Matema` tiques I 1 B A T X I L L E R A T Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda , dissenyada i creada al Depar tament d ’ Edicions de Grup Promotor / Santillana , dirigit per Teresa Grence Ruiz i Anna Sagristà Mas. En l ’elaboració ha par ticipat l ’equip següent: Ana María Gaztelu Villoria Augusto González García José Lorenzo Blanco Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra Federico Rodríguez Merinero Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓ Sonia Alejo Sánchez Silvia Marín García EDICIÓ EXECUTIVA Núria Grinyó Mar torell Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa Les activitats d’aquest llibre no s’han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s’hi inclouen són models perquè l ’alumnat els traslladi a la llibreta.
Índex Un i t a t Construeix coneixement Sabers bàs i cs Procediments bàs i cs 1 Nombres reals 9 1. Nombres racionals _ 10 2. Nombres irracionals _ 11 3. Nombres reals _ 12 4. Intervals _ 14 5. Notació científica _ 15 6. Aproximacions i errors _ 16 7. Acotació d’errors _ 17 8. Radicals _ 18 9. Operacions amb radicals _ 20 10. Racionalització _ 21 11. Logaritmes _ 22 • Escriure nombres irracionals • Representar en la recta real els nombres de la forma n • Escriure un nombre en notació científica • Simplificar radicals • Reduir radicals a índex comú • Racionalitzar expressions del tipus b a n • Racionalitzar binomis amb arrels quadrades • Operar amb nombres decimals periòdics 2 Equacions i inequacions 37 1. Polinomis _ 38 2. Arrels d’un polinomi _ 40 3. Factorització de polinomis _ 41 4. Fraccions algebraiques _ 42 5. Operacions amb fraccions algebraiques _ 43 6. Equacions de segon grau _ 44 7. Altres tipus d’equacions _ 46 8. Factorització d’equacions _ 47 9. Equacions logarítmiques _ 48 10. Equacions exponencials _ 49 11. Inequacions _ 50 • Utilitzar la regla de Ruffini per dividir polinomis • Calcular les arrels enteres d’un polinomi • Factoritzar un polinomi • Simplificar fraccions algebraiques • Reduir a comú denominador fraccions algebraiques • Sumar i restar fraccions algebraiques • Resoldre equacions biquadràtiques • Resoldre equacions logarítmiques i exponencials • Resoldre una inequació de primer grau amb una incògnita • Resoldre una inequació de segon grau amb una incògnita • Calcular les arrels d’un polinomi amb un paràmetre 3 Sistemes d’equacions i inequacions 65 1. Sistemes d’equacions lineals _ 66 2. Sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites _ 67 3. Discussió d’un sistema d’equacions _ 69 4. Sistemes d’equacions lineals amb tres incògnites _ 70 5. Mètode de Gauss _ 71 6. Discussió d’un sistema amb el mètode de Gauss _ 72 7. Sistemes d’equacions no lineals _ 74 8. Sistemes d’inequacions _ 75 • Resoldre un sistema amb el mètode de substitució • Resoldre un sistema amb el mètode d’igualació • Resoldre un sistema amb el mètode de reducció • Resoldre un sistema amb el mètode gràfic • Resoldre un sistema de tres equacions amb el mètode de Gauss • Resoldre un sistema expressat matricialment amb el mètode de Gauss • Resoldre un sistema d’inequacions amb una incògnita • Resoldre una inequació lineal amb dues incògites 4 Trigonometria 91 1. Mesura d’angles _ 92 2. Raons trigonomètriques _ 93 3. Relacions entre raons trigonomètriques _ 94 4. Raons trigonomètriques de 30°, 45° i 60° _ 95 5. Raons d’un angle qualsevol _ 96 6. Fórmules trigonomètriques _ 98 7. Equacions trigonomètriques _ 100 8. Resolució de triangles rectangles _ 101 9. Teorema del sinus _ 102 10. Teorema del cosinus _ 103 11. Resolució de triangles qualssevol _ 105 • Transformar graus en radians, i viceversa • Calcular les raons d’un angle reduint-lo al 1r quadrant • Calcular les raons d’angles més grans de 360 º • Resoldre un triangle rectangle coneguts dos costats o un angle i un costat • Resoldre un triangle coneguts els tres costats o dos costats i l’angle que comprenen • Resoldre un triangle coneguts dos costats i l’angle oposat a un d’aquests costats • Resoldre un triangle coneguts un costat i dos angles 5 Nombres complexos 119 1. Nombres complexos _ 120 2. Representació de nombres complexos _ 122 3. Operacions amb nombres complexos _ 123 4. Forma polar d’un nombre complex _ 124 5. Multiplicació i divisió en forma polar _ 126 6. Potències de nombres complexos _ 127 7. Arrels de nombres complexos _ 128 • Passar un nombre complex de forma binòmica a forma polar i viceversa • Calcular les arrels d’un nombre complex • Calcular les solucions complexes d’una equació • Calcular nombres que compleixin una determinada condició • Resoldre equacions amb nombres complexos • Resoldre operacions amb potències de i 6 Geometria analítica 141 1. Vectors. Operacions _ 142 2. Bases _ 144 3. Coordenades d’un vector _ 145 4. Operacions amb coordenades _ 146 5. Producte escalar _ 147 6. Aplicacions del producte escalar _ 148 7. Aplicacions dels vectors _ 149 8. Equacions de la recta _ 150 9. Posicions relatives de dues rectes _ 153 10. Distàncies i angles entre rectes _ 154 • Operar gràficament amb vectors • Expressar un vector com a combinació lineal de dos altres vectors • Calcular vectors perpendiculars a un vector donat • Calcular la distància entre dues rectes en el pla • Expressar un vector com a combinació lineal de dos vectors que formen una base • Calcular les coordenades d’un dels extrems d’un vector si en coneixem l’altre i el vector equipol·lent • Calcular les coordenades de dos vectors dels quals coneixem algunes operacions 7 Llocs geomètrics. Còniques 169 1. Seccions còniques _ 170 2. Llocs geomètrics _ 171 3. El·lipse _ 172 4. Hipèrbola _ 175 5. Paràbola _ 178 6. Circumferència _ 179 7. Posicions de dues circumferències _ 180 8. Posicions de rectes i circumferències _ 181 • Trobar l’equació d’una el·lipse o una hipèrbola • Calcular els elements d’una el·lipse o una hipèrbola • Reconèixer l’equació d’una circumferència • Determinar la posició relativa de dues circumferències i d’una recta i una circumferència • Calcular els punts de tall d’una circumferència i una recta • Calcular l’equació dels punts d’un lloc geomètric • Trobar una el·lipse amb l’excentricitat i la distància focal • Trobar una el·lipse o una hipèrbola amb eixos paral·lels a OX i a OY 2
