4 E S O Matema´ ticas Opción B Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Sonia Alejo Sánchez Lourdes Pérez González José Antonio Almodóvar Herráiz Carlos Pérez Saavedra Miguel Álvaro Pérez Federico Rodríguez Merinero Clara Inés Lavado Campos Domingo Sánchez Figueroa Silvia Marín García EDICIÓN Sonia Alejo Sánchez Aída Moya Librero Clara Inés Lavado Campos Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno.
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 1 Números reales. Proporcionalidad 9 1. Números racionales _ 10 2. Números irracionales _ 11 3. Números reales _ 12 4. Aproximación de números reales _ 14 5. Errores de aproximación _ 15 6. Intervalos _ 16 7. Proporcionalidad directa _ 18 8. Proporcionalidad inversa _ 19 9. Porcentajes _ 20 2 Potencias y radicales. Logaritmos 31 1. Potencias de exponente entero _ 32 2. Notación científica _ 34 3. Logaritmos _ 36 4. Propiedades de los logaritmos _ 37 5. Radicales _ 39 6. Potencias de exponente fraccionario _ 40 7. O peraciones con radicales _ 41 8. Racionalización _ 45 3 Polinomios y fracciones algebraicas 55 1. Polinomios _ 56 2. Potencia de un polinomio _ 58 3. Igualdades notables _ 59 4. División de polinomios _ 60 5. Teorema del resto _ 62 6. Raíces de un polinomio _ 63 7. Factorización de polinomios _ 64 8. Fracciones algebraicas _ 66 4 Ecuaciones e inecuaciones 77 1. Ecuaciones _ 78 2. Ecuaciones de primer y segundo grado _ 79 3. O tros tipos de ecuaciones _ 81 4. Inecuaciones _ 86 5 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones 97 1. Sistemas de ecuaciones lineales _ 98 2. Resolución de sistemas de ecuaciones _ 100 3. Sistemas de ecuaciones no lineales _ 102 4. S istemas de inecuaciones con una incógnita _ 104 5. S istemas de inecuaciones con dos incógnitas _ 106 6 Trigonometría 117 1. Medidas de un ángulo _ 118 2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo _ 119 3. Relaciones entre las razones trigonométricas _ 120 4. Razones trigonométricas de 30o, 45o y 60o _ 122 5. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera _ 123 6. Signo de las razones trigonométricas _ 124 7. R elaciones entre las razones trigonométricas de ciertos ángulos _ 126 8. Resolución de triángulos rectángulos _ 128 9. Resolución de un triángulo cualquiera _ 130 2
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se halla el conjunto numérico al que pertenece un número • Cómo se calcula la unión y la intersección de intervalos • Cómo se resuelven problemas de porcentajes encadenados • Cómo se representa una raíz cuadrada aplicando el teorema de Pitágoras sucesivas veces MATEMÁTICAS Y… • Historia • Astronomía • Cuerpo humano • Igualdad FAKE NEWS. Reflexión sobre porcentajes encadenados ¿Sin comisiones? (Cobro de comisiones bancarias) • Cómo se resuelve ecuaciones logarítmicas • Cómo se extraen factores de un radical • Cómo se realizan operaciones combinadas con radicales • Cómo se resuelven operaciones con potencias factorizando las bases • Cómo se calcula un logaritmo mediante un cambio de base MATEMÁTICAS Y… • Informática • Medicina • Ciencia • Biología FAKE NEWS. Análisis de números expresados en notación científica ¡Hasta el infinito y más allá! (Logros humanos y características del universo) • Cómo se extrae factor común en un polinomio • Cómo se divide un polinomio entre (x - a) mediante la regla de Ruffini • Cómo se factoriza un polinomio • Cómo se resuelven operaciones con fracciones algebraicas • Cómo se aplica la regla de Ruffini cuando el divisor es del tipo (ax - b) • Cómo se calcula un polinomio conociendo sus raíces y su coeficiente principal MATEMÁTICAS Y… • Energías renovables • Nutrición FAKE NEWS. Estudio de ciertas teorías sobre la salud Carnaval vs Halloween (Cuantificación de aspectos de algunas fiestas populares) • Cómo se resuelve una ecuación bicuadrada • Cómo se resuelve una ecuación mediante factorización • Cómo se resuelve una ecuación racional • Cómo se resuelve una ecuación radical • Cómo se resuelven inecuaciones de segundo grado • Cómo se resuelven ecuaciones del tipo ax2n + bx n + c = 0 MATEMÁTICAS Y… • Atletismo • Medioambiente • Deporte FAKE NEWS. Formas geométricas en elementos cotidianos Bueno, ecológico y de calidad (Consideraciones geométricas de ciertos cultivos) • Cómo se determina gráficamente el número de soluciones de un sistema de ecuaciones • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales y no lineales • Cómo se resuelve un sistema de inecuaciones con una y dos incógnitas • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones en función de un parámetro • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones compatible indeterminado MATEMÁTICAS Y… • Sanidad • Monedas • Tecnología FAKE NEWS. Variación en los coeficientes de un sistema Escapada low cost (Elección de un viaje considerando ofertas y descuentos) • Cómo se calculan las razones trigonométricas de un ángulo agudo • Cómo se reducen los ángulos al primer cuadrante • Cómo se resuelven problemas mediante trigonometría • Cómo se resuelve un triángulo cualquiera • Cómo se calcula el área de un triángulo del que se conocen dos ángulos y un lado y de un polígono regular • Cómo se calculan longitudes mediante el método de la doble tangente MATEMÁTICAS Y… • Deporte • Pintura • Astronomía FAKE NEWS. Análisis del concepto de inclinación Gigantes de ciudad (Estudio de las medidas de los rascacielos más grandes del mundo) 3
