-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa de ozono (km) L a a tm ó s f e ra d e l a Ti e r ra e s u n a m e z c l a d e v a r i o s g a s e s , principalmente nitrógeno (78 %), oxígeno (21 %), argón , dióxi do de carbono y vapor de agua . Estos gase s rodean cons - tantemente la atmósfera debido a que el campo gravitatorio impi de que se escapen . L a atmósfera se div i de en capas, en l as qu e l a t emp eratura var í a de forma si gni f i cat iva . D i chas capas son : Tropo sfera : formad a p or el ai re situado en lo s pr imero s ki lómetros de l a atmósfera cal entado desde abajo, por lo que la temperatura disminuye a razón de 6 °C por cada kilómetro que se asciende. Su espesor varía entre 8 y 17 km. En esta capa ocurre la mayor parte de los fenómenos del clima . E st ra to sf e ra : s e ubi c a p o r en c ima d e l a t rop o sf e ra y en el l a l a t emperatura aumenta desde -53 °C hasta 20 °C a unos 50 km. Su espesor varía entre los 17 km de los polos y los 35 km del ecuador. Mesosfera : en esta capa la temperatura vuelve a disminuir c on l a altura , qu e va d e sd e uno s 50 km ha st a aprox imad ament e 90 km , c omo re sult ado d el rápi do d e sc ens o d e la densidad del aire. Te rmo sf e ra : e n e st a c ap a l a t emp e ra tu ra aum e n t a c on la altura y puede l legar a presentar temperaturas de hasta 1 500 °C cuando el Sol está activo. La termosfera incluye a la ionosfera , que es donde se producen las auroras polares. E xo sfera : e st á lo cal i zad a en alt itud e s p or enc ima d e lo s 950 km. Es la zona de transición entre la atmósfera terrestre y el espacio interplanetario. ¿ PA R A Q U É S I RV E N L A S F U N C I O N E S ? 5 L E E Y C O M P R E N D E 1 ¿Cuál es el espesor de la estratosfera en el ecuador? 2 ¿Qué relación hay entre la temperatura y las capas de la atmósfera? 3 ¿En qué capa se registra la menor temperatura? I N T E R P R E TA 4 De acuerdo con el gráfico, ¿qué temperatura tiene la atmósfera a 110 km de altura? R E F L E X I O N A 5 ¿Dónde se encuentra la capa de ozono? Investiga cuál es la actual situación de la capa de ozono y por qué resulta tan importante su recuperación y conservación. A P L I C A 6 Si se asume que la temperatura a nivel del mar es de 20 °C, ¿qué temperatura deberá tener aproximadamente la cima del Everest, a 8 848 m de altura? Entre otras muchas cosas… Para distinguir las capas de la atmósfera por su temperatura 140 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 140 13/06/2022 15:42:17 2. Selecciona de manera adecuada ejes, unidades, dominio y escalas Funciones polinómicas 61 Asocia cada función con su gráfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2 x2 62 Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 x2 - 2 x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I D A D E S F L A S H 63 Representa, sin completar las tablas de valores correspondientes, las funciones lineales y afines. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 64 Escribe la expresión algebraica de estas funciones y calcula su pendiente y su ordenada en el origen. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 65 Representa estas funciones en los mismos ejes de coordenadas y relaciona la abertura de las ramas de cada parábola con el coeficiente de x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 x2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 66 Halla el vértice de estas parábolas. a) f (x) = x2 - 6x + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4x + 10 d) f (x) = -x2 - 4x + 2 67 I N V E N TA . Escribe la ecuación de tres parábolas cuyo vértice sea (2, 3). a c t i v i da d e s f i n a l e s 1. Reconoce analítica y gráficamente las funciones elementales 46 Di si estas gráficas corresponden a una función. a) c) b) d) Y X Y X Y X Y X A C T I V I D A D E S F L A S H 47 I N V E N TA . Esboza una gráfica que pueda ser la representación de una función y otra que no pueda serlo. 48 Realiza una tabla de valores y representa estas funciones. a) Cada número entero se relaciona con su número de divisores positivos. b) Cada número real se relaciona con su parte entera. c) A cada real le corresponde él menos su valor absoluto. d) A cada número le corresponde el valor 2. 49 A lo largo de un día se mide la longitud, en metros, de la sombra que proyecta una farola desde el amanecer hasta que anochece. Las medidas, tomadas cada dos horas, desde las 6:00 h, son estas: 0 25 17 5 2 6 19 32 0 a) ¿Crees que esta relación define una función? b) Si es así, identifica sus variables. 