6 Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Cómo se calcula el valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio es el resultado de sustituir la variable x por un número dado. E J E M P LO P(x) = x2 - 3x + 2, para x = 2: P(2) = 22 - 3 ? 2 + 2 = 0 Q(x, y) = 2xy2 + 3x2y, para x = 2, y = 1: Q(2, 1) = 2 ? 2 ? 12 + 3 ? 22 ? 1 = 16 A C T I V I D A D E S 2 Calcula el valor numérico de ( , ) P x y x y x y 3 2 = - + para x = -1 e y = 3. a) 11 b) -15 c) 13 d) -12 Cómo se traduce al lenguaje algebraico El lenguaje numérico expresa la información matemática solo mediante números. E J E M P LO Enunciado Expresión algebraica El triple de un número " 3x La mitad de un número " x 2 El cuadrado de un número " x2 El cuadrado de un número más dos unidades " x2 + 2 A C T I V I D A D E S 1 Señala en lenguaje algebraico «la diferencia del triple de un número y una unidad». a) 3x - 1 b) 3(x - 1) c) 3x - 3 d) (x - 1)3 ¿Qué sabes ya? Ecuaciones de primer y segundo grado 5 ¡Menudo tocho! En un libro, para marcar el número de cada página, se han empleado 3 901 cifras. ¿Cuántas páginas tiene? D E SA F Í O 97 ES0000000177388 298626_05_097_118_136946.indd 97 16/3/23 0:22 2. Sistemas de ecuaciones lineales E J E M P LO 4. Indica si estos valores son solución del sistema x y x y 2 7 3 7 + = - = 3. a) x = 1, y = 3 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 1, y = 3 " ? ? 1 2 3 7 3 1 3 7 ! + = - 2 " No es solución. La segunda ecuación no se cumple. b) x = 3, y = 2 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 3, y = 2 " ? ? 3 2 2 7 3 3 2 7 + = - = 2 " Es solución. c) x = 0, y = -7 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 0, y = -7 " ? ? ( ) ( ) 0 2 7 7 3 0 7 7 ! + - - - = 3 " No es solución. La primera ecuación no se cumple. E J E M P LO 5. Resuelve el siguiente sistema: x y x y 2 3 2 + = = - 3. Para resolver este sistema hay que encontrar los pares de valores que verifiquen las dos ecuaciones. Una forma consiste en construir una tabla de valores para cada una de las ecuaciones. Se trata de despejar una incógnita y dar valores a la otra. • En la primera ecuación despejamos y. Después, damos valores a x y hallamos los valores de y correspondientes. 2x + y = 3 " y = 3 - 2x x -3 -2 -1 0 1 2 3 … y 9 7 5 3 1 -1 -3 … Recuerda que las ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen infinitas soluciones. • En la segunda ecuación ya está despejada x; por tanto, damos valores a y y hallamos los valores de x correspondientes. x = -2y x 6 4 2 0 -2 -4 -6 … y -3 -2 -1 0 1 2 3 … El único par de valores que se repite en las dos tablas es x = 2, y = -1. Decimos que el par de valores x = 2, y = -1 es solución del sistema, ya que verifica las dos ecuaciones a la vez. G E O G E B R A 11 Determina si son sistemas lineales. a) x y x y 2 4 5 3 - - = + = 3 b) x y x y 5 2 2 3 5 8 - = - + = 3 12 Comprueba si x = 1 e y = -1 es solución de este sistema. x y x y 2 3 5 0 - - = + = 3 13 Dados los valores numéricos x = 0 e y = 3, di si son solución de este sistema. x y x y 2 3 5 15 = + = + 3 14 R E F L E X I O N A . Si en el sistema x y x y 3 2 2 4 3 3 - = + = -3 la incógnita x toma el valor 0, ¿qué valor tendrá que tomar y para que ambos formen la solución? A C T I V I D A D E S 15 Si en el sistema x y x y 3 2 5 + = + = 3 la x toma estos valores, ¿qué valores tendrá y en cada ecuación? ¿Cuál es la solución del sistema? a) x = 1 b) x = 3 c) x = 2 d) x = -2 e) x = -1 f ) x = 0 16 Si en el sistema x y x y 3 0 3 2 11 + = - = 3 la incógnita y toma estos valores, ¿qué valores tendrá x en cada ecuación? ¿Cuál es la solución del sistema? a) y = 1 b) y = -2 c) y = -1 d) y = 2 e) y = 0 f ) y = 3 17 Resuelve estos sistemas mediante tablas. a) x y x y 2 0 12 1 + = + = 3 b) x y x y 0 3 4 + = - = 3 c) x y x y 1 5 = = - + 3 d) x y x y 4 2 2 - = + = 3 18 REFLEXIONA. La solución del sistema x y x y 2 2 5 + = - - = 3 es x = 1, y = -3. Escribe dos sistemas con la misma solución y que compartan con él una de las ecuaciones. ¿Existe un sistema con esa solución y las dos ecuaciones distintas? A C T I V I D A D E S Una solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números que hace ciertas las dos ecuaciones a la vez. Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar su solución . 