Índex Un i t a t Construeix coneixement Sabers bàs i cs Procedimients bàs i cs 1 Mètodes de compteig 9 1. Principi d'inclusió-exclusió _ 10 2. Principi del producte. Diagrama d'arbre _ 11 3. Principi del colomar _ 13 4. Nombres combinatoris _ 14 5. Variacions _ 16 6. Permutacions _ 17 7. Combinacions _ 18 • Calcular el cardinal d'un conjunt utilitzant un diagrama d'arbre • Calcular nombres combinatoris • Calcular el cardinal d'un conjunt amb variacions, permutacions i combinacions • Demostrar propietats d'un conjunt aplicant el principi del colomar 2 Aritmètica de l'economia 33 1. Percentatges _ 34 2. Percentatges encadenats _ 35 3. Interès simple _ 36 4. Interès compost _ 37 5. Anualitats de capitalització _ 38 6. Anualitats d'amortització _ 39 7. Taxa Anual Equivalent (TAE) _ 42 8. Nombres índex _ 43 9. Índex de Preus de Consum (IPC) _ 44 10. Enquesta de Població Activa (EPA) _ 45 • Calcular totals, parts i percentatges • Resoldre problemes de percentatges encadenats • Calcular el capital acumulat mitjançant anualitats de capitalització • Elaborar taules d'amortització • Elaborar una taula de nombres índex • Comparar mitjançant percentatges • Calcular l'interès en terminis difrents de l'anual • Calcular el temps d'inversió a interès compost 3 Sistemes d'equacions 59 1. Sistemes d'equacions lineals _ 60 2. Sistemes d'equacions lineals amb dues incògnites _ 61 3. Discussió d'un sistema d'equacions _ 62 4. Sistemes d'equacions lineals amb tres incògnites _ 63 5. Mètode de Gauss _ 64 6. Discussió d'un sistema pel mètode de Gauss _ 65 • Resoldre un sistema amb el mètode de substitució • Resoldre un sistema amb el mètode d'igualació • Resoldre un sistema amb el mètode de reducció • Resoldre un sistema amb el mètode gràfic • Resoldre un sistema de tres equacions amb el mètode de Gauss • Resoldre un sistema expressat matricialment per Gauss 4 Programació lineal 81 1. Inequacions _ 82 2. Inequacions lineals amb dues incògnites _ 84 3. Sistemes d'inequacions amb dues incògnites _ 85 4. Programació lineal _ 86 5. Mètodes de resolució _ 90 6. Tipus de solucions _ 92 7. Problema de la producció _ 95 8. Problema de la dieta _ 96 9. Problema del transport _ 97 • Resoldre una inequació de primer grau • Resoldre una inequació de segon grau • Resoldre una inequació lineal amb dues incògnites • Resoldre un sistema d'inequacions amb dues incògnitess • Plantejar un problema de programació lineal • Determinar els vèrtexs d'una regió factible • Resoldre problemes de programació lineal • Representar una regió factible 5 Grafs 111 1. Grafs. Definicions _ 112 2. Tipus de grafs _ 114 3. Matriu adjacent a un graf _ 115 4. Camins i circuits _ 116 5. Grafs eulerians i hamiltonians _ 120 6. Fórmula d'Euler _ 122 7. Teorema dels quatre colors _ 125 • Calcular el nombre de maneres de desplaçar-se entre dos nodes recorrent n arestes • Calcular l'amplada d'un graf • Colorar un mapa de manera que dues regions adjacents no tinguin el mateix color • Trobar un arbre recobridor mitjançant l'algoritme de cerca de profunditat 6 Funcions 139 1. Funcions reals de variable real _ 140 2. Domini i recorregut _ 141 3. Simetria i periodicitat _ 142 4. Funcions polinòmiques _ 143 5. Funcions racionals _ 144 6. Funció inversa _ 145 7. Funcions exponencials _ 146 8. Funcions logarítmiques _ 147 9. Funcions definides a trossos _ 148 10. Operacions amb funcions _ 150 11. Composició de funcions _ 152 • Determinar el domini d'una funció • Determinar la simetria d'una funció • Representar una funció quadràtica • Representar una funció de proporcionalitat inversa • Calcular la funció inversa d'una funció • Representar una funció exponencial • Representar una funció logarítmica • Representar una funció definida a trossos • Trobar els valors de les operacions amb funcions • Composar funcions • Calcular el domini de funcions no elementals UE 2
Pract i ca les competènc ies espec í f iques Matemàt iques en el món real Si tuac ió d' aprenentage • Calcular el nombre d'elements d'un conjunt que compleixen una determinada propietat • Utilitzar el principi d'inclusió-exclusió per determinar la cardinalitat d'un conjunt M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Sociologia • Astronomia • Història • Acústica FA K E N E W S . . Estudi crític de notícies de premsa Determinar la velocitat en un accidente de trànsit • Resoldre problemes d'interès compost amb augments anuals de capital • Calcular el temps en anualitats de capitalització • Calcular anualitats de capitalització en terminis diferents al anual • Elaborar una taula d'amortització per mesos • Calcular anualitats d'amortització en terminis diferents de l'anual • Calcular la TAE per a períodes superiors a un any • Calcular la TAE si els interessos no són anuals • Analitzar quantitats a partir de la inflació • Calcular la variació de nivell adquisitiu M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Economia • Història • Finances • Sociologia FA K E N E W S . Anàlisi d'informacions. Educació financera Valorar quina oferta de préstec és millor per al client • Determinar el nombre de solucions d'un sistema amb dues incògnites • Resoldre sistemes en funció d'un paràmetre • Expressar les solucions d'un sistema compatible indeterminat amb dues i amb tres incògnites • Discutir sistemes amb tres incògnites en funció d'un paràmetre • Resoldre problemes amb un sistema d'equacions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Futbol • Indústria • Automobilisme • Bàsquet FA K E N E W S . Anàlisi de dades Calcular el preu d'un producte • Determinar les restriccions, coneguda la regió factible • Afegir restriccions per obtenir una determinada regió factible • Determinar el màxim i el mínim en una regió factible • Resoldre un problema en el qual una de les restriccions és una relació entre les incògnites • Resoldre un problema quan la funció objectiu és del tipus f (x, y) = ax + by + k • Resoldre un problema quan la regió factible és no acotada • Extreure conclusions de la solució òptima d'un problema M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Economia • Indústria • Automobilisme • Societat FA K E N E W S . Anàlisi de dades Optimitzar recursos disponibles • Calcular la potència enèsima d'una matriu • Trobar l'arbre recobridor de menor o major pes mitjançant l'algoritme de Krusal • Trobar l'arbre recobridor de menor pes mitjançant l'algoritme de Prim • Trobar l 'arbre recobr idor de menor longi tud mi t jançant l 'algor i tme de Di jkistra • Construir un diagrama de flux • Resoldre el problema del viatjant M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Cultura • Escacs • Logística FA K E N E W S . Valoració de dades numèriques Calcular la ruta òptima entre dos llocs • Representar funcions del tipus f (x) = ax n amb n $ 2 • Representar funcions del tipus kf (x) coneguda la gràfica de f (x) • Representar funcions del tipus f (x) = x a k + i f (x) = x c ax b + + • Representar la gràfica d'una funció inversa • Representar funcions del tipus f (x) = akx • Representar funcions del tipus f (x) = ax+b + c • Representar funcions del tipus f (x) = loga kx b • Representar funcions del tipus g (x) = ; f (x) ; • Representar funcions en les quals intervé el valor absolut • Expressar una funció com a composició d'altres funcions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Filosofia • Física • Medicina FA K E N E W S . Contrast d'informacions numèriques Distingir les capes de l'atmosfera per la temperatura 3
Un i t a t Construeix coneixement Sabers bàs i cs Procediments bàs i cs 7 Límit d'una funció 165 1. Successions. Límit d'una successió _ 166 2. Càlcul de límits _ 168 3. Operacions amb límits _ 169 4. Indeterminacions _ 170 5. Resolució d'algunes indeterminacions _ 171 6. Límit d'una funció en l'infinit _ 174 7. Límit d'una funció en un punt _ 175 8. Branques infinites. Asímptotes _ 178 9. Continuïtat d'una funció _ 180 • Calcular límits amb indeterminació del tipus 3/3 • Resoldre límits amb una indeterminació del tipus 3 - 3 • Calcular el límit d'una funció en un punt • Calcular el límit d'una funció definida a trossos • Resoldre límits amb una indeterminació del tipus 0/0 • Calcular les asímptotes horitzontals, verticals i obliques d'una funció • Estudiar la continuïtat d'una funció elemental • Determinar el límit d'un quocient de polinomis amb radicals 8 Derivada d'una funció 193 1. Taxa de variació mitjana _ 194 2. Derivada d'una funció en un punt _ 195 3. Interpretació geomètrica de la derivada _ 196 4. Funció derivada _ 197 5. Derivades de funcions elementals _ 199 6. Derivades del producte i del quocient de funcions _ 201 7. Regla de la cadena _ 203 8. Creixement i derivada _ 204 9. Derivades successives _ 205 10. Aplicació de la derivada _ 206 • Calcular la derivada i la tangente d'una funció en un punt • Calcular la derivada d'un producte i d'un quocient de funcions • Calcular la derivada d'una funció composta • Calcular els màxims, mínims i els intervals de creixement en una funció • Calcular els màxims i mínims d'una funció amb la derivada segona • Representar una funció utilizant-ne la derivada • Resoldre problemes d'optimització • Calcular el valor d'un paràmetre d'una funció coneixent-ne la derivada en un punt 9 Estadística bidimensional 221 1. Variable estadística unidimensional _ 222 2. Mesures de centralització _ 223 3. Mesures de dispersió _ 224 4. Variable estadística bidimensional _ 225 5. Diagrama de dispersió _ 227 6. Correlació _ 228 7. Rectes de regressió _ 230 8. Estimació de resultats _ 232 9. Estadística amb calculadora _ 233 • Calcular la covariància • Calcular i interpretar el coeficient de correlació • Determinar i representar la recta de regressió • Estimar valors utilitzant la recta de regressió • Treballar l'estadística unidimensional i bidimensional amb calculadora • Interpretar les mesures estadístiques en una variable unidireccional • Interpretar la mitjana i la desviació típica 10 Probabilitat 247 1. Experiments aleatoris _ 248 2. Esdeveniments. Operacions amb esdeveniments _ 250 3. Freqüència i probabilitat _ 252 4. Propietats de la probabilitat _ 253 5. Regla de Laplace _ 254 