50 Comprueba si los puntos x = -3, x = 0, x = 2 pertenecen al dominio de estas funciones. a) f (x) = x2 - 2 x + 1 c) ( ) f x x 2 1 = - + b) ( ) f x x x x 3 3 1 2 = + - d) ( ) ( ) f x x 4 ln = - - 51 Determina si estas funciones tienen simetrías. a) f (x) = x3 - 3x c) f (x) = x2 - x b) f (x) = x4 - 1 d) f (x) = x4 - 2 x2 52 Determina el tipo de simetría de estas funciones. a) ( ) f x x x x 3 2 = - b) ( ) f x x x x 1 2 2 3 = + - 53 I N V E N TA . Dibuja una función f (x) de simetría impar que pase por (2, 0) de tal forma que f (x + 3) sea una función par. 54 Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas funciones. a) y = 3, y = 2, y = -5 para ( ) f x x 3 3 = - b) y = 0, y = 30, y = -3 para f (x) = x2 - 5x + 6 55 M AT E M ÁT I C A S . . . Y A S T R O N O M Í A . Considera la función que relaciona el tiempo, en días, con la superficie visible de la Luna. ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica el periodo. 56 Determina el periodo de estas funciones. a) 1 1 Y X b) X Y 1 1 c) X Y 1 -1 r 2 r 57 I N V E S T I G A . Una función f (x) toma todos los valores entre 0 y 1 pero ningún otro. ¿Cuál de las siguientes funciones toma todos los valores entre -1 y 1? a) f (x) - 1 b) f (x) + 1 c) 2f (x) - 1 d) 2f (x) + 1 58 El dominio de una función f es [0, 2], y su recorrido, [0, 1]. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función g(x) = 1 - f (x + 1)? 59 R E T O . La función f toma solamente valores mayores o iguales que cero y satisface las dos condiciones siguientes: f (1) = 2, f (x + y) = f (x) · f ( y). ¿Cuánto vale f 2 1 e o? 60 R E T O . Sea ( ) ( ) f x x x x x f x 1 6 2 2 + + = + e o . ¿Cuánto es f (4)? I N T E R N E T Día % de visibilidad Tipo de luna 0 50 % Creciente 3 81 % Creciente 7 100 % Luna llena 11 81 % Menguante 15 39 % Menguante 21 0 Luna nueva 132 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 132 13/06/2022 15:41:10 2. Selecciona de maner adecuada ejes, unidades, ominio y escalas Funciones polinóm cas 61 Asocia cada función con su gráfica. a) f (x) = -x2 b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 d) i (x) = -2x2 62 Relaciona cada gráfica con su expresión algebr ica. a) ( ) x x f x 2 3 1 2 = + - b) g(x) = 2 2 - x + 1 c) ( ) x x h x 3 2 2 = - + d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y X 1 3 1 1 Y X A C T I V I D A D E S F L A H 63 Representa, in completar las b de v lor s corresp ndientes, las funciones l neales y fines. a) ( ) x f x 3 2 2 1 = - c) ( ) f x 2 7 = b) ( ) f x x 5 2 3 = - d) ( ) x f x 3 2 = - 64 Escribe la expresión algebr ica de estas funciones y calcula su pendiente y su ordenada el orig n. Y X f(x) i(x) g(x) h(x) 1 1 65 Representa estas funciones en lo mismos ejes de coordenadas y rel ciona la abertura de las ramas de c da parábol con el eficiente d x2. a) f (x) = x2 c) h (x) = 2 2 b) ( ) g x x 2 1 2 = d) ( ) i x x 4 1 2 = 66 Halla el vértice de estas parábol s. a) f (x) = x2 - 6 + 10 c) f (x) = x2 - 4 b) f (x) = -x2 - 4 + 10 d) f (x) = -x2 - 4 + 2 67 I N V E N TA . Escribe la ecuación de tres parábol s cuyo vértice sea (2, 3). 68 Representa las siguientes funciones polinómicas, indicando los puntos de corte con los ejes. a) f(x) = 4x2 + 4x + 1 b) f(x) = x3 - x2 - 9x + 9 c) f(x) = x3 - 2 x2 - 7x - 4 d) f(x) = x3 - 2 x2 - 2 x - 3 69 Representa la función y = x2. A partir de ella, dibuja las gráficas de estas funciones polinómicas. a) f(x) = (x - 2)2 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = (x + 3)2 ¿Qué relación guardan las gráficas de las últimas tres funciones con la gráfica de la primera? 70 Haz la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 x. Determina la expresión algebraica de cada una de las siguientes funciones y represéntalas. a) f(x - 2) c) f(x + 1) b) f(x) - 4 d) f(x) + 2 ¿Hay alguna relación entre estas gráficas? 71 Obtén la expresión algebraica y representa la función cuadrática que pasa por los puntos A(1, -2), B(2, -2) y C(3, 0). 72 Halla y representa las funciones polinómicas de grado mínimo que pasan por los siguientes puntos. a) A(0, 0), , B 5 2 5 e o y C(-2, -1) b) A(3, 0), B(4, 1) y C(5, 0) c) A(1, 0), B(2, 1), C(3, 0) y D(4, 1) 73 R E T O . Si ( ) f x px qx rx 4 7 3 = + + - y ( ) f 7 3 - = , ¿cuánto vale ( ) f 7? Interpolación y extrapolación 74 Sabemos que 64 4 3 = y que 125 3 = 5. a) Halla 99 3 por interpolación. b) Si conocemos también que 8 2 3 = , halla 99 3 por interpolación cuadrática. c) Calcula, con ayuda de la calculadora, el valor exacto de 99 3 y comprueba cuál de los dos valores encontrados es mejor aproximación. 