Pract i ca les competènc ies espec í f iques Matemàt iques en el món real Si tuac ió d ’aprenentatge • Efectuar operacions combinades amb potències • Reconèixer nombres en la recta real • Efectuar la unió i la intersecció de dos intervals • Operar amb nombres en notació científica • Escriure certes expressions amb un sol radical • Introduir factors en un radical • Racionalitzar fraccions amb un producte de radicals en el denominador • Resoldre operacions entre fraccions amb radicals • Calcular uns logaritmes a partir d’altres M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Química • Astronomia • Història • Física • Sismografia • Acústica FA K E N E W S . Estudi crític de notícies de premsa Determinar la velocitat en un accident de trànsit • Descompondre una fracció algebraica en una suma de dues fraccions • Determinar un coeficient perquè una equació de 2n grau tingui un nombre de solucions • Resoldre equacions del tipus ax bx c 0 n n 2 + + = • Resoldre equacions del tipus ( ) / ( ) ( ) P x Q x R x = • Resoldre equacions del tipus ( ) / ( ) ( ) / ( ) P x Q x R x S x = • Resoldre equacions del tipus ( ) ( ) P x Q x = • Resoldre equacions del tipus ( ) ( ) ( ) P x Q x R x + = • Resoldre equacions mitjançant factorització • Resoldre inequacions que contenen fraccions algebraiques M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Consum • Història • Bàsquet • Física FA K E N E W S . Anàlisi d’informacions amb càlculs numèrics Trobar la tarifa telefònica que s’adapti millor a les teves necessitats • Resoldre un sistema d’inequacions amb dues incògnites • Determinar el nombre de solucions d’un sistema amb dues incògnites • Resoldre sistemes en funció d’un paràmetre • Resoldre problemes amb un sistema d’equacions • Expressar les solucions d’un sistema compatible indeterminat amb dues i amb tres incògnites • Discutir sistemes amb tres incògnites en funció d’un paràmetre • Resoldre problemes mitjançant un sistema d’inequacions • Resoldre problemes amb un sistema d’equacions amb tres incògnites • Resoldre sistemes no lineals que contenen expressions radicals • Resoldre sistemes no lineals que contenen fraccions algebraiques M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Futbol • Indústria • Automobilisme • Bàsquet • Economia • Biologia • Història FA K E N E W S . Anàlisi de dades Calcular el preu d’un producte • Calcular les raons d’un angle coneguda una de les raons o a partir d’altres angles • Resoldre equacions trigonomètriques del tipus sin f(x) = k, cos f(x) = k o tg f(x) = k • Resoldre equacions trigonomètriques amb raons amb angles diferents o amb diverses raons • Demostrar una igualtat trigonomètrica • Calcular distàncies inaccessibles mitjançant triangles oposats pel vèrtex • Calcular altures mitjançant de triangles superposats • Calcular l’àrea d’un triangle coneguts dos costats i l’angle que formen o un costat i els dos angles adjacents • Resoldre problemes aplicant el teorema del cosinus i el del sinus M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Astronomia • Seguretat • Arquitectura • Cartografia • Física • Geografia • Topografia • Història FA K E N E W S . Recerca de dades incoherents Entendre com funciona la fibra òptica • Calcular el conjugat, l’oposat i l’invers d’un nombre complex en forma polar • Operar amb nombres complexos • Resoldre operacions combinades amb nombres complexos • Determinar les coordenades de les arrels d’un nombre complex • Resoldre equacions del tipus zn - k = 0 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Art • Història FA K E N E W S . Comparació de dades gràfiques Conèixer el funcionamient dels circuits elèctrics • Calcular vectors perpendiculars amb un mòdul determinat • Resoldre problemes geomètrics amb vectors • Trobar diversos punts que divideixin un segment en parts iguals • Determinar si tres punts estan alineats • Trobar l’equació d’una recta coneguts alguns dels seus elements • Determinar l’equació d’una recta paral·lela a una altra recta que passa per un punt • Trobar l’equació d’una recta que passa per un punt i és perpendicular a una altra recta • Determinar una recta paral·lela a una altra que es troba a una certa distància • Trobar l’equació d’una recta que passa per un punt i forma un angle donat amb una altra M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Escacs • Trànsit • Urbanisme • Aviació • Esport FA K E N E W S . Investigació geomètrica d’una situació Fixar el rumb d’un rescat en alta mar • Calcular l’equació d’una paràbola amb eix paral·lel a l’eix OY • Determinar l’equació general d’una circumferència que passa per tres punts • Calcular el centre i el radi d’una circumferència que passa per tres punts • Calcular l’equació d’una circumferència, si en coneixem dos punts i una recta que passi pel centre • Identificar l’equació d’una cònica • Estudiar posicions relatives entre un punt i una circumferència M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Arquitectura • Astronomia • Urbanisme • Indústria FA K E N E W S . Valoració de dades numèriques Entendre com funcionen las antenes parabòliques 3
Un i t a t Construeix coneixement Sabers bàs i cs Procediments bàs i cs 8 Funcions 195 1. Funcions reals de variable real _ 196 2. Domini i recorregut _ 197 3. Simetria i periodicitat _ 198 4. Funcions polinòmiques _ 199 5. Transformació de funcions _ 200 6. Funcions racionals _ 201 7. Funcions amb radicals _ 202 8. Funció inversa _ 203 9. Funcions exponencials _ 204 10. Funcions logarítmiques _ 205 11. Funcions trigonomètriques _ 206 12. Funcions definides a trossos _ 208 13. Operacions amb funcions _ 210 14. Composició de funcions _ 212 • Determinar el domini d’una funció • Determinar la simetria d’una funció • Representar una funció quadràtica • Representar una funció de proporcionalitat inversa • Representar la funció ( ) f x x n = • Calcular la funció inversa d’una funció • Representar una funció exponencial • Representar una funció logarítmica • Representar una funció definida a trossos • Trobar els valors de les operacions amb funcions • Fer composicions de funcions • Calcular el domini de funcions no elementals • Calcular el període de les funcions trigonomètriques 9 Límit d’una funció 225 1. Successions. Límit d’una sucesió _ 226 2. Càlcul de límits _ 228 3. Operacions amb límits _ 229 4. Indeterminacions _ 230 5. Resolució d’algunes indeterminacions _ 231 6. Límit d’una funció