Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Funciones 5 Cuenta la leyenda que en el país de las Maravillas se reunían cada año todos los magos y las magas y organizaban una fiesta . Al final , participaban en un torneo en el que se sentaban formando un círculo. Se numeraban todas las personas y la primera cogía la única varita mágica del torneo. A continuación , esta persona hacía desaparecer a la segunda y pasaba la varita mágica a la tercera . La tercera hacía desaparecer a la cuarta y pasaba la varita mágica a la quinta . Así seguían haciéndolo hasta que solo quedaba un mago o maga , que ganaba el torneo. Visto y no visto D E SA F Í O El primer año se presentaron 13 personas al torneo y la joven Alicia fue la ganadora. ¿En qué posición se puso? Si el segundo año se presentaron 100 personas y también ganó Alicia, ¿en qué posición comenzó? Alicia siempre conseguía ganar, sin importar cuántas personas se presentaran. ¿Cómo sabía en qué posición debía colocarse? 111 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 111 13/06/2022 15:38:34 E J E M P LO 3. Esta es la gráfica en el intervalo [0, 5] de una función de periodo 5. Representa gráficamente la función para cualquier valor de x. Se desplaza la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha del intervalo representado. 3.2. Funciones periódicas Una fun c i ón e s p er i ó di ca, d e p e r i o do T (T > 0 ) , si su g rá f i ca s e re pi t e en inter valos de longitud T. Así , conocida su gráfica en un inter valo de longitud T, se puede construir el resto trasladándola a la derecha y a la izquierda en todo el dominio. G E O G E B R A 3. Simetría y periodicidad Determinar la simetría de una función Estudia la simetría de estas funciones. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primero. Se sustituye x por -x en la expresión algebraica de la función. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segundo. Se comprueba si esta función es igual a la primera o a su opuesta. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) es simétrica respecto del origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) es simétrica respecto del eje Y. 5 Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gráfica de esta función periódica de periodo 3. A C T I V I D A D E S 3.1. Funciones simétricas Dada una función f de variable real , se dice que es: Simétrica respecto del eje Y, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = f (x). Estas funciones también se denominan funciones pares. Simétrica respecto del origen de coordenadas, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f (-x) = -f (x). Estas funciones también se denominan funciones impares. G E O G E B R A x X Y Función par f (-x) = f (x) -x X Y Función impar f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 D A T E C U E N T A Hay funciones que no son pares ni impares. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Esta expresión no coincide con la expresión de f(x) ni con la expresión de -f (x). 114 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 114 13/06/2022 15:38:46 4.1. Funciones polinómicas de primer grado Características Si m = 0, la función f (x) = n se denomina función constante, y su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, n). Si n = 0, la función f (x) = mx se denomina función lineal, y su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el origen de coordenadas. Si m ! 0 y n ! 0, su gráfica es una recta creciente si m > 0 o decreciente si m < 0 que corta al eje Y en el punto (0, n). 4.2. Funciones polinómicas de segundo grado Características El dominio de una función cuadrática es R. El vértice de la parábola es , V a b a b ac 2 4 4 2 - - - e o . Si a > 0, el vértice es un mínimo. Si a < 0, el vértice es un máximo. Cuanto mayor sea ;a;, más cerradas están las ramas de la parábola. 7 Representa, sobre los mismos ejes, las funciones f(x) = 3x - 1 y g(x) = 5x + 4. Halla el punto en el que se intersecan las dos funciones. 8 Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas. a) f(x) = -3x2 - x - 1 b) f(x) = x2 - x - 2 A C T I V I D A D E S D A T E C U N T A Hay funciones qu no so pares ni impares. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Esta expresión no coi cide con la expresión de f(x) ni con la expresión de -f (x). 5 4. Funciones polinómicas Mínimo Máximo a < 0 a > 0 Y X m > 0 y = mx + n y = n m = 0 m < 0 y = mx n Y X Y X 1 f(x) = -x2 + 4x - 1 1 Las funciones polinómicas de primer grado se denominan funciones afines y son del tipo f (x) = mx + n. Su gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen. Las funciones polinómicas de segundo grado se denominan funciones cuadráticas y son del tipo f (x) = ax2 + bx + c, con a ! 