El libro Matemáticas 1, para primer curso de Formación Profesional Básica, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: Blanca Arteaga Martínez Julio Oliva Contero Edición y revisión científica Rocío Pichardo Gómez Edición ejecutiva Manuel Sequeiros Murciano Dirección del proyecto Mercedes Rubio Cordovés Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno. S E R I E P R Á C T I C A 1 C iclos For m at iv os de G rado B á s ico Á M B I T O D E C I E N C I A S A P L I C A DA S Matemáticas Aplicadas
< 3 > Presentación de la unidad Esta pág i na te ay uda rá a fami l ia r iza r te con el tema desa r rol lado en la u n idad a t ravés de u n texto introductorio y u na serie de preguntas q ue desper ta rá n t u cu r iosidad y te a n i ma rá n a ref lex iona r y debat i r. En el la encont ra rás, también, u n í nd ice con los sa beres y ha bi l idades q ue vas a adq u i r i r. Matemáticas en tu vida En la pág i na f i na l Matemáticas en tu vida se explora de forma práct ica la relación de las matemát icas con d i ferentes aspectos de la rea l idad. Página de repaso En la sección Compr ueba lo que sabes pod rás apl ica r las ha bi l idades y los conoci mientos adq u i r idos a t ravés de ejercicios con los q ue pond rás en práct ica los conceptos y proced i mientos expl icados en la u n idad. Estructura de la unidad Páginas de teoría y actividades En las pág i nas cent ra les se desa r rol la n los saberes básicos de cada u n idad a t ravés de expl icaciones senci l las, apoyadas en numerosos ejemplos, y en las q ue te da remos t r ucos q ue te ay uda rá n en t u t ra bajo con las matemát icas. Además, todos los epíg ra fes va n seg u idos de numerosas actividades, esencia les pa ra q ue pract iq ues lo aprend ido. UNIDAD 1 EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS: Los números naturales: utilidad y orden. Los sistemas de numeración. Suma y multiplicación de números naturales. Potencias de números naturales. NOS HACEMOS PREGUNTAS ¿Sabes qué es un sistema de numeración? Es el conjunto de cifras y reglas que nos permiten expresar números. Los números naturales ¿Sabías que los números naturales son el concepto matemático más antiguo? Los primitivos seres humanos usaban piedras y marcas en la pared o en un palo para llevar las cuentas, y hace más de 6 000 años que se usan símbolos para representarlos. Por eso, como no sirve para contar, el cero no es en realidad un número natural. Se conocía como concepto, pero hasta el siglo vii no se usó en la representación de las cantidades y en las operaciones. ES0000000095238 934919_UNIDAD_01_103122.indd 7 10/2/22 13:640 1. Los números naturales Los números naturales son los más simples y nos sir ven para contar y ordenar. N = {1, 2, 3, 4, …} Es un conjunto de números con inf initos elementos. Hay dos signos que indican el orden entre números: menor que < mayor que > Podemos representar gráf icamente los números naturales sobre una recta numérica. Los números mayores estarán situados a la derecha, y los menores, a la izquierda. Cuanto mayor sea un número, más a la derecha estará situado sobre la recta. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 < 5 indica que 3 es menor que 5. 5 está situado más a la derecha en la recta que 3. 7 > 4 indica que 7 es mayor que 4. 4 está situado más a la izquierda en la recta que 7. 2. Los sistemas de numeración Un sistema de numeración es el modo que se utiliza para escribir cualquier número mediante cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Las distintas posiciones se llaman órdenes y representan las agrupaciones que hacemos de diez en diez. Los nueve primeros órdenes son: Centena de millón Decena de millón Unidad de millón Centena de millar Decena de millar Unidad de millar Centena Decena Unidad CMM DMM UMM CM DM UM C D U Este sistema se llama decimal porque diez unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente. Por ejemplo, si descomponemos el número 1 234, obtenemos: 1 234 = 1 000 + 200 + 30 + 4 = 1 ? 