B AT X I L L E R AT Matema` tiques Aquest material és una obra col·lectiva concebuda, dissenyada i creada al Departament d ’Edicions de Grup Promotor / Santillana, dirigit per Teresa Grence Ruiz i Anna Sagristà Mas. En l’elaboració ha participat l’equip següent: Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓ Silvia Marín García EDICIÓ EXECUTIVA Núria Grinyó Martorell Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa 1 EL QUE HAS DE SABER DE SECUNDÀRIA
Índex 1 Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Potències de nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Equacions i sistemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Proporcionalitat i percentatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7 Teorema de Pitàgores. Àrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8 Teorema de Tales. Semblança. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9 Cossos geomètrics. Àrea i volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 0 Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1 1 Funcions lineals i quadràtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1 2 Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1 3 Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
S A B E R S B À S I C S Nombres racionals Nombres enters El conjunt dels nombres enters es representa amb la lletra Z i està format per : – Nombres enters positius: +1, +2, +3, +4, +5, +6, … – El nombre zero: 0 – Nombres enters negatius: -1, -2, -3, -4, -5, -6, … Fraccions Una fracció és una expressió b a en què a i b són nombres enters anomenats numerador, a, i denominador, b. 6 2 " Numerador < Denominador 2 < 6 1 Fracció pròpia Representa un nombre més petit que la unitat. 6 8 " Numerador > Denominador 8 > 6 1 Fracció impròpia Representa un nombre més gran que la unitat. Dos fraccions, b a i d c , són equivalents, i ho escrivim com b a d c = , si es compleix que: a ? d = b ? c 4 7 i 9 8 " ? ? 7 9 63 4 8 32 = = ( " 63 ! 32 G No són equivalents 3 4 i 6 8 " ? ? 4 6 24 3 8 24 = = ( " 24 = 24 G Sí que són equivalents La fracció irreductible d’una fracció donada és una fracció equivalent en la qual el numerador i el denominador no tenen divisors comuns. Per obtenir la fracció irreductible d’una fracció donada , dividim el numerador i el denominador entre el seu màxim comú divisor. : ( , ) : ( , ) b a b a b a a b y x y x m. c. d. m. c. d. = = " és la fracció irreductible de b a . ? ? ? 45 3 5 60 2 3 5 2 2 = = 3 " m. c. d . (45, 60) = 3 ? 5 = 15 " : : 60 45 60 15 45 15 4 3 = = G Fracció irreductible ? ? 2 3 12 2 3 18 2 2 = = 3 " m. c. d . (12, 18) = 2 ? 3 = 6 " : : 18 12 18 6 12 6 3 2 = = G Fracció irreductible 4
Nombres decimals Un nombre decimal té una part entera, situada a l’esquerra de la coma , i una part decimal, situada a la dreta . Desenes Unitats dècimes centèsimes mil·lèsimes deumil·lèsimes 3 7, 0 9 0 7 PART ENTERA PART DECIMAL Un nombre decimal és exacte quan té un nombre finit de xifres decimals. 5 7 " 7 5 20 1,4 G Decimal exacte 0 Un nombre decimal és periòdic quan té infinites xifres decimals i , a més, una o diverses d’aquestes xifres es repeteixen periòdicament. La xifra o grup de xifres que es repeteixen s’anomena període. 15 2 " 2 15 20 0,133 G El 3 es repeteix periòdicament. El periode és 3. 50 5 Si el període comença immediatament després de la coma , és un decimal periòdic pur. 3 5 " 5 3 20 1,666… G Decimal periòdic pur 20 20 En cas contrari , és un decimal periòdic mixt. La xifra o xifres decimals que no es repeteixen s’anomenen anteperíode. 15 16 " 16 15 100 1,066… G Decimal periòdic mixt 100 10 15 16 = 1,06 ! Un nombre decimal és no exacte i no periòdic si té infinites xifres decimals i cap d’elles es repeteix periòdicament. , 2 1 4142135… = G Decimal no exacte i no periòdic Anteperíode Període 5
