El camí d'aprendre és un trajecte llarg, que et durarà tota la vida. Analitzar el món que t'envolta, entendre'l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi i recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Funcions 8 Explica la llegenda que al País de les Meravelles es reunien cada any tots els màgics i màgiques i organitzaven una festa . Al final , participaven en un torneig asseguts formant un cercle. Es numeraven totes les persones i la primera agafava l’única vareta màgica del torneig. A continuació, aquesta persona feia desaparèixer la segona persona i passava la vareta màgica a la tercera . La tercera feia desaparèixer la quarta i passava la vareta màgica a la cinquena . I així anaven fent fins que només quedava un mag o maga , que guanyava el torneig. Vist i no vist! R E P T E El primer any es va presentar 13 persones al torneig i va guanyar la jove Alícia. En quina posició es va posar? Si el segon any s’hi van presentar 100 persones i també va guanyar l’Alícia, en quina posició va començar? L’Alícia sempre aconseguia guanyar, tant se valia quantes persones s’hi presentessin. Com sabia en quina posició s’havia de col·locar? màgica 195 4.1. Funcions polinòmiques de primer grau Característiques Si m = 0, la funció f (x) = n s’anomena funció constant, i la seva gràfica és una recta paral·lela a l’eix X que passa pel punt (0, n). Si n = 0, la funció f (x) = mx s’a nomena funció lineal, i la seva gràf ica és una recta amb pendent m que passa per l’origen de coordenades. Si m ! 0 i n ! 0, la seva gràfica és una recta creixent si m > 0 o decreixent si m < 0, que talla l’eix Y en el punt (0, n). 4.2. Funcions polinòmiques de segon grau Característiques El domini d’una funció quadràtica és R. El vèrtex de la paràbola és , V a b a b ac 2 4 4 2 - - - e o . Si a > 0, el vèrtex és un mínim. Si a < 0, el vèrtex és un màxim. Com més gran sigui ;a;, més tancades són les branques de la paràbola. 7 Representa, sobre els mateixos eixos, les funcions f(x) = 3x - 1 i g(x) = 5x + 4. Troba el punt d’intersecció de les dues funcions. 8 Representa gràficament les funcions quadràtiques següents. a) f(x) = -3x2 - x - 1 b) f(x) = x2 - x - 2 A C T I V I T A T S E X E M P L E 3. Aquesta és la gràfica en l’interval [0, 5] d’una funció de període 5. Representa gràficament la funció per a qualsevol valor de x. Es desplaça la gràfica de la funció a l’esquerra i a la dreta de l’interval representat. 3.2. Funcions periòdiques Una funció és periòdica, de període T (T > 0), si l a se va gràf ica es repet ei x en inter val s de longitud T. Així , coneguda la g ràf i ca en un inter val de longitud T, se’n pot construir la resta traslladant-la a la dreta i a l’esquerra en tot el domini . G E O G E B R A 3. Simetria i periodicitat Determinar la simetria d’una funció Estudia la simetria d’aquestes funcions. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primer. Se substitueix x per -x en l’expressió algebraica de la funció. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segon. Es comprova si aquesta funció és igual a la primera o a la seva oposada. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) és simètrica respecte de l’origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) és simètrica respecte de l’eix Y. 5 Estudia la simetria de les funcions següents. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gràfica d’aquesta funció periòdica de període 3. A C T I V I T A T S 3.1. Funcions simètriques Donada una funció f de variable real , es diu que és: Simètrica respecte de l’eix Y, si per a qualsevol punt x del domini de la funció es compleix que f (-x) = f (x). Aquestes funcions també s’anomenen funcions parelles. Sim è tr i ca re sp e c t e d e l ’or i gen d e c o ord enad e s, si p e r a qua l s e v o l punt x del domini de la funció es compleix que f (-x) = -f (x). Aquestes funcions també s’anomenen funcions imparelles. G E O G E B R A x X Y Funció parella f (-x) = f (x) -x X Y Funció imparella f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 F I X A - T ’ H I Hi ha funcions que no són parelles ni imparelles. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Aquesta expressió no coincideix amb l’expressió de f(x) ni amb l’expressió de -f (x). 8 4. Funcions polinòmiques Mínim Màxim a < 0 a > 0 Y X m > 0 y = mx + n y = n m = 0 m < 0 y = mx n Y X Y X 1 f(x) = -x2 + 4x - 1 1 Les funcions polinòmiques de primer grau s’anomenen funcions afins i són del tipus f (x) = mx + n. La seva gràfica és una recta amb pendent m que passa pel punt (0, n). El nombre n s’anomena ordenada en l’origen. Les funcions polinòmiques de segon grau s’anomenen funcions quadràtiques i són del tipus f (x) = ax2 + bx + c, amb a ! 