1 000 + 2 ? 100 + 3 ? 10 + 4 ? 1 CM DM UM C D U TRUCO Para que te resulte más fácil: la parte «cerrada» del signo < o > siempre apunta al número menor. Observa que, en la representación de la recta, el cero está coloreado en azul. De esta forma indicamos que el cero no es un número natural. Es necesario representar el cero para respetar la distancia de una unidad entre cada marca de los números. De esta manera, el 1 está «a una unidad del principio de la recta». También nombraremos el 0 para poder explicar y utilizar las propiedades de la suma y de la multiplicación de números naturales. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 < 8 > ES0000000095238 934919_UNIDAD_01_103122.indd 8 10/2/22 13:709 ACTIVIDADES 1 Escribe en tu cuaderno cómo se leen estos números. a) 69 b) 121 c) 1 215 d) 7 534 e) 19 006 f ) 200 705 g) 1 305 216 h) 505 505 i) 90 990 j) 1 000 010 k) 1 099 l) 003 2 Escribe en tu cuaderno los números con cifras. a) Cuatro mil cuatro. b) Seiscientos treinta y siete. c) Cinco millones doscientos mil quince. d) Trescientos mil treinta y tres. e) Siete mil setecientos diecisiete. f ) Quinientos sesenta y dos. g) Mil ochocientos nueve. h) Ochocientos mil ochocientos. i) Cien mil tres. j) Un milIón mil. k) Trescientos ocho mil ocho. l) Diez mil noventa y nueve. 3 Copia la tabla siguiente en tu cuaderno, añádele filas vacías y descompón estos números, escribiendo cada cifra en su posición correcta. Millones (MM) Millares (M) Unidades (U) Centena de m i l lón Decena de millón Unidad de millón Centena de millar Decena de millar Unidad de millar Centena Decena Unidad CMM DMM UMM CM DM UM C D U a) 27 345 b) 1 206 c) 3 589 014 d) 673 451 e) 2 456 f ) 52 782 g) 476 723 h) 2 022 022 i) Tres millones dos mil uno. j) Cuatrocientos mil cuatro. k) Veinte mil diez. l) Doscientos millones trescientos mil ochenta. 4 Representa en una recta numérica los números 2, 5, 1 y 8, teniendo en cuenta su ordenación. 5 Ordena los siguientes números. a) 2, 5, 1, 8 b) 7, 3, 5, 8 c) 1 202, 1 022, 2 012, 1 220 d) 57, 75, 557, 775 6 Escribe en tu cuaderno los números con cifras. a) Cuatro mil cuatro. b) Seiscientos treinta y siete. c) Cinco millones doscientos mil quince. d) Trescientos mil treinta y tres. < 9 > Matemáticas >> UNIDAD 1 ES0000000095238 934919_UNIDAD_01_103122.indd 9 10/2/22 13:715 COMPRUEBA LO QUE SABES 1 Copia en tu cuaderno esta tabla y realiza las operaciones. a b c a + b + c a ? b ? c a + b ? c a ? b + c 2 3 4 1 3 5 4 6 8 2 Copia en tu cuaderno y coloca un número natural en cada uno de los huecos. a) + 3 + = 12 c) + 3 ? = 16 b) ? 2 + = 14 d) ? 2 ? = 18 3 Escribe en tu cuaderno los siguientes números. a) 8 unidades de millar + 4 centenas + 7 unidades b) 7 decenas de millar + 5 centenas + 6 decenas + 3 unidades c) 6 centenas de millar + 8 decenas de millar + 5 unidades de millar + 2 unidades 4 Ordena de mayor a menor, según su extensión en kilómetros cuadrados (km2), los siguientes países. Chipre: 9 250 km2; España: 504 782 km2; Italia: 301 230 km2; Portugal: 92 391 km2 5 El Gobierno va a conceder 900 ayudas para montar laboratorios en centros de Iniciación Profesional. Si cada ayuda supone un ahorro de 340 € por centro, ¿cuánto dinero se ahorrará en total? 6 María y Carmen coleccionan postales de sus viajes. María tiene 123 postales y Carmen tiene 57 más que María. a) ¿Cuántas postales tiene Carmen? b) ¿Cuántas postales tienen entre las dos? 7 Cada estudiante debe traer al colegio 35 € este año para material escolar. ¿Cuánto dinero se recogerá en total si somos 27 estudiantes en clase? 