Matema` tiques aplicades a les Ciències socials I 1 B A T X I L L E R A T Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda , dissenyada i creada al Depar tament d ’ Edicions de Grup Promotor / Santillana , dirigit per Teresa Grence Ruiz i Anna Sagristà Mas. En l ’elaboració ha par ticipat l ’equip següent: Ana María Gaztelu Villoria Augusto González García José Lorenzo Blanco Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra Federico Rodríguez Merinero Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓ Sonia Alejo Sánchez Núria Grinyó Mar torell Silvia Marín García EDICIÓ EXECUTIVA Núria Grinyó Mar torell Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa Les activitats d’aquest llibre no s’han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s’hi inclouen són models perquè l ’alumnat els traslladi a la llibreta.
2 Índex Un i t a t Construeix coneixement Sabers bàs i cs Procediments bàs i cs 1 Nombres reals 9 1. Nombres racionals _ 10 2. Nombres irracionals _ 11 3. Nombres reals _ 12 4. Intervals _ 14 5. Notació científica _ 15 6. Aproximacions i errors _ 16 7. Acotació d'errors _ 17 8. Radicals _ 18 9. Logaritmes _ 20 • Escriure nombres irracionals • Representar en la recta real els nombres de la forma n • Escriure un nombre en notació científica • Simplificar radicals • Operar amb nombres decimals periòdics • Utilitzar la propietat distributiva per extreure factor comú • Efectuar operacions combinades amb potències 2 Matemàtiques financeres 35 1. Percentatges _ 36 2. Percentatges encadenats _ 37 3. Interès simple _ 38 4. Interès compost _ 39 5. Anualitats de capitalització _ 40 6. Anualitats d'amortització _ 41 7. Taxa Anual Equivalent (TAE) _ 44 8. Nombres índex _ 45 9. Índex de preus de consum (IPC) _ 46 10. Enquesta de població activa (EPA) _ 47 • Calcular totals, parts i percentatges • Resoldre problemes de percentatges encadenats • Calcular el capital acumulat mitjançant anualitats de capitalització • Elaborar una taula de nombres índex • Comparar mitjançant percentatges • Calcular l'interès en terminis diferents de l'anual • Calcular el temps d'inversió a interès compost 3 Equacions i inequacions 61 1. Polinomis _ 62 2. Arrels d'un polinomi _ 64 3. Factorització de polinomis _ 65 4. Equacions de segon grau _ 66 5. Altres tipus d'equacions _ 68 6. Factorització d'equacions _ 69 7. Equacions logarítmiques _ 70 8. Equacions exponencials _ 71 9. Inequacions _ 72 • Utilitzar la regla de Ruffini per dividir polinomis • Calcular les arrels enteres d'un polinomi • Factoritzar un polinomi • Resoldre equacions biquadrades • Resoldre equacions logarítmiques i exponencials • Resoldre una inequació de primer grau amb una incògnita • Resoldre una inequació de segon grau amb una incògnita • Calcular les arrels d'un polinomi amb un paràmetre 4 Sistemes d'equacions i inequacions 87 1. Sistemes d'equacions lineals _ 88 2. Sistemes d'equacions lineals amb dues incògnites _ 89 3. Discussió d'un sistema d'equacions _ 91 4. Sistemes d'equacions lineals amb tres incògnites _ 92 5. Mètode de Gauss _ 93 6. Discussió d'un sistema pel mètode de Gauss _ 94 7. Sistemes d'equacions no lineals _ 96 8. Sistemes d'inequacions _ 97 • Resoldre un sistema amb el mètode de substitució • Resoldre un sistema amb el mètode d'igualació • Resoldre un sistema amb el mètode de reducció • Resoldre un sistema amb el mètode gràfic • Resoldre un sistema de tres equacions amb el mètode de Gauss • Resoldre un sistema expressat matricialment pel mètode de Gauss • Resoldre un sistema d'inequacions amb una incògnita • Determinar el nombre de solucions d'un sistema amb dues incògnites 5 Funcions 111 1. Funcions reals de variable real _ 112 2. Domini i recorregut _ 113 3. Simetria i periodicitat _ 114 4. Funcions polinòmiques _ 115 5. Interpolació i extrapolació _ 116 6. Transformacions de funcions _ 118 7. Funcions racionals _ 119 8. Funcions amb radicals _ 120 9. Funció inversa _ 121 10. Funcions exponencials _ 122 11. Funcions logarítmiques _ 123 12. Funcions definides a trossos _ 124 13. Operacions amb funcions _ 126 14. Composició de funcions _ 127 • Determinar el domini d'una funció • Determinar la simetria d'una funció • Representar una funció quadràtica • Calcular valors per interpolació i extrapolació lineal • Representar una funció de proporcionalitat inversa • Representar la funció ( ) f x x n = • Calcular la funció inversa d'una funció • Representar una funció exponencial • Representar una funció logarítmica • Representar una funció definida a trossos • Trobar els valors de les operacions amb funcions • Compondre funcions • Calcular el domini de funcions no elementals
3 Pract i ca les competènc ies espec í f iques Matemàt iques en el món real Si tuac ió d' aprenentatge • Classificar nombres segons el conjunt numèric al qual pertanyen • Reconèixer nombres en la recta real • Efectuar la unió i la intersecció de dos intervals • Calcular intervals encaixats que continguin un nombre irracional • Escriure certes expressions amb un sol radical • Calcular logaritmes a partir dels logaritmes d'uns altres nombres M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Química • Astronomia • Història • Física • Sismografia • Acústica FA K E N E W S . Estudi crític de notíces de premsa Determinar la velocitat en un accident de trànsit • Resoldre problemes d'interès compost amb augments anuals de capital • Calcular el temps en anualitats de capitalització • Calcular anualitats de capitalització en terminis diferents de l'anual • Elaborar una taula d'amortització per mesos • Calcular anualitats d'amortització en terminis diferents de l'anual • Calcular la TAE per a períodes superiors a un any • Calcular la TAE si els interessos no són anuals • Analitzar quantitats a partir de la inflació • Calcular la variació de poder adquisitiu M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Impostos • Borsa • Economia • Treball • Targetes de crèdit FA K E N E W S . Anàlisi d'informacions. Educació financera Valorar quina oferta de préstec és millor per al client • Determinar un coeficient perquè una equació de 2n grau tingui un nombre de solucions • Resoldre equacions del tipus ax2n + bxn + c = 0 • Resoldre equacions del tipus ( ) P x a = • Resoldre equacions del tipus ( ) ( ) P x Q x = • Resoldre equacions del tipus ( ) ( ) P x Q x = • Resoldre equacions del tipus ( ) ( ) ( ) P x Q x R x + = • Resoldre equacions mitjançant factorització • Resoldre un problema mitjançant equacions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Consum • Peatges • Física • Història • Bàsquet FA K E N E W S . Anàlisi d'informacions amb càlculs numèrics Trobar la tarifa telefònica que s'adapta millor a les teves necessitats • Resoldre sistemes en funció d'un paràmetre • Expressar les solucions d'un sistema compatible indeterminat amb dues i amb tres incògnites • Discutir sistemes d'equacions lineals amb tres incògnites en funció d'un paràmetre • Resoldre problemes amb un sistema d'equacions • Resoldre sistemes no lineals que contenen expressions radicals • Resoldre problemes amb sistemes d'inequacions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Futbol • Indústria • Automòbils • Bàsquet • Biologia • Història FA K E N E W S . Anàlisi de dades Calcular el preu d'un producte • Calcular valors per extrapolació quadràtica • Representar funcions del tipus f (x) = ax n amb n $ 2 • Determinar la gràfica d'una funció a partir de transformacions • Representar funcions del tipus kf (x) coneguda la gràfica de f (x) • Representar funcions del tipus f (x) = x a k + i f (x) = x c ax b + + • Representar la gràfica d'una funció inversa • Representar funcions del tipus f (x) = akx • Representar funcions del tipus f (x) = ax+b + c • Representar funcions del tipus f (x) = loga kx • Representar funcions del tipus g (x) = ; f (x) ; • Representar funcions en les quals intervé el valor absolut • Expressar una funció com a composició d'altres funcions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Astronomia • Mitjans de transport • Viatges • Preus • Biologia • Societat • Física • Arquitectura FA K E N E W S . Contrast d'informacions numèriques Distingir les capes de l'atmosfera per la seva temperatura
4 Un i t a t Construeix coneixement Sabers bàs i cs Procediments bàs i cs 6 Límit d'una funció 141 1. Successions. Límit d'una successió _ 142 2. Càlcul de límits _ 144 3. Operacions amb límits _ 145 4. Indeterminacions _ 146 5. Resolució d'algunes indeterminacions _ 147 6. Límit d'una funció en l'infinit _ 150 7. Límit d'una funció en un punt _ 151 8. Branques infinites. Asímptotes _ 154 9. Continuïtat d'una funció _ 156 • Calcular límits amb una indeterminació del tipus 3/3 • Resoldre límits amb una indeterminació del tipus 3 - 3 • Calcular el límit d'una funció en un punt • Calcular el límit en una funció definida a trossos • Resoldre límits amb una indeterminació del tipus 0/0 • Calcular les asímptotes horitzontals, verticals i obliqües d'una funció • Estudiar la continuïtat d'una funció elemental 7 Derivada d'una funció 171 1. Taxa de variació mitjana _ 172 2. Der ivada d'una funció en un punt _ 173 3. Interpretació geomètrica de la derivada _ 174 4. Funció derivada _ 175 5. Derivades de funcions elementals _ 177 6. Derivades del producte i del quocient de funcions _ 179 7. Regla de la cadena _ 181 • Calcular la derivada i la tangent d'una funció en un punt • Calcular la derivada d'un producte i d'un quocient de funcions • Calcular la derivada d'una funció composta • Calcular el valor d'un paràmetre d'una funció coneixent-ne la derivada en un punt • Estudiar la derivabilitat d'una funció en un punt en funció d'un paràmetre • Calcular la tangent d'una funció en un punt d'abscissa o ordenada coneguda 8 Aplicacions de la derivada. Representació de funcions 195 1. Creixement i decreixement _ 196 2. Concavitat i convexitat _ 199 3. Representació gràfica de funcions _ 200 4. Representació de funcions polinòmiques _ 202 5. Representació de funcions racionals _ 204 • Analitzar la monotonia d'una funció • Determinar els màxims i els mínims d'una funció utilitzant la derivada segona • Determinar la concavitat i la convexitat d'una funció • Representar una funció coneixent-ne algunes característiques • Representar funcions polinòmiques i racionals • Estudiar la monotonia en una funció definida a trossos • Resoldre problemes mitjançant la monotonia d'una funció 9 Estadística bidimensional 219 1. Variable estadística unidimensional _ 220 2. Mesures de centralització _ 221 3. Mesures de dispersió _ 222 4. Variable estadística bidimensional _ 223 5. Diagrama de dispersió _ 225 6. Correlació _ 226 7. Rectes de regressió _ 228 8. Estimació de resultats _ 230 9. Estadística amb calculadora _ 231 • Calcular la covariància • Calcular i interpretar el coeficient de correlació • Determinar i representar les rectes de regressió • Estimar valors utilitzant les rectes de regressió • Treballar l'estadística bidimensional amb la calculadora • Treballar l'estadística unidimensional amb la calculadora • Interpretar les mesures estadístiques en una variable unidimensional • Agrupar les dades de variables bidimensionals en intervals 10 Probabilitat 245 1. Experiments aleatoris _ 246 2. Esdeveniments. Operacions amb esdeveniments _ 248 3. Freqüència i probabilitat _ 250 4. Propietats de la probabilitat _ 251 5. Regla de Laplace _ 252 6. Probabilitat condicionada _ 253 7. Taules de contingència _ 254 8. Dependència i independència d'esdeveniments _ 255 • Determinar l'espai mostral amb un diagrama d'arbre • Calcular probabilitats utilitzant la regla de Laplace • Calcular probabilitats amb una taula de contingència • Utilitzar mètodes de comptatge per calcular possibilitats • Calcular el nombre total d'esdeveniments si el nombre d'esdeveniments elementals és finit • Trobar l'espai mostral d'un experiment amb una taula de doble entrada 11 Distribucions binomial i normal 269 1. Variables aleatòries _ 270 2. Distribucions discretes _ 272 3. Distribució binomial _ 273 4. Distribucions contínues _ 276 5. Distribució normal _ 277 6. Aproximació de la binomial _ 279 • Construir una variable aleatòria a partir d'un experiment • Calcular la funció de probabilitat i la funció de distribució d'una variable aleatòria discreta • Determinar si una variable aleatòria segueix una distribució binomial i trobar-ne la funció de probabilitat • Calcular probabilitats en variables aleatòries que segueixen una distribució binomial directament o mitjançant taules • Calcular la funció de distribució d'una variable aleatòria contínua • Calcular probabilitats en variables aleatòries que segueixen una distribució normal mitjançant taules • Calcular probabilitats en una variable aleatòria binomial aproximant-la a una normal Índex