0. La seva gràfica és una paràbola . Representar una funció quadràtica Representa gràficament la funció f ( x) = -x 2 + 4x - 1. primer. Es calcula el vèrtex de la paràbola i s’estudia si és un màxim (a < 0) o un mínim (a > 0). ? ( ) ( , ) a b f V v v v 2 2 4 2 2 4 2 1 3 2 3 x y x 2 = - = - - = = = - + - = " 4 a < 0 " màxim segon. Es construeix una taula amb valors al voltant del vèrtex i es representa la paràbola. x 0 1 2 3 4 f (x) -1 2 3 2 -1 199 198 8 a c t i v i tat s r e s o lt e s Funció inversa Dibuixa la gràfica de la funció f(x) = 2x i la gràfica de la seva funció inversa. primer. Es dibuixa la gràfica de la funció y = x, que és la bisectriu del 1r i 3r quadrants. segon. Es representa la gràfica de f(x) i la seva simètrica respecte d’aquesta recta. Y X 1 1 f -1(x) = log 2 x f (x) = 2x PRACTICA 39. Representa la gràfica de les funcions inverses d’aquestes funcions. a) ( ) f x x2 = b) ( ) ( ) f x x 1 log = - Representar la gràfica d’una funció inversa Funció exponencial Representa gràficament aquestes funcions. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primer. S’escriu la funció com f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segon. Es representa la funció que en resulta com una funció exponencial del tipus f (x) = ax. PRACTICA 40. Dibuixa la gràfica de les funcions següents. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funcions del tipus ( ) f x akx = Funció valor absolut Representa gràficament la funció ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gràfica, escriu-ne l’expressió com una funció definida a trossos. primer. Es representa la funció sense el valor absolut. ( ) f x x x 4 2 = - + és una funció quadràtica; per tant, se’n determina el vèrtex i si és un màxim o un mínim. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Com que a = -1 < 0, el vèrtex és un màxim. segon. Es dibuixen les figures simètriques, respecte de l’eix X, de les parts de la gràfica que corresponguin a valors negatius de la funció. tercer. S’escriu l’expressió algebraica de la funció tenint en compte els punts de tall amb els eixos. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 43. Dibuixa la gràfica de la funció ( ) f x x sin ; ; = en l’interval [0, 2r]. Representar funcions del tipus ( ) ( ) g x f x ; ; = Funció exponencial Representa gràficament la funció ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primer. S’expressa la funció que es vol representar en funció de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segon. S’obté la gràfica de la funció desplaçant la gràfica de ( ) f x ax = en horitzontal i en vertical. f (x - 2) " Es desplaça f (x) cap a la dreta 2 unitats. f (x - 2) - 1 " Es desplaça f (x - 2) cap avall 1 unitat. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 41. Representa gràficament la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funcions del tipus ( ) f x a c x b = + + Funció valor absolut Dibuixa la gràfica de la funció següent. g(x) = x2 - 4;x; primer. Es defineix la funció a trossos tenint en compte que ;x; és x quan és un nombre positiu i és -x quan és negatiu. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segon. Es representa la funció definida a trossos en cada un dels trams. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 44. Dibuixa la gràfica de la funció ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funcions en les quals intervé el valor absolut Funció logarítmica Representa gràficament les funcions següents. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primer. S’apliquen les propietats dels logaritmes. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segon. Es representen les funcions fent les transformacions necessàries sobre la gràfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 42. Dibuixa la gràfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funcions del tipus f(x) = loga kx Composició de funcions Expressa aquesta funció com a composició de funcions més senzilles. h(x) = cos [ln (x2 - 1)] primer. Es divideix la funció en funcions més senzilles. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = cos x segon. Es fa la composició de les funcions per comprovar que el resultat és igual a la funció inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = cos [ln(x2 - 1)] = h(x) F h3(x) = cos x PRACTICA 45. Expressa aquestes funcions com a composició de funcions més senzilles. a) f(x) = sin2 (x2 + 1) b) ( ) f x x 1 1 = - Expressar una funció com a composició d’altres funcions g(x) h(x) 1 1 Y X f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X G E O G E B R A G E O G E B R A 215 214 EL PUNT DE PARTIDA: EL REPTE MATEMÀTIC 1 CONSTRUEIX CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, fes servir l'enginy i la raó per resoldre el REPTE MATEMÀTIC que et proposem al principi de la unitat. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL fent servir GeoGebra per investigar i manipular alguns continguts. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit per mitjà de les ACTIVITATS. Ajuda't del raonament propi i PENSA per descobrir algunes propietats i aplicacions d'aquests sabers. Afiança els sabers bàsics aprenent, pas a pas, mètodes generals per a les destreses bàsiques que et cal aprendre. Aprèn a partir de textos clars i estructurats. 6
RkJQdWJsaXNoZXIy