8 En un concurso de resolución de problemas matemáticos en el centro participan los delegados y delegadas de cada clase. Hay en total 39 clases. Los cuatro primeros clasificados tendrán como premio 5 libros para su aula y el resto recibirán 2. ¿Cuántos libros se darán en total? 9 En un edificio, la primera planta se encuentra situada a 180 centímetros de altura, y la distancia entre cada planta y la siguiente es de 200 centímetros. ¿A qué altura se encuentra la octava planta? 10 Para comprar un torno para el centro se paga una entrada de 1 300 € y seis mensualidades de 350 €. ¿Cuál es el precio total del torno? 11 Un domingo, Raúl le da a Quique, su hermano pequeño, 2 € y le promete que, si se porta bien, cada día le dará el doble que el anterior. Si se porta bien, ¿cuánto le habrá dado Raúl a Quique el jueves? < 13 > Matemáticas >> UNIDAD 1 ES0000000095238 934919_UNIDAD_01_103122.indd 13 10/2/22 13:616 Jugar con las matemáticas El mar tes vamos a visitar a nuestra compañera Arancha. Está en casa en reposo por un fuer te golpe que se dio jugando al fútbol; no es nada grave, pero tiene que estar quieta en el sofá y se aburre, así que le vamos a llevar un cuader no de sudokus porque le gustan mucho las matemáticas. El sudoku es un juego japonés de números y hay muchas publicaciones de estos juegos organizados por orden de dif icultad. ¡Un buen regalo para alguien convaleciente! Hacer un sudoku no es una tarea fácil, actualmente hay programas de ordenador que los hacen y se pueden complicar mucho. ¡Busca en inter net el sudoku más difícil del mundo! También podemos jugar con los números mediante los cuadrados mágicos, que son más sencillos. Los cuadrados mágicos son cuadrados en los que la suma de los números de sus f ilas horizontales, sus columnas ver ticales y sus diagonales dan el mismo número. PONTE A PRUEBA 1 De estos dos cuadrados uno es mágico y el otro no, ¿sabes cuál es el mágico? Adivina qué número esconde. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 8 3 5 1 7 2 6 9 2 En general, si el cuadrado tiene n filas y n columnas, es decir, es n.n números, se llamará cuadrado mágico de orden n. Normalmente, los números que se utilizan son los consecutivos de 1 a n2. Por ejemplo: en el orden 3, se utilizan de 1 a 9; para un cuadrado mágico de orden 4, se utilizan números de 1 al 16, etc. Si esto es así: ¿Qué números se utilizan en un cuadrado mágico de orden 5? ¿Y de orden 6? ¿Y en uno de orden 7 ? 3 Construye un cuadrado mágico de orden 3, otro de orden 4, y, si te atreves, uno de orden 5. Para construirlos te damos algunos trucos: Fijar algunos números en casillas aleatorias. Utilizar el método de eliminación probando con los números que no aparecen, recuerda que son del 1 al n2 y no se deben repetir en filas y columnas. Haz una lista con todos los números y ve tachando los que uses. 4 Los cuadrados mágicos aparecen en algunas obras de arte, busca en internet algunos ejemplos. MATEMÁTICAS EN TU VIDA ¿EN QUÉ CONSISTE UN SUDOKU? Un sudoku es una cuadrícula de 9 espacios de alto y 9 de ancho (9 3 9). Dentro de esta cuadrícula se marcan otras 9 cuadrículas pequeñas, 3 espacios de alto y 3 de ancho (3 3 3) cada una. 5 3 4 6 7 8 9 1 2 6 7 2 1 9 5 3 4 8 1 9 8 3 4 2 5 6 7 8 5 9 7 6 1 4 2 3 4 2 6 8 5 3 7 9 1 7 1 3 9 2 4 8 5 6 9 6 1 5 3 7 2 8 4 2 8 7 4 1 9 6 3 5 3 4 5 2 8 6 1 7 9 El sudoku es un rompecabezas de números, como si fueran piezas de un puzle. No se trata de sumar nada con los números, ni que estos tengan un orden lógico. Los sudokus tienen como mínimo 17 números ya escritos y solo hay que rellenar las casillas en blanco con las siguientes reglas: En cada espacio en blanco hay que poner un número del 1 al 9. No puede haber números repetidos ni en cada fila ni en cada columna de la cuadrícula grande (9 3 9). No puede haber números repetidos dentro de cada cuadrícula pequeña (3 3 3). En cada fila, cada columna y cada cuadrado de 3 3 3, deben aparecer todos los números del 1 al 9. < 14 > ES0000000095238 934919_UNIDAD_01_103122.indd 14 10/2/22 13:531