S A B E R S B À S I C S Nombres racionals Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de -24 i 84. PRIMER. Descomponem el valor absolut dels nombres enters en factors primers. 24 12 6 3 1 2 2 2 3 24 = 23 ? 3 84 42 21 7 1 2 2 3 7 84 = 22 ? 3 ? 7 SEGON. • Per calcular el màxim comú divisor agafem els factors comuns elevats a l’exponent més petit que hi hagi. • Per calcular el mínim comú múltiple agafem els factors comuns i els no comuns elevats a l’exponent més gran que hi hagi. Factors comuns F 2 i 3 Comuns amb exponent més petit F 22 i 3 Factors no comuns F 7 Comuns amb exponent més gran F 23 i 3 m. c. d. (-24, 84) = m. c. d. (24, 84) = 22 ? 3 = 12 m. c. m. (-24, 84) = m. c. m. (24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168 Calcular el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de diversos nombres enters Calcula: (-3)2 - 4 ? [(-6) ? (+5) - (-3)] - (-2)2 (-3)2 - 4 ? [(-6) ? (+5) - (-3)] - (-2)2 = PRIMER. Resolem els parèntesis. F = (-3)2 - 4 ? (-30 + 3) - (-2)2 = = (-3)2 - 4 ? (-27) - (-2)2 = SEGON. Resolem les potències. F = 9 - 4 ? (-27) - 4 = TERCER. Efectuem els productes i les divisions. F = 9 + 108 - 4 = QUART. Efectuem les sumes i les restes. F = 117 - 4 = = 113 Resoldre operacions combinades amb enters Descompon -68 en factors primers. PRIMER. Dividim el valor absolut del nombre entre els successius nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… tantes vegades com faci falta fins que obtenim la unitat. FACTORS PRIMERS 68 68 : 2 F 34 34 : 2 F 17 17 : 17 F 1 2 2 17 SEGON. Expressem el nombre com el producte de tots els factors primers de la columna de la dreta, afegint-hi el factor -1 si el nombre és negatiu. -68 = (-1) ? ? 2 2 22 ; ? 17 = (-1) ? 22 ? 17 Descompondre un nombre en factors primers 6
Resol aplicant la jerarquia de les operacions. ? : : 2 4 1 3 7 2 3 2 1 2 - + = e o e o PRIMER. Resolem els parèntesis. ? ? : : : 2 4 1 6 14 6 9 2 1 1 2 2 4 1 6 23 4 1 = - + = - = e e e e o o o o SEGON. Resolem les multiplicacions i divisions en l’ordre en què apareixen. ? ? ? ? : : 2 4 6 1 23 4 1 2 24 23 4 1 2 24 1 23 4 2 24 92 = - = - = - = - = TERCER. Resolem les sumes i les restes, i simplifiquem el resultat, si és possible. 24 48 24 92 24 44 24 44 6 11 = - = - = - = - Efectuar operacions combinades de fraccions Determinar el decimal que expressa una fracció Determina el tipus de nombre decimal que expressen aquestes fraccions. A 7 14 B 25 19 C 63 33 PRIMER. Si el numerador és múltiple del denominador, l’expressió decimal de la fracció és un nombre enter. a) 7 14 14 és múltiple de 7 F Nombre enter SEGON. En cas contrari, si el denominador de la fracció irreductible només té com a factors 2, 5 o tots dos, és decimal exacte. b) 25 19 25 = 52. Només factor 5 F Decimal exacte TERCER. Si conté altres factors, té una expressió decimal periòdica. c) 63 33 21 11 = 21 = 3 ? 7. Factors diferents de 2 i 5 F Decimal periòdic Escriure nombres decimals en forma de fracció Expressa 2,309 com una fracció. PRIMER. El denominador de la fracció serà la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals té el nombre. 