6. Probabilitat condicionada _ 255 7. Taules de contingència _ 256 8. Teorema de la probabilitat total _ 257 9. Teorema de Bayes _ 258 • Calcular probabilitats utilitzant la regla de Laplace • Calcular probabilitats amb una taula de contingència • Calcular el nombre total d'esdeveniments si el nombre d'esdeveniments elementals és finit • Trobar l'espai mostral d'un experiment amb una taula de doble entrada 11 Distribucions binomial i normal 271 1. Variables aleatòries _ 272 2. Distribucions discretes _ 274 3. Distribució binomial _ 275 4. Distribucions contínues _ 278 5. Distribució normal _ 279 6. Aproximació de la binomial _ 281 • Construir una variable aleatòria a partir d'un experiment • Calcular la funció de probabilitat i la funció de distribució d'una variable aleatòria discreta • Determinar si una variable aleatòria segueix una distribució binomial i trobar-ne la funció de probabilitat • Calcular probabilitats en variables aleatòries que segueixen una distribució binomial • Calcular la funció de distribució d'una variable aleatòria contínua Índex 4
Pract i ca les competènc ies espec í f iques Matemàt iques en el món real Si tuac ió d' aprenentatge • Resoldre límits del tipus (an/bn) c n amb una indeterminació del tipus 13 • Calcular el límit d'una funció en un punt • Calcular un límit que presenta una indeterminació del tipus 0/0 quan hi ha radicals • Representar una funció coneixent-ne les asímptotes i els punts de tall • Determinar el signe de les branques infinites d'una funció racional • Determinar si una funció racional té asímptotes horitzontals i obliques • Estudiar la continuïtat d'una funció definida a trossos • Calcular el valor d'un paràmetre perquè una funció sigui contínua M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Filosofia • Física • Medicina FA K E N E W S . Reflexió sobre situacions paradoxals Determinar a quin segle pertany un any • Estudiar la derivabilitat d'una funció en un punt segons un paràmetre • Calcular la tangent d'una funció en un punt d'abscissa o ordenada coneguda • Determinar les tangents d'una funció amb pendent m • Calcular la tangent a un punt d'un lloc geomètric • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = g (x)n i f (x) = a g(x) • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = ln g (x)) • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = sin g (x) • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = arccos g (x) • Calcular la derivada d'una funció del tipus f (x) = g (x)h(x) • Calcular la derivada de la composició de tres funcions M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Física • Aviació • Seguretat FA K E N E W S . Anàlisi de gràfiques Comprendre el concepte de cost marginal en economia • Agrupar les dades de les variables bidimensionals en intervals • Interpretar una taula de doble entrada • Representar variables bidimensionals • Calcular el coeficient de correlació en les taules de doble entrada agrupades en intervals • Calcular la recta de regressió amb la calculadora • Determinar la mitjana d'una de les variables a partir de la recta de regressió • Determinar i interpretar el signe del coeficient de correlació M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Biologia • Medi ambient • Treball • Economia FA K E N E W S . Contrastar les mesures estadístiques d'una variable Prendre decisions • Calcular probabilitats experimentalment i utilitzant-ne les propietats • Resoldre problemes de probabilitat amb esdeveniments compostos • Utilitzar la regla del producte en experiments amb reemplaçament • Calcular probabilitats d'esdeveniments compostos • Trobar probabilitats utilitzant el teorema de la probabilitat total i el teorema de Bayes M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Treball • Sociologia • Història • Globalització • Biologia FA K E N E W S . Investigació sobre els mites de la loteria Comprendre el disseny del joc del dòmino • Calcular probabilitats en una variable aleatòria binomial aproximant-la a una normal • Determinar un paràmetre perquè una funció sigui funció de densitat • Calcular la probabilitat que Z / N(0, 1) sigui més gran que un valor positiu, estigui entre dos valors o sigui menor o més gran que un valor negatiu • Calcular un punt coneixent-ne la probabilitat • Tipificar una variable aleatòria • Calcular la mitjana i la desviació típica, coneixent dues probabilitats • Calcular probabilitats en variables aleatòries que segueixen una distribució binomial amb n gran M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Biologia • Salut • Economia • Alimentació FA K E N E W S . Contrastar les mesures estadístiques d'una variable Estudiar qualitats de poblacions molt grans 5