< 4 > UNIDAD 1. Los números naturales 7 1. Los números naturales 8 2. Los sistemas de numeración 8 3. Suma y multiplicación de números naturales 10 4. Potencias de números naturales 12 Matemáticas en tu vida. Jugar con las matemáticas 14 UNIDAD 2. Los números enteros 1115 1. Los números enteros 16 2. El orden de los números enteros 18 3. Suma con números enteros 18 4. Resta y multiplicación con números enteros 20 5. Jerarquía de las operaciones 22 Matemáticas en tu vida. Descifrar con las matemáticas 24 UNIDAD 3. Los números racionales 25 1. Fracciones 26 2. Múltiplos y divisores 28 3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 30 4. Los números racionales 32 5. Operaciones con números racionales 34 Matemáticas en tu vida. Cocinar con las matemáticas 38 UNIDAD 4. Los números decimales 39 1. Los números decimales 40 2. Tipos de números decimales 42 3. Decimales y fracciones 44 4. Comparación de números decimales 46 5. Aproximación de números decimales 46 6. Sumar, restar y multiplicar con decimales 48 7. División de números decimales 50 Matemáticas en tu vida. Conocer las matemáticas 54 UNIDAD 5. Los números reales 55 1. Operaciones con potencias 56 2. La raíz cuadrada 56 3. Cálculo de la raíz cuadrada 57 4. La raíz de orden n 59 5. Propiedades de las raíces 59 6. Operaciones con raíces 60 7. Los números reales 62 8. Aproximaciones y errores 62 9. Representación de los números reales 64 10. Notación científica 66 Matemáticas en tu vida. Cronometrar con las matemáticas 68 UNIDAD 6. Proporcionalidad 69 1. Razón y proporción 70 2. Proporcionalidad directa 72 3. Proporcionalidad inversa 72 4. Porcentajes 74 5. Aumentos: los impuestos 74 6. Disminuciones: los descuentos 76 Matemáticas en tu vida. Cobrar con las matemáticas 78 UNIDAD 7. Sucesiones y progresiones 79 1. Sucesiones 80 2. Progresiones aritméticas 82 3. Progresiones geométricas 84 4. Interés simple 86 5. Interés compuesto 87 Matemáticas en tu vida. Correr con las matemáticas 90 Índice
< 5 > UNIDAD 8. Unidades de medida 91 1. El Sistema Métrico Decimal 92 2. Longitud 93 3. Cambio de unidades 94 4. Masa y capacidad 96 5. Temperatura 98 6. Tiempo 99 7. Suma con medidas de tiempo 100 8. Resta con medidas de tiempo 102 Matemáticas en tu vida. Medir con las matemáticas 104 UNIDAD 9. Medidas de superficie y volumen 105 1. Superficie y área 106 2. Unidades de superficie 106 3. Unidades agrarias 108 4. Unidades de volumen 110 5. Relación entre las unidades de volumen y capacidad 110 6. Volumen, masa y capacidad 112 Matemáticas en tu vida. Pensar con las matemáticas 114 UNIDAD 10. Lenguaje algebraico 115 1. Expresión algebraica 116 2. Monomios 116 3. Operaciones con monomios 118 4. Polinomios 120 5. Igualdades notables 122 6. Identidades y ecuaciones 124 Matemáticas en tu vida. Adivinar con las matemáticas 128
UNIDAD 1 EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS: Los números naturales: utilidad y orden. Los sistemas de numeración. Suma y multiplicación de números naturales. Potencias de números naturales. NOS HACEMOS PREGUNTAS ¿Sabes qué es un sistema de numeración? Es el conjunto de cifras y reglas que nos permiten expresar números. Los números naturales ¿Sabías que los números naturales son el concepto matemático más antiguo? Los primitivos seres humanos usaban piedras y marcas en la pared o en un palo para llevar las cuentas, y hace más de 6 000 años que se usan símbolos para representarlos. Por eso, como no sirve para contar, el cero no es en realidad un número natural. Se conocía como concepto, pero hasta el siglo vii no se usó en la representación de las cantidades y en las operaciones.