5 Pract i ca les competènc ies espec í f iques Matemàt iques en el món real Si tuac ió d' aprenentatge • Determinar el límit d'un quocient de polinomis amb radicals • Calcular un límit que presenta una indeterminació del tipus 0/0 quan hi ha radicals • Representar una funció coneixent-ne les asímptotes i els punts de tall • Determinar el signe de les branques infinites d'una funció racional • Determinar si una funció racional té asímptotes horitzontals i obliqües • Trobar asímptotes horitzontals de funcions del tipus (P(x)/Q(x))R(x) amb una indeterminació del tipus 13 • Estudiar la continuïtat d'una funció definida a trossos • Calcular el valor d'un paràmetre perquè una funció sigui contínua M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Ecologia • Història • Preus • Filosofia • Medicina FA K E N E W S . Reflexió sobre situacions paradoxals Determinar a quin segle pertany un any • Determinar les tangents d'una funció amb pendent m • Calcular la tangent en un punt d'un lloc geomètric • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = g (x)n i f (x) = a g(x) • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = ln g (x) • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = sin g (x) • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = arccos g (x) • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = g (x)h(x) • Calcular la derivada de la composició de tres funcions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Física • Aviació • Cinètica • Seguretat FA K E N E W S . Anàlisi de gràfiques Comprendre el concepte de cost marginal en economia • Determinar els paràmetres d'una funció de la qual es coneixen un màxim o un mínim • Determinar una funció coneixent-ne algun màxim o mínim • Estudiar el creixement i el decreixement en una funció a partir de la gràfica o de l'expressió algebraica de la seva derivada • Determinar la concavitat i convexitat d'una funció definida a trossos o a partir de la seva representació gràfica • Estudiar la posició de la gràfica respecte d'una asímptota horitzontal o vertical M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Medicina • Edició • Futbol • Naturalesa FA K E N E W S . Estudi dels pendents en una gràfica Dissenyar una muntanya russa • Interpretar una taula de doble entrada • Representar variables bidimensionals a partir de la taula de freqüències • Calcular el coeficient de correlació en taules de doble entrada agrupades en intervals • Calcular la recta de regressió amb la calculadora • Determinar la mitjana a partir de la recta de regressió • Determinar i interpretar el signe del coeficient de correlació a partir de la recta de regressió M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Biologia • Medi ambient • Biodiversitat • Treball • Economia FA K E N E W S . Contrastar mesures estadístiques Prendre decisions • Calcular probabilitats experimentalment i utilitzant-ne les propietats • Resoldre problemes de probabilitat amb esdeveniments compostos • Calcular la probabilitat de la intersecció d'esdeveniments utilitzant un diagrama d'arbre • Utilizar la regla del producte en experiments amb reemplaçament • Calcular probabilitats d'esdeveniments compostos • Calcular probabilitats condicionades d'esdeveniments compostos M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Comerç • Sociologia • Globalització • Política FA K E N E W S . Investigació sobre els mites de la loteria Comprendre el disseny del joc del dòmino • Calcular els paràmetres d'una variable aleatòria amb distribució binomial • Determinar un paràmetre perquè una funció sigui funció de densitat • Calcular la probabilitat que Z = N(0, 1) sigui més gran que un valor positiu • Calcular la probabilitat que Z = N(0, 1) estigui entre dos valors • Calcular la probabilitat que Z = N(0, 1) sigui més petit o més gran que un valor negatiu • Calcular un punt coneixent-ne la probabilitat • Tipificar una variable aleatòria • Calcular un dels paràmetres, coneixent-ne l'altre i una probabilitat • Calcular la mitjana i la desviació típica, coneixent dues probabilitats • Calcular probabilitats en variables aleatòries que segueixen una distribució binomial amb n gran M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Trànsit • Aqüicultura • Consum • Transports FA K E N E W S . Anàlisi i contrast de dades Realitzar el control de qualitat d'un procés de fabricació industrial
El camí d'aprendre és un trajecte llarg, que et durarà tota la vida. Analitzar el món que t'envolta, entendre'l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi i recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Funcions 5 Explica la llegenda que al País de les Meravelles es reunien cada any tots els màgics i màgiques i organitzaven una festa . Al final , participaven en un torneig asseguts formant un cercle. Es numeraven totes les persones i la primera agafava l’única vareta màgica del torneig. A continuació, aquesta persona feia desaparèixer la segona persona i passava la vareta màgica a la tercera . La tercera feia desaparèixer la quarta i passava la vareta màgica a la cinquena . I així anaven fent fins que només quedava un mag o maga , que guanyava el torneig. Vist i no vist! R E P T E El primer any es va presentar 13 persones al torneig i va guanyar la jove Alícia. En quina posició es va posar? Si el segon any s’hi van presentar 100 persones i també va guanyar l’Alícia, en quina posició va començar? L’Alícia sempre aconseguia guanyar, tant se valia quantes persones s’hi presentessin. Com sabia en quina posició s’havia de col·locar? 111 4.1. Funcions polinòmiques de primer grau Característiques Si m = 0, la funció f (x) = n s’anomena funció constant, i la seva gràfica és una recta paral·lela a l’eix X que passa pel punt (0, n). Si n = 0, la funció f (x) = mx s’a nomena funció lineal, i la seva gràf ica és una recta amb pendent m que passa per l’origen de coordenades. Si m ! 0 i n ! 0, la seva gràfica és una recta creixent si m > 0 o decreixent si m < 0, que talla l’eix Y en el punt (0, n). 