Matema´ ticas II Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Sonia Alejo Sánchez Miguel Álvaro Pérez José Carlos Gámez Pérez Silvia Marín García Clara Inés Lavado Campos Alfredo Mar tín Palomo Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN Sonia Alejo Sánchez Clara Inés Lavado Campos Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno. 2 B A C H I L L E R A T O
Índice Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 1 Matrices 9 1. Matrices _ 10 2. Matriz traspuesta _ 13 3. Operaciones con matrices _ 14 4. Rango de una matriz _ 18 5. Matriz inversa _ 20 6. Ecuaciones matriciales _ 22 • Calcular el producto de dos matrices • Calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss • Calcular la matriz inversa con el método de Gauss-Jordan • Resolver ecuaciones matriciales de los tipos AX = B, XA = B y AX + B = C • Determinar matrices que cumplan una cierta condición • Calcular las constantes que hacen que se cumpla una igualdad entre matrices 2 Determinantes 35 1. Determinantes _ 36 2. Propiedades de los determinantes _ 37 3. Menor complementario y adjunto _ 41 4. Desarrollo de un determinante por sus adjuntos _ 42 5. Cálculo del rango de una matriz _ 44 6. Cálculo de la inversa de una matriz _ 46 • Calcular el determinante de una matriz usando sus propiedades • Calcular un determinante haciendo ceros • Calcular el rango de una matriz a partir de sus menores • Calcular la inversa de una matriz con determinantes • Resolver ecuaciones con determinantes • Reducir un determinante a otro determinante cuyo valor se conoce 3 Sistemas de ecuaciones 59 1. Sistemas de ecuaciones lineales _ 60 2. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones _ 62 3. Método de Gauss para resolver sistemas _ 63 4. Teorema de Rouché-Fröbenius _ 66 5. Regla de Cramer _ 68 6. Generalización de la regla de Cramer _ 70 7. Sistemas homogéneos _ 71 8. Sistemas de ecuaciones con parámetros _ 72 • Resolver un sistema mediante el método de Gauss • Discutir y resolver un sistema con un parámetro utilizando el método de Gauss • Discutir un sistema de ecuaciones lineales utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius • Resolver un sistema de ecuaciones compatible determinado utilizando la regla de Cramer • Resolver un sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer • Discutir y resolver un sistema de ecuaciones homogéneo 4 Vectores en el espacio 85 1. Vectores en el espacio _ 86 2. Combinación lineal de vectores _ 87 3. Coordenadas de un vector en el espacio _ 88 4. Operaciones en coordenadas _ 89 5. Aplicaciones de los vectores _ 90 6. Producto escalar _ 92 7. Aplicaciones del producto escalar _ 94 8. Producto vectorial _ 96 9. Aplicaciones del producto vectorial _ 98 10. Producto mixto _ 100 11. Aplicaciones del producto mixto _ 101 • Calcular vectores linealmente independientes con matrices • Comprobar si tres puntos están alineados • Calcular los vectores perpendiculares a otro vector • Calcular una base de vectores ortogonales • Calcular el área de un triángulo • Calcular el volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro • Calcular el volumen de un tetraedro • Operar con vectores utilizando sus coordenadas • Hallar las coordenadas del origen o el extremo de un vector que cumple ciertas condiciones 5 Rectas y planos en el espacio 111 1. Ecuaciones de la recta en el espacio _ 120 2. Ecuaciones del plano en el espacio _ 122 3. Puntos alineados y coplanarios _ 123 4. Vector perpendicular a un plano _ 124 5. Posiciones relativas de recta y plano _ 126 6. Posiciones relativas de dos planos _ 127 7. Posiciones relativas de tres planos _ 128 8. Posiciones relativas de dos rectas _ 127 9. Perpendicularidad entre recta y plano _ 127 10. Haces de planos _ 127 • Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos • Hallar la ecuación del plano que pasa por tres puntos • Comprobar si varios puntos están alineados o son coplanarios • Hallar el vector director de una recta dada por dos planos • Determinar la posición relativa de un plano y una recta • Determinar la posición relativa de dos planos • Determinar la posición relativa de tres planos en el espacio • Hallar la posición de dos rectas por sus vectores directores • Hallar la posición de dos rectas mediante sus ecuaciones implícitas • Calcular una recta perpendicular a un plano 6 Ángulos y distancias 137 1. Ángulos en el espacio _ 138 2. Proyecciones ortogonales _ 140 3. Puntos simétricos _ 142 4. Distancias a puntos y a planos _ 144 5. Distancia de un punto a una recta _ 146 6. Distancias entre rectas _ 147 7. Lugares geométricos. La esfera _ 149 • Calcular el ángulo entre dos rectas, entre una recta y un plano y entre dos planos • Calcular la proyección ortogonal de un punto sobre una recta o un plano y de una recta sobre un plano • Calcular el simétrico de un punto respecto de otro punto, respecto de una recta y respecto de un plano. • Calcular la distancia de un punto a un plano • Calcular la distancia entre dos planos • Calcular la distancia entre una recta y un plano • Calcular la distancia de un punto a una recta • Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan 7 Límites y continuidad 161 1. Límite de una función en el infinito _ 162 2. Operaciones con límites _ 164 3. Cálculo de límites _ 166 4. Resolución de algunas indeterminaciones _ 168 5. Límite de una función en un punto _ 171 6. Continuidad de una función _ 174 7. Teorema de Bolzano _ 176 8. Teorema de Weierstrass _ 177 • Resolver límites que presentan indeterminaciones del tipo 3 3 , 3 3 - y 13. • Resolver los límites de una función en un punto que presentan una indeterminación del tipo 0 0 . • Determinar si una función es continua en un punto • Estudiar la continuidad de una función definida a trozos • Aplicar el teorema de Bolzano a una función • Aplicar el teorema de los valores intermedios a una función • Determinar el límite de una operación entre valores distintos de una función 2
