de barres s’utilitzen per a la representació de variables qualitatives i quantitatives discretes. Si les variables són contínues, se solen fer ser vir els diagrames de sectors i els histogrames. 4.1. Diagrama de sectors Un diagrama de sectors consisteix en un cercle dividit en sectors circulars que representen els valors de la variable. L’amplitud de cada sector circular, el seu angle, és proporcional a la freqüència de la dada que representa : Angle del sector circular = ? ? N f h 360 360 ° ° i i = Cada sector del cercle representa un valor de la variable. E X E M P L E 5. En la taula següent s’han recollit les edats dels professors i professores d’un centre educatiu. Representa les dades en un diagrama de sectors. Edat fi hi Amplitud [36, 42) 4 0,26 ! ? , ° ° 0 26 360 96 = ! [42, 48) 4 0,26 ! ? , ° ° 0 26 360 96 = ! [48, 54) 5 0,3 ! ? , ° ° 0 3 360 120 = ! [54, 60) 2 0,13 ! ? , ° ° 0 13 360 48 = ! [36, 42) [42, 48) [48, 54) [54, 60) G E O G E B R A 4.2. Histograma En un histograma representem : En l’eix horitzontal , les dades de la variable. Per fer -ho, el dividim en inter vals. En l’eix vertical representem les freqüències. Cada classe i la freqüència corresponent es representa per un rectangle la base del qual és l’amplitud de cada inter val i l’altura del qual és igual a la freqüència corresponent. Si unim amb una línia poligonal els punts mitjans dels costats superiores dels rectangles, obtenim el polígon de freqüències corresponent. 258 12 14 Les longituds, en cm, de 18 grills són: 1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,8 1,7 1,9 2,3 1,6 2,1 3 2,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6 a) Elabora la taula de freqüències agrupant les dades en intervals. b) Representa les dades mitjançant un histograma i un polígon de freqüències. 15 El nombre de vídeos que veuen durant el cap de setmana un grup d’estudiants és: 27 12 4 32 19 8 0 38 15 9 6 24 23 4 1 13 54 29 34 16 7 Representa les dades mitjançant un histograma i el polígon de freqüències corresponent. 16 Aquest és el nombre de pacients d’una consulta mèdica durant l’últim mes. 54 37 45 51 29 0 0 49 33 57 41 38 0 0 47 52 34 36 46 0 0 44 52 48 a) Construeix la taula de freqüències. b) Dibuixa l’histograma i traça’n el polígon de freqüències. 17 Aquests són els temps recollits en una cursa. 29l 35m 29l 45m 29l 47m 30l 46m 30l 50m 30l 51m 31l 01m 31l 08m 31l 24m 31l 35m 31l 52m 32l 05m 32l 17m 32l 23m 32l 41m 33l 15m Representa les dades en un histograma. A C T I V I T A T S Com es construeix un histograma i el seu polígon de freqüències S’ha preguntat a 100 persones pel nombre de llibres que ha llegit l’últim any. Les dades s’han recollit a la taula següent. Nre. de llibres [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) Marca de classe (xi) 5 15 25 35 45 55 Total Nre. de persones (fi) 5 15 25 35 10 10 N = 100 Representa les dades en un histograma i traça’n el polígon de freqüències. En un diagrama de barres, les barres estan separades (les dades estan aïllades). En un histograma els rectangles es representen units. 1 Dibuixem els eixos de coordenades i hi representem, mitjançant rectangles units, les dades de la taula. 2 Unim amb una línia poligonal els punts mitjans dels costats superiors dels rectangles per obtenir el polígon de freqüències. Graduem l’eix vertical amb les freqüències. Sobre cada interval, alcem un rectangle amb altura igual a la seva freqüència. Marquem en l’eix horitzontal els extrems de les classes que es mostren en la taula. Polígon de freqüències 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 fi Nre. de llibres 259 1. Distingeix població, mostra i els diferents tipus de variables 41 Classifica aquestes variables en qualitatives, quantitatives discretes o qualitatives contínues. Indica’n la població i una mostra, i digues si per dur a terme un estudi estadístic seria millor estudiar-ne una mostra o tota la població. a) Marca de telèfon mòbil dels teus amics. b) Nre. de germans dels i les alumnes del teu centre. c) Pes de les persones de la teva família. d) Hores que dorm la gent de la teva localitat. e) Nre. d’ascensors dels hotels de Lleida. f ) Lloc de naixement de les persones que assisteixen a un congrés. g) Qualificació en un examen de Matemàtiques dels estudiants de classe. h) Nre. de whatsaps que escrius en un dia. 42 Raona si és cert o fals. a) La grandària d’una mostra pot ser més gran que el nombre d’individus de la població. b) La grandària d’una mostra pot ser més petita que el nombre d’individus d’una població. c) La grandària d’una mostra i de la població sempre han de coincidir. A C T I V I T A T S F L A I X 43 I N V E N TA . Troba informació sobre els esports que practiquen els i les alumnes del teu centre. Determina’n una mostra representativa. 