2,309 " 3 xifres decimals " Denominador = 1 000 SEGON. El numerador de la fracció és la part entera i la decimal del nombre, sense la coma. 2,309 " Numerador = 2 309 2,309 1 000 2 309 = Expressa el nombre 3,14 $ com una fracció. Expressa el nombre 0,2317 ' com una fracció. PRIMER. Anomenem A el nombre decimal i multipliquem per la unitat seguida de tants zeros com xifres té la seva part periòdica. A = 3,14 # 100A = 314,1414… SEGON. Restem a aquest resultat el nombre decimal periòdic inicial i, després, aïllem A. La fracció que en resulta és l’expressió fraccionària del nombre decimal. 100A = 314,1414… - A = 3,1414… 99A = 311 F A 99 311 = PRIMER. Anomenem A el nombre decimal i multipliquem per la unitat seguida de tants zeros com xifres té la seva part periòdica i no periòdica. A = 0,2317 & 10 000A = 2 317,317317… SEGON. Multipliquem la igualtat inicial per la unitat seguida de tants zeros com xifres té la seva part decimal no periòdica i restem els resultats obtinguts. 10 000A = 2 317,317317… - 10A = 2,317317… 9 990A = 2 315 F A 1 998 463 9 990 2 315 = = 7
A C T I V I T A T S Nombres racionals 1 Resol les operacions següents. a) (-13) ? (+3) - (-12) ? (+7) b) (-3) ? (-12) - (-15) ? (-4) c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8) e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4) f ) [(-4) + (-3) ? (-6)] : 7 2 Resol les operacions. a) (-11) ? [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)] b) (-8) ? [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)] c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)] d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)] 3 Efectua aquestes operacions combinades. a) (-5)2 ? [3 + 28 : (-4)] b) (+2)2 ? [-5 ? 2 - 32 : (-8)] c) (+3)3 : [-5 + (-7) ? (-2)] d) (-4)3 : [(-15) : 5 - (-45) : (-9)] 4 Troba els errors en aquestes igualtats. a) (-3) + (-5) - (-8) = -3 - 5 - 8 = = -8 - 8 = -(8 - 8) = 0 b) -9 - (-8) - (-7 - 2) = -9 + 8 + 7 - 2 = = -1 + 7 - 2 = = -6 - 2 = -8 c) 5 - [-6 + 7 - (-2)] = 5 + 6 - 7 + 2 = = 11 - 5 = 6 d) 4 ? (-3) + (-5) ? (-2) = -12 - 10 = -22 e) 4 - 5 ? (-2) = (-1) ? (-2) = 2 5 Realitza la descomposició factorial de: a) 3 850 b) -432 c) -561 6 Calcula el màxim comú divisor de cada parell de nombres. a) 45 i -27 b) -28 i 21 c) -18 i 12 7 Troba el màxim comú divisor. a) 6, -8, 12 b) 16, 20, -28 c) 40, -10, 25 8 Si m. c. d. (x, 12) = 6, troba el valor de x. 9 Calcula el mínim comú múltiple. a) -12 i 18 c) 27 i -18 b) 15 i -45 d) -42 i 14 10 Busca el mínim comú múltiple dels següents nombres. a) 12, -9, 10 c) -8, 30, 24 b) -4, 18, 27 d) 5, -10, 25 11 Troba dos nombres en què el m.c.d. sigui 6 i el m.c.m. sigui 36. 12 Resol aquests problemes. a) Volem tallar tres cordes de 4, 6 i 9 m, respectivament, en trossos iguals. Quina és la longitud dels trossos més grans que es poden fer? b) Els llibres d’una prestatgeria es poden col·locar en piles de 4, 6 i 9 llibres sense que en sobri cap. Quina és la quantitat més petita de llibres que hi pot haver? 13 El passadís d’un domicili fa 432 cm de llarg i 128 cm d’ample. Volem posar-hi rajoles quadrades de la mida més gran possible, sense haver-ne de tallar cap. Calcula les dimensions i el nombre de rajoles. 