en l’infinit _ 233 7. Límit d’una funció en un punt _ 235 8. Branques infinites. Asímptotes _ 238 9. Continuïtat d’una funció _ 240 • Calcular límits amb indeterminació del tipus / 3 3 • Resoldre els límits amb una indeterminació del tipus 3 3 - • Calcular el límit d’una funció en un punt • Calcular el límit d’una funció definida a trossos • Resoldre els límits amb una indeterminació del tipus 0/0 • Calcular les asímptotes horitzontals, verticals i obliqües d’una funció • Estudiar la continuïtat d’una funció elemental • Determinar el límit d’un quocient de polinomis amb radicals 10 Derivada d’una funció 255 1. Taxa de variació mitjana _ 256 2. Derivada d’una funció en un punt _ 257 3. Interpretació geomètrica de la derivada _ 258 4. Funció derivada _ 259 5. Derivades de funcions elementals _ 260 6. Derivades del producte i del quocient de funcions _ 263 7. Regla de la cadena _ 265 • Calcular la derivada i la tangent d’una funció en un punt • Calcular la derivada d’un producte i d’un quocient de funcions • Calcular la derivada d’una funció composta • Calcular el valor d’un paràmetre d’una funció si en coneixem la derivada en un punt • Estudiar la derivabilitat d’una funció en un punt en funció d’un paràmetre • Calcular la tangent d’una funció en un punt d’abscissa o ordenada coneguda 11 Aplicacions de la derivada. Representació de funcions 279 1. Creixement i decreixement _ 280 2. Concavitat i convexitat _ 283 3. Representació gràfica de funcions _ 284 4. Representació de funcions polinòmiques _ 286 5. Representació de funcions racionals _ 288 • Analitzar la monotonia d’una funció • Determinar els màxims i els mínims d’una funció utilitzant la derivada segona • Determinar la concavitat i la convexitat d’una funció • Representar una funció si en coneixem algunes característiques • Representar funcions polinòmiques i racionals • Estudiar la monotonia en una funció definida a trossos • Resoldre problemes per mitjà del creixement d’una funció 12 Integrals 303 1. Funció primitiva d’una funció _ 304 2. Integral d’una funció _ 305 3. Integrals de funcions elementals _ 306 4. Integral definida. Regla de Barrow _ 310 5. Aplicacions de la integral definida _ 311 6. Àrea tancada sota una corba _ 312 7. Àrea compresa entre dues corbes _ 313 • Calcular una integral definida • Calcular l’àrea entre la gràfica d’una funció i l’eix X • Calcular l’àrea compresa entre dues gràfiques en un interval • Resoldre una integral en què falta un factor • Calcular integrals que es poden reduir a una funció potencial • Resoldre una integral del tipus ( ) ( ) f x f x n m l y , ( ) x P x n y o ( ) ( ) f x f x n l y • Resoldre una integral del tipus ( ) [ ] P x n y (x)n en què P(x) és un polinomi o un radical 13 Probabilitat 327 1. Experiments aleatoris _ 328 2. Esdeveniments. Operacions amb esdeveniments _ 330 3. Freqüència i probabilitat _ 332 4. Propietats de la probabilitat _ 333 5. Regla de Laplace _ 334 6. Probabilitat condicionada _ 335 7. Taules de contingència _ 336 8. Dependència i independència d’esdeveniments _ 337 • Determinar l’espai mostral amb un diagrama d’arbre • Calcular probabilitats fent servir la regla de Laplace • Calcular probabilitats amb una taula de contingència • Fer servir mètodes de comptatge per calcular possibilitats • Calcular el nombre total d’esdeveniments elementals • Trobar l’espai mostral d’un experiment amb una taula de doble entrada 14 Estadística bidimensional 351 1. Variable estadística unidimensional _ 352 2. Mesures de centralització _ 353 3. Mesures de dispersió _ 354 4. Variable estadística bidimensional _ 355 5. Diagrama de dispersió _ 357 6. Correlació _ 358 7. Rectes de regressió _ 360 8. Estimació de resultats _ 362 9. Estadística amb calculadora _ 363 • Calcular la covariància • Calcular i interpretar el coeficient de correlació • Determinar i representar la recta de regressió • Estimar valors utilitzant la recta de regressió • Treballar l’estadística unidimiensional i bidimensional amb calculadora • Interpretar les mesures estadístiques en una variable unidimensional • Interpretar la mitjana i la desviació típica Índex 4
Pract i ca les competènc ies espec í f iques Matemàt iques en el món real Si tuac ió d ’aprenentatge • Representar funcions del tipus f ( x) = axn amb n $ 2 • Determinar la gràfica d’una funció a partir de transformacions • Representar funcions del tipus kf ( x) si coneixem la gràfica de f ( x) • Representar funcions del tipus ( ) f x x a k = + i ( ) f x x c ax b = + + • Representar la gràfica d’una funció inversa • Representar funcions del tipus f ( x) = akx • Representar funcions del tipus f ( x) = ax+b + c • Representar funcions del tipus f ( x) = loga kx • Representar funcions del tipus g( x) = ;f ( x); • Representar funcions en les quals intervé el valor absolut • Expressar una funció com a composició d’altres funcions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Astronomia • Viatges • Preus • Biologia • Societat • Física • Arquitectura FA K E N E W S . Contrast d’informacions numèriques Distingir les capes de l’atmosfera segons la temperatura • Calcular el límit d’una funció en un punt • Calcular un límit que presenta una indeterminació del tipus 0/0 quan hi ha radicals • Representar una funció si en coneixem les asímptotes i els punts de tall • Determinar el signe de les branques infinites d’una funció racional • Determinar si una funció racional té asímptotes horitzontals i obliqües • Trobar asímptotes horizontals en funcions del tipus (an/bn) cn • Estudiar la continuïtat d’una funció definida a trossos • Calcular el valor d’un paràmetre perquè una funció sigui contínua M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Ecologia • Història • Preus • Filosofia • Medicina FA K E N E W S . Reflexió sobre situacions paradoxals Determinar a quin segle pertany un any • Determinar les tangents d’una funció amb pendent m • Calcular la tangent en un punt d’un lloc geomètric • Calcular la derivada d’una funció del tipus f (x) = g(x)n i f (x) = ag (x) • Calcular la derivada d’una funció del tipus f (x) = ln g(x) • Calcular la derivada d’una funció del tipus f(x) = sin g(x) • Calcular la derivada d’una funció del tipus f(x) = arccos g(x) • Calcular la derivada d’una funció del tipus f(x) = g(x)h(x) • Calcular la derivada de la composició de tres