El camí d'aprendre és un trajecte llarg, que et durarà tota la vida. Analitzar el món que t'envolta, entendre'l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi i recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Funcions 8 Explica la llegenda que al País de les Meravelles es reunien cada any tots els màgics i màgiques i organitzaven una festa . Al final , participaven en un torneig asseguts formant un cercle. Es numeraven totes les persones i la primera agafava l’única vareta màgica del torneig. A continuació, aquesta persona feia desaparèixer la segona per - sona i passava la vareta màgica a la tercera . La tercera feia desaparèixer la quarta i passava la vareta màgica a la cinquena . I així anaven fent f ins que només quedava un mag o maga , que guanyava el torneig. Vist i no vist! R E P T E El primer any es va presentar 13 persones al torneig i va guanyar la jove Alícia. En quina posició es va posar? Si el segon any s’hi van presentar 100 persones i també va guanyar l’Alícia, en quina posició va començar? L’Alícia sempre aconseguia guanyar, tant se valia quantes persones s’hi presentessin. Com sabia en quina posició s’havia de col·locar? màgica 193 4.1. Funcions polinòmiques de primer grau Característiques Si m = 0, la funció f (x) = n s’anomena funció constant, i la seva gràfica és una recta paral·lela a l’eix X que passa pel punt (0, n). Si n = 0, la funció f (x) = mx s’anomena funció lineal, i la seva gràfica és una recta amb pendent m que passa per l’origen de coordenades. Si m ! 0 i n ! 0, la seva gràfica és una recta creixent si m > 0 o decreixent si m < 0, que talla l’eix Y en el punt (0, n). 4.2. Funcions polinòmiques de segon grau Característiques El domini d’una funció quadràtica és R. El vèrtex de la paràbola és , V a b a b ac 2 4 4 2 - - - e o . Si a > 0, el vèrtex és un mínim. Si a < 0, el vèrtex és un màxim. Com més gran sigui ;a;, més tancades són les branques de la paràbola. 7 Representa, sobre els mateixos eixos, les funcions f(x) = 3x - 1 i g(x) = 5x + 4. Troba el punt d’intersecció de les dues funcions. 8 Representa gràficament les funcions quadràtiques següents. a) f(x) = -3x2 - x - 1 b) f(x) = x2 - x - 2 A C T I V I T A T S E X E M P L E 3. Aquesta és la gràfica en l’interval [0, 5] d’una funció de període 5. Representa gràficament la funció per a qualsevol valor de x. Es desplaça la gràfica de la funció a l’esquerra i a la dreta de l’interval representat. 3.2. Funcions periòdiques Una funció és periòdica, de període T (T > 0), si l a se va gràf ica es repet ei x en inter val s de longitud T. Així , coneguda la g ràf i ca en un inter val de longitud T, se’n pot construir la resta traslladant-la a la dreta i a l’esquerra en tot el domini . G E O G E B R A 3. Simetria i periodicitat Determinar la simetria d’una funció Estudia la simetria d’aquestes funcions. a) ( ) f x x 1 = b) ( ) g x x 1 2 = - primer. Se substitueix x per -x en l’expressió algebraica de la funció. a) ( ) f x x x 1 1 - = - = - b) ( ) ( ) g x x x 1 1 2 2 - = - - = - segon. Es comprova si aquesta funció és igual a la primera o a la seva oposada. a) ( ) ( ) f x x f x 1 - = - = - " f (x) és simètrica respecte de l’origen. b) ( ) ( ) g x x g x 1 2 - = - = " g (x) és simètrica respecte de l’eix Y. 5 Estudia la simetria de les funcions següents. a) ( ) f x x x 2 1 2 = - c) ( ) f x x x 3 5 2 4 = - b) ( ) f x x x x 6 7 2 2 = - - d) ( ) f x x 4 2 = - 6 Completa la gràfica d’aquesta funció periòdica de període 3. A C T I V I T A T S 3.1. Funcions simètriques Donada una funció f de variable real , es diu que és: Simètrica respecte de l’eix Y, si per a qualsevol punt x del domini de la funció es compleix que f (-x) = f (x). Aquestes funcions també s’anomenen funcions parelles. Sim è tr i ca re sp e c t e d e l ’or i gen d e c o ord enad e s, si p e r a qua l s e v o l punt x del domini de la funció es compleix que f (-x) = -f (x). Aquestes funcions també s’anomenen funcions imparelles. G E O G E B R A x X Y Funció parella f (-x) = f (x) -x X Y Funció imparella f (-x) = -f (x) -x x f (x) Y X T T Y X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 F I X A - T ’ H I Hi ha funcions que no són parelles ni imparelles. f (x) = x - 1 f (-x) = -x - 1 Aquesta expressió no coincideix amb l’expressió de f(x) ni amb l’expressió de -f (x). 8 4. Funcions polinòmiques Mínim Màxim a < 0 a > 0 Y X m > 0 y = mx + n y = n m = 0 m < 0 y = mx n Y X Y X 1 f(x) = -x2 + 4x - 1 1 Les funcions polinòmiques de primer grau s’anomenen funcions afins i són del tipus f (x) = mx + n. La seva gràfica és una recta amb pendent m que passa pel punt (0, n). El nombre n s’anomena ordenada en l’origen. Les funcions polinòmiques de segon grau s’anomenen funcions quadràtiques i són del tipus f (x) = ax2 + bx + c, amb a ! 