14 L’Àlex té aproximadament 150 fotografies. Pot enganxar-les en un àlbum en grups de 8, 9 o 12 fotograf ies i sense que l i ’n sobri cap. Quantes fotografies té l’Àlex? 15 Per una via ferroviària passa un tren en direcció a Saragossa cada 30 minuts i un altre en direcció a Gijón cada 18 minuts. Si s’han creuat els dos trens a les 10:00 del matí, troba a quina hora tornaran a creuar-se. 16 En Lluís viatja a Barcelona cada 15 dies i la seva germana Marta ho fa cada 20 dies. Quan coincidiran de nou a Barcelona si l’última vegada que ho van fer va ser el 2 d’octubre? 17 En una carretera han posat fanals als dos laterals. En una banda s’han col·locat cada 12 metres i, a l’altra, cada 18 metres. Sabent que el primer fanal de cada lateral està situat a la mateixa altura, quina distància hem de recórrer per trobar dos fanals col·locats l’un davant de l’altre? 18 Digues si són equivalents els següents parells de fraccions. a) 8 6 i 48 36 d) 5 8 i 10 24 b) 12 15 i 48 60 e) 13 9 i 104 72 c) 4 5 i 8 15 f ) 25 72 i 115 123 8
19 Calcula el nombre que falta perquè les fraccions siguin equivalents. a) 6 3 9 4 = c) 12 8 2 4 = b) 5 4 10 4 = d) 9 18 8 4 = 20 Calcula la fracció irreductible. a) 30 75 b) 48 182 c) 11 121 21 Fes les operacions. a) 2 1 6 3 5 4 3 7 + - + e o e o b) 3 7 5 4 5 6 7 2 - + + e o e o c) 2 3 4 2 1 5 2 3 1 - - + - e o > H d) 4 5 5 1 3 1 5 2 4 1 - + - + - e o e o e) 5 6 15 1 2 2 1 3 1 6 5 - + - - + e e o o f ) 3 1 5 2 4 1 6 5 6 7 + - - - e e o o 22 Fes aquestes operacions. a) 3 9 4 - + c) ( ) 7 3 8 - + - e) ( ) 3 4 6 - + - b) 8 5 2 - - e o d) ( ) 4 5 7 - - f ) 4 3 2 - - - e o 23 Opera. a) 3 1 2 9 4 - - - e o c) 4 3 2 4 1 - - e o b) 2 5 2 5 3 - - + e o d) 7 2 3 7 1 - + - + e o 24 Efectua les operacions. a) ? 6 5 3 1 2 - d) ? 2 5 3 4 1 - b) ? 2 7 3 5 4 - e) ? 5 4 8 10 2 3 + - e o c) ? 4 2 3 9 7 - f ) ? 9 7 5 12 4 3 - + - e o e o 25 Fes les següents operacions. a) ? 3 5 5 2 2 7 3 1 - - e o d) ? ? 3 7 5 4 2 3 5 - - e o > H b) ? 3 5 5 2 2 7 3 1 - - e o e) ? ? 4 5 8 3 9 4 5 4 2 - - e o c) ? ? 3 2 5 4 3 2 7 - e o f ) ? ? 3 15 4 8 7 5 9 - - - e o 26 Escriu un nombre decimal que compleixi les següents característiques. a) Periòdic pur, de període 5. b) Exacte, amb tres xifres decimals. c) Periòdic mixt, d’anteperíode 28. d) Periòdic pur, amb període de 4 xifres. e) Periòdic mixt, amb període 37. f ) Exacte, amb part entera 2. 27 Troba la fracció generatriu. a) 0,2 e) 0,01 b) 5,25 f ) 37,875 c) 95,7 g) 342,12 d) 8,0002 h) 0,0000003 28 Calcula la fracció generatriu dels següents nombres decimals periòdics. a) 3,5 e) 0,0157 i) 1,256 b) 5,902 f ) 42,004 j) 10,523 c) 12,99 g) 42,78 k) 0,00097 d) 2,37 h) 0,8 l) 3,2572 29 Indica el tipus de decimal i calcula, si és possible, la seva fracció generatriu. a) 15,3222… c) 15,233444… e) 15,333 b) 15,323232… d) 15,32 f ) 15 30 Escriu la fracció generatriu d’aquests nombres decimals. a) 2,25 c) 22,5 e) 0,334334334... b) 2,25 d) 2,25 f ) 8,57111... 31 Opera, fent servir les fraccions generatrius. a) 1,3 + 3,4 d) 4,5 + 6,7 b) 10,25 - 5,7 e) 3,46 + 4,295 c) 1,36 + 8,25 f ) 3,21 + 4,312 32 Efectua les operacions. a) 1,25 ? 2,5 c) 3,76 ? 4,8 b) 0,03 : 2,92 d) 1,25 : 2,25 33 Fent servir les fraccions generatrius, comprova si són vertaderes o falses les següents igualtats. a) 1,9 = 2 b) 1,3 : 3 = 0,4 c) 1,89 + 0,11 = 2 d) 0,11 - 0,1 = 0 e) 0,3 + 0,6 = 1 34 Quina és la vint-i-sisena xifra decimal que obtenim quan expressem 9 999 128 en forma decimal? Raona la resposta. ! # % % ! # # # # ! ! % ! # ! ! ! ! ! ! # # # # # # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 9
RkJQdWJsaXNoZXIy