-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa d’ozó (km) L’a tmo s f e ra d e l a Te r ra é s u n a m e s c l a d e d i f e re n t s ga s o s , principalment nitrogen (78 %), oxigen (21 %), argó, diòxid de c a rb on i i v ap o r d ’a i gu a . Aqu e st s ga s o s env o l t en c on st ant - m en t l ’a tmo sf e ra j a qu e e l c amp g rav i t a t o r i imp ed e i x qu e se n’escapin . L’atmosfera es divideix en capes, en les qual s la t emp eratura var i a de man era si gni f i cat iva . Aqu e st e s cap e s són : Troposfera : formada per l ’a ire situat en els primers kilòmetres de l ’atmosfera escal fat des de sota , motiu pel qual l a t emperatura di sminuei x a raó de 6 °C per cada ki lòmetre que es puja . El seu gruix varia entre 8 km i 17 km. En aquesta capa tenen lloc la majoria dels fenomens del clima . Estratosfera : s’ubica per sobre de la troposfera i la temperatura hi augmenta des de -53 °C f ins 20 °C a uns 50 km . El seu gr ui x vari a entre el s 17 km del s po l s i el s 35 km de l’equador. Mesosfera : en aquesta capa la temperatura torna a disminuir amb l ’a ltura , que va des d’uns 50 km fins a aproximadament 90 km, com a resultat del ràpid descens de la densitat de l ’a ire. Termo sfera : en aqu e st a cap a l a t emp e ra tu ra au gm ent a amb l ’a ltura i pot arribar als 1 500 °C quan el Sol està actiu . La termosfera inclou la ionosfera , que és on es produeixen les aurores polars. Exosfera : està localitzada en altituds per sobre dels 950 km. És la zona de transició entre l ’atmo sfera t errestre i l ’espai interplanetari . 8 L L E G E I X I C O M P R È N 1 Quin és el gruix de l’estratosfera en l’equador? 2 Quina relació hi ha entre la temperatura i les capes de l’atmosfera? 3 En quina capa es registra la temperatura més baixa? I N T E R P R E TA 4 D’acord amb el gràfic, quina temperatura té l’atmosfera a 110 km d’altitud? R E F L E X I O N A 5 On es troba la capa d’ozó? Investiga quina és la situació actual de la capa d’ozó i per què és tan important recuperar-la i conservar-la. A P L I C A 6 Si s’assumeix que la temperatura a nivell del mar és de 20 °C, quina temperatura hi deu haver, aproximadament, al cim de l’Everest a 8 848 m d’altitud? Entre moltes altres coses… Per distingir les capes de l’atmosfera segons la temperatura P E R A Q U È S E RV E I X E N L ES F U N C I O N S ? 224 Funció inversa 89 Comprova si aquestes funcions són inverses. a) f (x) = 2 x - 5 ( ) g x x 2 5 = + b) ( ) f x x 4 3 = - ( ) g x x 3 4 = - c) f (x) = x3 + 1 ( ) g x x 1 3 = - 90 Calcula, si és possible, la inversa d’aquestes funcions. a) f (x) = 2 x - 1 d) f (x) = x2 + x b) f (x) = x2 - 5 e) ( ) f x x 2 5 = - c) ( ) f x x 2 1 = + f ) ( ) f x x 2 1 = - 91 Dibuixa la gràfica de la inversa de cada funció. a) 1 1 Y X c) 1 1 Y X b) 1 1 Y X d) 1 1 Y X 92 Calcula les funcions inverses d’aquestes funcions. a) f (x) = ln (x + 3) d) f (x) = sin 2 x b) f (x) = 3 + 4 ? 5x e) f (x) = ;x + 1; c) ( ) tg f x x 2 1 = + f ) ( ) f x x 5 1 log3 = + 93 Donada la funció f(x) = 3x + 5, determina quin és el domini de la seva inversa, f-1. Funcions logarítmiques i exponencials 94 Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = 12x b) g (x) = 2x c) ( ) h x 4 1 x =e o 95 Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = log12 x b) g (x) = log2 x c) 4 ( ) h x x log = 1 A C T I V I T A T S F L A I X 96 Representa en els mateixos eixos de coordenades les ternes de funcions exponencials següents. a) f (x) = 2x g(x) = 5x h(x) = 10x b) ( ) f x 2 1 x =e o ( ) g x 5 1 x =e o ( ) h x 1 10 x =e o 97 Representa en els mateixos eixos de coordenades les ternes de funcions logarítmiques següents. a) f (x) = log2 x g (x) = log5 x h (x) = log10 x b) 2 ( ) f x x log = 1 5 ( ) g x x log = 1 10 ( ) h x x log = 1 98 I N V E S T I G A . En la figura hi ha representades: f (x) = ex ( ) g x x x ln = Els punts A i B tenen abscisa a i