-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa d’ozó (km) L’a tmo s f e ra d e l a Te r ra é s u n a m e s c l a d e d i f e re n t s ga s o s , principalment nitrogen (78 %), oxigen (21 %), argó, diòxid de c a rb on i i v ap o r d ’a i gu a . Aqu e st s ga s o s env o l t en c on st ant - m en t l ’a tmo sf e ra j a qu e e l c amp g rav i t a t o r i imp ed e i x qu e se n’escapin . L’atmosfera es divideix en capes, en les qual s la t emp eratura var i a de man era si gni f i cat iva . Aqu e st e s cap e s són : Troposfera : formada per l ’a ire situat en els primers kilòmetres de l ’atmosfera escal fat des de sota , motiu pel qual l a t emperatura di sminuei x a raó de 6 °C per cada ki lòmetre que es puja . El seu gruix varia entre 8 km i 17 km. En aquesta capa tenen lloc la majoria dels fenomens del clima . Estratosfera : s’ubica per sobre de la troposfera i la temperatura hi augmenta des de -53 °C f ins 20 °C a uns 50 km . El seu gr ui x vari a entre el s 17 km del s po l s i el s 35 km de l’equador. Mesosfera : en aquesta capa la temperatura torna a disminuir amb l ’a ltura , que va des d’uns 50 km fins a aproximadament 90 km, com a resultat del ràpid descens de la densitat de l ’a ire. Termo sfera : en aqu e st a cap a l a t emp e ra tu ra au gm ent a amb l ’a ltura i pot arribar als 1 500 °C quan el Sol està actiu . La termosfera inclou la ionosfera , que és on es produeixen les aurores polars. Exosfera : està localitzada en altituds per sobre dels 950 km. És la zona de transició entre l ’atmo sfera t errestre i l ’espai interplanetari . 5 L L E G E I X I C O M P R È N 1 Quin és el gruix de l’estratosfera en l’equador? 2 Quina relació hi ha entre la temperatura i les capes de l’atmosfera? 3 En quina capa es registra la temperatura més baixa? I N T E R P R E TA 4 D’acord amb el gràfic, quina temperatura té l’atmosfera a 110 km d’altitud? R E F L E X I O N A 5 On es troba la capa d’ozó? Investiga quina és la situació actual de la capa d’ozó i per què és tan important recuperar-la i conservar-la. A P L I C A 6 Si s’assumeix que la temperatura a nivell del mar és de 20 °C, quina temperatura hi deu haver, aproximadament, al cim de l’Everest a 8 848 m d’altitud? Entre moltes altres coses… Per distingir les capes de l’atmosfera segons la temperatura P E R A Q U È S E RV E I X E N L ES F U N C I O N S ? 140 2. Selecciona de manera adequada eixos, unitats, domini i escales Funcions polinòmiques 61 Associa cada funció amb la seva gràfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2 x2 62 Relaciona cada gràfica amb una expressió algebraica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 x2 - 2 x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I T A T S F L A I X 63 Representa, sense fer les taules de valors corresponents, les funcions lineals i afins. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 64 Escriu l’expressió algebraica d’aquestes funcions i calcula’n el pendent i l’ordenada en l’origen. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 65 Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades i relaciona l’obertura de les branques de cada paràbola amb el coeficient de x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 x2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 66 Troba el vèrtex d’aquestes paràboles. a) f (x) = x2 - 6x + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4x + 10 d) f (x) = -x2 - 4x + 2 67 I N V E N TA . Escriu l’equació de tres paràboles el vertex de les quals sigui (2, 3). 68 Representa les funcions polinòmiques següents, i indica’n els punts de tall amb els eixos. a) f(x) = 4x2 + 4x + 1 b) f(x) = x3 - x2 - 9x + 9 c) f(x) = x3 - 2 x2 - 7x - 4 d) f(x) = x3 - 2 x2 - 2 x - 3 69 Representa la funció y = x2. A partir d’ella, dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions polinòmiques. a) f(x) = (x - 2)2 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = (x + 3)2 Quina relació hi ha entre les gràfiques de les tres últimes funcions amb la gràfica de la primera? 