4.2. Funcions polinòmiques de segon grau Característiques El domini d’una funció quadràtica és R. El vèrtex de la paràbola és , V a b a b ac 2 4 4 2 - - - e o . Si a > 0, el vèrtex és un mínim. Si a < 0, el vèrtex és un màxim. Com més gran sigui ;a;, més tancades són les branques de la paràbola. 7 Representa, sobre els mateixos eixos, les funcions f(x) = 3x - 1 i g(x) = 5x + 4. Troba el punt d’intersecció de les dues funcions. 8 Representa gràficament les funcions quadràtiques següents. a) f(x) = -3x2 - x - 1 b) f(x) = x2 - x - 2 A C T I V I T A T S E X E M P L E 3. Aquesta és la gràfica en l’interval [0, 5] d’una funció de període 5. Representa gràficament la funció per a qualsevol valor de x. Es desplaça la gràfica de la funció a l’esquerra i a la dreta de l’interval representat. 3.2. Funcions periòdiques Una funció és periòdica, de període T (T > 0), si l a se va gràf ica es repet ei x en inter val s de longitud T. Així , coneguda la g ràf i ca en un inter val de longitud T, se’n pot construir la resta traslladant-la a la dreta i a l’esquerra en tot el domini . G E O G E B R A 3. Simetria i periodicitat Determinar la simetria d’una funció Estudia la simetria d’aquestes funcions. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primer. Se substitueix x per -x en l’expressió algebraica de la funció. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segon. Es comprova si aquesta funció és igual a la primera o a la seva oposada. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) és simètrica respecte de l’origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) és simètrica respecte de l’eix Y. 5 Estudia la simetria de les funcions següents. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gràfica d’aquesta funció periòdica de període 3. A C T I V I T A T S 3.1. Funcions simètriques Donada una funció f de variable real , es diu que és: Simètrica respecte de l’eix Y, si per a qualsevol punt x del domini de la funció es compleix que f (-x) = f (x). Aquestes funcions també s’anomenen funcions parelles. Sim è tr i ca re sp e c t e d e l ’or i gen d e c o ord enad e s, si p e r a qua l s e v o l punt x del domini de la funció es compleix que f (-x) = -f (x). Aquestes funcions també s’anomenen funcions imparelles. G E O G E B R A x X Y Funció parella f (-x) = f (x) -x X Y Funció imparella f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 F I X A - T ’ H I Hi ha funcions que no són parelles ni imparelles. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Aquesta expressió no coincideix amb l’expressió de f(x) ni amb l’expressió de -f (x). 5 4. Funcions polinòmiques Mínim Màxim a < 0 a > 0 Y X m > 0 y = mx + n y = n m = 0 m < 0 y = mx n Y X Y X 1 f(x) = -x2 + 4x - 1 1 Les funcions polinòmiques de primer grau s’anomenen funcions afins i són del tipus f (x) = mx + n. La seva gràfica és una recta amb pendent m que passa pel punt (0, n). El nombre n s’anomena ordenada en l’origen. Les funcions polinòmiques de segon grau s’anomenen funcions quadràtiques i són del tipus f (x) = ax2 + bx + c, amb a ! 0. La seva gràfica és una paràbola . Representar una funció quadràtica Representa gràficament la funció f ( x) = -x 2 + 4x - 1. primer. Es calcula el vèrtex de la paràbola i s’estudia si és un màxim (a < 0) o un mínim (a > 0). ? ( ) ( , ) a b f V v v v 2 2 4 2 2 4 2 1 3 2 3 x y x 2 = - = - - = = = - + - = " 4 a < 0 " màxim segon. Es construeix una taula amb valors al voltant del vèrtex i es representa la paràbola. x 0 1 2 3 4 f (x) -1 2 3 2 -1 115 114 5 a c t i v i tat s r e s o lt e s Funció valor absolut Representa gràficament la funció ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gràfica, escriu-ne l’expressió com una funció definida a trossos. primer. Es representa la funció sense el valor absolut. ( ) f x x x 4 2 = - + és una funció quadràtica; per tant, se’n determina el vèrtex i si és un màxim o un mínim. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Com que a = -1 < 0, el vèrtex és un màxim. segon. Es dibuixen les figures simètriques, respecte de l’eix X, de les parts de la gràfica que corresponguin a valors negatius de la funció. tercer. S’escriu l’expressió algebraica de la funció tenint en compte els punts de tall amb els eixos. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 43. Dibuixa la gràfica de la funció ( ) f x x x 3 ; ; = - en l’interval [-3, 3]. Representar funcions del tipus ( ) ( ) g x f x ; ; = Funció valor absolut Dibuixa la gràfica de la funció següent. g(x) = x2 - 4;x; primer. Es defineix la funció a trossos tenint en compte que ;x; és x quan és un nombre positiu i és -x quan és negatiu. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segon. Es representa la funció definida a trossos en cada un dels trams. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 44. Dibuixa la gràfica de la funció ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funcions en les quals intervé el valor absolut Composició de funcions Expressa aquesta funció com a composició de funcions més senzilles. h(x) = 2 + ln (x2 - 1) primer. Es divideix la funció en funcions més senzilles. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = 2 + x segon. Es fa la composició de les funcions per comprovar que el resultat és igual a la funció inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = 2 + ln(x2 - 1) = h(x) F h3(x) = 2 + x PRACTICA 45. Expressa aquestes funcions com a composició de funcions més senzilles. a) f(x) = 2ex+1 b) ( ) f x x 1 1 = - Expressar una funció com a composició d’altres funcions Funció inversa Dibuixa la gràfica de la funció f(x) = 2x i la gràfica de la seva funció inversa. primer. Es dibuixa la gràfica de la funció y = x, que és la bisectriu del 1r i 3r quadrants. segon. Es representa la gràfica de f(x) i la seva simètrica respecte d’aquesta recta. Y X 1 1 f -1(x) = log 2 x f (x) = 2x PRACTICA 39. Representa la gràfica de les funcions inverses d’aquestes funcions. a) ( ) f x x2 = b) ( ) ( ) f x x 1 log = - Representar la gràfica d’una funció inversa Funció exponencial Representa gràficament aquestes funcions. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primer. S’escriu la funció com f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segon. Es representa la funció que en resulta com una funció exponencial del tipus f (x) = ax. PRACTICA 40. Dibuixa la gràfica de les funcions següents. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funcions del tipus ( ) f x akx = Funció exponencial Representa gràficament la funció ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primer. S’expressa la funció que es vol representar en funció de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segon. S’obté la gràfica de la funció desplaçant la gràfica de ( ) f x ax = en horitzontal i en vertical. f (x - 2) " Es desplaça f (x) cap a la dreta 2 unitats. f (x - 2) - 1 " Es desplaça f (x - 2) cap avall 1 unitat. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 41. Representa gràficament la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funcions del tipus ( ) f x a c x b = + + Funció logarítmica Representa gràficament les funcions següents. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primer. S’apliquen les propietats dels logaritmes. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segon. Es representen les funcions fent les transformacions necessàries sobre la gràfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 42. Dibuixa la gràfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funcions del tipus f(x) = loga kx g(x) h(x) 1 1 Y X G E O G E B R A G E O G E B R A f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X 131 130 EL PUNT DE PARTIDA: EL REPTE MATEMÀTIC 1 CONSTRUEIX CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, fes servir l'enginy i la raó per resoldre el REPTE MATEMÀTIC que et proposem a l'inici de la unitat. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL fent servir Geogebra per investigar i manipular alguns continguts. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit mitjançant les ACTIVITATS. Ajuda't del raonament propi i PENSA per descobrir algunes propietats i aplicacions d'aquests sabers. Afiança els sabers bàsics aprenent, pas a pas, mètodes generals per a les destreses bàsiques que et cal aprendre. Aprèn a partir de textos clars i estructurats. 6
-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa d’ozó (km) L’a tmo s f e ra d e l a Te r ra é s u n a m e s c l a d e d i f e re n t s ga s o s , principalment nitrogen (78 %), oxigen (21 %), argó, diòxid de c a rb on i i v ap o r d ’a i gu a . Aqu e st s ga s o s env o l t en c on st ant - m en t l ’a tmo sf e ra j a qu e e l c amp g rav i t a t o r i imp ed e i x qu e se n’escapin . L’atmosfera es divideix en capes, en les qual s la t emp eratura var i a de man era si gni f i cat iva . Aqu e st e s cap e s són : Troposfera : formada per l ’a ire situat en els primers kilòmetres de l ’atmosfera escal fat des de sota , motiu pel qual l a t emperatura di sminuei x a raó de 6 °C per cada ki lòmetre que es puja . El seu gruix varia entre 8 km i 17 km. En aquesta capa tenen lloc la majoria dels fenomens del clima . Estratosfera : s’ubica per sobre de la troposfera i la temperatura hi augmenta des de -53 °C f ins 20 °C a uns 50 km . El seu gr ui x vari a entre el s 17 km del s po l s i el s 35 km de l’equador. Mesosfera : en aquesta capa la temperatura torna a disminuir amb l ’a ltura , que va des d’uns 50 km fins a aproximadament 90 km, com a resultat del ràpid descens de la densitat de l ’a ire. Termo sfera : en aqu e st a cap a l a t emp e ra tu ra au gm ent a amb l ’a ltura i pot arribar als 1 500 °C quan el Sol està actiu . La termosfera inclou la ionosfera , que és on es produeixen les aurores polars. Exosfera : està localitzada en altituds per sobre dels 950 km. És la zona de transició entre l ’atmo sfera t errestre i l ’espai interplanetari . 5 L L E G E I X I C O M P R È N 1 Quin és el gruix de l’estratosfera en l’equador? 2 Quina relació hi ha entre la temperatura i les capes de l’atmosfera? 3 En quina capa es registra la temperatura més baixa? I N T E R P R E TA 4 D’acord amb el gràfic, quina temperatura té l’atmosfera a 110 km d’altitud? R E F L E X I O N A 5 On es troba la capa d’ozó? Investiga quina és la situació actual de la capa d’ozó i per què és tan important recuperar-la i conservar-la. A P L I C A 6 Si s’assumeix que la temperatura a nivell del mar és de 20 °C, quina temperatura hi deu haver, aproximadament, al cim de l’Everest a 8 848 m d’altitud? Entre moltes altres coses… Per distingir les capes de l’atmosfera segons la temperatura P E R A Q U È S E RV E I X E N L ES F U N C I O N S ? 140 2. Selecciona de manera adequada eixos, unitats, domini i escales Funcions polinòmiques 61 Associa cada funció amb la seva gràfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2 x2 62 Relaciona cada gràfica amb una expressió algebraica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 x2 - 2 x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I T A T S F L A I X 63 Representa, sense fer les taules de valors corresponents, les funcions lineals i afins. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 64 Escriu l’expressió algebraica d’aquestes funcions i calcula’n el pendent i l’ordenada en l’origen. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 65 Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades i relaciona l’obertura de les branques de cada paràbola amb el coeficient de x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 x2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 66 Troba el vèrtex d’aquestes paràboles. a) f (x) = x2 - 6x + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4x + 10 d) f (x) = -x2 - 4x + 2 67 I N V E N TA . Escriu l’equació de tres paràboles el vertex de les quals sigui (2, 3). 68 Representa les funcions polinòmiques següents, i indica’n els punts de tall amb els eixos. a) f(x) = 4x2 + 4x + 1 b) f(x) = x3 - x2 - 9x + 9 c) f(x) = x3 - 2 x2 - 7x - 4 d) f(x) = x3 - 2 x2 - 2 x - 3 69 Representa la funció y = x2. A partir d’ella, dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions polinòmiques. a) f(x) = (x - 2)2 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = (x + 3)2 Quina relació hi ha entre les gràfiques de les tres últimes funcions amb la gràfica de la primera? 70 Dibuixa la gràfica de la funció f (x) = x2 + 2 x. Determina l’expressió algebraica de cada una de les funcions següents i representa-les. a) f(x - 2) c) f(x + 1) b) f(x) - 4 d) f(x) + 2 Hi ha alguna relació entre aquestes gràfiques? 