Matema´ ticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1 B A C H I L L E R A T O Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Ana María Gaztelu Villoria Augusto González García José Lorenzo Blanco Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra Federico Rodríguez Merinero Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN Sonia Alejo Sánchez Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno.
2 Índice Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 1 Números reales 9 1. Números racionales _ 10 2. Números irracionales _ 11 3. Números reales _ 12 4. Intervalos _ 14 5. Notación científica _ 15 6. Aproximaciones y errores _ 16 7. Acotación de errores _ 17 8. Radicales _ 18 9. Logaritmos _ 20 • Escribir números irracionales • Representar en la recta real los números de la forma n • Escribir un número en notación científica • Simplificar radicales • Operar con números decimales periódicos • Usar la propiedad distributiva para sacar factor común • Realizar operaciones combinadas con potencias 2 Matemáticas financieras 35 1. Porcentajes _ 36 2. Porcentajes encadenados _ 37 3. Interés simple _ 38 4. Interés compuesto _ 39 5. Anualidades de capitalización _ 40 6. Anualidades de amortización _ 41 7. Tasa Anual Equivalente (TAE) _ 44 8. Números índice _ 45 9. Índice de Precios de Consumo (IPC) _ 46 10. Encuesta de Población Activa (EPA) _ 47 • Calcular totales, partes y porcentajes • Resolver los problemas de porcentajes encadenados • Calcular el capital acumulado mediante anualidades de capitalización • Elaborar una tabla de números índice • Comparar mediante porcentajes • Calcular el interés en plazos distintos al anual • Calcular el tiempo de inversión a interés compuesto 3 Ecuaciones e inecuaciones 61 1. Polinomios _ 62 2. Raíces de un polinomio _ 64 3. Factorización de polinomios _ 65 4. Ecuaciones de segundo grado _ 66 5. Otros tipos de ecuaciones _ 68 6. Factorización de ecuaciones _ 69 7. Ecuaciones logarítmicas _ 70 8. Ecuaciones exponenciales _ 71 9. Inecuaciones _ 72 • Utilizar la regla de Ruffini para dividir polinomios • Calcular las raíces enteras de un polinomio • Factorizar un polinomio • Resolver ecuaciones bicuadradas • Resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales • Resolver una inecuación de primer grado con una incógnita • Resolver una inecuación de segundo grado con una incógnita • Calcular las raíces de un polinomio con un parámetro 4 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones 87 1. Sistemas de ecuaciones lineales _ 88 2. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas _ 89 3. Discusión de un sistema de ecuaciones _ 91 4. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas _ 92 5. Método de Gauss _ 93 6. Discusión de un sistema por el método de Gauss _ 94 7. Sistemas de ecuaciones no lineales _ 96 8. Sistemas de inecuaciones _ 97 • Resolver un sistema con el método de sustitución • Resolver un sistema con el método de igualación • Resolver un sistema con el método de reducción • Resolver un sistema con el método gráfico • Resolver un sistema de tres ecuaciones con el método de Gauss • Resolver un sistema expresado matricialmente por el método de Gauss • Resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita • Determinar el número de soluciones de un sistema con dos incógnitas 5 Funciones 111 1. Funciones reales de variable real _ 112 2. Dominio y recorrido _ 113 3. Simetría y periodicidad _ 114 4. Funciones polinómicas _ 115 5. Interpolación y extrapolación _ 116 6. Transformaciones de funciones _ 118 7. Funciones racionales _ 119 8. Funciones con radicales _ 120 9. Función inversa _ 121 10. Funciones exponenciales _ 122 11. Funciones logarítmicas _ 123 12. Funciones definidas a trozos _ 124 13. Operaciones con funciones _ 126 14. Composición de funciones _ 127 • Determinar el dominio de una función • Determinar la simetría de una función • Representar una función cuadrática • Calcular valores por interpolación y extrapolación lineal • Representar una función de proporcionalidad inversa • Representar la función ( ) f x x n = • Calcular la función inversa de una función • Representar una función exponencial • Representar una función logarítmica • Representar una función definida a trozos • Hallar los valores de las operaciones con funciones • Componer funciones • Calcular el dominio de funciones no elementales
3 Pract i ca las competenc ias espec í f i cas Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Clasificar números según el conjunto numérico al que pertenecen • Reconocer números en la recta real • Efectuar la unión y la intersección de dos intervalos • Calcular intervalos encajados que contengan un número irracional • Escribir ciertas expresiones mediante un solo radical • Calcular logaritmos conociendo los logaritmos de ciertos números M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Química • Astronomía • Historia • Física • Sismografía • Acústica FA K E N E W S . Estudio crítico de noticias de prensa Determinar la velocidad en un accidente de tráfico • Resolver problemas de interés compuesto con aumentos anuales de capital • Calcular el tiempo en anualidades de capitalización • Calcular anualidades de capitalización en plazos diferentes al anual • Elaborar una tabla de amortización por meses • Calcular anualidades de amortización en plazos diferentes al anual • Calcular la TAE para periodos superiores a un año • Calcular la TAE si los intereses no son anuales • Analizar cantidades a partir de la inflación • Calcular la variación de nivel adquisitivo M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Impuestos • Bolsa • Economía • Trabajo • Tarjetas de crédito FA K E N E W S . Análisis de informaciones. Educación financiera Valorar qué oferta de préstamo es mejor para el cliente • Determinar un coeficiente para que una ecuación de 2.