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 7 Vectores. Ecuaciones de la recta 141 1. Vectores _ 142 2. Operaciones con vectores _ 144 3. Ecuación vectorial de la recta _ 146 4. Ecuación paramétrica de la recta _ 147 5. Ecuación continua de la recta _ 148 6. E cuación punto-pendiente y explícita de la recta _ 149 7. Ecuación general de la recta _ 150 8. P osiciones relativas de dos rectas en el plano _ 152 8 Movimientos y semejanzas 163 1. Movimientos en el plano _ 164 2. Traslaciones _ 165 3. Giros _ 166 4. Simetrías _ 168 5. Frisos y mosaicos _ 170 6. Homotecias _ 172 7. Semejanza _ 173 8. S emejanza en áreas y volúmenes _ 174 9. Escalas y mapas _ 198 9 Funciones 187 1. Concepto de función _ 188 2. Dominio y recorrido de una función _ 190 3. Continuidad y puntos de corte con los ejes _ 192 3. Crecimiento y decrecimiento _ 194 5. Simetría y periodicidad _ 196 6. Funciones definidas a trozos _ 198 10 Representación de funciones elementales 209 1. Funciones polinómicas de primer grado _ 210 2. Funciones polinómicas de segundo grado _ 212 3. Funciones racionales _ 214 4. Funciones exponenciales _ 216 5. Funciones logarítmicas _ 220 11 Estadística 233 1. Muestras y variables estadísticas _ 234 2. Gráficos estadísticos _ 235 3. Medidas de centralización _ 237 4. Medidas de posición _ 238 5. M edidas de dispersión _ 240 6. Variables estadísticas bidimensionales _ 242 7. D iagrama de dispersión _ 243 8. Correlación _ 244 12 Probabilidad 255 1. Experimentos aleatorios. Sucesos _ 256 2. Operaciones con sucesos _ 257 3. Técnicas de recuento _ 258 4. Regla de Laplace _ 260 5. Frecuencia y probabilidad _ 262 6. Suceso seguro. Suceso imposible _ 263 7. P ropiedades de la probabilidad _ 264 5. Probabilidad condicionada _ 266 4
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se calculan las ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos • Cómo se calculan rectas paralelas y perpendiculares a una dada • Cómo se calcula el punto medio de un segmento • Cómo se determina si un punto pertenece a una recta • Cómo se determina el punto de intersección de dos rectas secantes MATEMÁTICAS Y… • Geografía • Transportes • Farmacia • Arte FAKE NEWS. Análisis de asistencia a concentraciones El mayor espectáculo del mundo (Estudio de trayectorias y posiciones) • Cómo se realizan traslaciones y giros en figuras geométricas • Cómo se realizan simetrías en figuras geométricas • Cómo se construyen frisos y mosaicos a partir de una figura • Cómo se calcula el área y el volumen de dos figuras semejantes • Cómo se resuelven problemas con escalas • Cómo se determinan los ejes y el centro de simetría de una figura • Cómo se dibujan figuras semejantes MATEMÁTICAS Y… • Arquitectura • Astronomía • Deportes FAKE NEWS. Análisis de figuras semejantes ¡Date un chapuzón! (Cálculo de áreas y volúmenes de figuras semejantes) • Cómo se representa gráficamente una función • Cómo se calcula el dominio de una función • Cómo se calculan los puntos de corte con los ejes de una función • Cómo se estudia el crecimiento y el decrecimiento de una función • Cómo se estudia una función • Cómo se representa una función definida a trozos • Cómo se calcula la tasa de variación media de una función MATEMÁTICAS Y… • Videojuegos • Medicina • Vivienda FAKE NEWS. Obtención de resultados sorprendentes Distintos países, distintas monedas (Investigación sobre la fluctuación del valor de las divisas) • Cómo se representan funciones polinómicas de primer grado • Cómo se representan funciones cuadráticas • Cómo se representan funciones racionales • Cómo se representan funciones exponenciales • Cómo se representan funciones logarítmicas • Cómo se calculan los puntos de intersección de dos funciones MATEMÁTICAS Y… • Química • Sismografía • Informática FAKE NEWS. Búsqueda de la oferta más barata ¡Acelera! (Estudio sobre los factores que influyen en las marcas de los atletas) • Cómo se elige el tipo de gráfico adecuado cada variable estadística • Cómo se construye e interpreta un diagrama de cajas y bigotes • Cómo se calculan las medidas de centralización y dispersión • Cómo se representan una nube de puntos y su recta de regresión • Cómo se añaden o eliminan datos para obtener una media o una mediana • Cómo se compara la dispersión de dos variables MATEMÁTICAS Y… • Transporte • Sanidad • Consumo FAKE NEWS. Estudio de relaciones entre variables Enredos sociales (Interpretación de gráficos relativos a estudios sociológicos) • Cómo se utiliza la regla de Laplace para calcular probabilidades • Cómo se calculan probabilidades utilizando sus propiedades • Cómo se calculan probabilidades en experimentos compuestos • Cómo se calcula la probabilidad de algunos sucesos no equiprobables • Cómo se calcula la probabilidad de un suceso compuesto mediante tablas de doble entrada MATEMÁTICAS Y… • Juegos • Educación • Universidad FAKE NEWS. Análisis de juegos de azar Televisión a la carta (Estudio sobre hábitos de consumo) 5
6 Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Afianza esos saberes mediante los EJEMPLOS incluidos para cada contenido. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL aprendiendo, paso a paso, las destrezas básicas. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Pon a prueba tus conocimientos y ayúdate de tu razonamiento matemático para resolver el RETO. ¡Llegarás a resultados inesperados! Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: JUEGOS, INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver estas actividades mediante CÁLCULO MENTAL, utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Aprende a partir de textos claros y estructurados. Recuerda los contenidos que ya sabes y que te serán útiles para la unidad. Evalúa esos conocimientos resolviendo las actividades propuestas.
7 PASA A LA ACCIÓN: SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 5 EVALÚA LO QUE HAS APRENDIDO: AUTOEVALUACIÓN 6 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones generalizadas en nuestro mundo. Repasa los saberes básicos de la unidad. Evalúa lo que has aprendido resolviendo las actividades que se proponen en la AUTOEVALUACIÓN. Identifica y gestiona tus emociones aceptando el error como parte de tu aprendizaje. Comprende y analiza con sentido crítico situaciones reales en los contenidos que has aprendido para abordarlas de manera global.