0. Su gráfica es una parábola . Representar una función cuadrática Representa gráficamente la función f ( x) = -x 2 + 4x - 1. primero. Se calcula el vértice de la parábola y se estudia si es un máximo (a < 0) o un mínimo (a > 0). ? ( ) ( , ) a b f V v v v 2 2 4 2 2 4 2 1 3 2 3 x y x 2 = - = - - = = = - + - = " 4 a < 0 " máximo segundo. Se construye una tabla con valores alrededor del vértice y se representa la parábola. x 0 1 2 3 4 f (x) -1 2 3 2 -1 115 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 115 13/06/2022 15:38:50 a c t i v i da d e s r e s u e lta s Función inversa Dibuja la gráfica de la función f(x) = 2x y la gráfica de su función inversa. primero. Se dibuja la gráfica de la función y = x, que es la bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes. segundo. Se representa la gráfica de f(x) y su simétrica con respecto a esa recta. Y X 1 1 f -1(x) = log 2 x f (x) = 2x PRACTICA 39. Representa la gráfica de las funciones inversas de estas funciones. a) ( ) f x x2 = b) ( ) ( ) f x x 1 log = - Representar la gráfica de una función inversa Función exponencial Representa gráficamente estas funciones. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primero. Se escribe la función como f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segundo. Se representa la función resultante como una función exponencial del tipo f (x) = ax. PRACTICA 40. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funciones del tipo ( ) f x akx = Función valor absoluto Función exponencial Representa gráficamente la función ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primero. Se expresa la función que se quiere representar en función de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segundo. Se obtiene la gráfica de la función desplazando la gráfica de ( ) f x ax = en horizontal y en vertical. f (x - 2) " Se desplaza f (x) hacia la derecha 2 unidades. f (x - 2) - 1 " Se desplaza f (x - 2) hacia abajo 1 unidad. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 41. Representa gráficamente la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funciones del tipo ( ) f x a c x b = + + Función valor absoluto Función logarítmica Representa gráficamente las siguientes funciones. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primero. Se aplican las propiedades de los logaritmos. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segundo. Se representan las funciones haciendo las transformaciones necesarias sobre la gráfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 42. Dibuja la gráfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funciones del tipo f(x) = loga kx g(x) h(x) 1 1 Y X G E O G E B R A 130 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 130 13/06/2022 15:40:50 5 Funció valor bsolut Representa gráficamente la función ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gráfica, escribe su expresión como una función definida a trozos. primero. Se representa la función sin el valor absoluto. ( ) f x x x 4 2 = - + es una función cuadrática; por tanto, se determina su vértice y si es un máximo o un mínimo. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Como a = -1 < 0, el vértice es un máximo. segundo. Se dibujan las figuras simétricas, con respecto al eje X, de las partes de la gráfica que correspondan a valores negativos de la función. tercero. Se escribe la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los puntos de corte con los ejes. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 43. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x x x 3 ; ; = - en el intervalo [-3, 3]. Representar funciones del tipo ( ) ( ) g x f x ; ; = Funció valor bsolut Dibuja la gráfica de la siguiente función. g(x) = x2 - 4;x; primero. Se define la función a trozos teniendo en cuenta que ;x; es x cuando es un número positivo y es -x cuando es negativo. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segundo. Se representa la función definida a trozos en cada uno de los tramos. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 44. Dibuja la gráfica de la función ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funciones en las que interviene el valor absoluto Composición de funciones Expresa esta función como composición de funciones más sencillas. h(x) = 2 + ln (x2 - 1) primero. Se divide la función en funciones más sencillas. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = 2 + x segundo. Se componen las funciones para comprobar que el resultado es igual a la función inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = 2 + ln(x2 - 1) = h(x) F h3(x) = 2 + x PRACTICA 45. Expresa estas funciones como composición de funciones más sencillas. a) f(x) = 2ex+1 b) ( ) f x x 1 1 = - Expresar una función como composición de otras funciones f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X 131 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 131 13/06/2022 15:40:57 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL utilizando GeoGebra para investigar y manipular algunos contenidos. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Ayúdate de tu razonamiento y PIENSA para descubrir algunas propiedades y aplicaciones de esos saberes. Afianza los saberes básicos aprendiendo, paso a paso, métodos generales para las destrezas básicas que necesitas aprender. Aprende a partir de textos claros y estructurados. 6
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