° grado tenga un número de soluciones • Resolver ecuaciones del tipo ax2n + bxn + c = 0 • Resolver ecuaciones del tipo ( ) P x a = • Resolver ecuaciones del tipo ( ) ( ) P x Q x = • Resolver ecuaciones del tipo ( ) ( ) P x Q x = • Resolver ecuaciones del tipo ( ) ( ) ( ) P x Q x R x + = • Resolver ecuaciones mediante factorización • Resolver un problema mediante ecuaciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Consumo • Peajes • Física • Historia • Baloncesto FA K E N E W S . Análisis de informaciones con cálculos numéricos Encontrar la tarifa telefónica que mejor se adapta a tus necesidades • Resolver sistemas en función de un parámetro • Expresar las soluciones de un sistema compatible indeterminado con dos y con tres incógnitas • Discutir sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas en función de un parámetro • Resolver problemas con un sistema de ecuaciones • Resolver sistemas no lineales que contienen expresiones radicales • Resolver problemas con sistemas de inecuaciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Fútbol • Industria • Automóviles • Baloncesto • Biología • Historia FA K E N E W S . Análisis de datos Calcular el precio de un producto • Calcular valores por extrapolación cuadrática • Representar funciones del tipo f (x) = ax n con n $ 2 • Determinar la gráfica de una función a partir de transformaciones • Representar funciones del tipo kf (x) conocida la gráfica de f (x) • Representar funciones del tipo f (x) = x a k + y f (x) = x c ax b + + • Representar la gráfica de una función inversa • Representar funciones del tipo f (x) = akx • Representar funciones del tipo f (x) = ax+b + c • Representar funciones del tipo f (x) = loga kx • Representar funciones del tipo g (x) = ; f (x) ; • Representar funciones en las que interviene el valor absoluto • Expresar una función como composición de otras funciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Astronomía • Medios de transporte • Viajes • Precios • Biología • Sociedad • Física • Arquitectura FA K E N E W S . Contraste de informaciones numéricas Distinguir las capas de la atmósfera por su temperatura
4 Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 6 Límite de una función 141 1. Sucesiones. Límite de una sucesión _ 142 2. Cálculo de límites _ 144 3. Operaciones con límites _ 145 4. Indeterminaciones _ 146 5. Resolución de algunas indeterminaciones _ 147 6. Límite de una función en el infinito _ 150 7. Límite de una función en un punto _ 151 8. Ramas infinitas. Asíntotas _ 154 9. Continuidad de una función _ 156 • Calcular límites con una indeterminación del tipo 3/3 • Resolver límites con una indeterminación del tipo 3 - 3 • Calcular el límite de una función en un punto • Calcular el límite en una función definida a trozos • Resolver límites con una indeterminación del tipo 0/0 • Calcular las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función • Estudiar la continuidad de una función elemental 7 Derivada de una función 171 1. Tasa de variación media _ 172 2. Derivada de una función en un punto _ 173 3. Interpretación geométrica de la derivada _ 174 4. Función derivada _ 175 5. Derivadas de funciones elementales _ 177 6. Derivadas del producto y del cociente de funciones _ 179 7. Regla de la cadena _ 181 • Calcular la derivada y la tangente de una función en un punto • Calcular la derivada de un producto y de un cociente de funciones • Calcular la derivada de una función compuesta • Calcular el valor de un parámetro de una función conociendo su derivada en un punto • Estudiar la derivabilidad de una función en un punto dependiendo de parámetros • Calcular la tangente de una función en un punto de abscisa u ordenada conocida 8 Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones 195 1. Crecimiento y decrecimiento _ 196 2. Concavidad y convexidad _ 199 3. Representación gráfica de funciones _ 200 4. Representación de funciones polinómicas _ 202 5. Representación de funciones racionales _ 204 • Analizar la monotonía de una función • Determinar los máximos y los mínimos de una función utilizando la derivada segunda • Determinar la concavidad y la convexidad de una función • Representar una función conociendo algunas características • Representar funciones polinómicas y racionales • Estudiar la monotonía en una función definida a trozos • Resolver problemas mediante la monotonía de una función 9 Estadística bidimensional 219 1. Variable estadística unidimensional _ 220 2. Medidas de centralización _ 221 3. Medidas de dispersión _ 222 4. Variable estadística bidimensional _ 223 5. Diagrama de dispersión _ 225 6. Correlación _ 226 7. Regresión _ 228 8. Estimación de resultados _ 230 9. Estadística con calculadora _ 231 • Calcular la covarianza • Calcular e interpretar el coeficiente de correlación • Determinar y representar las rectas de regresión • Estimar valores utilizando las rectas de regresión • Trabajar la estadística bidimensional con la calculadora • Trabajar la estadística unidimensional con la calculadora • Interpretar las medidas estadísticas en una variable unidimensional • Agrupar los datos de variables bidimensionales en intervalos 10 Probabilidad 245 1. Experimentos aleatorios _ 246 2. Sucesos. Operaciones con sucesos _ 248 3. Frecuencia y probabilidad _ 250 4. Propiedades de la probabilidad _ 251 5. Regla de Laplace _ 252 6. Probabilidad condicionada _ 253 7. Tablas de contingencia _ 254 8. Dependencia e independencia de sucesos _ 255 • Determinar el espacio muestral con un diagrama de árbol • Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace • Calcular probabilidades con una tabla de contingencia • Utilizar métodos de conteo para calcular posibilidades • Calcular el número total de sucesos si el número de sucesos elementales es finito • Hallar el espacio muestral de un experimento con una tabla de doble entrada 11 Distribuciones binomial y normal 269 1. Variables aleatorias _ 270 2. Distribuciones discretas _ 272 3. Distribución binomial _ 273 4. Distribuciones continuas _ 276 5. Distribución normal _ 277 6. Aproximación de la binomial _ 279 • Construir una variable aleatoria a partir de un experimento • Calcular la función de probabilidad y la función de distribución de una variable aleatoria discreta • Determinar si una variable aleatoria sigue una distribución binomial y hallar su función de probabilidad • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución binomial directamente o por medio de tablas • Calcular la función de distribución de una variable aleatoria continua • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución normal por medio de tablas • Calcular probabilidades en una variable aleatoria binomial aproximándola a una normal Índice
