Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Sonia Alejo Sánchez Lourdes Pérez González José Antonio Almodóvar Herráiz Carlos Pérez Saavedra Clara Inés Lavado Campos Federico Rodríguez Merinero Silvia Marín García Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN Sonia Alejo Sánchez Aída Moya Librero Clara Inés Lavado Campos Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno. 2 E S O Matema´ ticas
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 1 Números enteros 9 1. Números enteros _ 10 2. Operaciones con números enteros _ 12 3. Múltiplos y divisores de números enteros _ 16 4. Factorización de un número entero _ 18 5. M áximo común divisor y mínimo común múltiplo _ 20 2 Fracciones y decimales 31 1. Fracciones _ 32 2. Fracciones equivalentes _ 33 3. Comparación de fracciones _ 36 4. Operaciones con fracciones _ 37 5. Operaciones combinadas con fracciones _ 40 6. Números decimales _ 42 7. Aproximación y estimación _ 43 8. F racciones y números decimales _ 44 9. Operaciones con números decimales _ 46 3 Potencias y raíz cuadrada 57 1. Potencias de números enteros _ 58 2. Notación científica _ 60 3. Potencias de fracciones _ 61 4. Operaciones con potencias _ 62 5. Raíz cuadrada de números enteros _ 64 6. Raíz cuadrada de fracciones _ 66 4 Expresiones algebraicas 77 1. Expresiones algebraicas _ 78 2. Monomios _ 79 3. Operaciones con monomios _ 80 4. Polinomios _ 82 5. O peraciones con polinomios _ 83 6. Igualdades notables _ 86 5 Ecuaciones de primer y segundo grado 97 1. Igualdades algebraicas _ 98 2. Elementos de una ecuación _ 99 3. Ecuaciones de primer grado _ 100 4. Ecuaciones de segundo grado _ 104 5. R esolución de problemas mediante ecuaciones _ 108 6 Sistemas de ecuaciones 119 1. Ecuaciones lineales _ 120 2. Sistemas de ecuaciones lineales _ 122 3. Resolución de sistemas de ecuaciones _ 123 4. Métodos de resolución de sistemas _ 124 5. R esolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones _ 128 2
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se resuelven operaciones de sumas y restas con paréntesis • Cómo se resuelven las operaciones combinadas con números enteros • Cómo se calculan todos los divisores de un número • Cómo se factoriza un número • Cómo se resuelven problemas utilizando el m. c. d. o el m. c. m. • Cómo se extrae factor común en operaciones con números enteros • Cómo se calcula un múltiplo de un número comprendido entre otros dos MATEMÁTICAS Y… • Cambio climático • Química • Historia • Geografía • Clima • Transporte • Tecnología FAKE NEWS. Análisis de noticias ¡Te vas a quedar helado! (Comprensión de las instrucciones y la puesta en marcha de un electrodoméstico) • Cómo se calcula la fracción irreducible • Cómo se resuelven operaciones con fracciones negativas • Cómo se resuelven operaciones combinadas con paréntesis • Cómo se determina el tipo de número decimal que corresponde a una fracción • Cómo se dividen números decimales • Cómo se determinan números decimales entre otros dos números • Cómo se calcula el total conocida una parte MATEMÁTICAS Y… • Móviles • Vehículos • Baloncesto • Apps • Ordenadores • Economía FAKE NEWS. Análisis de datos El secreto de la familia (Comprensión de una receta de cocina y modificación de cantidades) • Cómo se calcula el valor de la potencia de un número entero • Cómo se resuelven las operaciones combinadas con potencias y raíces • Cómo se calcula un producto o división de potencias • Cómo se resuelven operaciones cuando las bases tienen factores primos comunes MATEMÁTICAS Y… • Ordenadores • Alimentación • Biología • Literatura FAKE NEWS. Reflexión sobre la evolución de la pandemia Me faltan datos (Análisis y comprensión de las medidas informáticas de capacidad y velocidad) • Cómo se resuelven operaciones combinadas con monomios • Cómo se extrae factor común de un polinomio • Cómo se expresa un polinomio como cuadrado de una suma o una diferencia • Cómo se expresa un polinomio como producto de una suma por una diferencia • Cómo se calcula un coeficiente de un polinomio conociendo uno de sus valores numéricos MATEMÁTICAS Y… • Naturaleza • Ciclismo FAKE NEWS. Análisis de datos geométricos Cuestión de imagen (Estudio de formatos y tamaños de imagen en vídeos y proyecciones) • Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado • Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado con paréntesis • Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado con denominadores • Cómo se sabe el número de soluciones que tiene una ecuación de segundo grado • Cómo se resuelven ecuaciones de segundo grado • Cómo se resuelven problemas utilizando ecuaciones • Cómo se resuelven ecuaciones con un solo denominador MATEMÁTICAS Y… • Transporte • Historia • Economía FAKE NEWS. Análisis de ofertas. Educación financiera La parábola del lanzador (Estudio del baloncesto desde una perspectiva matemática) • Cómo se calculan soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales • Cómo se resuelven problemas utilizando sistemas de ecuaciones • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones con paréntesis y denominadores MATEMÁTICAS Y… • Energía • Economía • Naturaleza • Transporte FAKE NEWS. Análisis de ofertas. Educación financiera El coche fantástico (Análisis de modelos de coche y sus consumos) 3
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 7 Proporcionalidad numérica 137 1. Magnitudes directamente proporcionales _ 138 2. Magnitudes inversamente proporcionales _ 140 3. Repartos proporcionales _ 142 4. Proporcionalidad compuesta _ 144 5. Porcentajes _ 146 6. Aumentos y disminuciones porcentuales _ 148 8 Proporcionalidad geométrica 159 1. Segmentos proporcionales _ 160 2. T eorema de Tales _ 161 3. Semejanza de triángulos _ 163 4. Criterios de semejanza de triángulos _ 164 5. Polígonos semejantes _ 166 6. Escalas _ 168 9 Figuras planas. Áreas 179 1. Teorema de Pitágoras _ 180 2. Aplicaciones del teorema de Pitágoras _ 181 3. Área de polígonos _ 184 4. Ángulos en los polígonos _ 188 5. Longitud de una circunferencia _ 189 6. Área del círculo y figuras circulares _ 190 7. Ángulos en la circunferencia _ 192 10 Cuerpos geométricos. Áreas y volúmenes 203 1. Poliedros _ 204 2. Prismas. Áreas _ 206 3. Pirámides. Áreas _ 207 4. Cuerpos de revolución. Áreas _ 210 5. Volumen de un cuerpo _ 212 6. Volumen de ortoedros y cubos _ 213 7. Volumen de prismas y cilindros _ 214 8. Volumen de pirámides y conos _ 215 9. Volumen de esferas. Figuras esféricas _ 216 11 Funciones 227 1. Concepto de función _ 228 2. Formas de expresar una función _ 229 3. Estudio de una función _ 232 4. F unciones de proporcionalidad directa _ 235 5. Funciones lineales _ 236 12 Estadística y probabilidad 247 1. Variables estadísticas _ 248 2. Frecuencias _ 249 3. Gráficos estadísticos _ 251 4. Medidas estadísticas _ 254 5. Experimentos aleatorios _ 256 6. Sucesos _ 257 7. Probabilidad. Regla de Laplace _ 258 4