Cómo se pasa de decimal a fracción • Número decimal exacto: F F Parte entera y decimal sin coma Tantos ceros como cifras decimales 3,71 100 371 = • Número decimal periódico puro: Tantos nueves como cifras tiene el periodo F F Parte entera 6,21 99 621 6 = - # Parte entera y decimal sin coma F • Número decimal periódico mixto: 1,432 990 1 432 14 = - # Tantos nueves como cifras tiene el periodo y tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo Parte entera y decimal no periódica F F G Parte entera y decimal sin coma A C T I V I D A D E S 2 Representa 1,029 # en forma de fracción. a) 100 1 029 b) 99 1 028 c) 99 1 019 d) 990 1 019 Cómo se calcula el término desconocido en una proporción Una proporción es una igualdad entre dos razones: b a d c = , donde a, b, c y d son números y se cumple que a ? d = b ? c. E J E M P LO Para elaborar 3 bizcochos de plátano se necesitan 7 plátanos y medio. Si queremos preparar 4 bizcochos, ¿cuántos plátanos usaremos? N.º de plátanos N.º de bizcochos 7,5 " 3 x " 4 ? , , x x 7 5 4 3 3 7 5 4 3 30 10 = = = = " plátanos. A C T I V I D A D E S 1 Si un apartamento vacacional tiene un precio de 750 € por una semana, ¿cuánto costará alquilar el apartamento 10 días? a) 950 € b) 975 € c) 1 071,43 € d) 1 050,50 € ¿Qué sabes ya? Números reales. Proporcionalidad 1 De cajas Coloca las cajas para que haya una entre los unos, dos entre los doses y tres entre los treses. ¿Sabes cómo hacerlo? 1 2 3 1 2 3 D E SA F Í O 9
El conjunto de los números racionales, Q, está formado por todos los números que se pueden expresar en forma de fracción b a , donde a y b son números enteros y b ! 0. Todos los números naturales, enteros, decimales exactos y periódicos son números racionales. Números racionales Números decimales Números enteros Exactos: 0,2; 0,34; … Periódicos: 0,6; 2,263; … ! # Naturales: 1, 2, 3, … El número cero: 0 Enteros negativos: -1, -2, -3, … 64748 64444744448 64748 Todos los números racionales se pueden representar de manera exacta en la recta numérica . E J E M P LO 1. Indica si estos números son racionales y, si lo son, represéntalos. a) -3 1 3 = - " Se puede expresar como fracción. Es un número racional. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 b) 2,3 10 23 = " Se puede expresar como fracción. Es un número racional. 3 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 c) 3,6 9 36 3 9 33 3 11 = - = = ! " Se puede expresar como una fracción. Es un número racional. 3 11 3 3 2 = + -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3 11 1. Números racionales Los números naturales y enteros se pueden expresar como fracción con denominador 1. 1 Empareja los números que tengan el mismo valor e indica a qué conjunto numérico pertenece cada uno. 2 Ordena y representa. a) 2,33 2,3 ! 2,3 2,36 # b) -4,2 4,2 - ! -4,22 4,27 - # 3 R E F L E X I O N A . Representa estos números racionales. a) 3 5 b) 16 48 c) 7 15 40 3 3,6 ! 0,01 3,666 0,075 500 5 3 11 A C T I V I D A D E S 10
El conjunto de los números irracionales, I, está formado por los números que no se pueden expresar en forma de fracción . Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras decimales que no se repiten de forma periódica . Existen infinitos números irracionales, por ejemplo: Cualquier raíz no exacta : 5, 7 - , 24, … Determinados números obtenidos combinando sus cifras decimales, por ejemplo: 0,010010001…; 0,1234567891011…; … Algunos números especiales: r, e, {, … Los números irracionales r = 3,141592…, e = 2,71828… y { = 1,61803… tienen un papel fundamental en geometría , arquitectura , estudios sobre poblaciones, estructuras naturales… E J E M P LO 2. Decide si estos números son racionales o irracionales. a) r = 3,1415926535… Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras que no se repiten de forma periódica. Es irracional. b) -2 = 1 2 - Se puede expresar en forma de fracción. Es racional. c) 3 2r = 2,094395102… Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras que no se repiten de forma periódica. Es irracional. d) 5 = 2,236067977… Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras que no se repiten de forma periódica. Es irracional. e) 2 3 4 9 = Se puede expresar en forma de fracción. Es racional. 2. Números irracionales 1 4 Considera las raíces cuadradas de los números naturales desde 1 hasta 20 e indica cuáles de ellas son números racionales y cuáles son números irracionales. 5 Indica de qué tipo son los números. a) 1,232323… c) 13 b) -0,246810 d) 0,135791113 6 Escribe cuatro números irracionales, explicando por qué lo son. 7 R E F L E X I O N A . Clasifica en racionales e irracionales. 3,121122111222... 3,444... 3,123123123... 3,12121212... 3,48163264... 2 r A C T I V I D A D E S R E T O Si sumamos un número irracional y un número racional, ¿a qué conjunto numérico pertenece el resultado? 11
3. Números reales El conjunto de los números reales, R, está formado por todos los números racionales y todos los irracionales. Naturales (N) El número 0 Enteros negativos Enteros (Z) Racionales (Q) Irracionales (I) Números reales (R) Decimales exactos y periódicos 64444744448 64444744448 6447448 Recta real La recta numérica en la que se representan los números reales se denomina recta real. E J E M P LO 3. Representa estos números en la recta real. a) 5 a) Si a es un número natural, los números del tipo a se pueden representar de forma exacta sobre la recta real. Escribimos el radicando como suma de dos cuadrados: 5 = 22 + 12. Construimos sobre la recta el triángulo rectángulo correspondiente y trasladamos la hipotenusa sobre la recta con el compás. b) r b) Generalmente los números irracionales no se pueden representar de forma exacta en la recta real. Los números irracionales que no son del tipo a los representamos de forma aproximada a partir del cálculo previo de su expresión decimal: r = 3,141592… G E O G E B R A 5 3 2 1 0 1 3 4 3,1 3,2 3,14 3,15 F r 8 Representa los siguientes números reales. a) 10 d) -2,334445555... b) 1,3 e) 2r c) 13 f ) 1,25 9 Halla con la calculadora los números 6 , 7 y 8, y represéntalos de manera aproximada en la recta. 10 R E F L E X I O N A . Observa esta recta real y escribe. -2 -1 0 1 2 3 A B C D a) Dos números enteros entre A y C. b) Tres números racionales no enteros entre B y C. c) Tres números irracionales entre C y D. ! A C T I V I D A D E S Todos los números reales se pueden representar de manera exacta o aproximada en la recta real . 12