5 Pract i ca las competenc ias espec í f i cas Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Determinar el límite de un cociente de polinomios con radicales • Calcular un límite que presenta una indeterminación del tipo 0/0 cuando hay radicales • Representar una función conociendo sus asíntotas y sus puntos de corte • Determinar el signo de las ramas infinitas de una función racional • Determinar si una función racional tiene asíntotas horizontales y oblicuas • Hallar asíntotas horizontales de funciones del tipo (P(x)/Q(x))R(x) con una indeterminación del tipo 13 • Estudiar la continuidad de una función definida a trozos • Calcular el valor de un parámetro para que una función sea continua M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Ecología • Historia • Precios • Filosofía • Medicina FA K E N E W S . Reflexión sobre situaciones paradójicas Determinar a qué siglo pertenece un año • Determinar las tangentes de una función con pendiente m • Calcular la tangente a un punto de un lugar geométrico • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = g (x)n y f (x) = a g(x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = ln g (x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = sen g (x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = arc cos g (x) • Calcular la derivada de una función del tipo f (x) = g (x)h(x) • Calcular la derivada de la composición de tres funciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Física • Aviación • Cinética • Seguridad FA K E N E W S . Análisis de gráficas Comprender el concepto de coste marginal en economía • Determinar los parámetros de una función de la que se conocen un máximo o un mínimo • Determinar una función conociendo algún máximo o mínimo • Estudiar el crecimiento y el decrecimiento en una función a partir de la gráfica o de la expresión algebraica de su derivada • Determinar la concavidad y convexidad de una función definida a trozos o a partir de su representación gráfica • Estudiar la posición de la gráfica respecto a una asíntota horizontal o vertical M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Medicina • Edición • Fútbol • Naturaleza FA K E N E W S . Estudio de las pendientes en una gráfica Diseñar una montaña rusa • Interpretar una tabla de doble entrada • Representar variables bidimensionales a partir de la tabla de frecuencias • Calcular el coeficiente de correlación en tablas de doble entrada agrupadas en intervalos • Calcular la recta de regresión con la calculadora • Determinar la media a partir de la recta de regresión • Determinar e interpretar el signo del coeficiente de correlación a partir de la recta de regresión M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Biología • Medioambiente • Biodiversidad • Trabajo • Economía FA K E N E W S . Contrastar medidas estadísticas Tomar decisiones • Calcular probabilidades experimentalmente y utilizando sus propiedades • Resolver problemas de probabilidad con sucesos compuestos • Calcular la probabilidad de la intersección de sucesos utilizando un diagrama de árbol • Utilizar la regla del producto en experimentos con reemplazamiento • Calcular probabilidades de sucesos compuestos • Calcular probabilidades condicionadas de sucesos compuestos M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Comercio • Sociología • Globalización • Política FA K E N E W S . Investigación sobre los mitos de la lotería Comprender el diseño del juego del dominó • Calcular los parámetros de una variable aleatoria con distribución binomial • Determinar un parámetro para que una función sea función de densidad • Calcular la probabilidad de que Z = N(0, 1) sea mayor que un valor positivo • Calcular la probabilidad de que Z = N(0, 1) esté entre dos valores • Calcular la probabilidad de que Z = N(0, 1) sea menor o mayor que un valor negativo • Calcular un punto conociendo la probabilidad • Tipificar una variable aleatoria • Calcular uno de los parámetros, conociendo el otro y una probabilidad • Calcular la media y la desviación típica, conociendo dos probabilidades • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución binomial con n grande M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Tráfico • Acuicultura • Consumo • Transportes FA K E N E W S . Análisis y contraste de datos Realizar el control de calidad de un proceso de fabricación industrial
Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Funciones 5 Cuenta la leyenda que en el país de las Maravillas se reunían cada año todos los magos y las magas y organizaban una fiesta . Al final , participaban en un torneo en el que se sentaban formando un círculo. Se numeraban todas las personas y la primera cogía la única varita mágica del torneo. A continuación , esta persona hacía desaparecer a la segunda y pasaba la varita mágica a la tercera . La tercera hacía desaparecer a la cuarta y pasaba la varita mágica a la quinta . Así seguían haciéndolo hasta que solo quedaba un mago o maga , que ganaba el torneo. Visto y no visto D E SA F Í O El primer año se presentaron 13 personas al torneo y la joven Alicia fue la ganadora. ¿En qué posición se puso? Si el segundo año se presentaron 100 personas y también ganó Alicia, ¿en qué posición comenzó? Alicia siempre conseguía ganar, sin importar cuántas personas se presentaran. ¿Cómo sabía en qué posición debía colocarse? 111 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 111 13/06/2022 15:38:34 E J E M P LO 3. Esta es la gráfica en el intervalo [0, 5] de una función de periodo 5. Representa gráficamente la función para cualquier valor de x. Se desplaza la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha del intervalo representado. 