71 Troba l’expressió algebraica i representa la funció quadràtica que passa pels punts A(1, -2), B(2, -2) i C(3, 0). 72 Troba i representa les funcions polinòmiques de grau mínim que passen pels punts següents. a) A(0, 0), , B 5 2 5 e o i C(-2, -1) b) A(3, 0), B(4, 1) i C(5, 0) c) A(1, 0), B(2, 1), C(3, 0) i D(4, 1) 73 R E P T E . Si ( ) f x px qx rx 4 7 3 = + + - i ( ) f 7 3 - = , quant val ( ) f 7 ? Interpolació i extrapolació 74 Sabem que 64 4 3 = i que 125 3 = 5. a) Troba 99 3 per interpolació. b) Si també sabem que 8 2 3 = , troba 99 3 per interpolació quadràtica. c) Calcula, amb l’ajut de la calculadora, el valor exacte de 99 3 i digues quin dels dos valors que has trobat és una aproximació millor. 75 L’evolució de la població d’un poble petit durant 5 anys es mostra a la taula següent. Any 2017 2018 2019 2020 2021 Habitants 314 307 291 291 282 a) Utilitza l’extrapolació lineal i digues quants habitants s’espera que tingui el 2022. b) Quants habitants tindria si per calcular-ho fas servir una extrapolació quadràtica? c) Troba mitjançant una extrapolació lineal i una quadràtica el nombre d’habitants del 2016. a c t i v i tat s f i n a l s 5 1. Reconeix analíticament i gràficament les funcions elementals 46 Digues si aquestes gràfiques corresponen a una funció. a) c) b) d) Y X Y X Y X Y X A C T I V I T A T S F L A I X 47 I N V E N TA . Esbossa una gràfica que pugui ser la representació d’una funció i una que no pugui ser-ho. 48 Fes una taula de valors i representa aquestes funcions. a) Cada nombre enter es relaciona amb el nombre de divisors positius que té. b) Cada nombre real es relaciona amb la seva part entera. c) A cada real correspon ell mateix menys el seu valor absolut. d) A cada nombre correspon el valor 2. 49 Al llarg d’un dia es mesura la longitud, en metres, de l’ombra que projecta un fanal des de l’albada fins que es fa de nit. Les mesures, preses cada dues hores, des de les 6:00 h, són aquestes: 0 25 17 5 2 6 19 32 0 a) Creus que aquesta relació defineix una funció? b) Si és que sí, identifica’n les variables. 50 Comprova si els punts x = -3, x = 0, x = 2 pertanyen al domini d’aquestes funcions. a) f (x) = x2 - 2 x + 1 c) ( ) f x x 2 1 = - + b) ( ) f x x x x 3 3 1 2 = + - d) ( ) ( ) f x x 4 ln = - - 51 Determina si aquestes funcions tenen simetries. a) f (x) = x3 - 3x c) f (x) = x2 - x b) f (x) = x4 - 1 d) f (x) = x4 - 2 x2 52 Determina el tipus de simetria d’aquestes funcions. a) ( ) f x x x x 3 2 = - b) ( ) f x x x x 1 2 2 3 = + - 53 I N V E N TA . Dibuixa una funció f (x) de simetria imparella que passi per (2, 0) de manera que f (x + 3) sigui una funció parella. 54 Estudia si els valors de l’ordenada, y, estan inclosos en els recorreguts d’aquestes funcions. a) y = 3, y = 2, y = -5 per a ( ) f x x 3 3 = - b) y = 0, y = 30, y = -3 per a f (x) = x2 - 5x + 6 55 M AT E M ÀT I Q U E S . . . I A S T R O N O M I A . Considera la funció que relaciona el temps, en dies, amb la superfície visible de la Lluna. És una funció periòdica? En cas afirmatiu, indica’n el període. 56 Determina el període d’aquestes funcions. a) 1 1 Y X b) X Y 1 1 c) X Y 1 -1 r 2 r 57 I N V E S T I G A . Una funció f (x) pren tots els valors entre 0 i 1 però cap altre. Quina de les funcions següents pren tots els valors entre -1 i 1? a) f (x) - 1 b) f (x) + 1 c) 2f (x) - 1 d) 2f (x) + 1 58 El domini d’una funció f és [0, 2] i el seu recorregut, [0, 1]. Quin és el domini i el recorregut de la funció g(x) = 1 - f (x + 1)? 59 R E P T E . La funció f només pren valors més grans o iguals que zero i satisfa les dues condicions següents: f (1) = 2, f (x + y) = f (x) · f ( y). Quant val f 2 1 e o? 60 R E P T E . Sigui ( ) ( ) f x x x x x f x 1 6 2 2 + + = + e o . Quant val f (4)? I N T E R N E T Dia % de visibilitat Tipus de Lluna 0 50 % Creixent 3 81 % Creixent 7 100 % Lluna plena 11 81 % Minvant 15 39 % Minvant 21 0 Lluna nova 133 132 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 PASSA A L'ACCIÓ: PER A QUÈ SERVEIXEN... 5 PRACTICA LES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Treballa els continguts que has après amb activitats de tot tipus: INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre activitats utilitzant GEOGEBRA, buscant algun tipus d'informació a INTERNET, etc. Enfronta't a les FAKE NEWS. Fes servir els continguts que has après per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions que apareixen en diversos mitjans. 138 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . A R Q U I T E C T U R A . A la figura hi ha representat un pont per a vianants sobre el riu Sella. Considerat O l’origen de coordenades, l’arc del pont ve donat per ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , amb [ , ] x 0 7 ! . a) Sigui S el punt sobre el segment OR que verifica l’equació ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resol l’equació i interpreta’n la solució en el context del problema. b) Al port, al costat del pont, hi ha un vaixell de vela el màstil del qual té 6 metres des del punt més alt fins a l’aigua. Podrà passar per sota el pont? 139 En un llac viu una espècie de peix gran que s’alimenta d’una espècie de peixos més petits i aquests, al seu torn, s’alimenten de plàncton. El nombre de peixos grans és una funció f (x) de la quantitat x de peixos petits i el nombre de peixos petits és una funció g( y) de la quantitat y de plàncton del llac. Expressa la població de peixos grans en funció del plàncton del llac si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 a c t i v i tat s f i n a l s 5 129 El preu en euros d’un article perible que es comença a vendre el primer dia d’un mes determinat varia amb el temps, en dies, segons la funció: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) Quin és el preu inicial de l’article? b) Dibuixa la gràfica de la funció P(t). 130 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . B I O L O G I A . La dinàmica de poblacions és una branca de la biologia que, amb l’ajuda de les matemàtiques, tracta de descriure i quantificar els canvis que es donen en una població. El desenvolupament d’una població de peixos està modelat per la funció ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , amb t 0 $ . En el model, P(t) és la mida de la població en tones i t és el nombre d’anys després de l’instant inicial. a) Determina quants anys han de transcórrer perquè la població de peixos arribi a les 15 tones. b) Pot passar que la població excedeixi alguna vegada les 20 tones? 