funcions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Física • Aviació • Cinètica • Seguretat FA K E N E W S . Anàlisi de gràfiques Comprendre el concepte de cost marginal en economia • Determinar els paràmetres d’una funció de què es coneix un màxim o un mínim • Determinar una funció si en coneixem algun màxim o un mínim • Estudiar el creixement i el decreixement en una funció a partir de la gràfica o de l’expressió algebraica de la seva derivada • Determinar la concavitat i convexitat d’una funció definida a trossos o a partir de la seva representació gràfica • Estudiar la posició de la gràfica respecte d’una asímptota horitzontal o vertical M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Medicina • Edició • Futbol • Naturalesa FA K E N E W S . Estudi dels pendents en una gràfica Dissenyar una muntanya russa • Resoldre integrals del tipus ( ) ( ) a f x f x 2 + l y o ( ) ( ) a f x f x 2 - l y , a > 0 • Resoldre integrals del tipus ax bx c 1 2 + + y si el denominador no té arrels reals • Resoldre integrals del tipus ( ) ( ) x a x b 1 - - y • Trobar l’expressió d’una funció conegudes algunes de les seves característiques • Calcular l’àrea compresa entre les gràfiques de dues funcions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Economia • Física • Farmàcia • Arquitectura • Cinètica FA K E N E W S . Investigació sobre àrees tancades sota una corba Calcular el treball fet per una força • Calcular probabilitats experimentalment i utilitzant-ne les propietats • Resoldre problemes de probabilitat amb esdeveniments compostos • Calcular la probabilitat de la intersecció d’esdeveniments fent servir un diagrama d’arbre • Utilitzar la regla del producte en experiments amb reemplaçament • Calcular probabilitats d’esdeveniments compostos • Calcular probabilitats condicionades d’esdeveniments compostos M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Treball • Comerç • Història • Globalització FA K E N E W S . Investigació sobre els mites de la loteria Comprendre el disseny del joc del dòmino • Agrupar les dades de les variables bidimensionals en intervals • Interpretar una taula de doble entrada a partir de la taula de freqüències • Representar variables bidimensionals • Calcular el coeficient de correlació en les taules de doble entrada agrupades en intervals • Calcular la recta de regressió amb la calculadora • Determinar la mitjana d’una de les variables a partir de la recta de regressió • Determinar i interpretar el signe del coeficient de correlació a partir de la recta de regressió M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Biologia • Medi ambient • Biodiversitat • Economia FA K E N E W S . Contrastar les mesures estadístiques d’una variable Prendre decisions 5
El camí d'aprendre és un trajecte llarg, que et durarà tota la vida. Analitzar el món que t'envolta, entendre'l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi i recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Funcions 8 Explica la llegenda que al País de les Meravelles es reunien cada any tots els màgics i màgiques i organitzaven una festa . Al final , participaven en un torneig asseguts formant un cercle. Es numeraven totes les persones i la primera agafava l’única vareta màgica del torneig. A continuació, aquesta persona feia desaparèixer la segona persona i passava la vareta màgica a la tercera . La tercera feia desaparèixer la quarta i passava la vareta màgica a la cinquena . I així anaven fent fins que només quedava un mag o maga , que guanyava el torneig. Vist i no vist! R E P T E El primer any es va presentar 13 persones al torneig i va guanyar la jove Alícia. En quina posició es va posar? Si el segon any s’hi van presentar 100 persones i també va guanyar l’Alícia, en quina posició va començar? L’Alícia sempre aconseguia guanyar, tant se valia quantes persones s’hi presentessin. Com sabia en quina posició s’havia de col·locar? màgica 195 4.1. Funcions polinòmiques de primer grau Característiques Si m = 0, la funció f (x) = n s’anomena funció constant, i la seva gràfica és una recta paral·lela a l’eix X que passa pel punt (0, n). Si n = 0, la funció f (x) = mx s’a nomena funció lineal, i la seva gràf ica és una recta amb pendent m que passa per l’origen de coordenades. Si m ! 0 i n ! 0, la seva gràfica és una recta creixent si m > 0 o decreixent si m < 0, que talla l’eix Y en el punt (0, n). 4.2. Funcions polinòmiques de segon grau Característiques El domini d’una funció quadràtica és R. El vèrtex de la paràbola és , V a b a b ac 2 4 4 2 - - - e o . Si a > 0, el vèrtex és un mínim. Si a < 0, el vèrtex és un màxim. Com més gran sigui ;a;, més tancades són les branques de la paràbola. 7 Representa, sobre els mateixos eixos, les funcions f(x) = 3x - 1 i g(x) = 5x + 4. Troba el punt d’intersecció de les dues funcions. 8 Representa gràficament les funcions quadràtiques següents. a) f(x) = -3x2 - x - 1 b) f(x) = x2 - x - 2 A C T I V I T A T S E X E M P L E 3. Aquesta és la gràfica en l’interval [0, 5] d’una funció de període 5. Representa gràficament la funció per a qualsevol valor de x. Es desplaça la gràfica de la funció a l’esquerra i a la dreta de l’interval representat. 3.2. Funcions periòdiques Una funció és periòdica, de període T (T > 0), si l a se va gràf ica es repet ei x en inter val s de longitud T. Així , coneguda la g ràf i ca en un inter val de longitud T, se’n pot construir la resta traslladant-la a la dreta i a l’esquerra en tot el domini . G E O G E B R A 3. Simetria i periodicitat Determinar la simetria d’una funció Estudia la simetria d’aquestes funcions. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primer. Se substitueix x per -x en l’expressió algebraica de la funció. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segon. Es comprova si aquesta funció és igual a la primera o a la seva oposada. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) és simètrica respecte de l’origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) és simètrica respecte de l’eix Y. 5 Estudia la simetria de les funcions següents. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gràfica d’aquesta funció periòdica de període 3. A C T I V I T A T S 3.1. Funcions simètriques Donada una funció f de variable real , es diu que és: Simètrica respecte de l’eix Y, si per a qualsevol punt x del domini de la funció es compleix que f (-x) = f (x). Aquestes funcions també s’anomenen funcions parelles. Sim è tr i ca re sp e c t e d e l ’or i gen d e c o ord enad e s, si p e r a qua l s e v o l punt x del domini de la funció es compleix que f (-x) = -f (x). Aquestes funcions també s’anomenen funcions imparelles. G E O G E B R A x X Y Funció parella f (-x) = f (x) -x X Y Funció imparella f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 F I X A - T ’ H I Hi ha funcions que no són parelles ni imparelles. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Aquesta expressió no coincideix amb l’expressió de f(x) ni amb l’expressió de -f (x). 8 4. Funcions polinòmiques Mínim Màxim a < 0 a > 0 Y X m > 0 y = mx + n y = n m = 0 m < 0 y = mx n Y X Y X 1 f(x) = -x2 + 4x - 1 1 Les funcions polinòmiques de primer grau s’anomenen funcions afins i són del tipus f (x) = mx + n. La seva gràfica és una recta amb pendent m que passa pel punt (0, n). El nombre n s’anomena ordenada en l’origen. Les funcions polinòmiques de segon grau s’anomenen funcions quadràtiques i són del tipus f (x) = ax2 + bx + c, amb a ! 0. La seva gràfica és una paràbola . Representar una funció quadràtica Representa gràficament la funció f ( x) = -x 2 + 4x - 1. primer. Es calcula el vèrtex de la paràbola i s’estudia si és un màxim (a < 0) o un mínim (a > 0). ? ( ) ( , ) a b f V v v v 2 2 4 2 2 4 2 1 3 2 3 x y x 2 = - = - - = = = - + - = " 4 a < 0 " màxim segon. Es construeix una taula amb valors al voltant del vèrtex i es representa la paràbola. x 0 1 2 3 4 f (x) -1 2 3 2 -1 199 198 8 a c t i v i tat s r e s o lt e s Funció inversa Dibuixa la gràfica de la funció f(x) = 2x i la gràfica de la seva funció inversa. primer. Es dibuixa la gràfica de la funció y = x, que és la bisectriu del 1r i 3r quadrants. segon. Es representa la gràfica de f(x) i la seva simètrica respecte d’aquesta recta. Y X 1 1 f -1(x) = log 2 x f (x) = 2x PRACTICA 39. Representa la gràfica de les funcions inverses d’aquestes funcions. a) ( ) f x x2 = b) ( ) ( ) f x x 1 log = - Representar la gràfica d’una funció inversa Funció exponencial Representa gràficament aquestes funcions. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primer. S’escriu la funció com f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segon. Es representa la funció que en resulta com una funció exponencial del tipus f (x) = ax. PRACTICA 40. Dibuixa la gràfica de les funcions següents. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funcions del tipus ( ) f x akx = Funció valor absolut Representa gràficament la funció ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gràfica, escriu-ne l’expressió com una funció definida a trossos. primer. Es representa la funció sense el valor absolut. ( ) f x x x 4 2 = - + és una funció quadràtica; per tant, se’n determina el vèrtex i si és un màxim o un mínim. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Com que a = -1 < 0, el vèrtex és un màxim. segon. Es dibuixen les figures simètriques, respecte de l’eix X, de les parts de la gràfica que corresponguin a valors negatius de la funció. tercer. S’escriu l’expressió algebraica de la funció tenint en compte els punts de tall amb els eixos. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 43. Dibuixa la gràfica de la funció ( ) f x x sin ; ; = en l’interval [0, 2r]. Representar funcions del tipus ( ) ( ) g x f x ; ; = Funció exponencial Representa gràficament la funció ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primer. S’expressa la funció que es vol representar en funció de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segon. S’obté la gràfica de la funció desplaçant la gràfica de ( ) f x ax = en horitzontal i en vertical. f (x - 2) " Es desplaça f (x) cap a la dreta 2 unitats. f (x - 2) - 1 " Es desplaça f (x - 2) cap avall 1 unitat. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 41. Representa gràficament la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funcions del tipus ( ) f x a c x b = + + Funció valor absolut Dibuixa la gràfica de la funció següent. g(x) = x2 - 4;x; primer. Es defineix la funció a trossos tenint en compte que ;x; és x quan és un nombre positiu i és -x quan és negatiu. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segon. Es representa la funció definida a trossos en cada un dels trams. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 44. Dibuixa la gràfica de la funció ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funcions en les quals intervé el valor absolut Funció logarítmica Representa gràficament les funcions següents. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primer. S’apliquen les propietats dels logaritmes. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segon. Es representen les funcions fent les transformacions necessàries sobre la gràfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 42. Dibuixa la gràfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funcions del tipus f(x) = loga kx Composició de funcions Expressa aquesta funció com a composició de funcions més senzilles. h(x) = cos [ln (x2 - 1)] primer. Es divideix la funció en funcions més senzilles. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = cos x segon. Es fa la composició de les funcions per comprovar que el resultat és igual a la funció inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = cos [ln(x2 - 1)] = h(x) F h3(x) = cos x PRACTICA 45. Expressa aquestes funcions com a composició de funcions més senzilles. a) f(x) = sin2 (x2 + 1) b) ( ) f x x 1 1 = - Expressar una funció com a composició d’altres funcions g(x) h(x) 1 1 Y X f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X G E O G E B R A G E O G E B R A 215 214 EL PUNT DE PARTIDA: EL REPTE MATEMÀTIC 1 CONSTRUEIX CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, fes servir l'enginy i la raó per resoldre el REPTE MATEMÀTIC que et proposem al principi de la unitat. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL fent servir GeoGebra per investigar i manipular alguns continguts. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit per mitjà de les ACTIVITATS. Ajuda't del raonament propi i PENSA per descobrir algunes propietats i aplicacions d'aquests sabers. Afiança els sabers bàsics aprenent, pas a pas, mètodes generals per a les destreses bàsiques que et cal aprendre. Aprèn a partir de textos clars i estructurats. 6