3. Resolución de sistemas de ecuaciones 6 R E T O Averigua el valor de a y b para que la solución de este sistema sea x = 1 e y = -2? ax y x by 2 7 5 3 - + = - + = - 4 R E T O Un sistema de ecuaciones, ¿tiene siempre solución? ¿Puede tener más de una solución? En un sistema de ecuaciones: ax by c a x b y c + = + = l l l4 • x e y son las incógnitas o variables. • a y al son los coeficientes de x. • b y bl son los coeficientes de y. Cuando despejamos una incógnita en una ecuación es conveniente despejar una incógnita que tenga como coeficiente 1 o -1, y así evitar trabajar con denominadores. x + 2y = 0 " x = -2y Dos ecuaciones lineales de las cuales se busca una solución común forman un sistema de ecuaciones lineales. ax by c a x b y c + = + = l l l4 E J E M P LO 3. Averigua si son sistemas de ecuaciones lineales. a) x y x y 3 2 4 5 1 + = - = " 3 Es un sistema de ecuaciones lineales. b) x y x y 3 3 2 7 9 2 + = - + = " 3 No es un sistema de ecuaciones lineales, porque la primera ecuación es de segundo grado. 123 122 ES0000000177388 298626_06_119_136_136996.indd 122-123 16/3/23 11:23 5. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones 37 A partir de la nota de la camarera, calcula el precio del batido y del zumo. 38 Un hotel tiene 23 habitaciones entre dobles y triples. Ahora están todas las habitaciones completas y hay 49 personas alojadas. ¿Cuántas habitaciones son de cada tipo? 39 En un aparcamiento hay 120 vehículos entre coches y motos. Si se van 40 coches, el número de coches y el número de motos es el mismo. ¿Cuántos coches hay? ¿Y motos? A C T I V I D A D E S Cómo se resuelven problemas utilizando sistemas de ecuaciones Un empleado de un almacén cobra 6 € por cada hora trabajada en horario diurno y 9 € por cada hora que trabaja en horario nocturno. Si al final del mes ha cobrado 840 € por trabajar 120 horas, ¿cuántas horas ha trabajado en cada turno? 1 Identificamos las incógnitas. 2 Planteamos el sistema. Cobra 6 € por cada hora trabajada de día. " Salario cobrado por las horas diurnas: 6x. Cobra 9 € por cada hora trabajada de noche. " Salario cobrado por las horas nocturnas: 9y. Ha cobrado 840 €: 6x + 9y = 840 " El sistema obtenido es x y x y 6 9 840 120 + = + = 4 . Ha trabajado 120 h: x + y = 120 3 R esolvemos el sistema. x y x y 6 9 8 0 120 4 + = + = 3 ? (-6) " x y x y x y x y 6 9 840 6 6 720 6 9 840 6 6 720 + = - - = - + + = - - = - " 3 4 y y 3 120 3 120 40 = = = " x y 120 + = y = 40 " x x x 40 120 120 40 80 + = = - = " " 4 Comprobamos e interpretamos la solución. x y x y 6 9 8 0 120 4 + = + = 3 x = 80, y = 40 " ? ? 6 80 9 40 840 80 40 120 840 840 120 120 + = + = = = " 2 2 Ha trabajado 80 horas en el horario diurno y 40 horas en el nocturno. Lo que sabemos Lo que no sabemos Cada hora del turno de día cobra 6 €. Cada hora del turno de noche cobra 9 €. Ha ganado 840 €. Ha trabajado 120 h. N.º de horas trabajadas de día. N.º de horas trabajadas de noche. N.º de horas trabajad s de día: x. N.º de horas trabajadas de noche: y. 6 Es importante comprobar que la solución del sistema tiene sentido en la situación real que estamos resolviendo. MESA A 2 batidos + 4 zumos 16 € MESA B 3 batidos + 2 zumos 12 € Obtenemos dos igualdades. La solución es válida. Calculamos el valor de x. Utilizamos el método de reducción. 129 ES0000000177388 298626_06_119_136_136996.indd 129 16/3/23 11:13 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Afianza esos saberes mediante los EJEMPLOS incluidos para cada contenido. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL aprendiendo, paso a paso, las destrezas básicas. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Pon a prueba tus conocimientos y ayúdate de tu razonamiento matemático para resolver el RETO. ¡Llegarás a resultados inesperados! Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: JUEGOS, INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver estas actividades mediante CÁLCULO MENTAL, utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Aprende a partir de textos claros y estructurados. Recuerda los contenidos que ya sabes y que te serán útiles para la unidad. Evalúa esos conocimientos resolviendo las actividades propuestas. CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3
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