formen part de les gràfiques de f i g, respectivament. Si l’àrea del triangle OAB & té 5 u2, determina una equació per trobar el valor de a. Utilitza un programa informàtic per resoldre-la. 99 A partir de la gràfica de la funció exponencial g (x) = 4x, representa les funcions següents. a) f (x) = 4x - 3 b) f (x) = 4x + 1 c) f (x) = 1 + 4x d) f (x) = -4x e) f (x) = 2 - 4x f ) f (x) = 4x - 1 g) f (x) = 4x + 1 + 2 1 1 g(x) = 4x Y X 100 I N V E S T I G A . Sigui la funció ( ) ( ) f x x e ln 2 = - + , si talla l’eix Y en el punt A i els punts B i C tenen la mateixa ordenada, escriu una equació per calcular l’abscissa del punt B, sabent que el triangle té àrea 8 u2. Utilitza un programa informàtic per resoldre-la. 101 A partir de la gràfica de la funció logarítmica g (x) = log x, representa les funcions següents. a) f (x) = log 2 x b) ( ) f x x 2 log = 102 La funció ( ) f x ea x ln = passa pel punt (2, 8). Quin valor pren a? 103 R E P T E . A la figura hi ha representada la funció f. Si l’expressió algebraica de la funció g és g(x) = ln x, quines són les solucions de l’equació ( ) ( ) f g x 0 % = ? f(x) g(x) O B A Y X f (x) O A B C Y X 1 1 Y X f (x) a c t i v i tat s f i n a l s 8 76 Determina el domini d’aquestes funcions. a) f(x) = x 7 3 - d) f(x) = x x x 2 1 2 + - b) f(x) = x 3 7 - e) f(x) = x x 1 + c) f(x) = x x 1 2 2 + f ) f(x) = x x 4 2 - 77 Donada la funció ( ) f x x 2 = , determina l’expressió algebraica de les funcions següents. a) g(x) = f(x - 3) d) g(x) = f(x) + 3 b) g(x) = f(x + 1) e) g(x) = f(-x) c) g(x) = f(x) - 2 f ) g(x) = -f(x) 78 Donada la funció ( ) f x x 2 3 = . a) Troba’n el domini i indica per a quins valors de x no està definida la funció. b) Copia i completa les taules de valors i dibuixa un esbós de la funció. x -0,1 -0,5 -1 -2 -4 f (x) x 0,1 0,5 1 2 4 f (x) c) Representa ( ) g x x 2 3 = - a partir de f (x). d) Representa f (-x). 79 Donada la funció ( ) f x x 2 4 = - , contesta. a) Troba’n el domini i indica per a quins valors de x no està definida la funció. b) Copia i completa les taules de valors i fes un esbós de la funció. x -0,1 -0,5 -1 -2 -4 f (x) x 0,1 0,5 1 2 4 f (x) c) Representa ( ) g x x 2 4 = a partir de f (x). d) Representa f (-x). 80 Representa gràficament les funcions següents. a) ( ) f x x 2 1 3 = - c) ( ) f x x 2 1 6 = - b) ( ) f x x 2 1 4 = d) ( ) f x x 2 1 5 = 81 Sense representar-les, escriu la relació que hi ha entre les gràfiques d’aquestes funcions i la de ( ) f x x 12 = . a) ( ) g x x 4 12 = + b) ( ) x x h 12 1 = + c) ( ) x x i 12 = - 82 Representa la gràfica de la funció ( ) f x x 3 = . A partir d’ella, representa les funcions següents. a) ( ) g x x x 1 4 = + + c) ( ) i x x x 1 2 1 = + - + b) ( ) h x x x 1 2 5 = - - d) ( ) x x x j 1 5 2 = - - Funcions radicals 83 La gràfica de la funció ( ) f x x = és: 1 1 ( ) f x x = Y X Explica com representaries les funcions següents. a) f (x - 3) c) 4 + f (x) e) 2 - f (x) b) f (x + 1) d) -f (x) f ) f (x) - 2 A C T I V I T A T S F L A I X 84 Estudia el domini de les funcions següents. a) ( ) x f x 3 = + d) ( ) f x x 5 2 = - b) ( ) f x x x 2 3 2 2 = + - e) ( ) f x x x 2 9 2 = + + c) ( ) f x x x 4 4 2 = - + f ) ( ) f x x x 6 2 = + - 85 Quin és el domini d’aquestes funcions amb radicals? a) ( ) f x x x 2 5 7 = - - b) ( ) f x x x 4 1 3 1 = - + - 86 Determina el domini de les funcions. a) ( ) x x f x 1 8 = + + - b) ? ( ) x x f x 2 4 1 = - - 87 I N V E N TA . Escriu en cada cas l’expressió algebraica d’una funció radical amb els dominis següents. a) [ , ) 5 3 + c) [ 3, 3] - b) ( , 2] 3 - - d) R 88 A partir de la gràfica de la funció y x 1 2 = + , explica com faries la representació gràfica de les funcions amb radicals següents. a) ( ) f x x 1 1 2 = + + c) ( ) f x x 1 1 2 = - + b) ( ) f x x 2 1 2 = - + + d) ( ) f x x x 2 2 2 = + + 2 1 Y X 1 1 Y X 219 218 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 PASSA A L'ACCIÓ: PER A QUÈ SERVEIXEN... 