1. Los números naturales Los números naturales son los más simples y nos sir ven para contar y ordenar. N = {1, 2, 3, 4, …} Es un conjunto de números con inf initos elementos. Hay dos signos que indican el orden entre números: menor que < mayor que > Podemos representar gráf icamente los números naturales sobre una recta numérica. Los números mayores estarán situados a la derecha, y los menores, a la izquierda. Cuanto mayor sea un número, más a la derecha estará situado sobre la recta. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 < 5 indica que 3 es menor que 5. 5 está situado más a la derecha en la recta que 3. 7 > 4 indica que 7 es mayor que 4. 4 está situado más a la izquierda en la recta que 7. 2. Los sistemas de numeración Un sistema de numeración es el modo que se utiliza para escribir cualquier número mediante cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Las distintas posiciones se llaman órdenes y representan las agrupaciones que hacemos de diez en diez. Los nueve primeros órdenes son: Centena de millón Decena de millón Unidad de millón Centena de millar Decena de millar Unidad de millar Centena Decena Unidad CMM DMM UMM CM DM UM C D U Este sistema se llama decimal porque diez unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente. Por ejemplo, si descomponemos el número 1 234, obtenemos: 1 234 = 1 000 + 200 + 30 + 4 = 1 ? 1 000 + 2 ? 100 + 3 ? 10 + 4 ? 1 C M DM UM C D U TRUCO Para que te resulte más fácil: la parte «cerrada» del signo < o > siempre apunta al número menor. Observa que, en la representación de la recta, el cero está coloreado en azul. De esta forma indicamos que el cero no es un número natural. Es necesario representar el cero para respetar la distancia de una unidad entre cada marca de los números. De esta manera, el 1 está «a una unidad del principio de la recta». También nombraremos el 0 para poder explicar y utilizar las propiedades de la suma y de la multiplicación de números naturales. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 < 8 >
ACTIVIDADES 1 Escribe en tu cuaderno cómo se leen estos números. a) 69 b) 121 c) 1 215 d) 7 534 e) 19 006 f ) 200 705 g) 1 305 216 h) 505 505 i) 90 990 j) 1 000 010 k) 1 099 l) 003 2 Escribe en tu cuaderno los números con cifras. a) Cuatro mil cuatro. b) Seiscientos treinta y siete. c) Cinco millones doscientos mil quince. d) Trescientos mil treinta y tres. e) Siete mil setecientos diecisiete. f ) Quinientos sesenta y dos. g) Mil ochocientos nueve. h) Ochocientos mil ochocientos. i) Cien mil tres. j) Un milIón mil. k) Trescientos ocho mil ocho. l) Diez mil noventa y nueve. 3 Copia la tabla siguiente en tu cuaderno, añádele filas vacías y descompón estos números, escribiendo cada cifra en su posición correcta. Millones (MM) Millares (M) Unidades (U) Centena de m i l lón Decena de millón Unidad de millón Centena de millar Decena de millar Unidad de millar Centena Decena Unidad CMM DMM UMM CM DM UM C D U a) 27 345 b) 1 206 c) 3 589 014 d) 673 451 e) 2 456 f ) 52 782 g) 476 723 h) 2 022 022 i) Tres millones dos mil uno. j) Cuatrocientos mil cuatro. k) Veinte mil diez. l) Doscientos millones trescientos mil ochenta. 4 Representa en una recta numérica los números 2, 5, 1 y 8, teniendo en cuenta su ordenación. 5 Ordena los siguientes números. a) 2, 5, 1, 8 b) 7, 3, 5, 8 c) 1 202, 1 022, 2 012, 1 220 d) 57, 75, 557, 775 6 Escribe en tu cuaderno los números con cifras. a) Cuatro mil cuatro. b) Seiscientos treinta y siete. c) Cinco millones doscientos mil quince. d) Trescientos mil treinta y tres. < 9 > Matemáticas >> UNIDAD 1