0. La seva gràfica és una paràbola . Representar una funció quadràtica Representa gràficament la funció f ( x) = -x 2 + 4x - 1. primer. Es calcula el vèrtex de la paràbola i s’estudia si és un màxim (a < 0) o un mínim (a > 0). ? ( ) ( , ) a b f V v v v 2 2 4 2 2 4 2 1 3 2 3 x y x 2 = - = - - = = = - + - = " 4 a < 0 " màxim segon. Es construeix una taula amb valors al voltant del vèrtex i es representa la paràbola. x 0 1 2 3 4 f (x) -1 2 3 2 -1 197 196 8 a c t i v i tat s r e s o lt e s Funció inversa Dibuixa la gràfica de la funció f(x) = 2x i la gràfica de la seva funció inversa. primer. Es dibuixa la gràfica de la funció y = x, que és la bisectriu del 1r i 3r quadrants. segon. Es representa la gràfica de f(x) i la seva simètrica respecte d’aquesta recta. Y X 1 1 f -1(x) = log 2 x f (x) = 2x PRACTICA 39. Representa la gràfica de les funcions inverses d’aquestes funcions. a) ( ) f x x2 = b) ( ) ( ) f x x 1 log = - Representar la gràfica d’una funció inversa Funció exponencial Representa gràficament aquestes funcions. a) g (x) = 23x b) ( ) h x 2 1 x 2 =e o primer. S’escriu la funció com f (x) = (ak)x. a) g (x) = 23x = (23)x = 8x b) ( ) h x 2 1 2 1 4 1 x x x 2 2 2 = = = e f e o p o segon. Es representa la funció que en resulta com una funció exponencial del tipus f (x) = ax. PRACTICA 40. Dibuixa la gràfica de les funcions següents. a) ( ) f x 3 x 2 = b) ( ) f x 3 1 x 3 =e o Representar funcions del tipus ( ) f x akx = Funció valor absolut Representa gràficament la funció ( ) g x x x 4 2 ; ; = - + . A partir de la gràfica, escriu-ne l’expressió com una funció definida a trossos. primer. Es representa la funció sense el valor absolut. ( ) f x x x 4 2 = - + és una funció quadràtica; per tant, se’n determina el vèrtex i si és un màxim o un mínim. ? , ( , ) a b V v v 2 2 2 4 2 4 2 4 x y 2 = - = = - + = " Com que a = -1 < 0, el vèrtex és un màxim. segon. Es dibuixen les figures simètriques, respecte de l’eix X, de les parts de la gràfica que corresponguin a valors negatius de la funció. tercer. S’escriu l’expressió algebraica de la funció tenint en compte els punts de tall amb els eixos. ( ) si si si g x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 0 0 4 4 < > 2 2 2 2 ; ; # # = - + = - - + - * PRACTICA 43. Dibuixa la gràfica de la funció ( ) f x x sin ; ; = en l’interval [0, 2r]. Representar funcions del tipus ( ) ( ) g x f x ; ; = Funció exponencial Representa gràficament la funció ( ) g x 3 1 x 2 = - - . primer. S’expressa la funció que es vol representar en funció de ( ) f x ax = . ( ) ( ) ( ) f x g x f x 3 3 1 2 1 Si x x 2 = = - = - - - " segon. S’obté la gràfica de la funció desplaçant la gràfica de ( ) f x ax = en horitzontal i en vertical. f (x - 2) " Es desplaça f (x) cap a la dreta 2 unitats. f (x - 2) - 1 " Es desplaça f (x - 2) cap avall 1 unitat. g(x) f(x) 2 1 1 2 Y X PRACTICA 41. Representa gràficament la función exponencial ( ) f x 3 3 x 2 = - . Representar funcions del tipus ( ) f x a c x b = + + Funció valor absolut Dibuixa la gràfica de la funció següent. g(x) = x2 - 4;x; primer. Es defineix la funció a trossos tenint en compte que ;x; és x quan és un nombre positiu i és -x quan és negatiu. ( ) g x x x x x x x x x 4 4 4 0 0 si si < 2 2 2 ; ; $ = - = - + ( segon. Es representa la funció definida a trossos en cada un dels trams. g(x) 1 1 Y X PRACTICA 44. Dibuixa la gràfica de la funció ( ) f x x x 2 ; ; = - . Representar funcions en les quals intervé el valor absolut Funció logarítmica Representa gràficament les funcions següents. a) f(x) = log2 4x b) 2 ( ) g x x 4 log = 1 primer. S’apliquen les propietats dels logaritmes. a) f (x) = log2 4x = log2 4 + log2 x = 2 + log2 x b) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) g x x x x x 4 4 2 2 log log log log log = = - = = - - = + 1 1 1 1 1 segon. Es representen les funcions fent les transformacions necessàries sobre la gràfica de y = loga x. y = log2 x f(x) g(x) 1 1 1 1 2 y x log = 1 Y X Y X PRACTICA 42. Dibuixa la gràfica de ( ) f x x log 10 = . Representar funcions del tipus f(x) = loga kx Composició de funcions Expressa aquesta funció com a composició de funcions més senzilles. h(x) = cos [ln (x2 - 1)] primer. Es divideix la funció en funcions més senzilles. h1(x) = x 2 - 1 h2(x) = ln x h3(x) = cos x segon. Es fa la composició de les funcions per comprovar que el resultat és igual a la funció inicial. h3[h2[h1(x)]] = h3[h2(x 2 - 1)] = h 3[ln(x 2 - 1)] = F F h1(x) = x 2 - 1 h 2(x) = ln x = cos [ln(x2 - 1)] = h(x) F h3(x) = cos x PRACTICA 45. Expressa aquestes funcions com a composició de funcions més senzilles. a) f(x) = sin2 (x2 + 1) b) ( ) f x x 1 1 = - Expressar una funció com a composició d’altres funcions g(x) h(x) 1 1 Y X f(x) = -x2 + 4x 1 1 Y X g(x) = ;-x2 + 4x; 1 1 Y X G E O G E B R A 213 212 EL PUNT DE PARTIDA: EL REPTE MATEMÀTIC 1 CONSTRUEIX CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, fes servir l'enginy i la raó per resoldre el REPTE MATEMÀTIC que et proposem al principi de la unitat. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL fent servir Geogebra per investigar i manipular alguns continguts. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit per mitjà de les ACTIVITATS. Ajuda't del raonament propi i PENSA per descobrir algunes propietats i aplicacions d'aquests sabers. Afiança els sabers bàsics aprenent, pas a pas, mètodes generals per a les destreses bàsiques que et cal aprendre. Aprèn a partir de textos clars i estructurats. 6