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se resuelven problemas mediante una regla de tres simple directa • Cómo se resuelven problemas mediante una regla de tres simple inversa • Cómo se realizan repartos directa o inversamente proporcionales • Cómo se resuelven problemas mediante una regla de tres compuesta • Cómo se resuelven problemas de porcentajes • Cómo se resuelven problemas de porcentajes encadenados • Cómo se resuelven problemas de proporcionalidad por reducción a la unidad • Cómo se resuelven problemas de móviles MATEMÁTICAS Y… • Dinámica • Cinética • Energía • Publicidad • Telecomunicaciones • Productos financieros FAKE NEWS. Análisis de datos y toma de decisiones Carga y descarga (Relación entre la capacidad de las baterias, el tiempo de carga y el tiempo de uso) • Cómo se dividen segmentos en partes iguales o proporcionales • Cómo se resuelven problemas mediante la semejanza de triángulos • Cómo se calculan perímetros y áreas de polígonos semejantes • Cómo se calculan distancias en un mapa • Cómo se representan fracciones en la recta numérica usando el teorema de Tales • Cómo se determina la escala de un plano MATEMÁTICAS Y… • Arquitectura • Medioambiente • Cartografía • Fotografía • Modelismo FAKE NEWS. Aplicaciones de la semejanza Naturaleza y diversión (Lectura y comprensión de mapas topográficos) • Cómo se calculan los elementos de un cuadrilátero • Cómo se calculan los elementos de un polígono regular • Cómo se calculan áreas de figuras poligonales • Cómo se calculan áreas de figuras circulares • Cómo se calcula la medida de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles • Cómo se halla la altura de un triángulo equilátero MATEMÁTICAS Y… • Hogar • Atletismo • Circulación FAKE NEWS. Análisis de datos Más allá de las estrellas (Formas geométricas en los telescopios espaciales) • Cómo se obtiene el desarrollo plano de un prisma o una pirámide regulares • Cómo se calcula el área de un prisma y una pirámide • Cómo se calcula el área de un cuerpo de revolución • Cómo se calcula el volumen de un cuerpo geométrico • Cómo se calcula el área de una pirámide conociendo sus aristas MATEMÁTICAS Y… • Celebraciones • Cuerpo humano • Agricultura • Deporte • Meteorología FAKE NEWS. Cálculo de volúmenes en representaciones gráficas ¡Una historia de la leche! (Estudio de la forma, capacidad y superficie de paquetes de leche) • Cómo se representa una función a partir de su ecuación • Cómo se estudia e interpreta una función • Cómo se representan funciones lineales • Cómo se determina la ecuación de una función de proporcionalidad directa conociendo uno de sus puntos • Cómo se halla la ecuación de una función lineal conociendo dos de sus puntos MATEMÁTICAS Y… • Transporte • Aviación FAKE NEWS. Cálculo de la depreciación de un bien. Cada gota importa (Análisis crítico de los recursos hídricos y su uso sostenible) • Cómo se construyen tablas de frecuencias • Cómo se interpretan gráficos estadísticos • Cómo se calculan e interpretan las medidas estadísticas • Cómo se calculan probabilidades mediante la regla de Laplace • Cómo se dibujan pictogramas • Cómo se calculan probabilidades mediante un diagrama de árbol MATEMÁTICAS Y… • Medicina • Turismo • Reciclaje • Azar FAKE NEWS. Análisis crítico de datos estadísticos Privacidad, seguridad, tranquilidad (Estudio de algunas formas de encriptar mensajes) 5
6 Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Cómo se calcula el valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio es el resultado de sustituir la variable x por un número dado. E J E M P LO P(x) = x2 - 3x + 2, para x = 2: P(2) = 22 - 3 ? 2 + 2 = 0 Q(x, y) = 2xy2 + 3x2y, para x = 2, y = 1: Q(2, 1) = 2 ? 2 ? 12 + 3 ? 22 ? 1 = 16 A C T I V I D A D E S 2 Calcula el valor numérico de ( , ) P x y x y x y 3 2 = - + para x = -1 e y = 3. a) 11 b) -15 c) 13 d) -12 Cómo se traduce al lenguaje algebraico El lenguaje numérico expresa la información matemática solo mediante números. E J E M P LO Enunciado Expresión algebraica El triple de un número " 3x La mitad de un número " x 2 El cuadrado de un número " x2 El cuadrado de un número más dos unidades " x2 + 2 A C T I V I D A D E S 1 Señala en lenguaje algebraico «la diferencia del triple de un número y una unidad». a) 3x - 1 b) 3(x - 1) c) 3x - 3 d) (x - 1)3 ¿Qué sabes ya? Ecuaciones de primer y segundo grado 5 ¡Menudo tocho! En un libro, para marcar el número de cada página, se han empleado 3 901 cifras. ¿Cuántas páginas tiene? D E SA F Í O 97 ES0000000177388 298626_05_097_118_136946.indd 97 16/3/23 0:22 2. Sistemas de ecuaciones lineales E J E M P LO 4. Indica si estos valores son solución del sistema x y x y 2 7 3 7 + = - = 3. a) x = 1, y = 3 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 1, y = 3 " ? ? 1 2 3 7 3 1 3 7 ! + = - 2 " No es solución. La segunda ecuación no se cumple. b) x = 3, y = 2 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 3, y = 2 " ? ? 3 2 2 7 3 3 2 7 + = - = 2 " Es solución. c) x = 0, y = -7 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 0, y = -7 " ? ? ( ) ( ) 0 2 7 7 3 0 7 7 ! + - - - = 3 " No es solución. La primera ecuación no se cumple. E J E M P LO 5. Resuelve el siguiente sistema: x y x y 2 3 2 + = = - 3. Para resolver este sistema hay que encontrar los pares de valores que verifiquen las dos ecuaciones. Una forma consiste en construir una tabla de valores para cada una de las ecuaciones. Se trata de despejar una incógnita y dar valores a la otra. • En la primera ecuación despejamos y. Después, damos valores a x y hallamos los valores de y correspondientes. 