3.2. Funciones periódicas Una fun c i ón e s p er i ó di ca, d e p e r i o do T (T > 0 ) , si su g rá f i ca s e re pi t e en inter valos de longitud T. Así , conocida su gráfica en un inter valo de longitud T, se puede construir el resto trasladándola a la derecha y a la izquierda en todo el dominio. G E O G E B R A 3. Simetría y periodicidad Determinar la simetría de una función Estudia la simetría de estas funciones. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primero. Se sustituye x por -x en la expresión algebraica de la función. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segundo. Se comprueba si esta función es igual a la primera o a su opuesta. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) es simétrica respecto del origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) es simétrica respecto del eje Y. 5 Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gráfica de esta función periódica de periodo 3. A C T I V I D A D E S 3.1. Funciones simétricas Dada una función f de variable real , se dice que es: Simétrica respecto del eje Y, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = f (x). Estas funciones también se denominan funciones pares. Simétrica respecto del origen de coordenadas, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = -f (x). Estas funciones también se denominan funciones impares. G E O G E B R A x X Y Función par f (-x) = f (x) -x X Y Función impar f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 D A T E C U E N T A Hay funciones que no son pares ni impares. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Esta expresión no coincide con la expresión de f(x) ni con la expresión de -f (x). 114 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 114 13/06/2022 15:38:46 4.1. Funciones polinómicas de primer grado Características Si m = 0, la función f (x) = n se denomina función constante, y su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, n). Si n = 0, la función f (x) = mx se denomina función lineal, y su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el origen de coordenadas. Si m ! 0 y n ! 0, su gráfica es una recta creciente si m > 0 o decreciente si m < 0 que corta al eje Y en el punto (0, n). 4.2. Funciones polinómicas de segundo grado Características El dominio de una función cuadrática es R. El vértice de la parábola es , V a b a b ac 2 4 4 2 - - - e o . Si a > 0, el vértice es un mínimo. Si a < 0, el vértice es un máximo. Cuanto mayor sea ;a;, más cerradas están las ramas de la parábola. 7 Representa, sobre los mismos ejes, las funciones f(x) = 3x - 1 y g(x) = 5x + 4. Halla el punto en el que se intersecan las dos funciones. 8 Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas. a) f(x) = -3x2 - x - 1 b) f(x) = x2 - x - 2 A C T I V I D A D E S D A T E C U N T A Hay funciones qu no so pares ni impares. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Esta expresión no coi cide con la expresión de f(x) ni con la expresión de -f (x). 5 4. Funciones polinómicas Mínimo Máximo a < 0 a > 0 Y X m > 0 y = mx + n y = n m = 0 m < 0 y = mx n Y X Y X 1 f(x) = -x2 + 4x - 1 1 Las funciones polinómicas de primer grado se denominan funciones afines y son del tipo f (x) = mx + n. Su gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen. Las funciones polinómicas de segundo grado se denominan funciones cuadráticas y son del tipo f (x) = ax2 + bx + c, con a ! 0. Su gráfica es una parábola . Representar una función cuadrática Representa gráficamente la función f ( x) = -x 2 + 4x - 1. primero. Se calcula el vértice de la parábola y se estudia si es un máximo (a < 0) o un mínimo (a > 0). ? ( ) ( , ) a b f V v v v 2 2 4 2 2 4 2 1 3 2 3 x y x 2 = - = - - = = = - + - = " 4 a < 0 " máximo segundo. Se construye una tabla con valores alrededor del vértice y se representa la parábola. x 0 1 2 3 4 f (x) -1 2 3 2 -1 115 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 115 13/06/2022 15:38:50 a c t i v i da d e s r e s u e lta s Función inversa Dibuja la gráfica de la función f(x) = 2x y la gráfica de su función inversa. primero. Se dibuja la gráfica de la función y = x, que es la bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes. segundo. Se representa la gráfica de f(x) y su simétrica con respecto a esa recta. Y X 1 1 f -1(x) = log 2 x f (x) = 2x PRACTICA 39. Representa la gráfica de las funciones inversas de estas funciones. a) ( ) f x x2 = b) ( ) ( ) f x x 1 log = - Representar la gráfica de una función inversa Función exponencial Representa gráficamente estas funciones. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primero. Se escribe la función como f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segundo. Se representa la función resultante como una función exponencial del tipo f (x) = ax. PRACTICA 40. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funciones del tipo ( ) f x akx = Función valor absoluto Función exponencial Representa gráficamente la función ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primero. Se expresa la función que se quiere representar en función de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segundo. Se obtiene la gráfica de la función desplazando la gráfica de ( ) f x ax = en horizontal y en vertical. f (x - 2) " Se desplaza f (x) hacia la derecha 2 unidades. f (x - 2) - 1 " Se desplaza f (x - 2) hacia abajo 1 unidad. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 41. Representa gráficamente la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funciones del tipo ( ) f x a c x b = + + Función valor absoluto Función logarítmica Representa gráficamente las siguientes funciones. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primero. Se aplican las propiedades de los logaritmos. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segundo. Se representan las funciones haciendo las transformaciones necesarias sobre la gráfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 42. Dibuja la gráfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funciones del tipo f(x) = loga kx g(x) h(x) 1 1 Y X G E O G E B R A 130 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 130 13/06/2022 15:40:50 5 Funció valor bsolut Representa gráficamente la función ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gráfica, escribe su expresión como una función definida a trozos. primero. Se representa la función sin el valor absoluto. ( ) f x x x 4 2 = - + es una función cuadrática; por tanto, se determina su vértice y si es un máximo o un mínimo. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Como a = -1 < 0, el vértice es un máximo. segundo. Se dibujan las figuras simétricas, con respecto al eje X, de las partes de la gráfica que correspondan a valores negativos de la función. tercero. Se escribe la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los puntos de corte con los ejes. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 43. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x x x 3 ; ; = - en el intervalo [-3, 3]. Representar funciones del tipo ( ) ( ) g x f x ; ; = Funció valor bsolut Dibuja la gráfica de la siguiente función. g(x) = x2 - 4;x; primero. Se define la función a trozos teniendo en cuenta que ;x; es x cuando es un número positivo y es -x cuando es negativo. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segundo. Se representa la función definida a trozos en cada uno de los tramos. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 44. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funciones en las que interviene el valor absoluto Composición de funciones Expresa esta función como composición de funciones más sencillas. h(x) = 2 + ln (x2 - 1) primero. Se divide la función en funciones más sencillas. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = 2 + x segundo. Se componen las funciones para comprobar que el resultado es igual a la función inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = 2 + ln(x2 - 1) = h(x) F h3(x) = 2 + x PRACTICA 45. Expresa estas funciones como composición de funciones más sencillas. a) f(x) = 2ex+1 b) ( ) f x x 1 1 = - Expresar una función como composición de otras funciones f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X 131 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 131 13/06/2022 15:40:57 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL utilizando GeoGebra para investigar y manipular algunos contenidos. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Ayúdate de tu razonamiento y PIENSA para descubrir algunas propiedades y aplicaciones de esos saberes. Afianza los saberes básicos aprendiendo, paso a paso, métodos generales para las destrezas básicas que necesitas aprender. Aprende a partir de textos claros y estructurados. 6
-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa de ozono (km) L a a tm ó s f e ra d e l a Ti e r ra e s u n a m e z c l a d e v a r i o s g a s e s , principalmente nitrógeno (78 %), oxígeno (21 %), argón , dióxi do de carbono y vapor de agua . Estos gase s rodean cons - tantemente la atmósfera debido a que el campo gravitatorio impi de que se escapen . L a atmósfera se div i de en capas, en l as qu e l a t emp eratura var í a de forma si gni f i cat iva . D i chas capas son : Tropo sfera : formad a p or el ai re situado en lo s pr imero s ki lómetros de l a atmósfera cal entado desde abajo, por lo que la temperatura disminuye a razón de 6 °C por cada kilómetro que se asciende. Su espesor varía entre 8 y 17 km. En esta capa ocurre la mayor parte de los fenómenos del clima . E st ra to sf e ra : s e ubi c a p o r en c ima d e l a t rop o sf e ra y en el l a l a t emperatura aumenta desde -53 °C hasta 20 °C a unos 50 km. Su espesor varía entre los 17 km de los polos y los 35 km del ecuador. Mesosfera : en esta capa la temperatura vuelve a disminuir c on l a altura , qu e va d e sd e uno s 50 km ha st a aprox imad ament e 90 km , c omo re sult ado d el rápi do d e sc ens o d e la densidad del aire. Te rmo sf e ra : e n e st a c ap a l a t emp e ra tu ra aum e n t a c on la altura y puede l legar a presentar temperaturas de hasta 1 500 °C cuando el Sol está activo. La termosfera incluye a la ionosfera , que es donde se producen las auroras polares. E xo sfera : e st á lo cal i zad a en alt itud e s p or enc ima d e lo s 950 km. Es la zona de transición entre la atmósfera terrestre y el espacio interplanetario. ¿ PA R A Q U É S I RV E N L A S F U N C I O N E S ? 5 L E E Y C O M P R E N D E 1 ¿Cuál es el espesor de la estratosfera en el ecuador? 2 ¿Qué relación hay entre la temperatura y las capas de la atmósfera? 3 ¿En qué capa se registra la menor temperatura? I N T E R P R E TA 4 De acuerdo con el gráfico, ¿qué temperatura tiene la atmósfera a 110 km de altura? R E F L E X I O N A 5 ¿Dónde se encuentra la capa de ozono? Investiga cuál es la actual situación de la capa de ozono y por qué resulta tan importante su recuperación y conservación. A P L I C A 6 Si se asume que la temperatura a nivel del mar es de 20 °C, ¿qué temperatura deberá tener aproximadamente la cima del Everest, a 8 848 m de altura? Entre otras muchas cosas… Para distinguir las capas de la atmósfera por su temperatura 140 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 140 13/06/2022 15:42:17 2. Selecciona de manera adecuada ejes, unidades, dominio y escalas Funciones polinómicas 61 Asocia cada función con su gráfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2 x2 62 Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 x2 - 2 x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I D A D E S F L A S H 63 Representa, sin completar las tablas de valores correspondientes, las funciones lineales y afines. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 64 Escribe la expresión algebraica de estas funciones y calcula su pendiente y su ordenada en el origen. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 65 Representa estas funciones en los mismos ejes de coordenadas y relaciona la abertura de las ramas de cada parábola con el coeficiente de x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 x2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 66 Halla el vértice de estas parábolas. a) f (x) = x2 - 6x + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4x + 10 d) f (x) = -x2 - 4x + 2 67 I N V E N TA . Escribe la ecuación de tres parábolas cuyo vértice sea (2, 3). a c t i v i da d e s f i n a l e s 1. Reconoce analítica y gráficamente las funciones elementales 46 Di si estas gráficas corresponden a una función. a) c) b) d) Y X Y X Y X Y X A C T I V I D A D E S F L A S H 47 I N V E N TA . Esboza una gráfica que pueda ser la representación de una función y otra que no pueda serlo. 