3. Suma y multiplicación de números naturales Con los números naturales podemos realizar fundamentalmente dos operaciones, la suma y la multiplicación. SUMA MULTIPLICACIÓN 5 2 3 + 4 5 1 9 7 4 sumando sumando suma 3 2 × 5 1 6 0 f actor f actor producto > Propiedades de la suma y la multiplicación Conmutativa: el orden de los sumandos o factores no cambia el resultado. Ejemplo: 1 4 + 1 2 = 1 2 + 1 4 = 2 6 3 ? 5 = 5 ? 3 = 1 5 Asociativa: el orden en el que agrupemos los sumandos o factores no cambia el resultado. Ejemplo: ( 1 5 + 1 4 ) + 1 2 = 1 5 + ( 1 4 + 1 2 ) = 4 1 (3 ? 5) ? 4 = 3 ? (5 ? 4) = 60 Elemento neutro: es aquel que, tras realizar la operación, no cambia el resultado. El elemento neutro para la suma es cero (0) y para la multiplicación es uno (1): Ejemplo: 7 + 0 = 0 + 7 = 7 5 ? 1 = 1 ? 5 = 5 Distr ibutiva: si tenemos que realizar un producto por una suma de dos o más sumandos, podemos operar de dos maneras: haciendo los productos y después sumando, o primero sumando y después multiplicando por el resultado de la suma: Ejemplo: 5 ? (3 + 7) = 5 ? 3 + 5 ? 7 = 15 + 35 = 50 5 ? (3 + 7) = 5 ? 10 = 50 ¿Por qué no estudiamos aquí la resta y la división? La respuesta es sencilla: porque el resultado no siempre será un número natural. Por ejemplo, si restamos 15 - 3 = 12, vemos que 15 y 3 son dos números naturales que al restarlos dan como resultado 12, que también es un número natural. Pero, si restamos 3 - 15, no podemos encontrar un número natural que dé como resultado esta operación. Esto mismo ocurre con la división. Si dividimos 15 : 3 = 5, vemos que el resultado de dividir 15 entre 3 es 5, un número natural. Pero, si dividimos 3 : 15, no da como resultado un número natural. < 10 >
ACTIVIDADES 7 Realiza las operaciones fijándote en el orden en que deben hacerse. a) 27 ? 2 + 3 b) 5 + 4 ? 5 c) 3 ? 2 + 8 ? 5 d) 5 ? 3 + 8 e) 5 + 3 ? 7 + 5 ? 1 f ) 7 ? 2 + 4 ? 3 + 6 ? 5 8 Efectúa las siguientes operaciones. a) 12 ? (5 + 7) d) 12 ? (5 + 7) + 8 ? 9 b) 12 ? 5 + 7 + (8 + 9) e) 12 + (5 + 7) ? (8 + 9) c) 3 ? (4 + 5) + 2 ? (7 + 1) f ) (2 + 7) ? 3 + (4 + 1) ? (3 + 2) 9 María gasta a diario 1 € en comprar el periódico. ¿Cuánto ahorraría si se apuntara a una suscripción mensual de 25 €? ( 1 mes = 30 días) 10 En una peluquería han atendido a 30 personas por la mañana, 23 en el turno de mediodía y 37 en el turno de tarde. ¿A cuántas personas se ha atendido? 11 La tarifa del taxi es de 3 € por la bajada de bandera y 1 € por cada 250 metros recorridos. ¿Cuánto me costará recorrer 5 kilómetros? ( 1 kilómetro = 1 000 metros) 12 Para prevenir del contagio tras un brote de varicela, en una ciudad se va a vacunar a los niños y niñas que no se habían vacunado con anterioridad. Si un centro de salud recibe 2 300 cajas con 16 vacunas cada una, ¿a cuántos se podría vacunar ? 13 El alquiler de una bicicleta cuesta 10 € la primera hora y 3 € más cada nueva hora. ¿Cuál es el precio total por cinco horas? 14 Juan es electricista y cobra 22 € por hora de trabajo. Además, percibe 9 € por cada traslado al domicilio donde va a trabajar. El lunes estuvo trabajando 3 horas, pero olvidó una pieza importante. Tuvo que regresar el martes y trabajó 1 hora. ¿Cuánto dinero cobrará en total? 15 En un taller de peluquería han recibido un pedido de 7 cajas de tinte, con 20 botes cada una. ¿Cuántos botes han recibido en total? 16 En un supermercado se compran las manzanas por cajas de 50 kilogramos. ¿Cuántos kilogramos de manzanas habrá en total si ayer descargaron 370 cajas por la mañana y 65 por la tarde? RECUERDA… Para resolver un problema debes tener en cuenta: Hazlo con calma. Léelo tranquilamente una primera vez. Puedes anotar las cantidades o aquello que comprendes tras una segunda lectura. Te puede ayudar hacer un esquema o, incluso, un pequeño dibujo con la situación. Reflexiona sobre qué relación tienen los datos y la pregunta que te hacen. Realiza las operaciones una a una, comprobando el resultado. Coloca la solución en un sitio visible e indica las unidades de medida. Comprueba que el resultado obtenido es coherente. 1 caja = 50 kg 65 cajas = < 11 > Matemáticas >> UNIDAD 1