2x + y = 3 " y = 3 - 2x x -3 -2 -1 0 1 2 3 … y 9 7 5 3 1 -1 -3 … Recuerda que las ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen infinitas soluciones. • En la segunda ecuación ya está despejada x; por tanto, damos valores a y y hallamos los valores de x correspondientes. x = -2y x 6 4 2 0 -2 -4 -6 … y -3 -2 -1 0 1 2 3 … El único par de valores que se repite en las dos tablas es x = 2, y = -1. Decimos que el par de valores x = 2, y = -1 es solución del sistema, ya que verifica las dos ecuaciones a la vez. G E O G E B R A 11 Determina si son sistemas lineales. a) x y x y 2 4 5 3 - - = + = 3 b) x y x y 5 2 2 3 5 8 - = - + = 3 12 Comprueba si x = 1 e y = -1 es solución de este sistema. x y x y 2 3 5 0 - - = + = 3 13 Dados los valores numéricos x = 0 e y = 3, di si son solución de este sistema. x y x y 2 3 5 15 = + = + 3 14 R E F L E X I O N A . Si en el sistema x y x y 3 2 2 4 3 3 - = + = -3 la incógnita x toma el valor 0, ¿qué valor tendrá que tomar y para que ambos formen la solución? A C T I V I D A D E S 15 Si en el sistema x y x y 3 2 5 + = + = 3 la x toma estos valores, ¿qué valores tendrá y en cada ecuación? ¿Cuál es la solución del sistema? a) x = 1 b) x = 3 c) x = 2 d) x = -2 e) x = -1 f ) x = 0 16 Si en el sistema x y x y 3 0 3 2 11 + = - = 3 la incógnita y toma estos valores, ¿qué valores tendrá x en cada ecuación? ¿Cuál es la solución del sistema? a) y = 1 b) y = -2 c) y = -1 d) y = 2 e) y = 0 f ) y = 3 17 Resuelve estos sistemas mediante tablas. a) x y x y 2 0 12 1 + = + = 3 b) x y x y 0 3 4 + = - = 3 c) x y x y 1 5 = = - + 3 d) x y x y 4 2 2 - = + = 3 18 REFLEXIONA. La solución del sistema x y x y 2 2 5 + = - - = 3 es x = 1, y = -3. Escribe dos sistemas con la misma solución y que compartan con él una de las ecuaciones. ¿Existe un sistema con esa solución y las dos ecuaciones distintas? A C T I V I D A D E S Una solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números que hace ciertas las dos ecuaciones a la vez. Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar su solución . 3. Resolución de sistemas de ecuaciones 6 R E T O Averigua el valor de a y b para que la solución de este sistema sea x = 1 e y = -2? ax y x by 2 7 5 3 - + = - + = - 4 R E T O Un sistema de ecuaciones, ¿tiene siempre solución? ¿Puede tener más de una solución? En un sistema de ecuaciones: ax by c a x b y c + = + = l l l4 • x e y son las incógnitas o variables. • a y al son los coeficientes de x. • b y bl son los coeficientes de y. Cuando despejamos una incógnita en una ecuación es conveniente despejar una incógnita que tenga como coeficiente 1 o -1, y así evitar trabajar con denominadores. x + 2y = 0 " x = -2y Dos ecuaciones lineales de las cuales se busca una solución común forman un sistema de ecuaciones lineales. ax by c a x b y c + = + = l l l4 E J E M P LO 3. Averigua si son sistemas de ecuaciones lineales. a) x y x y 3 2 4 5 1 + = - = " 3 Es un sistema de ecuaciones lineales. b) x y x y 3 3 2 7 9 2 + = - + = " 3 No es un sistema de ecuaciones lineales, porque la primera ecuación es de segundo grado. 123 122 ES0000000177388 298626_06_119_136_136996.indd 122-123 16/3/23 11:23 5. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones 37 A partir de la nota de la camarera, calcula el precio del batido y del zumo. 38 Un hotel tiene 23 habitaciones entre dobles y triples. Ahora están todas las habitaciones completas y hay 49 personas alojadas. ¿Cuántas habitaciones son de cada tipo? 39 En un aparcamiento hay 120 vehículos entre coches y motos. Si se van 40 coches, el número de coches y el número de motos es el mismo. ¿Cuántos coches hay? ¿Y motos? A C T I V I D A D E S Cómo se resuelven problemas utilizando sistemas de ecuaciones Un empleado de un almacén cobra 6 € por cada hora trabajada en horario diurno y 9 € por cada hora que trabaja en horario nocturno. Si al final del mes ha cobrado 840 € por trabajar 120 horas, ¿cuántas horas ha trabajado en cada turno? 1 Identificamos las incógnitas. 2 Planteamos el sistema. Cobra 6 € por cada hora trabajada de día. " Salario cobrado por las horas diurnas: 6x. Cobra 9 € por cada hora trabajada de noche. " Salario cobrado por las horas nocturnas: 9y. Ha cobrado 840 €: 6x + 9y = 840 " El sistema obtenido es x y x y 6 9 840 120 + = + = 4 . Ha trabajado 120 h: x + y = 120 3 R esolvemos el sistema. x y x y 6 9 8 0 120 4 + = + = 3 ? (-6) " x y x y x y x y 6 9 840 6 6 720 6 9 840 6 6 720 + = - - = - + + = - - = - " 3 4 y y 3 120 3 120 40 = = = " x y 120 + = y = 40 " x x x 40 120 120 40 80 + = = - = " " 4 Comprobamos e interpretamos la solución. x y x y 6 9 8 0 120 4 + = + = 3 x = 80, y = 40 " ? ? 6 80 9 40 840 80 40 120 840 840 120 120 + = + = = = " 2 2 Ha trabajado 80 horas en el horario diurno y 40 horas en el nocturno. Lo que sabemos Lo que no sabemos Cada hora del turno de día cobra 6 €. Cada hora del turno de noche cobra 9 €. Ha ganado 840 €. Ha trabajado 120 h. N.º de horas trabajadas de día. N.º de horas trabajadas de noche. N.º de horas trabajad s de día: x. N.º de horas trabajadas de noche: y. 6 Es importante comprobar que la solución del sistema tiene sentido en la situación real que estamos resolviendo. MESA A 2 batidos + 4 zumos 16 € MESA B 3 batidos + 2 zumos 12 € Obtenemos dos igualdades. La solución es válida. Calculamos el valor de x. Utilizamos el método de reducción. 129 ES0000000177388 298626_06_119_136_136996.indd 129 16/3/23 11:13 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Afianza esos saberes mediante los EJEMPLOS incluidos para cada contenido. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL aprendiendo, paso a paso, las destrezas básicas. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Pon a prueba tus conocimientos y ayúdate de tu razonamiento matemático para resolver el RETO. ¡Llegarás a resultados inesperados! Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: JUEGOS, INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver estas actividades mediante CÁLCULO MENTAL, utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Aprende a partir de textos claros y estructurados. Recuerda los contenidos que ya sabes y que te serán útiles para la unidad. Evalúa esos conocimientos resolviendo las actividades propuestas. CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3