-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa d’ozó (km) L’a tmo s f e ra d e l a Te r ra é s u n a m e s c l a d e d i f e re n t s ga s o s , principalment nitrogen (78 %), oxigen (21 %), argó, diòxid de c a rb on i i v ap o r d ’a i gu a . Aqu e st s ga s o s env o l t en c on st ant - m en t l ’a tmo sf e ra j a qu e e l c amp g rav i t a t o r i imp ed e i x qu e se n’escapin . L’atmosfera es divideix en capes, en les qual s la t emp eratura var i a de man era si gni f i cat iva . Aqu e st e s cap e s són : Troposfera : formada per l ’a ire situat en els primers kilòmetres de l ’atmosfera escal fat des de sota , motiu pel qual l a t emperatura di sminuei x a raó de 6 °C per cada ki lòmetre que es puja . El seu gruix varia entre 8 km i 17 km. En aquesta capa tenen lloc la majoria dels fenomens del clima . Estratosfera : s’ubica per sobre de la troposfera i la temperatura hi augmenta des de -53 °C f ins 20 °C a uns 50 km . El seu gr ui x vari a entre el s 17 km del s po l s i el s 35 km de l’equador. Mesosfera : en aquesta capa la temperatura torna a disminuir amb l ’a ltura , que va des d’uns 50 km fins a aproximadament 90 km, com a resultat del ràpid descens de la densitat de l ’a ire. Termo sfera : en aqu e st a cap a l a t emp e ra tu ra au gm ent a amb l ’a ltura i pot arribar als 1 500 °C quan el Sol està actiu . La termosfera inclou la ionosfera , que és on es produeixen les aurores polars. Exosfera : està localitzada en altituds per sobre dels 950 km. És la zona de transició entre l ’atmo sfera t errestre i l ’espai interplanetari . 8 L L E G E I X I C O M P R È N 1 Quin és el gruix de l’estratosfera en l’equador? 2 Quina relació hi ha entre la temperatura i les capes de l’atmosfera? 3 En quina capa es registra la temperatura més baixa? I N T E R P R E TA 4 D’acord amb el gràfic, quina temperatura té l’atmosfera a 110 km d’altitud? R E F L E X I O N A 5 On es troba la capa d’ozó? Investiga quina és la situació actual de la capa d’ozó i per què és tan important recuperar-la i conservar-la. A P L I C A 6 Si s’assumeix que la temperatura a nivell del mar és de 20 °C, quina temperatura hi deu haver, aproximadament, al cim de l’Everest a 8 848 m d’altitud? Entre moltes altres coses… Per distingir les capes de l’atmosfera segons la temperatura P E R A Q U È S E RV E I X E N L ES F U N C I O N S ? 224 Funció inversa 89 Comprova si aquestes funcions són inverses. a) f (x) = 2 x - 5 ( ) g x x 2 5 = + b) ( ) f x x 4 3 = - ( ) g x x 3 4 = - c) f (x) = x3 + 1 ( ) g x x 1 3 = - 90 Calcula, si és possible, la inversa d’aquestes funcions. a) f (x) = 2 x - 1 d) f (x) = x2 + x b) f (x) = x2 - 5 e) ( ) f x x 2 5 = - c) ( ) f x x 2 1 = + f ) ( ) f x x 2 1 = - 91 Dibuixa la gràfica de la inversa de cada funció. a) 1 1 Y X c) 1 1 Y X b) 1 1 Y X d) 1 1 Y X 92 Calcula les funcions inverses d’aquestes funcions. a) f (x) = ln (x + 3) d) f (x) = sin 2 x b) f (x) = 3 + 4 ? 5x e) f (x) = ;x + 1; c) ( ) tg f x x 2 1 = + f ) ( ) f x x 5 1 log3 = + 93 Donada la funció f(x) = 3x + 5, determina quin és el domini de la seva inversa, f-1. Funcions logarítmiques i exponencials 94 Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = 12x b) g (x) = 2x c) ( ) h x 4 1 x =e o 95 Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = log12 x b) g (x) = log2 x c) 4 ( ) h x x log = 1 A C T I V I T A T S F L A I X 96 Representa en els mateixos eixos de coordenades les ternes de funcions exponencials següents. a) f (x) = 2x g(x) = 5x h(x) = 10x b) ( ) f x 2 1 x =e o ( ) g x 5 1 x =e o ( ) h x 1 10 x =e o 97 Representa en els mateixos eixos de coordenades les ternes de funcions logarítmiques següents. a) f (x) = log2 x g (x) = log5 x h (x) = log10 x b) 2 ( ) f x x log = 1 5 ( ) g x x log = 1 10 ( ) h x x log = 1 98 I N V E S T I G A . En la figura hi ha representades: f (x) = ex ( ) g x x x ln = Els punts A i B tenen abscisa a i formen part de les gràfiques de f i g, respectivament. Si l’àrea del triangle OAB & té 5 u2, determina una equació per trobar el valor de a. Utilitza un programa informàtic per resoldre-la. 99 A partir de la gràfica de la funció exponencial g (x) = 4x, representa les funcions següents. a) f (x) = 4x - 3 b) f (x) = 4x + 1 c) f (x) = 1 + 4x d) f (x) = -4x e) f (x) = 2 - 4x f ) f (x) = 4x - 1 g) f (x) = 4x + 1 + 2 1 1 g(x) = 4x Y X 100 I N V E S T I G A . Sigui la funció ( ) ( ) f x x e ln 2 = - + , si talla l’eix Y en el punt A i els punts B i C tenen la mateixa ordenada, escriu una equació per calcular l’abscissa del punt B, sabent que el triangle té àrea 8 u2. Utilitza un programa informàtic per resoldre-la. 101 A partir de la gràfica de la funció logarítmica g (x) = log x, representa les funcions següents. a) f (x) = log 2 x b) ( ) f x x 2 log = 102 La funció ( ) f x ea x ln = passa pel punt (2, 8). Quin valor pren a? 103 R E P T E . A la figura hi ha representada la funció f. Si l’expressió algebraica de la funció g és g(x) = ln x, quines són les solucions de l’equació ( ) ( ) f g x 0 % = ? f(x) g(x) O B A Y X f (x) O A B C Y X 1 1 Y X f (x) a c t i v i tat s f i n a l s 8 76 Determina el domini d’aquestes funcions. a) f(x) = x 7 3 - d) f(x) = x x x 2 1 2 + - b) f(x) = x 3 7 - e) f(x) = x x 1 + c) f(x) = x x 1 2 2 + f ) f(x) = x x 4 2 - 77 Donada la funció ( ) f x x 2 = , determina l’expressió algebraica de les funcions següents. a) g(x) = f(x - 3) d) g(x) = f(x) + 3 b) g(x) = f(x + 1) e) g(x) = f(-x) c) g(x) = f(x) - 2 f ) g(x) = -f(x) 78 Donada la funció ( ) f x x 2 3 = . a) Troba’n el domini i indica per a quins valors de x no està definida la funció. b) Copia i completa les taules de valors i dibuixa un esbós de la funció. x -0,1 -0,5 -1 -2 -4 f (x) x 0,1 0,5 1 2 4 f (x) c) Representa ( ) g x x 2 3 = - a partir de f (x). d) Representa f (-x). 79 Donada la funció ( ) f x x 2 4 = - , contesta. a) Troba’n el domini i indica per a quins valors de x no està definida la funció. b) Copia i completa les taules de valors i fes un esbós de la funció. x -0,1 -0,5 -1 -2 -4 f (x) x 0,1 0,5 1 2 4 f (x) c) Representa ( ) g x x 2 4 = a partir de f (x). d) Representa f (-x). 