48 Realiza una tabla de valores y representa estas funciones. a) Cada número entero se relaciona con su número de divisores positivos. b) Cada número real se relaciona con su parte entera. c) A cada real le corresponde él menos su valor absoluto. d) A cada número le corresponde el valor 2. 49 A lo largo de un día se mide la longitud, en metros, de la sombra que proyecta una farola desde el amanecer hasta que anochece. Las medidas, tomadas cada dos horas, desde las 6:00 h, son estas: 0 25 17 5 2 6 19 32 0 a) ¿Crees que esta relación define una función? b) Si es así, identifica sus variables. 50 Comprueba si los puntos x = -3, x = 0, x = 2 pertenecen al dominio de estas funciones. a) f (x) = x2 - 2 x + 1 c) ( ) f x x 2 1 = - + b) ( ) f x x x x 3 3 1 2 = + - d) ( ) ( ) f x x 4 ln = - - 51 Determina si estas funciones tienen simetrías. a) f (x) = x3 - 3x c) f (x) = x2 - x b) f (x) = x4 - 1 d) f (x) = x4 - 2 x2 52 Determina el tipo de simetría de estas funciones. a) ( ) f x x x x 3 2 = - b) ( ) f x x x x 1 2 2 3 = + - 53 I N V E N TA . Dibuja una función f (x) de simetría impar que pase por (2, 0) de tal forma que f (x + 3) sea una función par. 54 Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas funciones. a) y = 3, y = 2, y = -5 para ( ) f x x 3 3 = - b) y = 0, y = 30, y = -3 para f (x) = x2 - 5x + 6 55 M AT E M ÁT I C A S . . . Y A S T R O N O M Í A . Considera la función que relaciona el tiempo, en días, con la superficie visible de la Luna. ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica el periodo. 56 Determina el periodo de estas funciones. a) 1 1 Y X b) X Y 1 1 c) X Y 1 -1 r 2 r 57 I N V E S T I G A . Una función f (x) toma todos los valores entre 0 y 1 pero ningún otro. ¿Cuál de las siguientes funciones toma todos los valores entre -1 y 1? a) f (x) - 1 b) f (x) + 1 c) 2f (x) - 1 d) 2f (x) + 1 58 El dominio de una función f es [0, 2], y su recorrido, [0, 1]. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función g(x) = 1 - f (x + 1)? 59 R E T O . La función f toma solamente valores mayores o iguales que cero y satisface las dos condiciones siguientes: f (1) = 2, f (x + y) = f (x) · f ( y). ¿Cuánto vale f 2 1 e o? 60 R E T O . Sea ( ) ( ) f x x x x x f x 1 6 2 2 + + = + e o . ¿Cuánto es f (4)? I N T E R N E T Día % de visibilidad Tipo de luna 0 50 % Creciente 3 81 % Creciente 7 100 % Luna llena 11 81 % Menguante 15 39 % Menguante 21 0 Luna nueva 132 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 132 13/06/2022 15:41:10 2. Selecciona de maner adecuada ejes, unidades, ominio y escalas Funciones polinóm cas 61 Asocia cada función con su gráfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2x2 62 Relaciona cada gráfica con su expresión algebr ica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 2 - x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I D A D E S F L A H 63 Representa, in completar las b de v lor s corresp ndientes, las funciones l neales y fines. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 64 Escribe la expresión algebr ica de estas funciones y calcula su pendiente y su ordenada el orig n. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 65 Representa estas funciones en lo mismos ejes de coordenadas y rel ciona la abertura de las ramas de c da parábol con el eficiente d x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 66 Halla el vértice de estas parábol s. a) f (x) = x2 - 6 + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4 + 10 d) f (x) = -x2 - 4 + 2 67 I N V E N TA . Escribe la ecuación de tres parábol s cuyo vértice sea (2, 3). 68 Representa las siguientes funciones polinómicas, indicando los puntos de corte con los ejes. a) f(x) = 4x2 + 4x + 1 b) f(x) = x3 - x2 - 9x + 9 c) f(x) = x3 - 2 x2 - 7x - 4 d) f(x) = x3 - 2 x2 - 2 x - 3 69 Representa la función y = x2. A partir de ella, dibuja las gráficas de estas funciones polinómicas. a) f(x) = (x - 2)2 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = (x + 3)2 ¿Qué relación guardan las gráficas de las últimas tres funciones con la gráfica de la primera? 70 Haz la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 x. Determina la expresión algebraica de cada una de las siguientes funciones y represéntalas. a) f(x - 2) c) f(x + 1) b) f(x) - 4 d) f(x) + 2 ¿Hay alguna relación entre estas gráficas? 71 Obtén la expresión algebraica y representa la función cuadrática que pasa por los puntos A(1, -2), B(2, -2) y C(3, 0). 72 Halla y representa las funciones polinómicas de grado mínimo que pasan por los siguientes puntos. a) A(0, 0), , B 5 2 5 e o y C(-2, -1) b) A(3, 0), B(4, 1) y C(5, 0) c) A(1, 0), B(2, 1), C(3, 0) y D(4, 1) 73 R E T O . Si ( ) f x px qx rx 4 7 3 = + + - y ( ) f 7 3 - = , ¿cuánto vale ( ) f 7? Interpolación y extrapolación 74 Sabemos que 64 4 3 = y que 125 3 = 5. a) Halla 99 3 por interpolación. b) Si conocemos también que 8 2 3 = , halla 99 3 por interpolación cuadrática. c) Calcula, con ayuda de la calculadora, el valor exacto de 99 3 y comprueba cuál de los dos valores encontrados es mejor aproximación. 75 La evolución de la población de un pequeño pueblo durante 5 años se muestra en la siguiente tabla. Año 2016 2017 2018 2019 2020 Habitantes 314 307 291 291 282 a) Utiliza la extrapolación lineal y di cuántos habitantes se espera que tenga en 2021. b) ¿Cuántos habitantes tendría si utilizas para el cálculo una extrapolación cuadrática? c) Halla mediante una extrapolación lineal y cuadrática el número de habitantes en 2015. 5 133 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 133 13/06/2022 15:41:15 a c t i v i da d e s f i n a l e s 129 El precio en euros de un artículo perecedero que empieza a venderse el primer día de un determinado mes varía con el tiempo, en días, según la función: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo? b) Dibuja la gráfica de la función P(t). 