75 La evolución de la población de un pequeño pueblo durante 5 años se muestra en la siguiente tabla. Año 2016 2017 2018 2019 2020 Habitantes 314 307 291 291 282 a) Utiliza la extrapolación lineal y di cuántos habitantes se espera que tenga en 2021. b) ¿Cuántos habitantes tendría si utilizas para el cálculo una extrapolación cuadrática? c) Halla mediante una extrapolación lineal y cuadrática el número de habitantes en 2015. 5 133 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 133 13/06/2022 15:41:15 a c t i v i da d e s f i n a l e s 129 El precio en euros de un artículo perecedero que empieza a venderse el primer día de un determinado mes varía con el tiempo, en días, según la función: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo? b) Dibuja la gráfica de la función P(t). 130 M AT E M ÁT I C A S Y. . . B I O L O G Í A . La dinámica de poblaciones es una rama de la biología que, con el auxilio de las matemáticas, trata de describir y cuantificar los cambios que ocurren en una población. El desarrollo de una población de peces viene modelado por la función ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , con t 0 $ . En el modelo, P(t) es el tamaño de la población en toneladas y t el número de años después del instante inicial. a) Determina cuántos años deben transcurrir para que la población de peces llegue a las 15 toneladas. b) ¿Puede suceder que la población sobrepase alguna vez las 20 toneladas? 131 M AT E M ÁT I C A S Y. . . S O C I E D A D . Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días transcurridos desde el tsunami. a) ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día? b) ¿Y cuántas habrá al cabo de tres semanas? c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de 2 000 camas, ¿hasta qué día estuvo desbordada la capacidad? 132 M AT E M ÁT I C A S Y. . . F Í S I C A . Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto sigue la función f (t) = T + (C - T) ? e-kt, donde T es la temperatura ambiente, C la temperatura inicial, t el tiempo transcurrido y k la tasa de enfriamiento del objeto por unidad de tiempo. Un objeto con una temperatura de 40 °C se deja al aire libre, donde la temperatura es de 25 °C, y después de 10 minutos la temperatura del objeto es de 34 °C. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el objeto se enfríe hasta tener una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 133 Nina y Simón compiten en una carrera ciclista de ida y vuelta entre dos ciudades. A la ida Nina va a 25 km/h y a la vuelta, ya cansada, a 15 km/h. Simón, sin embargo, va a 20 km/h todo el rato. a) ¿Quién gana? b) ¿Hay alguna forma de que Nina, yendo más rápida a la ida y más lenta a la vuelta, gane a Simón teniendo en cuenta que la media de las dos velocidades de Nina es 20 km/h? 134 En una carrera de 1 000 metros, Mamen saca 50 metros de ventaja a Camilo. En la próxima carrera, Mamen saldrá 50 metros por detrás de Camilo. a) ¿Es suficiente para que lleguen a la vez a la meta? b) Si no lo es, ¿cuántos metros serían necesarios? 135 Considera una piscina de agua llena hasta el borde en la que se abre una válvula para vaciarla. La altura (en metros) del agua de la piscina viene dada por esta función: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - con t el tiempo (en minutos) desde que se abre la válvula. Determina tras cuánto tiempo la altura del agua es la mitad de la altura de la piscina. 136 Tras lanzar un globo aerostático, su altura, en metros, viene determinada por la función: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - para [ , ] t 0 5 ! , con t en minutos a) Halla los metros que sube el globo en el primer minuto. b) Cuando el globo se encuentra entre 12 y 20 metros de altura, se destapan dos paneles publicitarios. ¿Durante cuántos segundos se verá la publicidad? 137 Estáis organizando el viaje de fin de curso para tu clase. Agencia 1. Si el número de estudiantes que va al viaje es de 40 o menos, cada uno pagará 200 €. Si es superior a 40, se descontará un 10 % a cada uno. Agencia 2. Si completan un autobús de 60 personas, el precio será 150 € por persona. Por cada asiento vacío en el autobús, se incrementará el precio un 1 % a cada persona. ¿Qué agencia os conviene? P R O B L E M A S A P A R E N T E M E N T E D I S T I N T O S 140 Considera la siguiente función. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Halla el dominio de la función. b) Calcula f -1(x). 141 El número de días que necesita una población de plancton para llegar a pesar x microgramos viene dado por ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) ¿Entre qué valores varía el peso? b) Indica el peso en función del tiempo. 142 Sea la función: f (x) = 200 · b x a) ¿Cuál es la variable independiente? b) Sean b = 2,5 y g(x) = 20 000, determina el valor de x para que se cumpla f (x) = g(x). c) Indica los posibles valores de b para que f (x) sea decreciente. 