7 83 Mónica mide 1,5 m. Acude a un concierto de rock, y 1 m por delante de ella se sitúa Lola, cuya estatura es de 1,70 m. Halla la altura del escenario si Mónica ve el suelo del mismo justo por encima de Lola y esta se encuentra a 20 m del escenario. 84 M AT E M ÁT I C A S Y. . . T R Á F I C O . Esta señal indica que, por cada 100 m que avanzamos en una carretera en horizontal, la carretera se eleva 8 m. 100 m 8 m G F G F Si tras subir un tramo nos elevamos 10 m, ¿qué distancia hemos recorrido en horizontal? 85 En una escalera de un bloque de pisos cada escalón tiene de alto 20 cm y de fondo 25 cm. ¿Qué pendiente en tanto por ciento tiene dicha escalera? 86 M AT E M ÁT I C A S Y. . . B I L L A R . ¿A qué distancia n tenemos que golpear en la banda para que la bola blanca choque con la roja? n m 50 cm 30 cm 80 cm G F G F G F 87 R E T O . Teo está situado a 4 m de la orilla de un río y ve reflejada una montaña en el agua. Si Teo mide 1,80 m y el río está a 8 km de la montaña, ¿qué altura tiene la montaña? Escalas 88 Calcula la altura real de estos elementos que están fabricados a la escala que aparece bajo ellos. 1:100 1:20 1:25 94 Halla la escala a la que está dibujado un plano en el que una distancia real de 80 m equivale a: a) 8 cm b) 10 cm c) 8 dm d) 4 dm e) 2 cm 95 En la fotografía de un paisaje, Martín mide 2,5 cm de estatura. Si la estatura de Martín es de 1,75 m: a) ¿A qué escala está hecha la foto? b) Si en la misma fotografía Martín está junto a un edificio que mide 15 cm de altura, ¿cuánto mide en la realidad? c) Martín está apoyado en una farola que mide 6 m, ¿qué altura tiene en la foto? 96 M AT E M ÁT I C A S Y. . . M O D E L I S M O . Esta es la etiqueta de un puzle en 3D de la torre Eiffel. Teniendo en cuenta la altura de la torre Eiffel, ¿a qué escala se ha hecho? 97 R E T O . En un mapa a escala 1:50 000, dos puntos están separados 4 cm. En otro mapa, esos mismos puntos distan 6 cm. ¿Qué distancia real separa a esos dos puntos? ¿A qué escala está hecho el segundo mapa? I N T E R N E T 89 Dibuja un campo de fútbol a escala 1:400 en el que: Su longitud mide 80 m y su anchura es 60 m. El círculo central mide 20 m de diámetro. 90 Este plano representa el comedor de una casa. 1:75 a) Calcula la longitud y la anchura. b) Averigua qué distancia hay de la mesa a la mesita. Cómo se determina la escala de un plano 91 ¿A qué escala está dibujado un plano en el que una distancia real de 50 m se representa con una longitud de 2,5 cm? primero. Se mide sobre el plano la longitud que se conoce en la realidad. En este caso no hace falta medir, es 2,5 cm. segundo. Se expresan ambas longitudes en una misma unidad y se divide. 50 m 5 000 cm 2,5 cm 2,5 5 000 2 000 = = " 3 tercero. Se escribe la escala como 1 : a, siendo a el número resultante de la división. La escala del plano es 1:2 000. 92 M AT E M ÁT I C A S Y. . . C A R T O G R A F Í A . Sabiendo que la longitud real de la isla de Cuba es de 1 250 km, calcula la escala aproximada a la que está hecho el mapa. 93 M AT E M ÁT I C A S Y. . . F O T O G R A F Í A . ¿A qué escala está la fotografía si la media de un tiburón ballena es de 7 m de longitud? ¿Cuánto mide de alto su aleta? a c t i v i da d e s f i n a l e s 8 Vista y monitores La distancia óptima a nuestro monitor se alcanza cuando se aprecian todos los detalles sin entornar los ojos y no hace falta girar la cabeza para observar completamente el campo de visión. Esta distancia es proporcional al tamaño del monitor. Tamaño del monitor Distancia 24 pulgadas 65 cm 27 pulgadas 80 cm 32 pulgadas 95 cm Y tú, ¿qué opinas? P R O B L E M A S A P A R E N T E M E N T E D I S T I N T O S 98 Halla la medida que falta sabiendo que son triángulos semejantes. 99 La sombra que proyecta una chimenea mide 40 m. Al mismo tiempo, un poste de 60 cm proyecta una sombra de 50 cm. ¿Cuál es la altura de la chimenea? 100 Halla los lados que faltan. 101 Calcula las dimensiones de un jardín rectangular de 7,5 m de diagonal y que es semejante a otro también rectangular cuyas dimensiones miden 3,6 m y 4,8 m. 102 Calcula el dato desconocido. x 5 1 40 000 = 103 Observa el plano, cuya escala es 1:40 000, y di qué distancia hay entre los puntos A y B. NE WS FAKE ? 50 cm 60 cm 40 m h 7,5 m 4,8 m 3,6 m x y 298626_08_p24_cuba_fisi co 175 174 A B ES0000000177388 298626_08_159_178_137431.indd 174-175 16/3/23 11:49 6 S I T U A C I Ó N D E A P R E N D I Z A J E 1 El precio del combustible por kilómetro Aunque un coche con motor híbrido es más caro que un coche con motor de gasolina, es menos contaminante y, además, gasta menos combustible, sobre todo al circular por la ciudad. Si recorremos 100 km, ¿cuántos litros de gasolina gasta, aproximadamente, el coche que queremos comprar con motor de gasolina? ¿Y si lo compramos con motor híbrido? ¿Cuál será el coste en combustible de los dos modelos si recorremos 100 km? Si compramos un coche con motor de gasolina, ¿cuántos litros de combustible, aproximadamente, necesitamos al año? ¿Y si lo compramos con motor híbrido? ¿Cuánto dinero gastaremos en gasolina al año con cada uno de los modelos, aproximadamente? 3 ¿Combustión o eléctrico? Otro asunto que nos preocupa es el volumen de emisiones del coche al medioambiente. En el concesionario nos han ofrecido el mismo modelo de coche con un motor totalmente eléctrico. Este coche contamina bastante menos y el coste de energía por cada 100 km es de unos 2,50 €. El problema es que es mucho más caro, ya que su precio es de 20 500 €. Sin considerar que contamina menos, ¿cuántos años tiene que durar este coche para que sea económicamente más rentable que los anteriores? 2 ¿Gasolina o híbrido? Escribe, para cada tipo de coche, una ecuación con dos incógnitas, que relacione los kilómetros recorridos, x, y el dinero gastado en combustible en euros, y. Utilizando esas ecuaciones, calcula el coste de cada coche al recorrer 800 km. ¿Cuántos kilómetros habremos recorrido con cada tipo de coche si llevamos gastados 150 € en combustible? Utiliza las ecuaciones para construir una tabla como esta en tu cuaderno para cada tipo de coche. Años desde la compra del coche 1 4 10 12 14 16 18 N.