70 Dibuixa la gràfica de la funció f (x) = x2 + 2 x. Determina l’expressió algebraica de cada una de les funcions següents i representa-les. a) f(x - 2) c) f(x + 1) b) f(x) - 4 d) f(x) + 2 Hi ha alguna relació entre aquestes gràfiques? 71 Troba l’expressió algebraica i representa la funció quadràtica que passa pels punts A(1, -2), B(2, -2) i C(3, 0). 72 Troba i representa les funcions polinòmiques de grau mínim que passen pels punts següents. a) A(0, 0), , B 5 2 5 e o i C(-2, -1) b) A(3, 0), B(4, 1) i C(5, 0) c) A(1, 0), B(2, 1), C(3, 0) i D(4, 1) 73 R E P T E . Si ( ) f x px qx rx 4 7 3 = + + - i ( ) f 7 3 - = , quant val ( ) f 7 ? Interpolació i extrapolació 74 Sabem que 64 4 3 = i que 125 3 = 5. a) Troba 99 3 per interpolació. b) Si també sabem que 8 2 3 = , troba 99 3 per interpolació quadràtica. c) Calcula, amb l’ajut de la calculadora, el valor exacte de 99 3 i digues quin dels dos valors que has trobat és una aproximació millor. 75 L’evolució de la població d’un poble petit durant 5 anys es mostra a la taula següent. Any 2017 2018 2019 2020 2021 Habitants 314 307 291 291 282 a) Utilitza l’extrapolació lineal i digues quants habitants s’espera que tingui el 2022. b) Quants habitants tindria si per calcular-ho fas servir una extrapolació quadràtica? c) Troba mitjançant una extrapolació lineal i una quadràtica el nombre d’habitants del 2016. a c t i v i tat s f i n a l s 5 1. Reconeix analíticament i gràficament les funcions elementals 46 Digues si aquestes gràfiques corresponen a una funció. a) c) b) d) Y X Y X Y X Y X A C T I V I T A T S F L A I X 47 I N V E N TA . Esbossa una gràfica que pugui ser la representació d’una funció i una que no pugui ser-ho. 48 Fes una taula de valors i representa aquestes funcions. a) Cada nombre enter es relaciona amb el nombre de divisors positius que té. b) Cada nombre real es relaciona amb la seva part entera. c) A cada real correspon ell mateix menys el seu valor absolut. d) A cada nombre correspon el valor 2. 49 Al llarg d’un dia es mesura la longitud, en metres, de l’ombra que projecta un fanal des de l’albada fins que es fa de nit. Les mesures, preses cada dues hores, des de les 6:00 h, són aquestes: 0 25 17 5 2 6 19 32 0 a) Creus que aquesta relació defineix una funció? b) Si és que sí, identifica’n les variables. 50 Comprova si els punts x = -3, x = 0, x = 2 pertanyen al domini d’aquestes funcions. a) f (x) = x2 - 2 x + 1 c) ( ) f x x 2 1 = - + b) ( ) f x x x x 3 3 1 2 = + - d) ( ) ( ) f x x 4 ln = - - 51 Determina si aquestes funcions tenen simetries. a) f (x) = x3 - 3x c) f (x) = x2 - x b) f (x) = x4 - 1 d) f (x) = x4 - 2 x2 52 Determina el tipus de simetria d’aquestes funcions. a) ( ) f x x x x 3 2 = - b) ( ) f x x x x 1 2 2 3 = + - 53 I N V E N TA . Dibuixa una funció f (x) de simetria imparella que passi per (2, 0) de manera que f (x + 3) sigui una funció parella. 54 Estudia si els valors de l’ordenada, y, estan inclosos en els recorreguts d’aquestes funcions. a) y = 3, y = 2, y = -5 per a ( ) f x x 3 3 = - b) y = 0, y = 30, y = -3 per a f (x) = x2 - 5x + 6 55 M AT E M ÀT I Q U E S . . . I A S T R O N O M I A . Considera la funció que relaciona el temps, en dies, amb la superfície visible de la Lluna. És una funció periòdica? En cas afirmatiu, indica’n el període. 56 Determina el període d’aquestes funcions. a) 1 1 Y X b) X Y 1 1 c) X Y 1 -1 r 2 r 57 I N V E S T I G A . Una funció f (x) pren tots els valors entre 0 i 1 però cap altre. Quina de les funcions següents pren tots els valors entre -1 i 1? a) f (x) - 1 b) f (x) + 1 c) 2f (x) - 1 d) 2f (x) + 1 58 El domini d’una funció f és [0, 2] i el seu recorregut, [0, 1]. Quin és el domini i el recorregut de la funció g(x) = 1 - f (x + 1)? 59 R E P T E . La funció f només pren valors més grans o iguals que zero i satisfa les dues condicions següents: f (1) = 2, f (x + y) = f (x) · f ( y). Quant val f 2 1 e o? 60 R E P T E . Sigui ( ) ( ) f x x x x x f x 1 6 2 2 + + = + e o . Quant val f (4)? I N T E R N E T Dia % de visibilitat Tipus de Lluna 0 50 % Creixent 3 81 % Creixent 7 100 % Lluna plena 11 81 % Minvant 15 39 % Minvant 21 0 Lluna nova 133 132 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 PASSA A L'ACCIÓ: PER A QUÈ SERVEIXEN... 