143 El ritmo básico de reproducción, RO, de un virus en una región es 2,5. Es decir, cada persona enferma infecta a otras 2,5. Si el primer día había 200 personas enfermas, expresa el número de infectados en función del tiempo. a) ¿Cuál es la variable independiente? b) ¿Cuándo se alcanzaron 20 000 infectados? c) ¿En qué intervalo debe estar el RO para que la epidemia esté controlada? 144 Considera las funciones: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Halla ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 145 Dayana infla su balón de playa para jugar con él. a) Halla el radio del balón en función del volumen. b) Se le pincha y comienza a desinflarse. La medida de su radio sigue la función ( ) t t g 50 000 = , t > 10, con t en minutos. Indica el radio en función del tiempo. I N T E R N E T 138 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 138 13/06/2022 15:42:12 138 M AT E M ÁT I C A S Y. . . A R Q U I T E C T U R A . En la figura está representado un puente peatonal sobre el río Sella. Considerando O el origen de coordenadas, el arco del puente viene dado por ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , con [ , ] x 0 7 ! . a) Sea S el punto sobre el segmento OR que verifica la ecuación ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resuelve la ecuación e interpreta la solución en el contexto del problema. b) En el puerto, junto al puente, hay un barco de vela cuyo mástil mide 6 metros desde el punto más alto hasta el agua. ¿Podrá pasar bajo el puente? 139 En un lago existe una especie de pez grande que se alimenta de una raza de peces más pequeña, y esta, a su vez, se alimenta de plancton. El número de peces grandes es una función f (x) de la cantidad x de peces pequeños y el número de peces pequeños es una función g( y) de la cantidad y de plancton del lago. Expresa la población de peces grandes en función del plancton del lago si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 5 P R O B L E M A S P A R E N T E M E N T E D I S T N O S 140 Considera la siguiente fu ción. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Halla el domini de la función. b) Calcula f -1(x). 141 El número d días que nec sita una pobl ción de plancton para llegar a pes r x microgramos viene dado por ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) ¿Entre qué valores va ía el peso? b) Indica el peso en función del tiempo. 142 Sea la función: f (x) =200 · b x a) ¿Cuál es la vari ble indepe iente? b) Sean b = 2,5 y g(x) = 20 000, determina el valor de x para que se cumpla f (x) = g(x). c) Indica los posibles va ores de b para que f (x) sea decreci nt . 143 El ritmo básico de reproducción, RO, de un vir s en na región es 2,5. Es decir, cada persona enferma infecta a o ras 2,5. Si el pr mer día habí 200 personas e fermas, expresa el número de infectados en función del tiempo. a) ¿Cuál es la vari ble indepe iente? b) ¿Cuándo se alcanz ro 20 000 infectados? c) ¿En qué intervalo debe estar l RO para que la epidemia sté controlada? 144 Considera las funciones: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Halla ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 145 Dayana infla su b lón de playa ra jugar con él. a) Halla el radio del balón en función del volumen. b) Se le pincha y omienza a desinflar e. L medida de su radio sigue la f nción ( ) t t g 50 000 = , t > 10, con t en minutos. Indica el radio en función del tiempo. ¿Baja el paro? Un estudio sobre la repercusión del turismo en la costa española asegura que durante los días festivos se crean cerca de 10 000 nuevos puestos de trabajo en el sector. Los últimos datos del Ministerio de Trabajo muestran que en el mes de junio se contrataron 40 000 personas en hostelería en la costa, a pesar de que solo hubo dos días festivos. La oposición asegura que los datos están manipulados de cara a las próximas elecciones. Y tú, ¿qué opinas? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 139 ES0000000136132 177467_U05_111_140_121915.indd 139 13/06/2022 15:42:16 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 PASA A LA ACCIÓN: PARA QUÉ SIRVEN... 5 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver actividades utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Encuentra aplicaciones de los contenidos que has estudiado y comprende cómo se utilizan y PARA QUÉ SIRVEN en la vida real. Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones que aparecen en distintos medios. Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… 7
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