º de km recorridos Coste del combustible Si cambiamos de coche cada 4 años, ¿cuál deberíamos comprar para que nos salga más rentable? Si cambiamos de coche a los 18 años, ¿qué coche nos saldría más rentable? ¿Cuántos años deberíamos mantener el coche como mínimo para que sea más rentable comprar uno con motor híbrido? El tiempo pasa para todos, también para nuestro viejo coche, que no para de tener averías y, además, su eficiencia energética es muy mejorable. Después de visitar algunos concesionarios, ya nos hemos puesto de acuerdo en el modelo de coche, pero nos falta por decidir si lo compramos con motor de gasolina o con motor híbrido. El coche fantástico Tipo de motor Precio Consumo Gasolina 14 800 € 4,8 ℓ/100 km Híbrido 17 100 € 2,8 ℓ/100 km ZWK Modelo Torban Ofertas Número de kilómetros que solemos hacer al año: 12 000 km. Precio del litro de gasolina Gasolina 1, 7 8 9 135 134 ES0000000177388 298626_06_119_136_136996.indd 134-135 16/3/23 11:24 R E S U M E N D E U N I D A D 12 A U T O E V A L U A C I Ó N 1. Reconoce los distintos tipos de variables estadísticas 1 Señala la variable cuantitativa continua. a) Medida de la mano. c) Número de primos. b) Lugar de nacimiento. d) Deporte favorito. 2. Organiza datos en tablas de frecuencias y construye gráficos estadísticos 2 Este diagrama corresponde a las notas de un examen de 40 estudiantes. ¿Cuántos han aprobado? a) 4 c) 34 b) 35 d) 36 3. Calcula media, mediana, moda y rango 3 Calcula la estatura media, en cm, de un grupo de amigas. 158 159 159 160 162 160 158 158 a) 158 b) 159 c) 159,25 d) 159,5 4. Identifica los experimentos aleatorios 4 Indica los experimentos aleatorios. a) Pesar 1 kilo de naranjas. b) Observar si cae de lado el tapón de una botella. c) Pronosticar el tiempo que hará en una semana. d) Calcular la raíz cuadrada de 10 000. 5. Calcula probabilidades de sucesos en experimentos aleatorios 5 En una caja hay 4 camisetas verdes y 5 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una verde? a) 8 4 b) 5 4 c) 9 5 d) 9 4 ESTAD Í ST I CA Variable cualitativa F Empleo Variable cuantitativa discreta F Edad Variable cuantitativa continua F Estatura TABLA DE FRECUENC I AS Datos fi hi Fi Hi A 7 0,28 7 0,28 B 10 0,4 17 0,68 C 8 0,32 25 1 N = 25 1 GRÁF I COS ESTAD Í ST I COS Diagrama de barras Diagrama de sectores MED I DAS ESTAD Í ST I CAS Media aritmética ? ( , ) x N f x 8 44 5 5 i i = = = / Mediana , Me 2 5 6 5 5 = + = Moda Mo = 4 y 7 EXPER I MENTOS AL EATOR I OS Espacio muestral , , , , , E 1 2 3 4 5 6 =# - Suceso elemental 5 # - Suceso elemental 4 # - Suceso elemental 6 # - F F G REGLA DE LAPLACE ( ) N.º de casos posibles N.º de casos favorables al suceso P A A = Datos (xi) fi 3 1 4 2 5 1 6 1 7 2 8 1 N = 8 A B C 10 8 6 4 2 0 fi xi • ¿Usas las matemáticas en otras asignaturas? • ¿Cumples tus tareas con buena disposición? V A L O R A T U A P R E N D I Z A J E B A C Excelente 144° Suspenso 36° Aprobado 54° Bien 18° Notable 108° 268 ES0000000177388 298626_12_247_268_138458.indd 268 16/3/23 7:54 PASA A LA ACCIÓN: SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 5 EVALÚA LO QUE HAS APRENDIDO: AUTOEVALUACIÓN 6 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones generalizadas en nuestro mundo. Repasa los saberes básicos de la unidad. Evalúa lo que has aprendido resolviendo las actividades que se proponen en la AUTOEVALUACIÓN. Identifica y gestiona tus emociones aceptando el error como parte de tu aprendizaje. Comprende y analiza con sentido crítico situaciones reales en los contenidos que has aprendido para abordarlas de manera global.
Cómo se calculan el m. c. m. y el m. c. d. de números naturales El m. c. m. de dos números naturales se calcula multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. El m. c. d. de dos números naturales se calcula multiplicando los factores primos comunes elevados al menor exponente. E J E M P LO m. c. m. (24, 36) = m. c. m. (23 ? 3, 22 ? 32) = 23 ? 32 = 72 m. c. d. (24, 36) = m. c. d. (23 ? 3, 22 ? 32) = 22 ? 3 = 12 A C T I V I D A D E S 2 ¿Cuál es el máximo común divisor de 4, 12, 28? a) 2 b) 6 c) 4 d) 28 Cómo se aplica la jerarquía de las operaciones De izquierda a derecha, se resuelven las multiplicaciones y las divisiones y, después, las sumas y las restas. E J E M P LO Resuelve la operación. 25 - 4 ? 3 : 6 - 2 + 12 : 3 + 6 = = 25 - 12 : 6 - 2 + 4 + 6 = = 25 - 2 - 2 + 4 + 6 = 23 - 2 + 4 + 6 = = 21 + 4 + 6 = 25 + 6 = 31 A C T I V I D A D E S 1 Calcula 15 + 3 ? 4 : 2 - [(3 + 5) : 2]. a) 19 b) 17 c) 15 d) 5 ¿Qué sabes ya? Números enteros 1 F F F D E SA F Í O Monedas y vasos Se dispone de diez monedas y tres vasos. ¿Eres capaz de colocar diez monedas en tres vasos de forma que haya un número impar de monedas en cada uno? 9
El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por : Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, … El número cero: 0. Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, … 1.2. Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero a es el número que resulta de prescindir de su signo. Se escribe a . E J E M P LO 1. Representa estos números enteros en la recta numérica: -8, -5, -2, -1, 0, +3, +5, +6. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 E J E M P LO 2. Halla el valor absoluto de -6, 0 y +4. Valor absoluto de -6 " ;-6; = 6 Valor absoluto de 0 " ;0; = 0 Valor absoluto de +4 " ;+4; = 4 1. Números enteros 1 Representa en la recta numérica. -4, +5, -7, +2, -5, +3, -2 2 Halla el valor absoluto de: -4, +5, -13, +27, -1, +18 3 Escribe situaciones que correspondan a estos números. a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2 ℓ 4 R E F L E X I O N A . El valor absoluto de un número entero a es 7. ¿Qué número es? A C T I V I D A D E S Escribimos los números enteros positivos sin el signo +. +2 = 2 +13 = 13 Valor absoluto: a a + = a a - = 1.1. Representación en la recta numérica Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica . El cero, 0, divide la recta en dos partes iguales. Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero: +1, +2, +3, … Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero: -1, -2, -3, … Números enteros negativos Números enteros positivos 0 - … 8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 … F G 10