44 R E P T E . En un centre escolar hi ha 100 estudiants de 1r d’ESO, 80 de 2n, 70 de 3r i 50 de 4t. Es vol prendre una mostra representativa de 60 estudiants del centre per fer-los una prova psicotècnica. Quants estudiants caldrà agafar de cada curs? 45 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C I È N C I E S S O C I A L S . Segons l’Instituto Galego de Estatística, els habitants que viuen en cada província gallega són 1 119 596 a la Corunya, 329 587 a Lugo, 307 651 a Ourense i 942 665 a Pontevedra. Si volem entrevistar 600 persones per saber la seva opinió sobre els serveis públics de la comunitat, a quants habitants de cada província haurem de preguntar? 2. Elabora taules de freqüències i construeix gràfics estadístics 46 Copia i completa a la llibreta aquesta taula de freqüències que representa el nombre d’hores setmanals que un grup de persones fa esport. Dades fi hi Fi Percentatge 3 3 0,15 5 0,2 7 9 0,3 12 5 a) A quantes persones s’ha preguntat? b) Quant val f4? I F3? Què significa? 47 Aquestes són les qualificacions en Matemàtiques de 50 estudiants de 3r d’ESO. 5 2 4 9 7 4 5 6 5 7 7 5 5 2 10 5 6 5 4 5 8 8 4 0 8 4 8 6 6 3 6 7 6 6 7 6 7 3 5 6 9 6 1 4 6 3 5 5 6 7 a) Elabora una taula amb les dades agrupades en 4 classes: la marca de classe, les freqüències absolutes, relatives i acumulades, i els percentatges. b) Quants estudiants han suspès? c) Quin és el percentatge d’estudiants suspesos? I d’aprovats? d) Fes ara una taula de freqüències que mostri el percentatge de suspensos, el d’estudiants que han tret suficient, bé, notable i excel·lent. 48 Aquestes són les velocitats, en km/h, a què circulaven 80 cotxes sotmesos a un control de velocitat en un tram d’autovia. Velocitat (km/h) 80-90 90-100 100-110 110-120 Percentatge de cotxes 15 % 20 % 35 % 30 % a) Elabora una taula de freqüències. b) Representa la taula mitjançant un histograma i el polígon de freqüències corresponent. a c t i v i tat s f i n a l s 268 49 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . X A R X E S S O C I A L S . La taula mostra els 4 canals amb més subscriptors a YouTube el 2020, indicant el país, l’idioma i amb cada total arrodonit al milió. Nom del canal País del canal Idioma principal Nombre de subscriptors T-Series Índia Hindi 135 000 000 PewDiePie Suècia Anglès 104 000 000 CocomelonNursery Estats Units Anglès 78 100 000 SET Índia Índia Hindi 69 200 000 Representa les dades amb un gràfic adequat. 50 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C I È N C I E S S O C I A L S . Aquesta és la distribució de la despesa d’una família catalana. Alimentació i vestit 20,7 % Habitatge 35,3 % Transport i comunicacions 15,9 % Oci i cultura 15,4 % Altres 12,7 % a) Representa les dades amb un gràfic adequat. b) La renda mitjana anual d’una família catalana és 25 072 €, quants diners dedicarà a cada concepte? 51 I N V E S T I G A . Formeu grups de 5 persones. Aporteu cada un una factura d’aigua i feu-ne un estudi estadístic complet. Indiqueu les variables estadístiques, feu gràfics, taules de freqüències, etc. Després, compareu-lo amb els dels altres grups. 3. Calcula i interpreta les mesures de posició i dispersió 52 Observa la taula i contesta. xi 1 2 3 4 5 fi 12 8 5 3 2 a) Què serà més gran: la mitjana o la moda? b) Què serà més gran: la moda o la mediana? c) Serà la mitjana un valor pròxim a 5? A C T I V I T A T S F L A I X 53 Els salaris mensuals de les 5 persones que treballen en un magatzem són aquests: Director del magatzem . . . . . . . . . . 3 962 € Encarregat de magatzem . . . . . . . 1 851 € Operari especialitzat . . . . . . . . . . . . . 1 489 € Operari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 326 € Aprenent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 142 € a) Calcula el sou mitjà dels treballadors del magatzem. b) Calcula’n la mediana. c) Quina mesura representa millor els 5 salaris? Per què? 54 Aquest és el color dels cotxes que s’han venut en un concessionari durant l’últim any. Blanc: 20 Vermell: 42 Gris: 16 Blau: 35 Verd: 18 Altres: 19 Es pot calcular la mitjana, la mediana i la moda d’aquestes dades? Què representarien cada una d’elles? Troba les mesures que es puguin calcular. Com es calcula la mitjana d’un grup de dades desconegudes 55 La mitjana de 9 dades és 5. Si afegim una dada més al conjunt, la mitjana és 6. Quina nova dada hem afegit a les dades inicials? PRIMER. Es calcula la suma de les dades inicials. x 9 5 Suma datos = = de Suma dades = 5 ? 