1 11 Indica el conjunto numérico al que pertenece cada número. 12 Decide el menor conjunto numérico al que pertenece cada uno de los números que aparecen a continuación. a) -5 e) 3 r b) 2 f ) -37 c) 5 3 g) 5 1 125 d) 625 h) 21,463 # a) 8,0999... d) 5 1 - g) 15 b) -11 e) 6,126 h) 7 8 c) 2,5 f ) 1,223334444... i ) r # A C T I V I D A D E S Cómo se halla el conjunto numérico al que pertenece un número Indica todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen estos números: 25 9 - 9 16 - 7 2,37 ! 1,1223334444… 9 18 - 4 3 - 19 -5 1 S i el número es entero: S i es positivo, es natural. S i es negativo, es entero. 19 " Es un número natural, entero, racional y real. -5 " Es un número entero, racional y real. 2 S i el número es una fracción: Cuando el numerador es múltiplo del denominador, si la fracción es positiva, es natural y, si es negativa, entero. En caso contrario, es racional. 9 18 2 - = - " Es un número entero, racional y real. 4 3 - " Es un número racional y real. 4 S i el número es decimal: S i es exacto o periódico, es racional. En otro caso, es irracional. 2,37 ! " Es un número racional y real. 1,1223334444… " Es un número irracional y real. Cuando operamos con raíces solo tomamos su valor positivo. 4 2 = 4 2 - = - 3 S i el número contiene una raíz cuadrada: S i el radicando es un cuadrado perfecto, se calcula la raíz. – S i el resultado es un número entero, es natural si es positivo y entero si es negativo. – S i el resultado es una fracción, es racional cuando el numerador no es múltiplo del denominador. S i el radicando no es un cuadrado perfecto, es irracional. 25 = 5 " Es natural, entero, racional y real. 9 3 " - = - Es entero, racional y real. 9 16 3 4 - = - " Es un número racional y real. 7 = 2,64575131… " Es un número irracional y real. Se mantiene el signo. 13
E J E M P LO 4. Aproxima a las centésimas por el método de truncamiento y determina si la aproximación que has hecho es por exceso o por defecto. a) 13,2754 " Truncamiento: 13,27 " Aproximación por defecto b) -21,4785 " Truncamiento: -21,47 " Aproximación por exceso c) 2 = 1,414213… " Truncamiento: 1,41 " Aproximación por defecto E J E M P LO 5. Aproxima estos números a las décimas mediante truncamiento y redondeo. a) 57,423 " Truncamiento: 57,4 Redondeo: 57,4 b) 3,578 " Truncamiento: 3,5 Redondeo: 3,6 c) -2,357 " Truncamiento: -2,3 Redondeo: -2,4 d) 9,971 " Truncamiento: 9,9 Redondeo: 10,0 e) 3 = 1,7320508… " Truncamiento: 1,7 Redondeo: 1,7 El truncamiento y el redondeo coinciden cuando la primera cifra eliminada es menor que 5. 13 Trunca y redondea a las centésimas. a) 24,1587 c) 24,9215 e) 24,1617 b) 24,1507 d) 24,1582 f ) 24,1627 14 Una profesora decide redondear las notas de 10 estudiantes. ¿Qué notas les pondrá? 3,8 6,4 9,7 4,3 5,8 8,4 9,7 2,3 3,8 6,4 15 Aproxima 0,121212…; 5,23888… y 9 11 por redondeo y por truncamiento con dos cifras decimales. 16 R E F L E X I O N A . Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 10 cm. ¿Qué clase de número se obtiene? Redondea el resultado a las milésimas. A C T I V I D A D E S 4. Aproximación de números reales Aproximar números decimales resulta útil a la hora de simplificar los datos para realizar algunos cálculos. El redondeo es una aproximación que consiste en eliminar las cifras a partir de un cierto orden , aumentando una unidad a la última cifra si la primera eliminada es mayor o igual que 5. Aproximar un número decimal consiste en sustituirlo por otro número con menos cifras decimales. El valor de la aproximación puede ser tan cercano al número como queramos. Decimos que una aproximación se realiza por exceso si la aproximación es mayor que el número original y decimos que se realiza por defecto si la aproximación es menor que él . El truncamiento es una aproximación que consiste en eliminar todas las cifras a partir de un orden establecido. R E T O Redondea 1,9 ! a las centésimas. 14
1 E J E M P LO 6. Calcula el error absoluto cometido al aproximar 5 por 2,23. ¿Qué tipo de aproximación se ha realizado? 5 = 2,236067977… " Ea = | 2,236067977… - 2,23 | = 0,006067977… Se ha realizado un truncamiento. Es una aproximación por defecto. E J E M P LO 7. Obtén el error absoluto y relativo al considerar: a) 3,5 m como la longitud de un listón que mide realmente 3,59 m. b) 60 m como la distancia entre dos postes situados a 59,91 m. a) Ea = | 3,59 - 3,5 | = 0,09 m , , , , E V E 3 59 3 59 3 5 25 2 5 0,0 Real r a " = = - = % b) Ea = | 59,91 - 60 | = 0,09 m Real , , , , E V E 59 91 59 91 60 0 0015 0 15 r a " = = - = % El error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error relativo es considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la aproximación es menos precisa. G E O G E B R A 5. Errores de aproximación A veces damos por buena cualquier aproximación cuyo error sea menor que una cierta cantidad; esa cantidad se llama cota de error. 17 Obtén el error absoluto y relativo cometidos: a) Al redondear 3,125 a las centésimas. b) Al truncar 1,65 a las diezmilésimas. c) Al redondear 13 a las centésimas. d) Al truncar 3 2 a las décimas. e) A l aproximar por defecto 1,3476 a las milésimas. f ) Al redondear 7 11 a las milésimas. # 18 La cantidad de antibiótico en una cápsula es de 1,5 g ! 0,2 %. a) ¿Qué significa esta afirmación? b) ¿ Entre qué valores oscila la cantidad de antibiótico en cada cápsula? 19 R E F L E X I O N A . ¿Qué error absoluto y relativo cometemos al aproximar 1,468 por 1,5? ¿Y por 1,4? ¿Cuál es la mejor aproximación? A C T I V I D A D E S El error relativo puede expresarse en tanto por ciento, multiplicándolo por 100. En este caso, recib e el nombre de porcentaje de error. El error absoluto de una aproximación es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor de la aproximación . Ea = |VReal - VAproximación | El error relativo de una aproximación es el valor absoluto del cociente entre el error absoluto y el valor real . Real Real Real E V E V V V r a Aproximación ; ; ; ; = = - 15