Una potencia de exponente 1 es igual a la base. a1 = a Una potencia de exponente 0 es igual a 1. a0 = 1 32 base exponente 4. Potencias de números naturales Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Se lee «a elevado a n», donde a es la base y n es el exponente. Se escribe an. > Propiedades de las potencias Para multiplicar dos o más potencias con la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes. am ? an = am + n Por ejemplo: 72 ? 73 = 72 + 3 = 75 Para elevar una potencia a otra, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. (am )n = am ? n Por ejemplo: (52)3 = 52 ? 3 = 56 >>> Ejemplos ¿Cómo se leen las siguientes potencias? 3 ? 3 = 32 c Se lee «3 elevado a 2» o «3 al cuadrado». 5 ? 5 ? 5 = 53 c Se lee «5 elevado a 3» o «5 al cubo». 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34 c Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta». 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 75 c Se lee «7 elevado a 5» o «7 a la quinta». HAZLO TÚ Escribe como una sola potencia las operaciones siguientes. Ejemplo 32 ? 34 = 32 + 4 = 36 d) 75 ? 71 a) 22 ? 23 ? 2 e) (33)5 b) 57 ? 52 f ) (42)6 c) 67 ? 62 g) (54)3 17 Realiza las operaciones siguientes escribiéndolas como una sola potencia. a) 74 ? 75 b) 53 ? 53 c) 93 ? 95 ? 94 d) 42 ? 43 ? 44 e) 43 ? 45 f ) 23 ? 27 g) 33 ? 32 h) 83 ? 82 18 Opera con estas potencias. a) (52)3 b) (47)2 c) (64)3 d) (72)6 e) (30)5 f ) (82)2 g) ( 18)5 h) (23)2 ACTIVIDADES < 12 >
COMPRUEBA LO QUE SABES 1 Copia en tu cuaderno esta tabla y realiza las operaciones. a b c a + b + c a ? b ? c a + b ? c a ? b + c 2 3 4 1 3 5 4 6 8 2 Copia en tu cuaderno y coloca un número natural en cada uno de los huecos. a) + 3 + = 12 c) + 3 ? = 16 b) ? 2 + = 14 d) ? 2 ? = 18 3 Escribe en tu cuaderno los siguientes números. a) 8 unidades de millar + 4 centenas + 7 unidades b) 7 decenas de millar + 5 centenas + 6 decenas + 3 unidades c) 6 centenas de millar + 8 decenas de millar + 5 unidades de millar + 2 unidades 4 Ordena de mayor a menor, según su extensión en kilómetros cuadrados (km2), los siguientes países. Chipre: 9 250 km2; España: 504 782 km2; Italia: 301 230 km2; Portugal: 92 391 km2 5 El Gobierno va a conceder 900 ayudas para montar laboratorios en centros de Iniciación Profesional. Si cada ayuda supone un ahorro de 340 € por centro, ¿cuánto dinero se ahorrará en total? 6 María y Carmen coleccionan postales de sus viajes. María tiene 123 postales y Carmen tiene 57 más que María. a) ¿Cuántas postales tiene Carmen? b) ¿Cuántas postales tienen entre las dos? 7 Cada estudiante debe traer al colegio 35 € este año para material escolar. ¿Cuánto dinero se recogerá en total si somos 27 estudiantes en clase? 8 En un concurso de resolución de problemas matemáticos en el centro participan los delegados y delegadas de cada clase. Hay en total 39 clases. Los cuatro primeros clasificados tendrán como premio 5 libros para su aula y el resto recibirán 2. ¿Cuántos libros se darán en total? 9 En un edificio, la primera planta se encuentra situada a 180 centímetros de altura, y la distancia entre cada planta y la siguiente es de 200 centímetros. ¿A qué altura se encuentra la octava planta? 10 Para comprar un torno para el centro se paga una entrada de 1 300 € y seis mensualidades de 350 €. ¿Cuál es el precio total del torno? 11 Un domingo, Raúl le da a Quique, su hermano pequeño, 2 € y le promete que, si se porta bien, cada día le dará el doble que el anterior. Si se porta bien, ¿cuánto le habrá dado Raúl a Quique el jueves? < 13 > Matemáticas >> UNIDAD 1
Jugar con las matemáticas El mar tes vamos a visitar a nuestra compañera Arancha. Está en casa en reposo por un fuer te golpe que se dio jugando al fútbol; no es nada grave, pero tiene que estar quieta en el sofá y se aburre, así que le vamos a llevar un cuader no de sudokus porque le gustan mucho las matemáticas. El sudoku es un juego japonés de números y hay muchas publicaciones de estos juegos organizados por orden de dif icultad. ¡Un buen regalo para alguien convaleciente! Hacer un sudoku no es una tarea fácil, actualmente hay programas de ordenador que los hacen y se pueden complicar mucho. ¡Busca en inter net el sudoku más difícil del mundo! También podemos jugar con los números mediante los cuadrados mágicos, que son más sencillos. Los cuadrados mágicos son cuadrados en los que la suma de los números de sus f ilas horizontales, sus columnas ver ticales y sus diagonales dan el mismo número. PONTE A PRUEBA 1 De estos dos cuadrados uno es mágico y el otro no, ¿sabes cuál es el mágico? Adivina qué número esconde. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 8 3 5 1 7 2 6 9 2 En general, si el cuadrado tiene n filas y n columnas, es decir, es n.n números, se llamará cuadrado mágico de orden n. Normalmente, los números que se utilizan son los consecutivos de 1 a n2. Por ejemplo: en el orden 3, se utilizan de 1 a 9; para un cuadrado mágico de orden 4, se utilizan números de 1 al 16, etc. Si esto es así: ¿Qué números se utilizan en un cuadrado mágico de orden 5? ¿Y de orden 6? ¿Y en uno de orden 7 ? 3 Construye un cuadrado mágico de orden 3, otro de orden 4, y, si te atreves, uno de orden 5. Para construirlos te damos algunos trucos: Fijar algunos números en casillas aleatorias. Utilizar el método de eliminación probando con los números que no aparecen, recuerda que son del 1 al n2 y no se deben repetir en filas y columnas. Haz una lista con todos los números y ve tachando los que uses. 4 Los cuadrados mágicos aparecen en algunas obras de arte, busca en internet algunos ejemplos. MATEMÁTICAS EN TU VIDA ¿EN QUÉ CONSISTE UN SUDOKU? Un sudoku es una cuadrícula de 9 espacios de alto y 9 de ancho (9 3 9). Dentro de esta cuadrícula se marcan otras 9 cuadrículas pequeñas, 3 espacios de alto y 3 de ancho (3 3 3) cada una. 5 3 4 6 7 8 9 1 2 6 7 2 1 9 5 3 4 8 1 9 8 3 4 2 5 6 7 8 5 9 7 6 1 4 2 3 4 2 6 8 5 3 7 9 1 7 1 3 9 2 4 8 5 6 9 6 1 5 3 7 2 8 4 2 8 7 4 1 9 6 3 5 3 4 5 2 8 6 1 7 9 El sudoku es un rompecabezas de números, como si fueran piezas de un puzle. No se trata de sumar nada con los números, ni que estos tengan un orden lógico. Los sudokus tienen como mínimo 17 números ya escritos y solo hay que rellenar las casillas en blanco con las siguientes reglas: En cada espacio en blanco hay que poner un número del 1 al 9. No puede haber números repetidos ni en cada fila ni en cada columna de la cuadrícula grande (9 3 9). No puede haber números repetidos dentro de cada cuadrícula pequeña (3 3 3). En cada fila, cada columna y cada cuadrado de 3 3 3, deben aparecer todos los números del 1 al 9. < 14 >
COMPRUEBA LO QUE SABES 1 Completa la siguiente tabla en tu cuaderno, cuyo resultado final será la suma de los monomios (1) y (2). ( 1) (2) Coeficiente de ( 1) Coeficiente de (2) Suma de los coeficientes Resultado ( 1) + (2) 2x 2 3x 2 2 3 5 5x 2 ab 3 3ab3 -5abc -3abc 7x -x x 2 2 4 3 x 2 -7xy 3xy 2 Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes. a) 3x3y b) 2y 2 c) -xyz d) 5x e) 3ab f ) xy 2 3 Escribe tres ejemplos de cada caso. a) Binomio con una sola indeterminada de grado 3. b) Trinomio con coeficientes negativos, dos indeterminadas y grado 6. c) Monomio de grado cero. d) Polinomio con coeficientes fraccionarios de grado 4. 4 Resuelve. a) 2(x + 1) = 7 - (x - 4) b) 5(x + 4) = 7(x - 2) c) x x x 5 5 2 8 2 2 10 3 - + - + - = d) 4x + 5 = -3x + 12 e) 3(2x + 5) + 4(3x - 2) = 5x + 7 f ) x x 3 1 5 3 2 3 4 + - = - + 5 En una bolsa tenemos gominolas de fresa y de cola. El número de gominolas de fresa es el doble. En total, son 27 gominolas. ¿Cuántas hay de cada tipo? 6 Un chico tiene el doble de la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene ahora? 7 En una clase, la mitad del alumnado tiene ojos marrones; un sexto, azules; un quinto, verdes, y el resto, que son 4 estudiantes, no tienen un color definido. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en la clase? 8 En un equipo de fútbol hay 3 jugadoras más que en su equipo rival. Si en total acuden 31 jugadoras al partido, ¿cuántas hay en cada equipo? Y si son necesarias 11 jugadoras por equipo, ¿cuántas suplentes hay en cada uno? 9 Una madre tiene 33 años y su hijo 13. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el doble que la de su hijo? 10 Dos números pares consecutivos suman 66. ¿Cuáles son esos números? < 126 >
RkJQdWJsaXNoZXIy