131 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . S O C I E TAT. Una ONG ha estimat que el nombre de persones hospitalitzades després d’un tsunami segueix aproximadament la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + en què P és el nombre de persones hospitalitzades, en milers, i t és el nombre de dies que han passat des del tsunami. a) Quantes persones hi haurà hospitalitzades el primer dia? b) Quantes n’hi haurà al cap de tres setmanes? c) Si la capacitat hospitalària d’una illa de l’àrea afectada és de 2 000 llits, fins a quin dia la capacitat va estar desbordada? 132 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . F Í S I C A . Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d’un objecte segueix la funció: f (t) = T + (C - T) ? e-kt, en què T és la temperatura ambient, C la temperatura inicial, t el temps transcorregut i k la taxa de refredament de l’objecte per unitat de temps. Un objecte amb una temperatura de 40 °C es deixa a l’aire lliure, on la temperatura és de 25 °C, i després de 10 minuts la temperatura de l’objecte és de 34 °C. Quant temps ha de passar perquè l’objecte es refredi fins a tenir una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 133 La Nina i en Simon competeixen en una cursa ciclista d’anada i tornada entre dues ciutats. A l’anada la Nina va a 25 km/h i a la tornada, ja cansada, a 15 km/h. En Simon, en canvi, va a 20 km/h tota l’estona. a) Qui guanya? b) Hi ha alguna manera que la Nina, anant més ràpida a l’anada i més lenta a la tornada, guanyi en Simon tenint en compte que la mitjana de les dues velocitats de la Nina és 20 km/h? 134 En una cursa de 1 000 metres, la Mei treu 50 metres d’avantatge a en Xavier. A la pròxima cursa, la Mei sortirà 50 metres per darrere d’en Xavier. a) N’hi ha prou perquè arribin alhora a la meta? b) Si no n’hi ha prou, quants metres serien necessaris? 135 Considera una piscina d’aigua plena fins a la vora en la qual s’obre una vàlvula per buidar-la. L’altura (en metres) de l’aigua de la piscina ve donada per aquesta funció: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - en què t és el temps (en minuts) des que s’obre la vàlvula. Calcula després de quant de temps l’altura de l’aigua és la meitat de l’altura de la piscina. 136 Després de llançar un globus aerostàtic, la seva altura, en metres, ve determinada per la funció: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - per a [ , ] t 0 5 ! , amb t en minuts. a) Troba els metres que puja el globus en el primer minut. b) Quan el globus és entre els 12 m i els 20 m d’altura, es destapen dos panells publicitaris. Durant quants segons es veurà la publicitat? 137 Esteu organitzant el viatge de final de curs per al teu grup. Agència 1. Si el nombre d’estudiants que va de viatge és 40 o menys, cadascú pagarà 200 €. Si és superior a 40, es descomptarà un 10 % a cadascun. Agència 2. Si completen un autobús de 60 persones, el preu serà de 150 € per persona. Per cada seient buit a l’autobús, s’incrementarà el preu un 1 % per persona. Quina agència us convé? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 140 Considera la funció següent. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Troba el domini de la funció. b) Calcula f -1(x). 141 El nombre de dies que necessita una població de plàncton per arribar a pesar x micrograms ve donat per ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) Entre quins valors varia el pes? b) Indica el pes en funció del temps. 142 Sigui la funció: f (x) = 200 · b x a) Quina és la variable independent? b) Siguin b = 2,5 i g(x) = 20 000, determina el valor de x perquè es compleixi f (x) = g(x). c) Indica els possibles valors de b perquè f (x) sigui decreixent. 143 El ritme bàsic de reproducció, RO, d’un virus en una regió és 2,5. És a dir, cada persona malaltat n’infecta unes altres 2,5. Si el primer dia hi havia 200 persones malaltes, expressa el nombre d’infectats en funció del temps. a) Quina és la variable independent? b) Quan s’arriba a 20 000 infectats? c) En quin interval ha d’estar el RO perquè l’epidèmia estigui controlada? 144 Considera les funcions: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Troba ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 145 La Dana infla la pilota de la platja per jugar. a) Troba el radi de la pilota en funció del volum. b) Se li peta i es comença a desinflar; la mida del radi segueix la funció ( ) t t g 50 000 = , t > 10, amb t en minuts. Indica el radi en funció del temps. Baixa l’atur? Un estudi sobre la repercussió del turisme a la costa assegura que durant els dies festius es creen prop de 10 000 nous llocs de treball en el sector. Les últimes dades del Ministeri de Treball mostren que en el mes de juny es va contractar 40 000 persones en hosteleria a la costa, malgrat que només hi va haver dos dies festius. L’oposició assegura que les dades estan manipulades de cara a les pròximes eleccions. I tu, què en penses? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 139 138 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diferents àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… Troba aplicacions dels continguts que has estudiat i comprèn com es fan servir i PER A QUÈ SERVEIXEN en la vida real. 7
Nombres reals 1 Actualment, no es pot negar el poder que les xarxes socials exerceixen en la població. Aquest fet ha provocat que milers de persones de tot el món es dediquin a explotar econòmicament la seva habilitat per inf luir en el comportament d ’a ltres persones. Aquestes persones s’anomenen inf luenciadores (inf luencers). En un acte públic, deu inf luencers han rebut deu premis per la seva tasca a les xarxes. Acorden repartir -se els premis d’una manera original: cadascun d’ells, començant pel que fa menys temps que s’ hi dedica i acabant pel que ja fa més temps, farà una proposta que se sotmetrà a votació, de manera que, si almenys el 50 % hi vota a favor, es farà el repartiment, i si no arriba al 50 %, l’inf luenciador serà expulsat de la xarxa social i farà la seva proposta el següent. El poder de la majoria R E P T E Troba la proposta adequada per tal que el que proposi el primer influencer sigui acceptat i, a més, sigui el que més el beneficia. Observacions importants Tingues en compte que, depenent de cada proposta, no tots els influencers han de tenir premi i que el repartiment entre els que en rebin no té per què ser equitatiu. A més, evidentment, cap no votarà una proposta que l’expulsi de la xarxa social ni cap proposta amb la qual rebi menys premis que els altres. 9