Las semirrectas son cerradas o abiertas según si contienen o no a su extremo. Semirrecta abierta (a, +3) { x ! R / a < x } a Semirrecta cerrada [a, +3) { x ! R / a # x } a Semirrecta abierta (-3, b) { x ! R / x < b } b Semirrecta cerrada (-3, b] { x ! R / x # b } b E J E M P LO 8. Escribe en forma de intervalos y semirrectas, y representa. a) -3 # x < 2 " [-3, 2) b) x # -4 " (-3, -4] c) 5 $ x > 0 " (0, 5] -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 20 Expresa como intervalos los números reales que: a) Son menores que 4 3 . b) Son menores o iguales que 5 2 - . c) Son mayores que 0. d) Son mayores o iguales que 5 2 - . 21 Escribe y representa sobre la recta real. a) R { / } x x 3 ! # c) R { / } x x 4 7 < ! # b) R { / } x x 1 > ! d) R { / } x x 6 9 < < ! 22 R E F L E X I O N A . Expresa como intervalos. a) |x| < 3 b) |x| < -3 c) |x| $ -3 A C T I V I D A D E S En la expresión de una semirrecta, uno de los extremos es siempre +3 o -3. 6. Intervalos 6.1. Intervalos Un inter valo de extremos a y b es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b, siendo a < b. Los intervalos se clasifican según contengan o no a sus extremos. Intervalo abierto (a, b) { x ! R / a < x < b } b a Intervalo cerrado [a, b] { x ! R / a # x # b} b a Intervalo semiabierto (a, b] { x ! R / a < x # b } b a Intervalo semiabierto [a, b) { x ! R / a # x < b } b a 6.2. Semirrectas Una semirrecta de extremo a es el conjunto de todos los números reales entre -3 y a, o bien entre a y +3. (a, b] ABIERTO El extremo no pertenece al intervalo. CERRADO El extremo pertenece al intervalo. a b G G G G G E O G E B R A 16
23 Halla la unión y la intersección de estos intervalos. a) (-5, 1] y [0, 2] c) [2, 4] y (3, 5) b) (-1, 5) y [1, 2] d) (-3, 0] y (-1, 4) 24 Indica si lo siguiente es verdadero o falso. a) (-2, 3) + [-1, 4) = [-1, 4) b) (-2, 3) , (-1, 4) = [-2, 3] A C T I V I D A D E S Cómo se calcula la unión y la intersección de intervalos Halla la unión y la intersección de los siguientes pares de intervalos. a) A = [-4, 2], B = (-2, 4] c) A = (-3, -4], B = [-4, 2) b) A = [-3, 5], B = (-3, +3) d) A = (-3, 2], B = (2, 4] 1 R epresentamos los intervalos sobre la misma recta real. 2 La unión de los intervalos será toda la parte de la recta que ocupan los intervalos. La intersección está formada tan solo por la parte de la recta en la que los intervalos coinciden. 3 Expresamos en forma numérica el resultado obtenido gráficamente. Cuando el extremo pertenece lo indicamos con un punto. Cuando el extremo no pertenece lo indicamos con un punto hueco. a) b) c) d) a) A , B = [-4, 4] A + B = (-2, 2] b) A , B = [-3, +3) A + B = (-3, 5] c) A , B = (-3, 2) A + B = {-4} d) A , B = (-3, 4] A + B = Q a) A , B " A + B " b) A , B " A + B " c) A , B " A + B " d) A , B " A + B " La intersección de intervalos puede ser vacía, un punto o un intervalo. La unión de intervalos distintos no puede ser un punto y solo es el vacío si todos los intervalos lo son. 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 17
25 Una impresora 3D tarda 20 minutos en imprimir 4 piezas iguales. ¿Cuánto tiempo será necesario para obtener 22 piezas iguales a las impresas anteriormente? 26 R E F L E X I O N A . En un restaurante, el precio de un menú degustación es 3 veces y medio el del menú del día. ¿Cuántos menús del día se pueden consumir por el precio de 14 menús degustación? A C T I V I D A D E S 7. Proporcionalidad directa E J E M P LO 10. Calcula cuánto valen 5 vasos de horchata en el ejemplo anterior. ? , , , s x x x 1 2 20 5 5 1 2 20 1 5 2 20 11 N.º de vaso Precio (€) € = = = " " 4 Cinco vasos de horchata cuestan 11 €. E J E M P LO 9. Una heladería muestra las siguientes listas de precios. Averigua en cada caso si la relación entre la cantidad de producto y su precio es directamente proporcional. N.º de bolas de helado 1 2 3 Precio (€) 2,50 3,40 5,30 , , , 2 50 1 3 40 2 5 30 3 ! ! No son directamente proporcionales. N.º de vasos de horchata 1 2 3 Precio (€) 2,20 4,40 6,60 , , , 2 20 1 4 40 2 6 60 3 = = Son directamente proporcionales. En general, para resolver una regla de tres directa, aplicaremos el siguiente cálculo: ? a b c x c a x b x a c b = = $ $ " " 4 La regla de tres simple directa es una técnica que nos permite calcular, en magnitudes directamente proporcionales, el valor de una cantidad , conociendo otras tres cantidades relacionadas. Dos magnitudes, A y B, son directamente proporcionales: Magnitud A a1 a2 a3 … m Magnitud B b1 b2 b3 … n cuando los valores de ambas magnitudes cumplen que: … b a b a b a n m k 1 1 2 2 3 3 = = = = = k es la constante o razón de proporcionalidad directa. HELADOS 1 bola 2,50 € 2 bolas 3,40 € 3 bolas 5,30 € HORCHATA 1 vaso 2,20 € 2 vasos 4,40 € 3 vasos 6,60 € 18
1 8. Proporcionalidad inversa E J E M P LO 12. Calcula cuántas horas necesitan trabajar 6 albañiles para hacer la reforma del ejemplo anterior. ? x x x 1 12 1 12 1 12 6 6 6 2 N. de albañiles N. de horas h o o = = = " " 3 Seis albañiles necesitan trabajar 2 h para hacer la reforma. E J E M P LO 11. Una empresa especializada en reformas presenta a un cliente tres presupuestos para reformar una cocina. Determina si la relación entre el número de albañiles y el número de horas trabajadas, y entre las horas de trabajo y el precio es inversamente proporcional. N.º de albañiles 1 2 4 N.º de horas 12 6 3 ? ? ? 1 12 2 6 3 4 = = Son inversamente proporcionales. 27 Tengo dinero suficiente para 12 días, gastando 8 € diarios. Si quiero que me dure 15 días, ¿cuánto dinero puedo gastar cada día? 28 R E F L E X I O N A . En embotellar un pedido, 16 máquinas tardan 6 horas. ¿Cuántas máquinas se necesitan para embotellar este pedido en 4 horas? A C T I V I D A D E S En general, para resolver una regla de tres inversa, aplicaremos el siguiente cálculo: ? a b c x c a b x x c a b = = $ $ " " 4 La regla de tres simple inversa es una técnica que nos permite calcular, en magnitudes inversamente proporcionales, el valor de una cantidad , conociendo otras tres cantidades relacionadas. Dos magnitudes, A y B, son inversamente proporcionales: Magnitud A a1 a2 a3 … m Magnitud B b1 b2 b3 … n cuando los valores de ambas magnitudes cumplen que: … ? ? ? ? a b a b a b k m n 1 1 2 2 3 3 = = = = = k es la constante o razón de proporcionalidad inversa. Reforma 1 ������ 1 000 € 1 albañil 12 h de trabajo Reforma 2 ������ 1 300 € 2 albañiles 6 h de trabajo Reforma 3 ������ 1 600 € 4 albañiles 3 h de trabajo N.º de horas 12 6 3 Precio (€) 1 000 1 300 1 600 ? ? ? 12 1 000 6 1 300 3 1 600 ! ! No son inversamente proporcionales. 19