-80 (°C) -60 -40 -20 0 20 40 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20 Troposfera Estratosfera Termosfera Exosfera Mesosfera Capa d’ozó (km) L’a tm o s f e ra d e l a Te r ra é s u n a m e s c l a d e d i f e re n t s g a s o s , principalment nitrogen (78 %), oxigen (21 %), argó, diòxid de c a rb on i i v ap o r d ’a i gu a . Aqu e st s ga s o s env o l t en c on st ant - m e n t l ’a tmo sf e ra j a qu e e l c amp g rav i t a t o r i imp e d e i x qu e se n’escapin . L’atmosfera es divideix en capes, en les qual s la t emp eratura var i a de man era si gni f i cat iva . Aqu e st e s cap e s són : Troposfera : formada per l’aire situat en els primers kilòmetres de l ’atmo sfe ra escal fat des de sota , motiu pel qual l a t emperatura di sminuei x a raó de 6 °C per cada ki lòmetre que es puja . El seu gruix varia entre 8 km i 17 km. En aquesta capa tenen lloc la majoria dels fenomens del clima . Estratosfera : s’ubica per sobre de la troposfera i la temperatura hi augmenta des de -53 °C f ins 20 °C a uns 50 km . El seu gr ui x vari a entre el s 17 km del s po l s i el s 35 km de l’equador. Mesosfera : en aquesta capa la temperatura torna a disminuir amb l’altura , que va des d’uns 50 km fins a aproximadament 90 km, com a resultat del ràpid descens de la densitat de l’aire. Termo sfera : en aqu e st a cap a l a t emp e ra tu ra au gm ent a amb l’altura i pot arribar als 1 500 °C quan el Sol està actiu . La termosfera inclou la ionosfera , que és on es produeixen les aurores polars. Exosfera : està localitzada en altituds per sobre dels 950 km. És la zona de transició entre l ’atmo sfera t errestre i l ’espai interplanetari . 8 L L E G E I X I C O M P R È N 1 Quin és el gruix de l’estratosfera en l’equador? 2 Quina relació hi ha entre la temperatura i les capes de l’atmosfera? 3 En quina capa es registra la temperatura més baixa? I N T E R P R E TA 4 D’acord amb el gràfic, quina temperatura té ll’atmosfera a 110 km d’altura? R E F L E X I O N A 5 On es troba la capa d’ozó? Investiga quina és la situació actual de la capa d’ozó i per què és tan important recuperar-la i conservar-la. A P L I C A 6 Si s’assumeix que la temperatura a nivell del mar és de 20 °C, quina temperatura hi deu haver, aproximadament, al cim de l’Everest a 8 848 m d’altura? Entre moltes altres coses… Per distingir les capes de l’atmosfera segons la temperatura P E R A Q U È S E RV E I X E N L ES F U N C I O N S ? 222 Funció inversa 89 Comprova si aquestes funcions són inverses. a) f (x) = 2 x - 5 ( ) g x x 2 5 = + b) ( ) f x x 4 3 = - ( ) g x x 3 4 = - c) f (x) = x3 + 1 ( ) g x x 1 3 = - 90 Calcula, si és possible, la inversa d’aquestes funcions. a) f (x) = 2 x - 1 d) f (x) = x2 + x b) f (x) = x2 - 5 e) ( ) f x x 2 5 = - c) ( ) f x x 2 1 = + f ) ( ) f x x 2 1 = - 91 Dibuixa la gràfica de la inversa de cada funció. a) 1 1 Y X c) 1 1 Y X b) 1 1 Y X d) 1 1 Y X 92 Calcula les funcions inverses d’aquestes funcions. a) f (x) = ln (x + 3) d) f (x) = sin 2 x b) f (x) = 3 + 4 ? 5x e) f (x) = ;x + 1; c) ( ) tg f x x 2 1 = + f ) ( ) f x x 5 1 log3 = + 93 Donada la funció f(x) = 3x + 5, determina quin és el domini de la seva inversa, f-1. Funcions logarítmiques i exponencials 94 Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = 12x b) g (x) = 2x c) ( ) h x 4 1 x =e o 95 Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = log12 x b) g (x) = log2 x c) 4 ( ) h x x log = 1 A C T I V I T A T S F L A I X 96 Representa en els mateixos eixos de coordenades les ternes de funcions exponencials següents. a) f (x) = 2x g(x) = 5x h(x) = 10x b) ( ) f x 2 1 x =e o ( ) g x 5 1 x =e o ( ) h x 1 10 x =e o 97 Representa en els mateixos eixos de coordenades les ternes de funcions logarítmiques següents. a) f (x) = log2 x g (x) = log5 x h (x) = log10 x b) 2 ( ) f x x log = 1 5 ( ) g x x log = 1 10 ( ) h x x log = 1 98 I N V E S T I G A . En la figura hi ha representades: f (x) = ex ( ) g x x x ln = Els punts A i B tenen abscisa a i formen part de les gràfiques de f i g, respectivament. Si l’àrea del triangle OAB & té 5 u2, determina una equació per trobar el valor de a. Utilitza un programa informàtic per resoldre-la. 99 A partir de la gràfica de la funció exponencial g (x) = 4x, representa les funcions següents. a) f (x) = 4x - 3 b) f (x) = 4x + 1 c) f (x) = 1 + 4x d) f (x) = -4x e) f (x) = 2 - 4x f ) f (x) = 4x - 1 g) f (x) = 4x + 1 + 2 1 1 g(x) = 4x Y X 100 I N V E S T I G A . Sigui la funció ( ) ( ) f x x e ln 2 = - + , si talla l’eix Y en el punt A i els punts B i C tenen la mateixa ordenada, escriu una equació per calcular l’abscissa del punt B, sabent que el triangle té àrea 8 u2. Utilitza un programa informàtic per resoldre-la. 101 A partir de la gràfica de la funció logarítmica g (x) = log x, representa les funcions següents. a) f (x) = log 2 x b) ( ) f x x 2 log = 102 La funció ( ) f x ea x ln = passa pel punt (2, 8). Quin valor pren a? 103 R E P T E . A la figura hi ha representada la funció f. Si l’expressió algebraica de la funció g és g(x) = ln x, quines són les solucions de l’equació ( ) ( ) f g x 0 % = ? f(x) g(x) O B A Y X f (x) O A B C Y X 1 1 Y X f (x) a c t i v i tat s f i n a l s 8 76 Determina el domini d’aquestes funcions. a) f(x) = x 7 3 - d) f(x) = x x x 2 1 2 + - b) f(x) = x 3 7 - e) f(x) = x x 1 + c) f(x) = x x 1 2 2 + f ) f(x) = x x 4 2 - 77 Donada la funció ( ) f x x 2 = , determina l’expressió algebraica de les funcions següents. a) g(x) = f(x - 3) d) g(x) = f(x) + 3 b) g(x) = f(x + 1) e) g(x) = f(-x) c) g(x) = f(x) - 2 f ) g(x) = -f(x) 78 Donada la funció ( ) f x x 2 3 = , contesta. a) Troba’n el domini i indica per a quins valors de x no està definida la funció. b) Copia i completa les taules de valors i fes un esbós de la funció. x -0,1 -0,5 -1 -2 -4 f (x) x 0,1 0,5 1 2 4 f (x) c) Representa ( ) g x x 2 3 = - a partir de f (x). d) Representa f (-x). 