El conjunt Q dels nombres racionals, està format per tots els nombres que es poden escriure com una fracció b a , en què a i b són nombres enters i b és diferent de 0. Cada conjunt de fraccions equivalents representa un únic nombre racional . Qualsevol fracció del conjunt és un representant del nombre racional , i la fracció irreductible amb denominador positiu n’és el representant canònic. L’expressió decimal d ’un nombre racional que s’obt é div idint el numerador entre el denominador pot ser un nombre enter o un nombre decimal exacte o periòdic. I a la inversa , qual sevol nombre decimal d ’aquest tipus es pot escriure en forma de fracció i , per tant, és un nombre racional . E X E M P L E 1. Classifica els nombres racionals i posa’n exemples. : , ; , ; … : , ; , ; ombres ombres ombres z u ombres e ò , , , , , , 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 33 1 6 3 145 N racionals N enters N naturals: … El número ero: Enters negati s: … N decimals Decimals exact s Decimals peri dics … - - - - - * * * ! # E X E M P L E 2. El número racional 3 2 està format per la fracció 3 2 i totes les seves fraccions equivalents. Quin és el seu representant canònic? , , , , , , , 3 2 9 6 6 4 3 2 3 2 6 4 9 6 … … = - - - - - - ) 3 La fracció irreductible amb denominador positiu és 3 2 ; per tant, és el representant canònic del conjunt de fraccions. 1. Nombres racionals Qualsevol nombre enter m es pot escriure com una fracció. m m 1 = R E C O R D A Dues fraccions b a i d c són equivalents quan tenen el mateix valor numèric. ? ? b a d c a d b c = = " R E C O R D A 1 Calcula el representant canònic d’aquests nombres. a) 24 16 - b) 39 18 c) 60 24 - - 2 Escriu dos representants d’aquests nombres racionals. a) 12 7 b) 2 9 c) 25 8 3 T roba quants nombres racionals diferents hi ha en aquesta seqüència. , 3 5 3 5 3 5 3 5 6 10 1 6 - - - ! 4 U na fracció que tingui un terme negatiu i una altra que tingui els dos termes positius, poden ser representants del mateix nombre racional? A C T I V I T A T S 10
E X E M P L E 3. Demostra que 7 no és un nombre racional. Si 7 fos racional, es podria escriure: b a 7 = , amb b a irreductible b a b a 7 7 2 2 = = " " Per tant, a2 és divisible per b2, i això és impossible, ja que a i b són primers entre ells. El conjunt I dels nombres irracionals està format pels nombres que no es poden expressar com una fracció. La seva expressió decimal té un nombre infinit de xifres que no es repeteixen de manera periòdica . Existeixen infinits nombres irracionals, alguns dels quals són : Les arrels no exactes, com ara , , , 2 3 7 1 492 - … En general , si n és un nombre natural que no és un quadrat perfecte, n és irracional . Nombres especialment importants: r = 3,1415926…; , … 2 1 5 1 6180339 U= + = ; e = 2,71828182… N O T E N ’ O B L I D I S Si a és un nombre racional i b és un nombre irracional: a + b és irracional. a ? b és irracional. 1 2. Nombres irracionals 5 E scriu quatre nombres irracionals i especifica’n la regla de formació. 6 Decideix si aquests nombres són irracionals. a) 0 , 51015202530… b) 4 3 r r c) 2 - r d) 17 10 7 Troba, sense fer operacions amb decimals, un nombre irracional comprès entre 2 i 2 - . 8 Raona si les afirmacions següents són certes o no. a) L’arrel quadrada d’un irracional és irracional. b) Un nombre irracional al quadrat no és racional. A C T I V I T A T S Escriure nombres irracionals Escriu alguns nombres irracionals i explica com ho fas. primer mètode. Mitjançant una regla de formació: s’escriu el nombre decimal fins a una xifra determinada i s’indica com continua. Número Regla de formació 0,1234567891011… Després de la coma hi ha tots els nombres naturals. 1,2468101214… Després de la coma hi ha tots els nombres parells. segon mètode. Si un nombre irracional se suma o es multiplica per un nombre racional, el resultat és un nombre irracional. Per exemple, 5 és irracional 2 1 5 + " és irracional (U). També són nombres irracionals: ? , , , 1 5 3 5 3 5 … + - 11
El conjunt R dels nombres reals està format pels nombres racionals i els irracionals. La recta numèrica on es representen tots el s nombres real s s’a nomena recta real. 3.1. Recta real 3. Nombres reals Representar en la recta real els nombres de la forma n Representa 12 en la recta real. primer. Es descompon n com una suma de quadrats perfectes. 12 " 12 = 32 + 3 = 32 + 12 + 2 = 32 + 12 + 12 + 12 segon. S’utilitzen els dos primers quadrats perfectes per construir els catets d’un triangle rectangle sobre la recta real. Les longituds dels catets són 3 i 1. 0 1 2 3 1 tercer. S’utilitza el següent quadrat perfecte com a catet per construir un triangle nou sobre la hipotenusa del triangle anterior, que n’és l’altre catet. La longitud és 1. 1 1 3 2 1 0 quart. Es repeteix el procés fins que s’han utilizat tots els quadrats. cinquè. Amb centre a 0 i radi la hipotenusa de l’últim triangle, es traça un arc que talli la recta real; el punt de tall és la representació de n. 0 1 2 3 1 12 1 1 NOMBRES REALS R NOMBRES RACIONALS Q 5 1 407 9 4 - 3 7 NOMBRES IRRACIONALS I 1,120120012000… -0,1234567… r 12 103 - 3 NOMBRES ENTERS Z -1 -3 0 2 1 304 NOMBRES NATURALS N N O T E N ’ O B L I D I S Els nombres reals omplen completament la recta. 0 Cada punt de la recta es correspon amb un nombre real, sigui racional o irracional. 9 I ndica el conjunt numèric mínim al qual pertany cada nombre. a) 8,0999… c) 15 e) 2,5 b) 1,223334444… d) 6,126 # f ) -11 10 Representa les arrels. a) 11 b) 101 c) 5 d) 36 11 Col·loca, en la recta real, el número: U 2 1 5 = + 12 Representa, en la recta real següent, els nombres 1 i 2. 0 3 A C T I V I T A T S G E O G E B R A 12
RkJQdWJsaXNoZXIy