29 Calcula el porcentaje de los estudiantes de un total de 432 que realizan las siguientes actividades extraescolares: a) 54 estudiantes juegan al baloncesto. b) 144 estudiantes tocan un instrumento musical. c) 62 estudiantes participan en el club de lectura. 30 Calcula el precio de un televisor que valía 360 € si se ha aumentado su precio un 5,8 %. 31 R E F L E X I O N A . Inés cosecha 70 toneladas de cereal, que vende a 323 € la tonelada de grano y a 15 € la tonelada de paja. Si la paja supone el 60 % del peso total del cereal, calcula el dinero que obtiene. A C T I V I D A D E S 9. Porcentajes E J E M P LO 13. Durante la campaña de Navidad, una tienda de electrónica sube los precios un 21 %. En enero, con las rebajas, hace un descuento del 19 % en todos los artículos. Un artículo que costaba 645 € antes de Navidad: a) ¿Cuánto cuesta durante la campaña de Navidad? b) ¿Cuánto costará en enero? a) El precio sube un 21 % " Aumento porcentual (100 + 21) % de 645 = 121 % de 645 = ? 100 121 645 = 780,45 € b) Aumenta un 21 % y disminuye un 19 % " Porcentajes encadenados Aumento del 21 % = (100 + 21) % del precio Disminución del 19 % = (100 - 19) % del precio aumentado 81 % del 121 % de 645 = 0,81 · 1,21 · 645 = 632,16 € El porcentaje se puede expresar con el símbolo %, como proporción o como número decimal. 4,2 % = , 100 4 2 = 0,042 El porcentaje o tanto por ciento, a, de una cantidad , C, indica que tomamos a partes de cada 100 en las que dividimos C. % ? a C a C 100 de = Aumentos y disminuciones porcentuales Realizamos un aumento porcentual cuando aumentamos una cantidad C un a %. Esto equivale a calcular el (100 + a) % de C. Hacemos una disminución porcentual cuando disminuimos una cantidad C un a %. Esto equivale a calcular el (100 - a) % de C. Llamamos porcentajes encadenados a los sucesivos aumentos o disminuciones porcentuales aplicados a una misma cantidad . Si aplicamos los porcentajes de aumento o disminución t1, t2, …, tn a C, la cantidad resultante es … ? ? ? ? t t t C 100 100 100 n 1 2 d n . R E T O Si disminuimos porcentualmente una cantidad C en un 10 %, ¿qué aumento porcentual habrá que aplicarle a la nueva cantidad para volver a obtener la cantidad inicial? 20
32 La natalidad en una población ha descendido un 12,5 %. Si este año han nacido 98 bebés, ¿cuántos nacieron el año pasado? 33 Después de aumentar una cantidad un 12 %, se calcula su 20 % y se obtiene 112. Calcula la cantidad. 34 Raúl compró un coche que costaba 18 000 €, y le hicieron un descuento del 20 %. A este precio se le sumó un 21 % de IVA. ¿Qué precio pagó Raúl finalmente por el coche? 35 Al aumentar el precio de un producto un 28 % y después rebajarlo un 12 % obtenemos un precio final de 527,85 €. ¿Cuál era el precio inicial? 36 El 94 % de los estudiantes que se presentan a las pruebas de acceso a la universidad las superan. a) Si se presentan 26 000 estudiantes, ¿cuántos pasarán las pruebas? b) El 25 % de los estudiantes decide abandonar la carrera tras el primer año de estudio. ¿Cuántos estudiantes abandonan la carrera el primer año? c) Durante el segundo año de carrera, el 10 % abandona sus estudios. Suponiendo que el resto finaliza la carrera, ¿cuántos estudiantes la terminan? 37 Si el precio inicial de un producto se aumenta un 15 % y después, sobre ese precio aumentado, se disminuye un 15 %, ¿obtenemos el precio inicial? A C T I V I D A D E S Cómo se resuelven problemas de porcentajes encadenados Los precios que figuran en los productos de una tienda de informática aparecen sin IVA. Si se compra a través de su web, se aplica una rebaja del 20 % y se añade después el 21 % de IVA. Rosa ha comprado una impresora láser a través de la web y le ha costado 352,25 € con IVA. ¿Cuál es el precio de la impresora que figuraba en la tienda? G E O G E B R A 1 Identificamos los aumentos y disminuciones porcentuales. 2 El precio final del artículo viene dado por ? ? ? ? … t t t C 100 100 100 n 1 2 e o donde t1, t2, …, tn son los porcentajes de aumento o disminución que aplicamos y C es el precio inicial del artículo. 1 3 R esolvemos la ecuación resultante. Precio final " 352,25 € Porcentajes de aumento y disminución " 121 % y 80 % Precio inicial " Es la cantidad que buscamos. Precio final ? ? ? ? … t t t C 100 100 100 n 1 2 =e o 352,25 ? ? C 100 80 100 121 =e o Rebaja del 20 % en web " 100 - 20 = 80 % Aumento del 21 % de IVA " 100 + 21 = 121 % Las disminuciones se restan al 100 %. Los aumentos se suman al 100 %. Recuerda que para aplicar la fórmula de los porcentajes encadenados primero hay que calcular los porcentajes de aumento y disminución. Aumenta a % " (100 + a) % Disminuye a % " (100 - a) % 352,25 ? ? ( , , ) C 0 8 1 21 = 352,25 ? , C 0 968 = , , , C 0 968 352 25 363 89 = = El precio que figuraba en la tienda, sin rebaja y sin IVA, era de 363,89 €. 21
1. Reconoce los distintos tipos de números y los representa en la recta real Números racionales 38 Clasifica estos números racionales. a) 2,333… c) 2,435555… e) 8,91 # b) 2,345 d) -45 f ) 57,432 # 39 Escribe, en cada caso, dos números que sean: a) Naturales. d) Enteros pero no naturales. b) Periódicos. e) Racionales pero no enteros. c) Exactos. f ) Irracionales. A C T I V I D A D E S F L A S H 40 Ordena estos números con su letra de menor a mayor y, después, de mayor a menor. Elimina una de las letras que son iguales para encontrar el palíndromo. O R R O E 5,595 5,5 5,59 ! 5,595 ! 5,5 ! C E V C N 5,59 5,595 # 5,59 # 5,595 % 5,5955 41 I N V E N TA . Escribe tres números racionales comprendidos entre los siguientes. a) 4 5 y 4 6 c) 5 4 y 6 5 b) 7,16 y 7,16 # d) 0,632 # y 0,63 ! 42 M AT E M ÁT I C A S E . . . H I S T O R I A . El matemático Fibonacci descubrió que se puede convertir cualquier fracción en una suma de fracciones con numerador 1. Por ejemplo, 5 4 2 1 4 1 20 1 = + + . Para ello: Escogemos la mayor fracción con numerador 1, menor que el número que queremos convertir. Restamos el número y la fracción con numerador 1. Convertimos el resultado en una suma de fracciones con numerador 1 repitiendo estos pasos. ¿Puedes escribir 20 19 de esta forma? 43 R E T O . Si m n m 2 3 + = - , ¿cuánto vale n m ? 44 Comprueba si estas igualdades son ciertas. a) 1,9 2 = ! b) , : , 1 3 3 0 4 = ! ! c) , , 1 89 0 1 2 + = ! ! 45 I N V E S T I G A . La fracción 40 61 se escribe en cascada como: b a 40 61 1 1 1 1 1 = + + + , donde b a es irreducible. ¿Cuál es el valor de a + b? Números irracionales 46 Di cuáles de las raíces cuadradas desde el 1 hasta el 20 son números racionales y cuáles irracionales. 47 Averigua cuáles de estos números son racionales y cuáles irracionales. a) 24,232323… c) 1 8 + e) 4 4 2 ` j b) 1 8 + d) 2 4 4 f ) 2 r Representar una raíz cuadrada aplicando el teorema de Pitágoras sucesivas veces 48 Representa 12. primero. Se considera la suma de dos números elevados al cuadrado hasta obtener el radicando. 22 + 22 = 8 2 _ i 8 2 12 2 2 2 + = _ _ i i segundo. Se construyen triángulos rectángulos cuyos catetos tengan como longitudes esos números hallados y se traslada la hipotenusa sobre la recta real tantas veces como sea necesario. 2 2 1 1 1 0 2 8 12 49 Representa las raíces en la recta real. a) 3 b) 6 c) 38 d) 1 37 + 50 Representa estos números irracionales de forma exacta a partir de dos descomposiciones diferentes, y comprueba que el resultado coincide. a) 50 b) 72 C Á L C U L O M E N TA L a c t i v i da d e s f i n a l e s 22