5 PRACTICA LES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Treballa els continguts que has après amb activitats de tot tipus: INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre activitats utilitzant GEOGEBRA, buscant algun tipus d'informació a INTERNET, etc. Troba aplicacions dels continguts que has estudiat i comprèn com es fan servir i PER A QUÈ SERVEIXEN en la vida real. Enfronta't a les FAKE NEWS. Fes servir els continguts que has après per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions que apareixen en diversos mitjans. 140 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . A R Q U I T E C T U R A . A la figura hi ha representat un pont per a vianants sobre el riu Sella. Considerat O l’origen de coordenades, l’arc del pont ve donat per ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , amb [ , ] x 0 7 ! . a) Sigui S el punt sobre el segment OR que verifica l’equació ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resol l’equació i interpreta’n la solució en el context del problema. b) Al port, al costat del pont, hi ha un vaixell de vela el màstil del qual té 6 metres des del punt més alt fins a l’aigua. Podrà passar per sota el pont? 141 En un llac viu una espècie de peix gran que s’alimenta d’una espècie de peixos més petits i aquests, al seu torn, s’alimenten de plàncton. El nombre de peixos grans és una funció f (x) de la quantitat x de peixos petits i el nombre de peixos petits és una funció g( y) de la quantitat y de plàncton del llac. Expressa la població de peixos grans en funció del plàncton del llac si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 a c t i v i tat s f i n a l s 8 131 El preu en euros d’un article perible que es comença a vendre el primer dia d’un mes determinat varia amb el temps, en dies, segons la funció: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) Quin és el preu inicial de l’article? b) Dibuixa la gràfica de la funció P(t). 132 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . B I O L O G I A . La dinàmica de poblacions és una branca de la biologia que, amb l’ajuda de les matemàtiques, tracta de descriure i quantificar els canvis que es donen en una població. El desenvolupament d’una població de peixos està modelat per la funció ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , amb t 0 $ . En el model, P(t) és la mida de la població en tones i t és el nombre d’anys després de l’instant inicial. a) Determina quants anys han de transcórrer perquè la població de peixos arribi a les 15 tones. b) Pot passar que la població excedeixi alguna vegada les 20 tones? 133 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . S O C I E TAT. Una ONG ha estimat que el nombre de persones hospitalitzades després d’un tsunami segueix aproximadament la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + en què P és el nombre de persones hospitalitzades, en milers, i t és el nombre de dies que han passat des del tsunami. a) Quantes persones hi haurà hospitalitzades el primer dia? b) Quantes n’hi haurà al cap de tres setmanes? c) Si la capacitat hospitalària d’una illa de l’àrea afectada és de 2 000 llits, fins a quin dia la capacitat va estar desbordada? 134 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . F Í S I C A . Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d’un objecte segueix la funció: f (t) = T + (C - T) ? e-kt, en què T és la temperatura ambient, C la temperatura inicial, t el temps transcorregut i k la taxa de refredament de l’objecte per unitat de temps. Un objecte amb una temperatura de 40 °C es deixa a l’aire lliure, on la temperatura és de 25 °C, i després de 10 minuts la temperatura de l’objecte és de 34 °C. Quant temps ha de passar perquè l’objecte es refredi fins a tenir una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 135 La Nina i en Simon competeixen en una cursa ciclista