79 Donada la funció ( ) f x x 2 4 = - , contesta. a) Troba’n el domini i indica per a quins valors de x no està definida la funció. b) Copia i completa les taules de valors i fes un esbós de la funció. x -0,1 -0,5 -1 -2 -4 f (x) x 0,1 0,5 1 2 4 f (x) c) Representa ( ) g x x 2 4 = a partir de f (x). d) Representa f (-x). 80 Representa gràficament les funcions següents. a) ( ) f x x 2 1 3 = - c) ( ) f x x 2 1 6 = - b) ( ) f x x 2 1 4 = d) ( ) f x x 2 1 5 = 81 Sense representar-les, escriu la relació que hi ha entre les gràfiques d’aquestes funcions i la de ( ) f x x 12 = . a) ( ) g x x 4 12 = + b) ( ) x x h 12 1 = + c) ( ) x x i 12 = - 82 Representa la gràfica de la funció ( ) f x x 3 = . A partir d’ella, representa les funcions següents. a) ( ) g x x x 1 4 = + + c) ( ) i x x x 1 2 1 = + - + b) ( ) h x x x 1 2 5 = - - d) ( ) x x x j 1 5 2 = - - Funcions radicals 83 La gràfica de la funció ( ) f x x = és: 1 1 ( ) f x x = Y X Explica com representaries les funcions següents. a) f (x - 3) c) 4 + f (x) e) 2 - f (x) b) f (x + 1) d) -f (x) f ) f (x) - 2 A C T I V I T A T S F L A I X 84 Estudia el domini de les funcions següents. a) ( ) x f x 3 = + d) ( ) f x x 5 2 = - b) ( ) f x x x 2 3 2 2 = + - e) ( ) f x x x 2 9 2 = + + c) ( ) f x x x 4 4 2 = - + f ) ( ) f x x x 6 2 = + - 85 Quin és el domini d’aquestes funcions amb radicals? a) ( ) f x x x 2 5 7 = - - b) ( ) f x x x 4 1 3 1 = - + - 86 Determina el domini de les funcions. a) ( ) x x f x 1 8 = + + - b) ? ( ) x x f x 2 4 1 = - - 87 I N V E N TA . Escriu en cada cas l’expressió algebraica d’una funció radical amb els dominis següents. a) [ , ) 5 3 + c) [ 3, 3] - b) ( , 2] 3 - - d) R 88 A partir de la gràfica de la funció y x 1 2 = + , explica com faries la representació gràfica de les funcions amb radicals següents. a) ( ) f x x 1 1 2 = + + c) ( ) f x x 1 1 2 = - + b) ( ) f x x 2 1 2 = - + + d) ( ) f x x x 2 2 2 = + + 2 1 Y X 1 1 Y X 217 216 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 PASSA A L'ACCIÓ: PER A QUÈ SERVEIXEN... 5 PRACTICA LES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Treballa els continguts que has après amb activitats de tot tipus: INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLASH… Pots resoldre activitats utilitzant GEOGEBRA, buscant algun tipus d'informació a INTERNET, etc. Troba aplicacions dels continguts que has estudiat i comprèn com es fan servir i per a què serveixen en la vida real. Enfronta't a les FAKE NEWS. Fes servir els continguts que has après per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions que apareixen en diversos mitjans. 140 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . A R Q U I T E C T U R A . A la figura hi ha representat un pont per a vianants sobre el riu Sella. Considerat O l’origen de coordenades, l’arc del pont ve donat per ( ) , ( ) f x e e 9 2 5 , , x x 1 0 2 0 2 1 = - + - - , amb [ , ] x 0 7 ! . a) Sigui S el punt sobre el segment OR que verifica l’equació ( ( )) f x 0 2 2 2 + = . Resol l’equació i interpreta’n la solució en el context del problema. b) Al port, al costat del pont, hi ha un vaixell de vela el màstil del qual té 6 metres des del punt més alt fins a l’aigua. Podrà passar per sota el pont? 141 En un llac viu una espècie de peix gran que s’alimenta d’una espècie de peixos més petits i aquests, al seu torn, s’alimenten de plàncton. El nombre de peixos grans és una funció f (x) de la quantitat x de peixos petits i el nombre de peixos petits és una funció g( y) de la quantitat y de plàncton del llac. Expressa la població de peixos grans en funció del plàncton del llac si: ( ) f x x 30 120 = + g( y) = 4y - 1 a c t i v i tat s f i n a l s 8 131 El preu en euros d’un article perible que es comença a vendre el primer dia d’un mes determinat varia amb el temps, en dies, segons la funció: ( ) P t t t t t t 4 8 0 4 4 2 5 4 10 si si 2 1 # # # = + - + + * a) Quin és el preu inicial de l’article? b) Dibuixa la gràfica de la funció P(t). 132 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . B I O L O G I A . La dinàmica de poblacions és una branca de la biologia que, amb l’ajuda de les matemàtiques, tracta de descriure i quantificar els canvis que es donen en una població. El desenvolupament d’una població de peixos està modelat per la funció ( ) P t e 1 19 20 , t 0 5 = + - , amb t 0 $ . En el model, P(t) és la mida de la població en tones i t és el nombre d’anys després de l’instant inicial. a) Determina quants anys han de transcórrer perquè la població de peixos arribi a les 15 tones. b) Pot passar que la població excedeixi alguna vegada les 20 tones? 