51 Utiliza la calculadora y ordena de menor a mayor. a) 3, 2 6 , 3 3 b) 65, 5 3, 2 265 52 Calcula y determina qué tipo de número es, en un triángulo equilátero: a) L a altura, si el lado mide 10 cm. b) E l área, si el lado mide 3 cm. c) L a altura y el área, si el lado mide 3 cm. h l 53 I N V E S T I G A . Razona si las afirmaciones son ciertas. a) La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional. b) La raíz cuadrada de una fracción es irracional. 54 I N V E N TA . Escribe un número irracional entre estos pares de racionales. a) 1,5 ! y 1,6 b) 1,2 y 1,6 c) 1,5 ! y 1,53 ! 55 M AT E M ÁT I C A S Y. . . N AT U R A L E Z A . Existen relaciones en la naturaleza, como la disposición de los pétalos de algunas flores o de las hojas en un tallo, o la distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona respecto a su altura total, en las que aparece el número áureo 2 1 5 { = + . ¿Se puede representar este número de forma exacta en la recta numérica? Números reales 56 Completa el crucigrama clasificando cada número con el menor conjunto numérico al que pertenecen. HORIZONTALES 1. r 2. -7 VERTICALES 3. 6,72 # 4. 418 3 4 1 2 A C T I V I D A D E S F L A S H I N T E R N E T 57 J U E G O . Formad grupos de 4 personas. Cada persona elige un conjunto numérico (naturales, enteros, racionales, reales). Barajad las tarjetas, colocadlas bocabajo e id sacándolas de una en una. Quien tenga el menor conjunto numérico al que pertenece la tarjeta se la queda. Gana la persona que consiga primero 3 tarjetas. 58 Indica todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen estos números. a) 17 8 + e) 4 20 - b) 17 8 + f ) 20 4 - c) 8 17 - g) 20 4 - d) 17 8 - h) 4 20 + 59 Clasifica estos números reales. Exprésalos en forma decimal y ordénalos de menor a mayor. a) ; ; ; ; 5 3 7 2 5 9 7 5 8 b) ; ; ; 8 6 3 90 35 2 12 - 60 Investiga lo que son las palabras bifronte. Ordena de mayor a menor y de menor a mayor los números con sus letras para encontrar dos de ellas. P R A A A T 1 2 + 8 10 1 - 6 10 2 3 + 61 Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones. Razona tu respuesta. a) Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción. b) Todos los números reales son racionales. c) Un número irracional es real. d) Existen números enteros que son irracionales. e) Hay números reales que son racionales. f ) Cualquier número decimal es racional. g) Un número racional es entero. h) Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales. i) T odos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten. 62 R E T O . Si a y b son dos números reales y a < b, ¿qué sucede con sus opuestos? ¿Y con sus inversos? Contesta razonadamente. I N T E R N E T 1 23
a c t i v i da d e s f i n a l e s 63 I N V E S T I G A . Si a es un número racional, indica qué tipo de número es cada uno de los siguientes. a) 2a b) a 2 c) a 2 d) ra 64 I N V E S T I G A . Si a es un número irracional, indica qué tipo de número es cada uno de los siguientes. a) 2a b) a 2 c) ra d) a 1 65 Razona si las afirmaciones son verdaderas o falsas. a) E xisten números enteros que no son racionales. b) Hay números irracionales que no son números reales. c) Un número real es racional o irracional. d) Cualquier número decimal es un número real. 66 Opera e indica qué tipo de número real resulta. a) 2,7 " c) 5,4 3 ? 1, 2 b) 4,09 - 1,39 d) , 3 1 3 " 2. Realiza cálculos aproximados y calcula los errores cometidos 67 Completa el crucigrama redondeando en las horizontales y truncando en las verticales. La coma decimal ocupa una casilla. HORIZONTALES 1. A las unidades: 5 232,49 2. A las décimas: 7,372 3. A las décimas: 31,451 4. A las unidades: 678,21 VERTICALES A. A las unidades: 573,12 B. A las centésimas: 2,167 C. A las décimas: 34,724 D. A las unidades: 2,25; a las unidades: 58,34 A B C D 1 2 3 4 A C T I V I D A D E S F L A S H 68 Redondea a las diezmilésimas 10. Luego, calcula sus aproximaciones por exceso y por defecto, y comenta lo que observas. 69 ¿Existe algún caso en el que las aproximaciones por exceso y por defecto coincidan? Y si consideramos el redondeo, ¿puede coincidir con la aproximación por exceso y por defecto? ! ! ! ! 70 M AT E M ÁT I C A S E . . . H I S T O R I A . Observa en la tabla distintas aproximaciones de r = 3,14159265… Redondea las aproximaciones a la millonésima y halla el error absoluto y relativo. ¿Cuál es la más precisa? 71 Realiza estas operaciones y redondea los resultados a las décimas. Después, redondea cada número a las décimas y resuelve la operación. ¿Por qué procedimiento se comete menor error? a) 3,253 + 8,45 c) 13,5 ? 2,7 b) 53,32 - 18,93 d) 40,92 : 5,3 72 M AT E M ÁT I C A S Y. . . A S T R O N O M Í A . El año solar dura exactamente 365 días, 5 horas, 48 minutos y 47 segundos, es decir, 365,2422016… días. Expresa el error absoluto y relativo cometidos en cada caso: a) Al tomar como aproximación del año 365 días. b) Al intercalar un año bisiesto cada cuatro, añadiendo un día, es decir, 365 días más 1/4 de día. 73 Obtén el error absoluto y relativo cometidos al redondear y truncar: a) 10,4798 a las milésimas. c) 3 2 a las décimas. b) 12 a las diezmilésimas. d) 3,125 a las milésimas. 74 Aproxima el número 8,9761 de forma que el error absoluto sea menor que 0,001. 75 M AT E M ÁT I C A S Y. . . C I E N C I A . En muchas ocasiones el redondeo facilita los cálculos, pero pequeñas variaciones en los datos pueden suponer grandes diferencias en los resultados. Obtén el error absoluto y relativo al considerar que: a) La masa de un protón es 2 ? 10-24 g. b) La masa de un electrón es 9 ? 10-28 g. ¿Crees que el error ha sido muy grande? Cultura Antiguo Egipto (1800 a. C.) Grecia (s. iii a. C.) Arquímedes Ptolomeo (s. ii d. C.) China (s. v d. C.) Tsu Chung Chih Valor 3 4 4 f p 7 22 120 377 113 355 I N T E R N E T I N T E R N E T 24