d’anada i tornada entre dues ciutats. A l’anada la Nina va a 25 km/h i a la tornada, ja cansada, a 15 km/h. En Simon, en canvi, va a 20 km/h tota l’estona. a) Qui guanya? b) Hi ha alguna manera que la Nina, anant més ràpida a l’anada i més lenta a la tornada, guanyi en Simon tenint en compte que la mitjana de les dues velocitats de la Nina és 20 km/h? 136 En una cursa de 1 000 metres, la Mei treu 50 metres d’avantatge a en Xavier. A la pròxima cursa, la Mei sortirà 50 metres per darrere d’en Xavier. a) N’hi ha prou perquè arribin alhora a la meta? b) Si no n’hi ha prou, quants metres serien necessaris? 137 Considera una piscina d’aigua plena fins a la vora en la qual s’obre una vàlvula per buidar-la. L’altura (en metres) de l’aigua de la piscina ve donada per aquesta funció: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - en què t és el temps (en minuts) des que s’obre la vàlvula. Calcula després de quant de temps l’altura de l’aigua és la meitat de l’altura de la piscina. 138 Després de llançar un globus aerostàtic, la seva altura, en metres, ve determinada per la funció: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - per a [ , ] t 0 5 ! , amb t en minuts. a) Troba els metres que puja el globus en el primer minut. b) Quan el globus és entre els 12 m i els 20 m d’altura, es destapen dos panells publicitaris. Durant quants segons es veurà la publicitat? 139 Esteu organitzant el viatge de final de curs per al teu grup. Agència 1. Si el nombre d’estudiants que va de viatge és 40 o menys, cadascú pagarà 200 €. Si és superior a 40, es descomptarà un 10 % a cadascun. Agència 2. Si completen un autobús de 60 persones, el preu serà de 150 € per persona. Per cada seient buit a l’autobús, s’incrementarà el preu un 1 % per persona. Quina agència us convé? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 142 Considera la funció següent. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Troba el domini de la funció. b) Calcula f -1(x). 143 El nombre de dies que necessita una població de plàncton per arribar a pesar x micrograms ve donat per ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) Entre quins valors varia el pes? b) Indica el pes en funció del temps. 144 Sigui la funció: f (x) = 200 · b x a) Quina és la variable independent? b) Siguin b = 2,5 i g(x) = 20 000, determina el valor de x perquè es compleixi f (x) = g(x). c) Indica els possibles valors de b perquè f (x) sigui decreixent. 145 El ritme bàsic de reproducció, RO, d’un virus en una regió és 2,5. És a dir, cada persona malaltat n’infecta unes altres 2,5. Si el primer dia hi havia 200 persones malaltes, expressa el nombre d’infectats en funció del temps. a) Quina és la variable independent? b) Quan s’arriba a 20 000 infectats? c) En quin interval ha d’estar el RO perquè l’epidèmia estigui controlada? 146 Considera les funcions: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Troba ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 147 La Dana infla la pilota de la platja per jugar. a) Troba el radi de la pilota en funció del volum. b) Se li peta i es comença a desinflar; la mida del radi segueix la funció ( ) t t g 50 000 = , t > 10, amb t en minuts. Indica el radi en funció del temps. Baixa l’atur? Un estudi sobre la repercussió del turisme a la costa assegura que durant els dies festius es creen prop de 10 000 nous llocs de treball en el sector. Les últimes dades del Ministeri de Treball mostren que en el mes de juny es va contractar 40 000 persones en hosteleria a la costa, malgrat que només hi va haver dos dies festius. L’oposició assegura que les dades estan manipulades de cara a les pròximes eleccions. I tu, què en penses? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 223 222 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diferents àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… 7
RkJQdWJsaXNoZXIy