9 = 45 SEGON. S’afegeixen les dades noves a la mitjana nova i es calculen les dades desconegudes. Si anomenem a la dada nova: x a 10 6 Suma datos = + = des 1 a 10 = 6 a = 6 ? 10 - Suma dades = 60 - 45 = 15 56 I N V E N TA . Donades les dades: 25 8 7 9 12 10 21 12 a) Afegeix una dada que faci que la mitjana continuï sent la mateixa. Què els passa a la mediana i a la moda? b) Pots afegir una dada més i que la mediana continuï sent la mateixa? I dues dades? c) Pots afegir una dada més i que la moda continuï sent la mateixa? I perquè canviï? 12 269 Com es calculen i interpreten les mesures estadístiques per a dades agrupades Aquesta taula mostra el nombre de gols que han marcat 32 jugadores de futbol des del principi de temporada. Calcula les mesures estadí tiques i int rpreta-l s. Gols [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) Marca de classe (xi) 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 Nre. de jugadores (fi) 12 9 1 4 6 Freq. acumulades (Fi) 12 21 22 26 32 12 1 Calculem les mesures de centralització. Mitjana: ? ? ? ? ? , , , , , , x 32 2 5 12 7 5 9 12 5 1 17 5 4 22 5 6 9 84 = + + + + = Moda: Interval modal: [0, 5) " Mo = 2,5 Mediana: El primer valor de Fi més gran o igual que 32 : 2 = 16 és 21, que correspon a l’interval [5, 10). " Me = 7,5 Interpretació: De mitjana, les jugadores han marcat més de 9 gols ( x = 9,84), però la meitat de les jugadores ha fet menys de 8 gols (Me = 7,5). La majoria han marcat entre 0 i 5 gols (Mo = 2,5). 2 Completem la taula de freqüències amb les columnes necessàries per facilitar-nos el càlcul de les mesures de posició i de dispersió. 3 Trob em les mesures de posició. Primer quartil: 0,25 ? 32 = 8 " F1 = 12 " Q1 = 2,5 Segon quartil: 0,5 ? 32 = 16 " F2 = 21 " Q2 = 7,5 Tercer quartil: 0,75 ? 32 = 24 " F4 = 26 " Q3 = 17,5 0 2,5 17,5 7,5 25 Interpretació: La quarta part, 8 jugadores, ha fet una mitjana de 2,5 gols i la meitat, 16 jugadores, ha fet menys de 8 gols. 4 Calculem les mesures de dispersió. R = 25 - 0 = 25 , , DM 32 218 4 6 83 = = , , 32 1 899 22 59 35 2 v = = , , 59 35 7 7 v = = , , , CV 9 84 7 7 0 78 = = Interpretació: La desviació mitjana és superior a 6 i el coeficient de variació és del 78 %. Tot i que la mitjana de l’equip ha estat de gairebé 10 gols, el nombre de gols que han fet és molt divers. S’ha d’afegir a la taula de freqüències les columnes que ens faciliten els càlculs. Gols [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 fi 12 9 1 4 6 32 Fi 12 21 22 26 32 ? f x x i i - 88,08 21,06 2,66 30,64 75,96 218,4 ? ( ) x x f i i 2 - 646,51 49,28 7,08 234,7 961,65 1 899,22 24 Calcula i interpreta les mesures estadístiques de les dades recollides en aquesta taula. Nre. de menús [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) Nre. de dies 2 6 16 6 25 L’estatura d’un grup d’estudiants és: 1,55 1,59 1,64 1,55 1,65 1,62 1,70 1,67 1,74 1,49 1,71 1,66 Troba totes les mesures estadístiques, agrupant les dades en cinc classes, i interpreta-les. A C T I V I T A T S 263 EL PUNT DE PARTIDA: T’HI ATREVEIXES? 1 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 CONSTRUEIX EL TEU CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, utilitza l’enginy i raonament per a resoldre el DESAFIAMENT MATEMÀTIC que et proposem a l’inici de la unitat. Reforça aquests sabers mitjançant els EXEMPLES inclosos per a cada contingut. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL aprenent, pas a pas, les destreses bàsiques. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit fent les ACTIVITATS. Posa a prova els teus coneixements i ajuda’t del raonament matemàtic per resoldre el REPTE. Arribaràs a resultats inesperats! Treballa els continguts que has après resolent activitats de tots mena: JOCS, INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre aquestes activitats mitjançant CÀLCUL MENTAL, utilitzant GEOGEBRA, buscant informació a INTERNET… Aprèn a partir de textos clars i estructurats. Recorda els continguts que ja saps i que et seran útils per a la unitat. Avalua aquests coneixements resolent les activitats proposades.
RkJQdWJsaXNoZXIy