1 76 I N V E S T I G A . Escribe dos aproximaciones diferentes de 1,45 que tengan el mismo error relativo. 77 R E T O . Se sabe que dos aproximaciones tienen el mismo error relativo. Decide cómo será el error absoluto sabiendo que los valores reales son iguales en los dos casos. ¿Se puede asegurar que los errores absolutos serán diferentes si los valores reales no coinciden? 3. Representa intervalos de números reales y realiza operaciones con ellos 78 Expresa mediante intervalos estas situaciones. a) La capacidad de los envases es menor que 5 ℓ. b) La altura de las cortinas debe ser menor o igual que 2,8 m. c) El descuento se aplica a compras superiores a 40 €. d) Los precios van desde los 30 € hasta los 60 €. 79 Escribe en qué intervalo se encuentra un número: a) Mayor que 3. b) Menor que 5 y mayor que 1. c) Menor o igual que -2. d) Mayor que -4. A C T I V I D A D E S F L A S H 80 I N V E N TA . Escribe tres números de cada intervalo. a) (2, 4) b) (-5, -1] c) [-1, 3) 81 M AT E M ÁT I C A S Y. . . S O C I E D A D . Un grupo de investigadores de la escuela de Medicina Albert Einstein de Nueva York determinaron que el límite de edad de una persona era de 125 años. Escribe la posible edad de una persona en forma de intervalo. 82 J U E G O . Jugad al memory. Unid las tarjetas que representen el mismo intervalo en la recta real. (3, 7) [3, 7) (3, 7] [3, 7] (-7, 3) [-7, -3) [-3, 7) [-3, 7] R { / } x x 3 7 1 ! # R { / } x x 3 7 1 ! # - R { / } x x 3 7 1 ! # R { / } x x 3 7 ! # # R/ } { x x 3 7 ! # # - R { / } x x 7 3 1 ! # - - R/ } { x x 3 7 1 1 ! R { / } x x 7 3 1 1 ! - 83 Escribe un número racional del intervalo [0, 1], otro del intervalo 0, 2 1 = G y otro de 0, 8 1 = G . ¿Cuántos números racionales hay entre 0 y 1? ¿Y entre 0 y 2 1 ? 84 Indica si es verdadero o falso. a) , 1 0 3 1 !e o d) , 9 4 1 2 1 ! - e G b) ( , ] 1 8 1 3 ! + e) ( , ) 2 2 1 1 ! - c) [ , ) 4 5 2 1 ! - - f ) , 2 3 4 5 0 ! - - = G 85 Siendo ( , ] A 3 3 = - , B = (-2, 0] y C = [2, 5), calcula: a) A , B b) A , B , C c) A + C d) A + B + C 86 Completa con paréntesis, corchetes o números. a) ( , ) [ , [ , ) 0 2 2 1 0 1 - = d d b) ( , , [ , ] 1 2 2 1 2 2 ' - = - d d d c) ' , ) , ) ( , 3 1 1 4 3 4 - - - = - d d d d) ( [ , , ) [ , ) 4 1 2 3 2 - - = - d d d 87 I N V E S T I G A . Si dos números reales, x e y, pertenecen a los intervalos (-1, 3) y [0, 2] respectivamente, ¿a qué intervalo pertenece el resultado de estas operaciones? a) x + y b) x - y c) y - x d) x ? y 88 Expresa como intervalo estos conjuntos numéricos. a) | x | < 3 b) | x | < -3 c) | x | $ -3 89 R E T O . Halla las edades, consecutivas y distintas, de cada persona. 10 < Javier < 14 10 # Ismael < 12 Elisa < Pilar < Javier Cristina > Javier Milena < Elisa 4. Aplica proporcionalidad y porcentajes a problemas de la vida cotidiana 90 En una receta para 6 personas se necesitan 240 g de salmón. Averigua lo que necesito para 8 personas. 91 ¿Cuántas personas se precisan para terminar una obra en 20 días, si 28 lo hacen en 10 días? 25
a c t i v i da d e s f i n a l e s 92 Carlos pintó su habitación con 6 botes de 4 kg de pintura, pero ahora solo venden botes de 3 kg. ¿Cuántos botes necesita para volver a pintarla? 93 M AT E M ÁT I C A S Y. . . C U E R P O H U M A N O . La densidad media del cuerpo humano es de 1,15 kg/ℓ. a) ¿Cuál es el volumen de una persona que pesa 65 kg? b) ¿Cuánto pesará una persona que tiene un volumen de 42 ℓ? 94 La dueña de una pensión dispone de comida para alimentar a sus 18 huéspedes durante 12 días. Si el número de huéspedes aumenta en 6 personas, ¿para cuántos días tendrá comida? 95 M AT E M ÁT I C A S Y. . . M E D I O A M B I E N T E . El humo de leña contiene muchos contaminantes tóxicos. Estos afectan a la calidad del aire y en mayor medida a las personas alérgicas o asmáticas. Pero aún son muchas las casas que no tienen otra forma de calentarse. El precio de la leña ronda los 0,25 €/kg. Se estima que para calentar una casa se debe utilizar alrededor de 1 kg de leña cada 45 minutos y mantener encendida la chimenea durante 6 h al día. a) ¿Cuánto costará, aproximadamente, mantener una casa caliente durante todo el invierno? b) ¿Cuántas horas al día se podrá encender la chimenea con un presupuesto de 380 € para todo el invierno? 96 Entre dos poblaciones hay 61 farolas, separadas 15 m entre sí. Si estuvieran a 25 m de separación: a) ¿Cuántas farolas habría? b) ¿Qué distancia hay entre las poblaciones? 97 Una embotelladora funciona 8 horas diarias y en 9 días ha embotellado 1 500 cajas de botellas de refresco. Para embotellar 10 000 cajas, trabajando 6 horas al día, ¿cuántos días deberá funcionar la máquina? 98 Si leo 15 páginas por hora durante 4 horas diarias tardo 10 días en leer un libro. Leyendo 12 páginas por hora, tardo 20 días. ¿Cuántas horas debo leer al día? 99 En las fiestas del barrio se colocan 1 200 faroles que se conectan 8 horas al día, ocasionando un gasto de 1 440 €. ¿Cuál será el gasto si se colocan 600 faroles más, pero se conectan 2 horas menos? 100 ¿Qué porcentaje hay en estas expresiones? a) 3 de cada 20 personas se duermen en los viajes. b) 8 de cada 12 establecimientos cierran a las 20:00 h. c) 9 de cada 14 coches tienen más de 10 años. d) 1 de cada 6 turistas viaja solo. e) 2 de cada 7 pasteles llevan chocolate. f ) 7 de cada 40 pacientes no se recuperan con el primer tratamiento. 101 Para hacer una paella se necesitan 2 vasos de agua por cada vaso de arroz. Si se echan 4 vasos y medio de agua, ¿cuántos vasos de arroz harán falta? 102 ¿Cuánto dinero hay que aumentar el precio de estos artículos para que tengan una subida del 24 %? a) Pan: 0,60 €/unidad. b) Leche: 1,10 €/ℓ. c) Huevos: 1,42 €/docena. d) Manzanas: 2,30 €/kg. 103 I N V E S T I G A . Razona si es verdadero o falso. a) El 25 % de 200 es lo mismo que el 50 % de 100. b) El 40 % de 48 coincide con el 20 % de 24. c) El 20 % de 50 es lo mismo que el 50 % de 20. d) El 20 % de 70 junto con el 30 % de 70 es el 50 % de 140. 104 M AT E M ÁT I C A S E . . . I G U A L D A D . La brecha salarial entre hombres y mujeres es una preocupación de la población, como ha constatado el INE. Según informes del Ministerio de Hacienda, el salario de las mujeres en el año 2020 fue un 28,6 % inferior al del salario de los hombres. ¿En qué porcentaje fue superior el salario de los hombres al de las mujeres durante ese año? 26
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