130 M AT E M ÁT I C A S Y. . . B I O L O G Í A . La dinámica de poblaciones es una rama de la biología que, con el auxilio de las matemáticas, trata de describir y cuantificar los cambios que ocurren en una población. El desarrollo de una población de peces viene modelado por la función ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , con t 0 $ . En el modelo, P(t) es el tamaño de la población en toneladas y t el número de años después del instante inicial. a) Determina cuántos años deben transcurrir para que la población de peces llegue a las 15 toneladas. b) ¿Puede suceder que la población sobrepase alguna vez las 20 toneladas? 131 M AT E M ÁT I C A S Y. . . S O C I E D A D . Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días transcurridos desde el tsunami. a) ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día? b) ¿Y cuántas habrá al cabo de tres semanas? c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de 2 000 camas, ¿hasta qué día estuvo desbordada la capacidad? 132 M AT E M ÁT I C A S Y. . . F Í S I C A . Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto sigue la función f (t) = T + (C - T) ? e-kt, donde T es la temperatura ambiente, C la temperatura inicial, t el tiempo transcurrido y k la tasa de enfriamiento del objeto por unidad de tiempo. Un objeto con una temperatura de 40 °C se deja al aire libre, donde la temperatura es de 25 °C, y después de 10 minutos la temperatura del objeto es de 34 °C. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el objeto se enfríe hasta tener una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 133 Nina y Simón compiten en una carrera ciclista de ida y vuelta entre dos ciudades. A la ida Nina va a 25 km/h y a la vuelta, ya cansada, a 15 km/h. Simón, sin embargo, va a 20 km/h todo el rato. a) ¿Quién gana? b) ¿Hay alguna forma de que Nina, yendo más rápida a la ida y más lenta a la vuelta, gane a Simón teniendo en cuenta que la media de las dos velocidades de Nina es 20 km/h? 134 En una carrera de 1 000 metros, Mamen saca 50 metros de ventaja a Camilo. En la próxima carrera, Mamen saldrá 50 metros por detrás de Camilo. a) ¿Es suficiente para que lleguen a la vez a la meta? b) Si no lo es, ¿cuántos metros serían necesarios? 135 Considera una piscina de agua llena hasta el borde en la que se abre una válvula para vaciarla. La altura (en metros) del agua de la piscina viene dada por esta función: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - con t el tiempo (en minutos) desde que se abre la válvula. Determina tras cuánto tiempo la altura del agua es la mitad de la altura de la piscina. 136 Tras lanzar un globo aerostático, su altura, en metros, viene determinada por la función: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - para [ , ] t 0 5 ! , con t en minutos a) Halla los metros que sube el globo en el primer minuto. b) Cuando el globo se encuentra entre 12 y 20 metros de altura, se destapan dos paneles publicitarios. ¿Durante cuántos segundos se verá la publicidad? 137 Estáis organizando el viaje de fin de curso para tu clase. Agencia 1. Si el número de estudiantes que va al viaje es de 40 o menos, cada uno pagará 200 €. Si es superior a 40, se descontará un 10 % a cada uno. Agencia 2. Si completan un autobús de 60 personas, el precio será 150 € por persona. Por cada asiento vacío en el autobús, se incrementará el precio un 1 % a cada persona. ¿Qué agencia os conviene? P R O B L E M A S A P A R E N T E M E N T E D I S T I N T O S 140 Considera la siguiente función. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Halla el dominio de la función. b) Calcula f -1(x). 141 El número de días que necesita una población de plancton para llegar a pesar x microgramos viene dado por ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) ¿Entre qué valores varía el peso? b) Indica el peso en función del tiempo. 142 Sea la función: f (x) = 200 · b x a) ¿Cuál es la variable independiente? b) Sean b = 2,5 y g(x) = 20 000, determina el valor de x para que se cumpla f (x) = g(x). c) Indica los posibles valores de b para que f (x) sea decreciente. 143 El ritmo básico de reproducción, RO, de un virus en una región es 2,5. Es decir, cada persona enferma infecta a otras 2,5. Si el primer día había 200 personas enfermas, expresa el número de infectados en función del tiempo. a) ¿Cuál es la variable independiente? b) ¿Cuándo se alcanzaron 20 000 infectados? c) ¿En qué intervalo debe estar el RO para que la epidemia esté controlada? 144 Considera las funciones: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Halla ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 145 Dayana infla su balón de playa para jugar con él. a) Halla el radio del balón en función del volumen. b) Se le pincha y comienza a desinflarse. La medida de su radio sigue la función ( ) t t g 50 000 = , t > 10, con t en minutos. Indica el radio en función del tiempo. I N T E R N E T 138 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 138 13/06/2022 15:42:12 138 M AT E M ÁT I C A S Y. . . A R Q U I T E C T U R A . En la figura está representado un puente peatonal sobre el río Sella. Considerando O el origen de coordenadas, el arco del puente viene dado por ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , con [ , ] x 0 7 ! . a) Sea S el punto sobre el segmento OR que verifica la ecuación ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resuelve la ecuación e interpreta la solución en el contexto del problema. b) En el puerto, junto al puente, hay un barco de vela cuyo mástil mide 6 metros desde el punto más alto hasta el agua. ¿Podrá pasar bajo el puente? 139 En un lago existe una especie de pez grande que se alimenta de una raza de peces más pequeña, y esta, a su vez, se alimenta de plancton. El número de peces grandes es una función f (x) de la cantidad x de peces pequeños y el número de peces pequeños es una función g( y) de la cantidad y de plancton del lago. Expresa la población de peces grandes en función del plancton del lago si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 5 P R O B L E M A S P A R E N T E M E N T E D I S T N O S 140 Considera la siguiente fu ción. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Halla el domini de la función. b) Calcula f -1(x). 141 El número d días que nec sita una pobl ción de plancton para llegar a pes r x microgramos viene dado por ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) ¿Entre qué valores va ía el peso? b) Indica el peso en función del tiempo. 142 Sea la función: f (x) =200 · b x a) ¿Cuál es la vari ble indepe iente? b) Sean b = 2,5 y g(x) = 20 000, determina el valor de x para que se cumpla f (x) = g(x). c) Indica los posibles va ores de b para que f (x) sea decreci nt . 143 El ritmo básico de reproducción, RO, de un vir s en na región es 2,5. Es decir, cada persona enferma infecta a o ras 2,5. Si el pr mer día habí 200 personas e fermas, expresa el número de infectados en función del tiempo. a) ¿Cuál es la vari ble indepe iente? b) ¿Cuándo se alcanz ro 20 000 infectados? c) ¿En qué intervalo debe estar l RO para que la epidemia sté controlada? 144 Considera las funciones: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Halla ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 145 Dayana infla su b lón de playa ra jugar con él. a) Halla el radio del balón en función del volumen. b) Se le pincha y omienza a desinflar e. L medida de su radio sigue la f nción ( ) t t g 50 000 = , t > 10, con t en minutos. Indica el radio en función del tiempo. ¿Baja el paro? Un estudio sobre la repercusión del turismo en la costa española asegura que durante los días festivos se crean cerca de 10 000 nuevos puestos de trabajo en el sector. Los últimos datos del Ministerio de Trabajo muestran que en el mes de junio se contrataron 40 000 personas en hostelería en la costa, a pesar de que solo hubo dos días festivos. La oposición asegura que los datos están manipulados de cara a las próximas elecciones. Y tú, ¿qué opinas? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 139 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 139 13/06/2022 15:42:16 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 PASA A LA ACCIÓN: PARA QUÉ SIRVEN... 5 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver actividades utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Encuentra aplicaciones de los contenidos que has estudiado y comprende cómo se utilizan y PARA QUÉ SIRVEN en la vida real. Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones que aparecen en distintos medios. Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… 7
Números reales 1 En la actualidad es innegable el poder que las redes sociales ejercen en la población . Este hecho ha provocado que miles de personas en todo el mundo se dediquen a explotar económicamente su habilidad para inf luir en el comportamiento de la gente. A estas personas se las conoce como inf luencers. En un acto público, diez inf luencers han recibido otros tantos premios por su labor social en las redes. Acuerdan repartir los premios de una original forma : cada uno de ellos, comenzando por el que lleva menos tiempo en el oficio y terminando por el que más, hará una propuesta y se someterá a votación entre todos, de manera que, si al menos el 50 % vota a favor, el reparto se llevará a cabo, y si no es así , el inf luencer será expulsado de la red social y el siguiente hará su propuesta . El poder de la mayoría Encuentra la propuesta adecuada para que lo que proponga el primer influencer sea aceptado y, además, sea lo más beneficioso para él. Observaciones importantes Ten en cuenta que, dependiendo de cada propuesta, no todos los influencers tienen que tener premio y el reparto entre los que lo reciban no tiene por qué ser equitativo. Además, evidentemente, ninguno votará una propuesta que lo expulse de la red social ni con la que reciba menos premios que los otros. D E SA F Í O 9
El conjunto Q, de los números racionales, está formado por todos aquellos números que se pueden escribir como una fracción b a , donde a y b son números enteros y b es distinto de 0. Cada conjunto de fracciones equivalentes representa un único número racional . Cualquier fracción del conjunto es un representante del número racional , y la fracción irreducible con denominador positivo es el representante canónico. L a e xpre si ón d e c ima l d e un núm e ro ra c i ona l qu e se o bt i en e div i di endo e l numerador entre el denominador puede ser un número ent ero o un número decimal exacto o periódico. Recíprocament e, cualqui er número decimal de est e tipo se pu ede escri bir en forma de fracción y, por t anto, es un número racional . E J E M P LO 1. Clasifica los números racionales y pon ejemplos. : , ; , ; : , ; , ; , , , , , , 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 33 1 6 3 145 Números racionales Números enteros Números naturales: … El número cero: Enteros negativos: … Números decimales Decimales exactos … Decimales periódicos … - - - - - * * * ! # E J E M P LO 2. El número racional 3 2 está formado por la fracción 3 2 y todas sus fracciones equivalentes. ¿Cuál es su representante canónico? , , , , , , , 3 2 9 6 6 4 3 2 3 2 6 4 9 6 … … = - - - - - - ) 3 La fracción irreducible con denominador positivo es 3 2 ; por tanto, es el representante canónico del conjunto de fracciones. 1. Números racionales Todo número entero m se puede escribir como una fracción. m m 1 = R E C U E R D A Dos fracciones b a y d c son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico. ? ? b a d c a d b c = = " R E C U E R D A 1 Calcula el representante canónico de estos números. a) 24 16 - b) 39 18 c) 60 24 - - 2 Escribe dos representantes de los números racionales. a) 12 7 b) 2 9 c) 25 8 3 H alla cuántos números racionales distintos hay en esta secuencia. , 3 5 3 5 3 5 3 5 6 10 1 6 - - - ! 4 U na fracción que tenga un término negativo y otra que tenga sus dos términos positivos, ¿pueden ser representantes del mismo número racional? A C T I V I D A D E S 10
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