1.3. Opuesto de un número entero El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero de signo contrario. El opuesto de a se escribe Op (a). E J E M P LO 3. Halla el opuesto de -5 y +5. Represéntalos en la recta numérica. Op (-5) = +5 Op (+5) = -5 Dos números opuestos están situados a igual distancia del origen. 1.4. Comparación de números enteros Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la derecha que él en la recta numérica . G E O G E B R A En un grupo de enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. En un grupo de enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Un número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. El cero es mayor que cualquier entero negativo y menor que cualquier entero positivo. 1 E J E M P LO 4. Compara estos números. a) -2 y -5 2 2 5 5 - = - = 4 " ;-2; < ;-5; " -2 > -5 b) +5 y -3 +5 > -3 Para «mayor que», utilizamos el símbolo >. Para «menor que», utilizamos el símbolo <. +1 +3 +5 -5 -3 -1 0 -5 -2 0 -3 +5 0 R E T O ¿Qué es mayor: el valor absoluto del opuesto de un número o el opuesto de su valor absoluto? 5 Ordena de menor a mayor. -7, -2, +5, 0, +3, -8, +4, -10 6 Completa con el signo < o >, según corresponda. a) -2 4 Op (5) b) Op (7) 4 0 c) -1 4 Op (-2) 7 Comprueba gráficamente estas desigualdades. a) -4 < +9 c) -8 < -4 b) +8 > -5 d) -4 > -9 8 R E F L E X I O N A . Si a < -3, ¿puede ser a < 0? A C T I V I D A D E S 11
2. Operaciones con números enteros E J E M P LO 5. Realiza estas sumas y restas de números enteros. a) ( ) ( ) 6 7 + + + > = +13 c) (+6) - (+7) = (+6) + Op (+7) = (+6) + (-7) = -1 b) ( ) ( ) 6 7 + + - > = -1 d) (+6) - (-7) = (+6) + Op (-7) = (+6) + (+7) = +13 Mismo signo " ;+6; + ;+7; = 6 + 7 = 13 Distinto signo " ;-7; - ;+6; = 7 - 6 = 1 E J E M P LO 6. Calcula (-3) + (+5) - (-4) + (-9). En forma abreviada: -3 + 5 + 4 - 9. 1.er método: 2 4 3 5 4 9 9 6 9 3 - + + - = + - = = - = - 2 6 + > > 2.º método: : : 5 4 9 3 9 12 Suma de positivos Suma de negativos + = + = 4 Resultado: 9 - 12 = -3 9 Calcula utilizando los dos métodos estudiados. a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9 b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 c) (+15) - (+14) + (+9) + (-21) - (+13) - (-6) 10 Cathy tenía 250 €. Ha pagado un recibo de 485 € y ha cobrado 900 €. ¿Cuál es su saldo actual? 11 R E F L E X I O N A . Completa en tu cuaderno. a) (+3) + 4 = -9 b) 4 - (-2) = +4 A C T I V I D A D E S Forma abreviada: (+a) = a +(-a) = -a (-a) = -a -(+a) = -a +(+a) = +a -(-a) = +a Para sumar dos números enteros: Si los sumandos tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el mismo signo. Si tienen signo diferente, se restan los valores absolutos y al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto del segundo. G E O G E B R A 2.1. Suma y resta de números enteros Para sumar y restar números enteros, se escriben en forma abreviada quitando los paréntesis. Después, se puede proceder de dos formas: 1.er método: sumar y restar los números en el orden en que aparecen . 2.º método: sumar los números positivos, sumar los negativos y restar los negativos de los positivos. Explica cuáles de las siguientes expresiones tienen el mismo resultado. a + Op (a) a + ; a ; a - Op (a) a - ; a ; R E T O 12
12 Efectúa estas operaciones eliminando primero los paréntesis. a) (4 - 1) - (2 - 3) b) (8 + 2) + (3 - 5) c) (-8 + 10) - (10 - 8) d) (-4 - 5) - (7 + 2) e) (9 - 3) + (5 - 9) 13 Halla el resultado de estas operaciones. a) -9 + (3 - 2 - 1) + 7 b) 4 + (6 - 3) - (2 - 1) c) -7 - (4 - 6) - (1 + 5) d) 5 - (4 + 2 + 3) - 6 e) -3 - (-1 - 2 - 3) + (5 - 1) 14 Calcula. a) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15) b) (+3) - (4 + 7 - 9) - (-19 + 3 - 10) + (-2) c) -8 - 3 - (4 - 6) - (9 + 3) - 5 d) -4 - (9 + 3) + 11 - (8 - 7 + 15) e) (3 - 4 + 7) - 9 - (-19 + 3) - 10 + 2 f ) -(8 - 3) - 4 - 6 - (9 + 3 - 5) 15 Realiza estas operaciones. a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9) 16 Completa estas operaciones para que todas las igualdades sean ciertas. a) -5 + 4 = 4 -1 - (-2 - 4) = 4 b) 6 - 4 = -1 (1 + 4 - 3) - 1 = -1 c) 4 + 4 = -3 3 - (4 - 1) = -3 d) 4 + 2 = -4 (5 - 4 + 1) - 2 = -4 e) -7 - 4 = 13 9 + (2 - 4 - 3) = 13 17 Calcula el valor de a. 4 - (a + 2) - 3 = -1 A C T I V I D A D E S 1 Cómo se resuelven operaciones de sumas y restas con paréntesis Resuelve esta operación. ( ) ( ) ( ) 5 3 2 3 1 4 2 - - - + - - + - + 1 Eliminamos los paréntesis. Si va delante un signo +, los números mantienen su signo. Estas operaciones también se pueden calcular resolviendo primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis y, después, operando. ( ) ( ) ( ) 5 3 2 3 1 4 2 5 3 2 3 1 4 2 - - - + - - + - + = - + - - + - + 2 R esolvemos la operación resultante. = 5 3 - + 2 - > - 2 - 3 + 1 - 4 + 2 = 2 2 - - 4 - > - 3 + 1 - 4 + 2 = = 4 3 - - 7 - > + 1 - 4 + 2 = 7 1 - + 6 - > - 4 + 2 = = 6 4 - - 10 - > + 2 = -10 + 2 = -8 Si el paréntesis tiene delante un signo -, los signos de los números de dentro cambian. 13
Para calcular el producto de varios números enteros, se multiplican sus valores absolutos. El resultado tendrá signo + si el número de factores negativos es par y signo - si es impar. 2.2. Multiplicación de números enteros Para multiplicar dos números enteros, primero se multiplican sus valores absolutos. El resultado tendrá el signo + si los dos factores tienen el mismo signo y signo - si tienen signos diferentes. G E O G E B R A 2.3. División de números enteros Para dividir dos números enteros, primero se dividen sus valores absolutos. El resultado tendrá el signo + si los dos factores tienen el mismo signo y signo - si tienen signos diferentes. E J E M P LO 9. Realiza estas divisiones. a) ( ) ( ) 27 : 3 + - > = -9 c) ( ) : ( ) 27 3 - - > = +9 b) (+27) : (+3) = +9 d) (-27) : (+3) = -9 Distinto signo Mismo signo 18 Resuelve estas multiplicaciones. a) (-3) ? (+2) e) (+2) ? (+7) b) (-2) ? (-8) f ) (+5) ? (-4) c) (-12) : (+6) g) (+21) : (+7) d) (-6) : (-2) h) (+24) : (-4) 19 Resuelve estas operaciones. a) (-4) ? (+2) ? (-6) c) (+20) : (+2) : (-5) b) (+8) ? (-3) ? (-4) d) (-32) : (-4) : (-8) 20 R E F L E X I O N A . Completa con los números adecuados. a) (4) : 4 = -10 b) (-100) : (4) = -25 A C T I V I D A D E S R egla de los signos para la multiplicación: + ? + = + - ? - = + + ? - = - - ? + = - R egla de los signos para la división: + : + = + - : - = + + : - = - - : + = - E J E M P LO 7. Realiza estos productos. a) ? ( ) ( ) 3 5 + + > = +15 c) ? ( ) ( ) 3 5 - + > = -15 b) (-3) ? (-5) = +15 d) (+3) ? (-5) = -15 Mismo signo ;+3 ; ? ;+5 ; = 3 ? 5 = 15 Distinto signo ;-3 ; ? ;+5 ; = 3 ? 5 = 15 F F F F F F E J E M P LO 8. Calcula. a) (+5) ? (+8) ? (-2) = -80 b) (-10) ? (+3) ? (-5) ? (+2) = +300 Encuentra dos números enteros cuyo cociente sea mayor que ellos. R E T O 14
