3. Incertidumbre y error 3.2. Incertidumbre en los resultados Los resultados de medir una cantidad q repetidas veces nos ofrece un conjunto de obser vaciones {q1; q2; q3; …; qi; …; qn}, bastantes de ellas repetidas varias vece s ( frecu enci a del dato, m) , qu e se di str i buyen según el hi stograma del margen . La mayoría de los valores obser vados se agrupan próximos al valor central GqH y en torno a él se di spersan los resultados. La frecuenci a (m) es menor cuanto más nos alejamos del valor central . El valor central suele adoptarse como mejor valor de q y suele calcularse con la media aritmética de las obser vaciones: G H ? q N m q i i i n 1 = = / Un modo de indicar si los valores se apartan mucho o poco del valor promedio es usando la desviación estándar o típica de q, sq, que se calcula así: G H ? s N m q q i i i n 2 1 2 q = - = / Una buena valoración de la incertidumbre en los resultados es la anchura de la distribución de los datos, cuantificada por la desviación estándar : q = Gq H ! sq Las distribuciones de frecuencia que tienen la forma de las dos anteriores se llaman gaussianas o normales, y se encuentran a menudo en los análisis de experimentos. Una de las mayores ventajas de esta distribución es que sus propiedades matemáticas se conocen muy bien . Siempre que el número de obser vaciones sea muy alto, se sabe que hay una probabilidad del 68 % de consegui r r e s u l t a d o s e n o b s e r v a c i o n e s f u t u r a s d e n t r o d e l i n t e r v a l o d a d o p o r (GqH - sq , GqH + sq) y del 99 % en el inter valo (GqH - 3 ? sq , GqH + 3 ? sq). Sin estas estimaciones, y otras que estudi a l a estadí stica , ningún resultado experimental se puede tomar en serio. La estadística estudia qué confianza se puede otorgar a los valores dentro de la incertidumbre si cada uno de estos se considera el valor verdadero, q0. EJEMPLO RESUELTO 1 En un experimento medimos cinco veces con un cronómetro la caída libre de un objeto. Los resultados son: t 1 = 2,25 s; t 2 = 2,27 s; t 3 = 2,33 s; t 4 = 2,28 s; t 5 = 2,35 s. Calcula el mejor valor empleando la media aritmética y el intervalo de incertidumbre usando la desviación típica. Para el mejor valor calculamos la media aritmética: G H , s , s , s , s , s t t N 5 2 25 2 27 2 33 2 28 2 35 2,296 s i i N 1 = = + + + + = = / Para la desviación del conjunto de datos, la desviación típica es: G H ? , , , , , , s m t t N 5 2 25 2 27 2 33 2 28 2 35 2 296 i i i N 2 1 2 2 2 2 2 2 2 t = - = + + + + - = / En este caso, m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = 1. Calculando, st = 0,0377 s. La incertidumbre del valor de la caída libre es: t = G t H ! st = 2,296 s ! 0,0377 s c (2,30 ! 0,04) s La cantidad de cifras decimales del resultado no debe exceder la de los datos. Histograma del conjunto de las observaciones de un experimento. m Q sq G q H Si el histograma tuviera el aspecto de las barras azules, indicaría que la incertidumbre sería mayor, al estar los resultados más desviados del valor central. m Q s sl 4 Determina la media aritmética y la desviación típica para expresar el intervalo de incertidumbre del siguiente conjunto de números: {9,01; 8,97; 9,05; 8,96; 9,00; 9,02}. Solución: 9,00 ! 0,03 A C T I V I D A D E S R E C U E R D A Incertidumbre En una medida, las cifras entre paréntesis representan la incertidumbre estándar en los últimos dígitos. Por ejemplo, x = 23,738(31) m determina una posición que también puede escribirse así: x = 27,738 ! 0,031 m. Esta expresión quiere decir que se ha calculado que el valor más probable de x = 27,738 m y la probabilidad mayor de que el valor de x esté en un intervalo de 0,031 m de radio alrededor de ese valor (zona coloreada de la figura). 27,738 27,738 - 0,031 27,738 + 0,031 12
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