5 PRACTICA LES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Treballa els continguts que has après amb activitats de tot tipus: INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre activitats utilitzant GEOGEBRA, buscant algun tipus d'informació a INTERNET, etc. Enfronta't a les FAKE NEWS. Fes servir els continguts que has après per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions que apareixen en diversos mitjans. 138 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . A R Q U I T E C T U R A . A la figura hi ha representat un pont per a vianants sobre el riu Sella. Considerat O l’origen de coordenades, l’arc del pont ve donat per ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , amb [ , ] x 0 7 ! . a) Sigui S el punt sobre el segment OR que verifica l’equació ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resol l’equació i interpreta’n la solució en el context del problema. b) Al port, al costat del pont, hi ha un vaixell de vela el màstil del qual té 6 metres des del punt més alt fins a l’aigua. Podrà passar per sota el pont? 139 En un llac viu una espècie de peix gran que s’alimenta d’una espècie de peixos més petits i aquests, al seu torn, s’alimenten de plàncton. El nombre de peixos grans és una funció f (x) de la quantitat x de peixos petits i el nombre de peixos petits és una funció g( y) de la quantitat y de plàncton del llac. Expressa la població de peixos grans en funció del plàncton del llac si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 a c t i v i tat s f i n a l s 5 129 El preu en euros d’un article perible que es comença a vendre el primer dia d’un mes determinat varia amb el temps, en dies, segons la funció: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) Quin és el preu inicial de l’article? b) Dibuixa la gràfica de la funció P(t). 130 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . B I O L O G I A . La dinàmica de poblacions és una branca de la biologia que, amb l’ajuda de les matemàtiques, tracta de descriure i quantificar els canvis que es donen en una població. El desenvolupament d’una població de peixos està modelat per la funció ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , amb t 0 $ . En el model, P(t) és la mida de la població en tones i t és el nombre d’anys després de l’instant inicial. a) Determina quants anys han de transcórrer perquè la població de peixos arribi a les 15 tones. b) Pot passar que la població excedeixi alguna vegada les 20 tones? 131 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . S O C I E TAT. Una ONG ha estimat que el nombre de persones hospitalitzades després d’un tsunami segueix aproximadament la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + en què P és el nombre de persones hospitalitzades, en milers, i t és el nombre de dies que han passat des del tsunami. a) Quantes persones hi haurà hospitalitzades el primer dia? b) Quantes n’hi haurà al cap de tres setmanes? c) Si la capacitat hospitalària d’una illa de l’àrea afectada és de 2 000 llits, fins a quin dia la capacitat va estar desbordada? 132 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . F Í S I C A . Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d’un objecte segueix la funció: f (t) = T + (C - T) ? e-kt, en què T és la temperatura ambient, C la temperatura inicial, t el temps transcorregut i k la taxa de refredament de l’objecte per unitat de temps. Un objecte amb una temperatura de 40 °C es deixa a l’aire lliure, on la temperatura és de 25 °C, i després de 10 minuts la temperatura de l’objecte és de 34 °C. Quant temps ha de passar perquè l’objecte es refredi fins a tenir una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 133 La Nina i en Simon competeixen en una cursa ciclista