21 Resuelve. a) (+18) : (-2) : (-3) ? (-5) b) (-15) ? 3 : (-9) : 5 c) [(-12) : 3] ? [(-8) : (-4)] d) (-18) : [(-9) : (-3)] ? (-6) e) [(+4) : (-2) ? (+8)] : [(+2) + (+6)] 22 Calcula estas operaciones combinadas. a) (-10) : (-5) + 2 : (-1) b) 3 ? (-5) - 4 : (-2) + 3 c) 2 + 3 ? (-4) - (-2) + 2 ? 7 - (-3) 23 Efectúa estas operaciones. a) 9 - (+8) : (-4) - 2 + (+3) ? (+2) b) [9 - (+8) : (-4)] : (+11) - (+6) : (-3) c) -5 - [4 - 1 + 3] : (+2) - (10 - 8) d) -6 : (3 - 2 - 2) - (1 - 2 + 3) e) 4 ? [3 - 2 ? (-5)] - 12 : 3 + 6 : 2 f ) 5 ? (-2) - [10 + 2 ? (-4)] : 2 - (-12) : 6 24 Completa los huecos en tu cuaderno. a) (-12) : (+6) - 1 = 3 - 4 b) (+10) ? [(+2) : (-2)] = 5 + 4 c) 6 - (-8) : (+2) = 4 - 4 d) (+5) ? (+3) + 2 = 4 + 3 25 Averigua qué operaciones están bien hechas. a) -9 + (8 - 2 - 1) : (-5) = 10 b) 4 - (-6 - 3) : (-2 - 1) = 1 c) (-7 - 1) : 4 - (6 + 2) : (-2) = -6 d) (-5 - 1 + 2 + 8) : (-2 - 1 - 1) = -1 e) -3 ? 2 - 2 ? 3 - (5 - 6 + 2) = 13 26 Coloca los paréntesis para que las igualdades sean ciertas. a) -1 - 2 ? 3 + 4 = -11 b) 4 + 5 - 6 ? 2 - 3 = 3 c) 4 + 5 - 6 ? 2 - 3 = 15 d) 8 - 3 + 2 + 4 ? 6 = 31 A C T I V I D A D E S Cómo se resuelven las operaciones combinadas con números enteros Calcula el resultado de esta operación. (-15) : (+3) + (-7) - (-9 + 1) - [(-5) ? (-4)] : (+2) + (-4) ? (-3) 1 R ealizamos las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes. 2 Calculamos las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen. 3 Escribimos la operación de forma abreviada eliminando los paréntesis que nos quedan. 4 Calculamos las sumas y restas en el orden en el que aparecen. Mantenemos los paréntesis al efectuar las multiplicaciones y las divisiones. 1 (-15) : (+3) + (-7) - (-9 + 1) - [(-5) ? (-4)] : (+2) + (-4) ? (-3) = = (-15) : (+3) + (-7) - (-8) - (+20) : (+2) + (-4) ? (-3) = = (-5) + (-7) - (-8) - (+10) + (+12) = = -5 - 7 + 8 - 10 + 12 = = -12 + 8 - 10 + 12 = = -4 - 10 + 12 = = -14 + 12 = -2 Recuerda que, al resolver las operaciones que hay entre paréntesis, el resultado queda entre paréntesis. −5 − (3 − 7) = −5 − (−4) = −5 + 4 = −1 +(-a) = -a -(-a) = a +(+a) = a F F F F F F F F 15
El c onjunto de todo s lo s div i s ore s de un número se obt i en e reali zando l a s su c e siv a s div i si on e s ent re l o s núm e ro s p o si t iv o s m en o re s qu e é l y seleccionando aquellos cuya división es exacta . Se representa por Div (a). El conjunto de todos los múltiplos de un número se obtiene multiplicándolo por los sucesivos números enteros positivos. Se representa por a. Un número tiene infinitos múltiplos. , , , … ? ? ? a a a a 1 2 3 { } = o E J E M P LO 10. Calcula los primeros cinco múltiplos de 8. Múltiplos de 8 " 8 = {8 ? 1, 8 ? 2, 8 ? 3, 8 ? 4, 8 ? 5, …} = {8, 16, 24, 32, 40, …} E J E M P LO 12. Determina si los números 13 y 21 son primos o compuestos. Div (13) = {1, 13} " Dos divisores: es un número primo. Div (21) = {1, 3, 7, 21} " Más de dos divisores: es compuesto. E J E M P LO 11. ¿Es 9 divisor de 12? ¿Y de 18? 9 no es divisor de 12 porque la división 12 : 9 no es exacta. 9 sí es divisor de 18 porque 18 : 9 = 2. G E O G E B R A 27 Calcula diez múltiplos y todos los divisores de estos números. ¿Cuáles son primos? a) 8 b) 7 c) 4 d) 10 28 R E F L E X I O N A . Dados dos números: a) ¿Podemos hallar el mínimo común de sus divisores? b) ¿Y el mayor de sus múltiplos comunes? A C T I V I D A D E S Si la división a : b es exacta , se cumple que: a es múltiplo de b. G F b es divisor de a. a es divisible por b. G F G F Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores son él mismo y la unidad . En caso contrario, es compuesto. 3. Múltiplos y divisores de números enteros R E T O ¿Existe algún número cuyos divisores y múltiplos coincidan? La divisibilidad solemos estudiarla solo en los números enteros positivos, ya que para los negativos se cumplen las mismas propiedades. Todo número entero es múltiplo y divisor de sí mismo: a es múltiplo de a. a es divisor de a. 16
29 Halla todos los divisores de estos números y averigua cuáles son primos. a) 18 b) 31 c) 32 d) 80 e) 79 f ) 37 g) 42 h) 41 i) 96 30 Calcula todos los divisores de estos números y averigua cuáles son primos. a) 199 b) 424 c) 582 d) 603 e) 856 f ) 1 021 31 Estos son todos los divisores de un número. Completa en tu cuaderno los que faltan. ¿De qué número se trata en cada caso? a) {1, 4, 4, 8} c) {1, 2, 3, 5, 4, 10, 15, 4} b) {1, 5, 4} d) {4, 2, 4, 4, 8, 10, 4, 40} 32 Calcula los divisores de 24 y de 30. ¿Qué números aparecen en las dos listas? ¿Cuál es el mayor de sus divisores comunes? 33 Razona si es verdadero o falso. a) Cualquier múltiplo de un número es mayor que ese número. b) Todo número es divisor de su doble y de su triple. c) Existe un número que es divisor de todos los números. d) Todos los números impares son primos. e) Todos los números primos, salvo el 2, son impares. f ) Cualquier divisor de un número es menor o igual que ese número. g) Cualquier divisor de un número es menor que cualquier múltiplo de ese mismo número. A C T I V I D A D E S Cómo se calculan todos los divisores de un número Halla todos los divisores de 60. 1 Dividimos el número entre los números naturales (1, 2, 3…) hasta llegar a una división en la que el cociente sea menor que el divisor. 60 1 60 4 60 7 0 60 0 15 4 8 60 2 60 5 60 8 0 30 0 12 4 7 60 3 60 6 0 20 0 10 2 De cada división exacta, obtenemos dos divisores de ese número: el divisor y el cociente. Los divisores de 60 son Div (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. 1 60 : 1 = 60 " 1 y 60 son divisores de 60. 60 : 2 = 30 " 2 y 30 son divisores de 60. 60 : 3 = 20 " 3 y 20 son divisores de 60. 60 : 4 = 15 " 4 y 15 son divisores de 60. 60 : 5 = 12 " 5 y 12 son divisores de 60. 60 : 6 = 10 " 6 y 10 son divisores de 60. Las demás divisiones no son exactas. El cociente, 7, es menor que el divisor, 8. Dejamos de dividir. Si ordenas los divisores de un número y multiplicas los que están en sus extremos, obtienes ese número. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 60 60 60 60 60 60 17