80 Representa gràficament les funcions següents. a) ( ) f x x 2 1 3 = - c) ( ) f x x 2 1 6 = - b) ( ) f x x 2 1 4 = d) ( ) f x x 2 1 5 = 81 Sense representar-les, escriu la relació que hi ha entre les gràfiques d’aquestes funcions i la de ( ) f x x 12 = . a) ( ) g x x 4 12 = + b) ( ) x x h 12 1 = + c) ( ) x x i 12 = - 82 Representa la gràfica de la funció ( ) f x x 3 = . A partir d’ella, representa les funcions següents. a) ( ) g x x x 1 4 = + + c) ( ) i x x x 1 2 1 = + - + b) ( ) h x x x 1 2 5 = - - d) ( ) x x x j 1 5 2 = - - Funcions radicals 83 La gràfica de la funció ( ) f x x = és: 1 1 ( ) f x x = Y X Explica com representaries les funcions següents. a) f (x - 3) c) 4 + f (x) e) 2 - f (x) b) f (x + 1) d) -f (x) f ) f (x) - 2 A C T I V I T A T S F L A I X 84 Estudia el domini de les funcions següents. a) ( ) x f x 3 = + d) ( ) f x x 5 2 = - b) ( ) f x x x 2 3 2 2 = + - e) ( ) f x x x 2 9 2 = + + c) ( ) f x x x 4 4 2 = - + f ) ( ) f x x x 6 2 = + - 85 Quin és el domini d’aquestes funcions amb radicals? a) ( ) f x x x 2 5 7 = - - b) ( ) f x x x 4 1 3 1 = - + - 86 Determina el domini de les funcions. a) ( ) x x f x 1 8 = + + - b) ? ( ) x x f x 2 4 1 = - - 87 I N V E N TA . Escriu en cada cas l’expressió algebraica d’una funció radical amb els dominis següents. a) [ , ) 5 3 + c) [ 3, 3] - b) ( , 2] 3 - - d) R 88 A partir de la gràfica de la funció y x 1 2 = + , explica com faries la representació gràfica de les funcions amb radicals següents. a) ( ) f x x 1 1 2 = + + c) ( ) f x x 1 1 2 = - + b) ( ) f x x 2 1 2 = - + + d) ( ) f x x x 2 2 2 = + + 2 1 Y X 1 1 Y X 219 218 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 PASSA A L'ACCIÓ: PER A QUÈ SERVEIXEN... 5 PRACTICA LES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Treballa els continguts que has après amb activitats de tot tipus: INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre activitats utilitzant GEOGEBRA, buscant algun tipus d'informació a INTERNET, etc. Troba aplicacions dels continguts que has estudiat i comprèn com es fan servir i PER A QUÈ SERVEIXEN en la vida real. Enfronta't a les FAKE NEWS. Fes servir els continguts que has après per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions que apareixen en diversos mitjans. 140 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . A R Q U I T E C T U R A . A la figura hi ha representat un pont per a vianants sobre el riu Sella. Considerat O l’origen de coordenades, l’arc del pont ve donat per ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , amb [ , ] x 0 7 ! . a) Sigui S el punt sobre el segment OR que verifica l’equació ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resol l’equació i interpreta’n la solució en el context del problema. b) Al port, al costat del pont, hi ha un vaixell de vela el màstil del qual té 6 metres des del punt més alt fins a l’aigua. Podrà passar per sota el pont? 141 En un llac viu una espècie de peix gran que s’alimenta d’una espècie de peixos més petits i aquests, al seu torn, s’alimenten de plàncton. El nombre de peixos grans és una funció f (x) de la quantitat x de peixos petits i el nombre de peixos petits és una funció g( y) de la quantitat y de plàncton del llac. Expressa la població de peixos grans en funció del plàncton del llac si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 a c t i v i tat s f i n a l s 8 131 El preu en euros d’un article perible que es comença a vendre el primer dia d’un mes determinat varia amb el temps, en dies, segons la funció: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) Quin és el preu inicial de l’article? b) Dibuixa la gràfica de la funció P(t). 132 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . B I O L O G I A . La dinàmica de poblacions és una branca de la biologia que, amb l’ajuda de les matemàtiques, tracta de descriure i quantificar els canvis que es donen en una població. El desenvolupament d’una població de peixos està modelat per la funció ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , amb t 0 $ . En el model, P(t) és la mida de la població en tones i t és el nombre d’anys després de l’instant inicial. a) Determina quants anys han de transcórrer perquè la població de peixos arribi a les 15 tones. b) Pot passar que la població excedeixi alguna vegada les 20 tones? 133 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . S O C I E TAT. Una ONG ha estimat que el nombre de persones hospitalitzades després d’un tsunami segueix aproximadament la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + en què P és el nombre de persones hospitalitzades, en milers, i t és el nombre de dies que han passat des del tsunami. a) Quantes persones hi haurà hospitalitzades el primer dia? b) Quantes n’hi haurà al cap de tres setmanes? c) Si la capacitat hospitalària d’una illa de l’àrea afectada és de 2 000 llits, fins a quin dia la capacitat va estar desbordada? 134 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . F Í S I C A . Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d’un objecte segueix la funció: f (t) = T + (C - T) ? e-kt, en què T és la temperatura ambient, C la temperatura inicial, t el temps transcorregut i k la taxa de refredament de l’objecte per unitat de temps. Un objecte amb una temperatura de 40 °C es deixa a l’aire lliure, on la temperatura és de 25 °C, i després de 10 minuts la temperatura de l’objecte és de 34 °C. Quant temps ha de passar perquè l’objecte es refredi fins a tenir una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 135 La Nina i en Simon competeixen en una cursa ciclista d’anada i tornada entre dues ciutats. A l’anada la Nina va a 25 km/h i a la tornada, ja cansada, a 15 km/h. En Simon, en canvi, va a 20 km/h tota l’estona. a) Qui guanya? b) Hi ha alguna manera que la Nina, anant més ràpida a l’anada i més lenta a la tornada, guanyi en Simon tenint en compte que la mitjana de les dues velocitats de la Nina és 20 km/h? 136 En una cursa de 1 000 metres, la Mei treu 50 metres d’avantatge a en Xavier. A la pròxima cursa, la Mei sortirà 50 metres per darrere d’en Xavier. a) N’hi ha prou perquè arribin alhora a la meta? b) Si no n’hi ha prou, quants metres serien necessaris? 137 Considera una piscina d’aigua plena fins a la vora en la qual s’obre una vàlvula per buidar-la. L’altura (en metres) de l’aigua de la piscina ve donada per aquesta funció: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - en què t és el temps (en minuts) des que s’obre la vàlvula. Calcula després de quant de temps l’altura de l’aigua és la meitat de l’altura de la piscina. 