d’anada i tornada entre dues ciutats. A l’anada la Nina va a 25 km/h i a la tornada, ja cansada, a 15 km/h. En Simon, en canvi, va a 20 km/h tota l’estona. a) Qui guanya? b) Hi ha alguna manera que la Nina, anant més ràpida a l’anada i més lenta a la tornada, guanyi en Simon tenint en compte que la mitjana de les dues velocitats de la Nina és 20 km/h? 134 En una cursa de 1 000 metres, la Mei treu 50 metres d’avantatge a en Xavier. A la pròxima cursa, la Mei sortirà 50 metres per darrere d’en Xavier. a) N’hi ha prou perquè arribin alhora a la meta? b) Si no n’hi ha prou, quants metres serien necessaris? 135 Considera una piscina d’aigua plena fins a la vora en la qual s’obre una vàlvula per buidar-la. L’altura (en metres) de l’aigua de la piscina ve donada per aquesta funció: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - en què t és el temps (en minuts) des que s’obre la vàlvula. Calcula després de quant de temps l’altura de l’aigua és la meitat de l’altura de la piscina. 136 Després de llançar un globus aerostàtic, la seva altura, en metres, ve determinada per la funció: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - per a [ , ] t 0 5 ! , amb t en minuts. a) Troba els metres que puja el globus en el primer minut. b) Quan el globus és entre els 12 m i els 20 m d’altura, es destapen dos panells publicitaris. Durant quants segons es veurà la publicitat? 137 Esteu organitzant el viatge de final de curs per al teu grup. Agència 1. Si el nombre d’estudiants que va de viatge és 40 o menys, cadascú pagarà 200 €. Si és superior a 40, es descomptarà un 10 % a cadascun. Agència 2. Si completen un autobús de 60 persones, el preu serà de 150 € per persona. Per cada seient buit a l’autobús, s’incrementarà el preu un 1 % per persona. Quina agència us convé? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 140 Considera la funció següent. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Troba el domini de la funció. b) Calcula f -1(x). 141 El nombre de dies que necessita una població de plàncton per arribar a pesar x micrograms ve donat per ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) Entre quins valors varia el pes? b) Indica el pes en funció del temps. 142 Sigui la funció: f (x) = 200 · b x a) Quina és la variable independent? b) Siguin b = 2,5 i g(x) = 20 000, determina el valor de x perquè es compleixi f (x) = g(x). c) Indica els possibles valors de b perquè f (x) sigui decreixent. 143 El ritme bàsic de reproducció, RO, d’un virus en una regió és 2,5. És a dir, cada persona malaltat n’infecta unes altres 2,5. Si el primer dia hi havia 200 persones malaltes, expressa el nombre d’infectats en funció del temps. a) Quina és la variable independent? b) Quan s’arriba a 20 000 infectats? c) En quin interval ha d’estar el RO perquè l’epidèmia estigui controlada? 144 Considera les funcions: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Troba ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 145 La Dana infla la pilota de la platja per jugar. a) Troba el radi de la pilota en funció del volum. b) Se li peta i es comença a desinflar; la mida del radi segueix la funció ( ) t t g 50 000 = , t > 10, amb t en minuts. Indica el radi en funció del temps. Baixa l’atur? Un estudi sobre la repercussió del turisme a la costa assegura que durant els dies festius es creen prop de 10 000 nous llocs de treball en el sector. Les últimes dades del Ministeri de Treball mostren que en el mes de juny es va contractar 40 000 persones en hosteleria a la costa, malgrat que només hi va haver dos dies festius. L’oposició assegura que les dades estan manipulades de cara a les pròximes eleccions. I tu, què en penses? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 139 138 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diferents àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… Troba aplicacions dels continguts que has estudiat i comprèn com es fan servir i PER A QUÈ SERVEIXEN en la vida real. 7
RkJQdWJsaXNoZXIy