133 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . S O C I E TAT. Una ONG ha estimat que el nombre de persones hospitalitzades després d’un tsunami segueix aproximadament la fórmula: ( ) ( , ) P t t t 1 10 110 0 30 2 ! = + + en què P és el nombre de persones hospitalitzades, en milers, i t és el nombre de dies que han passat des del tsunami. a) Quantes persones hi haurà hospitalitzades el primer dia? b) I quantes n’hi haurà al cap de tres setmanes? c) Si la capacitat hospitalària d’una illa de l’àrea afectada és de 2 000 llits, fins a quin dia la capacitat va estar desbordada? 134 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . F Í S I C A . Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d’un objecte segueix la funció: f (t) = T + (C - T) ? e-kt, en què T és la temperatura ambient, C la temperatura inicial, t el temps transcorregut i k la taxa de refredament de l’objecte per unitat de temps. Un objecte amb una temperatura de 40 °C es deixa a l’aire lliure, on la temperatura és de 25 °C, i després de 10 minuts la temperatura de l’objecte és de 34 °C. Quant temps ha de passar perquè l’objecte es refredi fins a tenir una temperatura de 30 °C? I N T E R N E T I N T E R N E T 135 La Nina i en Simon competeixen en una cursa ciclista d’anada i tornada entre dues ciutats. A l’anada la Nina va a 25 km/h i a la tornada, ja cansada, a 15 km/h. En Simon, en canvi, va a 20 km/h tota l’estona. a) Qui guanya? b) Hi ha alguna manera que la Nina, anant més ràpida a l’anada i més lenta a la tornada, guanyi en Simon tenint en compte que la mitjana de les dues velocitats de la Nina és 20 km/h? 136 En una cursa de 1 000 metres, la Mei treu 50 metres d’avantatge a en Xavier. A la pròxima cursa, la Mei sortirà 50 metres per darrere d’en Xavier. a) N’hi ha prou perquè arribin alhora a la meta? b) Si no n’hi ha prou, quants metres serien necessaris? 137 Considera una piscina d’aigua plena fins a la vora en la qual s’obre una vàlvula per buidar-la. L’altura (en metres) de l’aigua de la piscina ve donada per aquesta funció: ( ) , ( , , ) h t t 2 15 8 9 0 51 ln = + - en què t és el temps (en minuts) des que s’obre la vàlvula. Calcula després de quant de temps l’altura de l’aigua és la meitat de l’altura de la piscina. 138 Després de llençar un globus aerostàtic, la seva altura, en metres, ve determinada per la funció: ( ) A t e 1 29 30 t 2 = + - per a [ , ] t 0 5 ! , amb t en minuts. a) Troba els metres que puja el globus en el primer minut. b) Quan el globus és entre els 12 m i els 20 m d’altura, es destapen dos panells publicitaris. Durant quants segons es veurà la publicitat? 139 Esteu organitzant el viatge de final de curs per al teu grup. Agència 1. Si el nombre d’estudiants que va de viatge és 40 o menys, cadascú pagarà 200 €. Si es superior a 40, se descontará un 10 % a cada uno. Agència 2. Si completen un autobús de 60 persones, el preu serà de 150 € per persona. Per cada seient buit a l’autobús, s’incrementarà el preu un 1 % per persona. Quina agència us convé? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 142 Considera la funció següent. ( ) f x x 10 1 000 ln = d n a) Troba el domini de la funció. b) Calcula f -1(x). 143 El nombre de dies que necessita una població de plàncton per arribar a pesar x micrograms ve donat per ( ) f x x 10 1 000 ln = d n. a) Entre quins valors varia el pes? b) Indica el pes en funció del temps. 144 Sigui la funció: f (x) = 200 · b x a) Quina és la variable independent? b) Sigui b = 2,5 i g(x) = 20 000, determina el valor de x perquè es compleixi f (x) = g(x). c) Indica els possibles valors de b perquè f (x) sigui decreixent. 145 El ritme bàsic de reproducció, RO, d’un virus en una regió és 2,5. És a dir, cada persona malaltat infecta unes altres 2,5. Si el primer dia hi havia 200 persones malaltes, expressa el nombre d’infectats en funció del temps. a) Quina és la variable independent? b) Quan s’arriba a 20 000 infectats? c) En quin interval ha d’estar el R0 perquè l’epidèmia estigui controlada? 146 Considera les funcions: ( ) f x x 3 4 3 r = ( ) g x x 50 000 = a) Calcula f-1(x). b) Troba ( ) ( ) h x f g x 1% = - . 147 La Dana infla la pilota de la platja per jugar. a) Troba el radi de la pilota en funció del volum. b) Se li peta i es comença a desinflar; la mida del radi segueix la funció ( ) t t g 50 000 = , t > 10, amb t en minuts. Indica el radi en funció del temps. Baixa l’atur? Un estudi sobre la repercussió del turisme a la costa assegura que durant els festius es creen prop de 10 000 nous llocs de treball en el sector. Les últimes dades del Ministeri de Treball mostren que en el mes de juny es va contractar 40 000 persones en hosteleria a la costa, malgrat que només hi va haver dos dies festius. L’oposició assegura que les dades estan manipulades de cara a les pròximes eleccions. I tu, què en penses? NE WS FAKE ? I N T E R N E T 7 m x O P R Q f (x) 221 220 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diferents àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… 7
RkJQdWJsaXNoZXIy