138 Després de llançar un globus aerostàtic, la seva altura, en metres, ve determinada per la funció: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - per a [ , ] t 0 5 ! , amb t en minuts. a) Troba els metres que puja el globus en el primer minut. b) Quan el globus és entre els 12 m i els 20 m d’altura, es destapen dos panells publicitaris. Durant quants segons es veurà la publicitat? 139 Esteu organitzant el viatge de final de curs per al teu grup. Agència 1. Si el nombre d’estudiants que va de viatge és 40 o menys, cadascú pagarà 200 €. Si és superior a 40, es descomptarà un 10 % a cadascun. Agència 2. Si completen un autobús de 60 persones, el preu serà de 150 € per persona. Per cada seient buit a l’autobús, s’incrementarà el preu un 1 % per persona. Quina agència us convé? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 142 Considera la funció següent. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Troba el domini de la funció. b) Calcula f -1(x). 143 El nombre de dies que necessita una població de plàncton per arribar a pesar x micrograms ve donat per ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) Entre quins valors varia el pes? b) Indica el pes en funció del temps. 144 Sigui la funció: f (x) = 200 · b x a) Quina és la variable independent? b) Siguin b = 2,5 i g(x) = 20 000, determina el valor de x perquè es compleixi f (x) = g(x). c) Indica els possibles valors de b perquè f (x) sigui decreixent. 145 El ritme bàsic de reproducció, RO, d’un virus en una regió és 2,5. És a dir, cada persona malaltat n’infecta unes altres 2,5. Si el primer dia hi havia 200 persones malaltes, expressa el nombre d’infectats en funció del temps. a) Quina és la variable independent? b) Quan s’arriba a 20 000 infectats? c) En quin interval ha d’estar el RO perquè l’epidèmia estigui controlada? 146 Considera les funcions: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Troba ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 147 La Dana infla la pilota de la platja per jugar. a) Troba el radi de la pilota en funció del volum. b) Se li peta i es comença a desinflar; la mida del radi segueix la funció ( ) t t g 50 000 = , t > 10, amb t en minuts. Indica el radi en funció del temps. Baixa l’atur? Un estudi sobre la repercussió del turisme a la costa assegura que durant els dies festius es creen prop de 10 000 nous llocs de treball en el sector. Les últimes dades del Ministeri de Treball mostren que en el mes de juny es va contractar 40 000 persones en hosteleria a la costa, malgrat que només hi va haver dos dies festius. L’oposició assegura que les dades estan manipulades de cara a les pròximes eleccions. I tu, què en penses? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 223 222 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diferents àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… 7
Nombres reals 1 Actualment, no es pot negar el poder que les xarxes socials exerceixen en la població. Aquest fet ha provocat que milers de persones de tot el món es dediquin a explotar econòmicament la seva habilitat per inf luir en el comportament d ’a ltres persones. Aquestes persones s’anomenen inf luenciadores (inf luencers). En un acte públic, deu inf luencers han rebut deu premis per la seva tasca a les xarxes. Acorden repartir -se els premis d’una manera original: cadascun d’ells, començant pel fa menys temps que s’ hi dedica i acabant pel que ja fa més temps, farà una proposta que se sotmetrà a votació, de manera que, si almenys el 50 % hi vota a favor, es farà el repartiment, i si no arriba al 50 %, l’inf luenciador serà expulsat de la xarxa social i farà la seva proposta el següent. El poder de la majoria R E P T E Troba la proposta adequada per tal que el que proposi el primer influencer sigui acceptat i, a més, sigui el que més el beneficia. Observacions importants Tingues en compte que, depenent de cada proposta, no tots els influencers han de tenir premi i que el repartiment entre els que en rebin no té per què ser equitatiu. A més, evidentment, cap no votarà una proposta que l’expulsi de la xarxa social ni cap proposta amb la qual rebi menys premis que els altres. 9
El conjunt Q dels nombres racionals, està format per tots els nombres que es poden escriure com una fracció b a , en què a i b són nombres enters i b és diferent de 0. Cada conjunt de fraccions equivalents representa un únic nombre racional . Qualsevol fracció del conjunt és un representant del nombre racional , i la fracció irreductible amb denominador positiu n’és el representant canònic. L’expressió decimal d ’un nombre racional que s’obt é div idint el numerador entre el denominador pot ser un nombre enter o un nombre decimal exacte o periòdic. I a la inversa , qual sevol nombre decimal d ’aquest tipus es pot escriure en forma de fracció i , per tant, és un nombre racional . E X E M P L E 1. Classifica els nombres racionals i posa’n exemples. : , ; , ; … : , ; , ; ombres ombres ombres z u ombres e ò , , , , , , 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 33 1 6 3 145 N racionals N enters N naturals: … El número ero: Enters negati s: … N decimals Decimals exact s Decimals peri dics … - - - - - * * * ! # E X E M P L E 2. El número racional 3 2 està format per la fracció 3 2 i totes les seves fraccions equivalents. Quin és el seu representant canònic? , , , , , , , 3 2 9 6 6 4 3 2 3 2 6 4 9 6 … … = - - - - - - ) 3 La fracció irreductible amb denominador positiu és 3 2 ; per tant, és el representant canònic del conjunt de fraccions. 1. Nombres racionals Qualsevol nombre enter m es pot escriure com una fracció. m m 1 = R E C O R D A Dues fraccions b a i d c són equivalents quan tenen el mateix valor numèric. ? ? b a d c a d b c = = " R E C O R D A 1 Calcula el representant canònic d’aquests nombres. a) 24 16 - b) 39 18 c) 60 24 - - 2 Escriu dos representants d’aquests nombres racionals. a) 12 7 b) 2 9 c) 25 8 3 T roba quants nombres racionals diferents hi ha en aquesta seqüència. , 3 5 3 5 3 5 3 5 6 10 1 6 - - - ! 4 U na fracció que tingui un terme negatiu i una altra que tingui els dos termes positius, poden ser representants del mateix nombre racional? A C T I V I T A T S 10
RkJQdWJsaXNoZXIy