E J E M P LO 13. Averigua si 3 234 es divisible por 2, 3, 5 u 11. Es divisible por 2 porque acaba en cifra par. Es divisible por 3 porque el resultado de la suma 3 + 2 + 3 + 4 = 12 es divisible por 3. No es divisible por 5 porque su última cifra no es 0 ni 5. Es divisible por 11 porque (3 + 3) - (2 + 4) = 0. 4.1. Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten averiguar, sin dividir, si un número es divisible por otro. Los criterios más útiles son los asociados con los números primos: 4.2. Descomposición en factores primos Todo número entero se puede expresar de forma única como el producto de potencias de números primos. A esta expresión se le llama factorización del número. 34 Dados los números 12, 15, 18, 24, 4, 423, 10, 267, 23, di cuáles son múltiplos de 2, 3, 5 o 9. 35 Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11. a) 145 b) 3 467 c) 12 624 d) 212 36 ¿Qué factorizaciones son incorrectas? a) 2 ? 4 ? 5 b) 23 ? 5 ? 7 c) 52 ? 73 + 11 37 R E F L E X I O N A . Calcula el valor de a y b para que el número 5a7b sea múltiplo de 2 y de 11. A C T I V I D A D E S 4. Factorización de un número entero E J E M P LO 14. Comprueba que la factorización de 45 es 32 ? 5. 3 y 5 son primos. 32 ? 5 = 9 ? 5 = 45. Luego es la factorización de 45. Divisible por Criterio de divisibilidad 2 Si la última cifra es 0 o par. 3 Si la suma de sus cifras es divisible por 3. 5 Si la última cifra es 0 o 5. 11 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o divisible por 11. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si acaba en 0. Para descomponer un número negativo en factores primos realizamos la descomposición de su valor absoluto y, después, añadimos el factor -1 a la descomposición. R E T O Escribe los cuatro primeros números múltiplos de 3 cuyas cifras sean todas 1. 18
38 Halla la factorización de estos números. a) 15 b) 16 c) 24 d) 29 e) 55 f ) 72 g) 86 h) 270 i) 400 j) 675 k) 405 l) 943 39 Determina si los siguientes números están bien factorizados. En caso de que no sea así, escribe la factorización correcta. a) 60 = 3 ? 4 ? 5 b) 72 = 2 ? 62 c) 104 = 23 ? 13 d) 222 = 2 ? 3 ? 37 e) 360 = 23 ? 32 f ) 2 450 = 52 ? 72 40 Escribe la descomposición factorial de estos números sabiendo que 105 = 3 ? 5 ? 7. a) 210 b) 1 050 c) 315 d) 945 41 Razona si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. a) En la factorización de un número acabado en 0 hay como mínimo dos factores primos, el 2 y el 5. b) Si un número es múltiplo de 6, en su factorización estarán el 2 y el 3. c) El menor número que es múltiplo de 2, 3, 5 y 7 a la vez es 210. d) Un número puede ser múltiplo de 8 y no ser múltiplo de 2. 42 Del número a sabemos que su factorización es: a = 23 ? 32 ? 5 ? b a) ¿Es un múltiplo de 6? ¿Y de 45? b) ¿Podemos decir que el número a es divisible por 20? ¿Y por 14? Razona tus respuestas. A C T I V I D A D E S Cómo se factoriza un número Descompón el número 1 404 como producto de factores primos. 1 Dividimos el número entre los sucesivos números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13…) tantas veces como se pueda hasta obtener la unidad. 2 Escribimos el número como producto de los factores primos y, si hay algunos repetidos, los expresamos como potencias. Para evitar errores, comenzamos a dividir por los números primos más pequeños y continuamos en orden creciente. 1 404 es divisible por 2. 1 404 : 2 = 702 702 es divisible por 2. 702 : 2 = 351 351 no es divisible por 2. 351 es divisible por 3. 351 : 3 = 117 117 es divisible por 3. 117 : 3 = 39 39 es divisible por 3. 39 : 3 = 13 13 es un número primo. 13 : 13 = 1 Esta descomposición se puede escribir de forma abreviada de esta manera: Factores primos 1 404 2 1 404 : 2 " 702 2 702 : 2 " 351 3 351 : 3 " 117 3 117 : 3 " 39 3 39 : 3 " 13 13 13 : 13 " 1 1 Si el número es primo, su descomposición es él mismo por la unidad. 23 = 23 · 1 La factorización de 1 404 es ? ? ? ? 2 2 3 3 3 2 3 2 3 ; > ? 13 = 22 ? 33 ? 13. La factorización termina al llegar a un número primo. Al dividir este por sí mismo, obtenemos la unidad. 19
43 Descompón estos números en factores primos y calcula su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo. a) 18 y 20 c) 18 y 4 e) 48 y 32 b) 28 y 42 d) 18 y 32 f ) 21 y 28 44 Halla el m. c. d. y el m. c. m. de estos números. a) 10, 12 y 35 b) 15, 20 y 27 45 R E F L E X I O N A . ¿Es único el valor x que cumple que m. c. m. (x, 8) = 40? A C T I V I D A D E S 5. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo E J E M P LO 15. Calcula el m. c. d. y el m. c. m. de 4 y 6. Div (4) = {1, 2, 4} Múltiplos de 4 " 4, 8, 12, … Div (6) = {1, 2, 3, 6} Múltiplos de 6 " 6, 12, 18, … El mayor divisor común es 2: El menor múltiplo común es 12: m. c. d. (4, 6) = 2 m. c. m. (4, 6) = 12 E J E M P LO 16. Calcula el m. c. d. y el m. c. m. de 12 y 16. 12 2 16 2 6 2 8 2 3 3 12 = 22 ? 3 4 2 16 = 24 1 2 2 1 m. c. d. (12, 16) = 22 = 4 m. c. m. (12, 16) = 24 ? 3 = 48 El máximo común divisor de varios números enteros es el mayor número entero positivo que es divisor de todos ellos. El mínimo común múltiplo de varios números enteros es el menor número entero positivo que es múltiplo de todos. Para calcular el m. c. d . de varios números, se descomponen en factores primos y se multiplican los factores primos comunes elevados al menor de sus exponentes. Para calcular el m. c. m. de varios números, se descomponen en factores primos y se multiplican los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de sus exponentes. Cuando el m. c. d . (a, b) = 1, los números a y b no tienen divisores comunes (salvo el 1). En ese caso, decimos que son primos entre sí. El máximo común divisor de dos o más números, a, b, c…, lo expresamos como m. c. d. (a, b, c…). El mínimo común múltiplo lo expresamos como m. c. m. (a, b, c…). S i los números no tienen factores en común, el m. c. d. es 1 y el m. c. m. es el producto de los números. ¿Cuál es el m. c. d. de dos números primos? ¿Cuál es su m. c. m.? R E T O 20
RkJQdWJsaXNoZXIy