Hac ia la univers idad Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Calcular la potencia de una matriz • Comprobar propiedades de algunas matrices • Resolver problemas utilizando matrices • Determinar elementos para que una matriz sea ortogonal • Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro • Calcular la inversa de una matriz que depende de un parámetro • Resolver un sistema de ecuaciones matriciales M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Apps • Videojuegos • Criptografía • Logística • Economía Calcular una ruta óptima entre dos lugares diferentes • Calcular un determinante en función del rango de una matriz • Estudiar el rango de una matriz cuadrada y no cuadrada que depende de un parámetro utilizando determinantes • Comprobar si una matriz que depende de un parámetro tiene inversa • Resolver una ecuación matricial del tipo AX = C • Resolver una ecuación matricial del tipo AX + B = C • Resolver una ecuación matricial en la que hay que sacar factor común M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Astronomía • Mercado • Criptografía • Vídeojuegos • Mecánica cuántica Medir superficies irregulares • Discutir un sistema de ecuaciones con parámetros usando el teorema de Rouché-Fröbenius • Resolver un sistema de ecuaciones con parámetros utilizando la regla de Cramer • Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = XA y del tipo AX = B • Resolver problemas mediante un sistema de ecuaciones lineales • Estudiar un sistema y resolverlo utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius • Discutir un sistema que depende de un parámetro con dos ecuaciones y dos incógnitas, con tres ecuaciones y tres incógnitas, con más ecuaciones que incógnitas y con tres ecuaciones y tres incógnitas M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Física • Economía • Modelos económicos • Sismografía Controlar el consumo de datos • Determinar los vértices de un paralelogramo • Hallar las coordenadas de un vector respecto de una base • Calcular un parámetro para que tres vectores sean linealmente independientes • Determinar el módulo de un vector utilizando la definición del producto escalar • Calcular el valor de un parámetro para que dos vectores sean perpendiculares • Determinar vectores perpendiculares a otros dos que cumplan ciertas condiciones • Determinar un vértice de un triángulo • Determinar vectores conociendo condiciones sobre su producto vectorial • Calcular el producto mixto aplicando las propiedades M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Física • Geolocalización • Impresión 3D • Electromagnetismo Explicar fenómenos naturales • Calcular un plano perpendicular a una recta • Comprobar que un punto pertenece a una recta en función de un parámetro • Calcular la ecuación de una recta que pasa por un punto y es paralela a otra recta • Calcular la ecuación de un plano que contiene a una recta y a un punto exterior a ella • Calcular la ecuación de un plano que contiene a dos rectas secantes o dos rectas paralelas • Calcular la ecuación de un plano que pasa por un punto y es paralelo a otro plano • Calcular la ecuación de un plano que contiene a una recta y que es perpendicular a otro plano • Calcular la ecuación de la recta perpendicular a dos rectas • Determinar las posiciones relativas de dos rectas en función de un parámetro • Determinar las posiciones relativas de una recta y un plano en función de un parámetro M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Óptica • Zoología • Química • Geología Hacer mesas estables • Determinar un plano que forma un cierto ángulo con otro plano • Calcular una recta perpendicular a otra recta que pasa por un cierto punto • Calcular un plano paralelo a una recta que pasa por un cierto punto • Calcular una recta simétrica respecto de un plano • Calcular el simétrico de un punto respecto a un plano cuando depende de parámetros • Resolver problemas de simetrías • Calcular el plano de simetría de dos puntos • Buscar puntos que están a una cierta distancia • Determinar una recta que está a una cierta distancia de otra recta • Calcular puntos de una recta que equidistan de otros dos puntos M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Astronomía • Topografía • Aviación • Telecomunicaciones • Geología Saber cuánto puede inclinarse una moto • Calcular el parámetro de una función si está en un límite con indeterminación 3 3 • Calcular el parámetro de una función cuando aparece en un límite con indeterminación de tipo 13 • Calcular el límite del cociente de dos funciones exponenciales • Determinar si existe o no el límite de una función en un punto • Resolver una indeterminación cuando aparece una expresión del tipo ( ) f x a ! • Calcular el parámetro para que exista el límite de una función en un punto • Calcular los parámetros para que una función sea continua • Determinar si una ecuación tiene raíces reales • Determinar si dos curvas se cortan • Decidir si una función toma un valor determinado M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Informática • Préstamos • Prevención de la salud • Medicina Explicar cómo se recorren distancias completas 3
Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 8 Derivadas 189 1. Definición de derivada _ 190 2. Interpretación geométrica de la derivada _ 191 3. Derivadas laterales _ 192 4. Derivabilidad y continuidad _ 193 5. Función derivada. Derivadas sucesivas _ 194 6. Operaciones con derivadas _ 195 7. Derivada de las funciones elementales _ 196 8. Técnicas de derivación _ 198 • Calcular la derivada de funciones compuestas aplicando la regla de la cadena sucesivamente • Calcular la derivada de funciones del tipo h(x) = f(x)g(x) • Calcular la derivada de una función implícita en un punto • Determinar la ecuación de la recta tangente a una función en un punto • Determinar el parámetro de una función cuando no conocemos su recta tangente 9 Aplicaciones de la derivada 211 1. Crecimiento y decrecimiento _ 212 2. Máximos y mínimos relativos _ 213 3. Concavidad y convexidad _ 215 4. Puntos de inflexión _ 216 5. Optimización de funciones _ 218 6. Teorema de Rolle _ 220 7. Teorema del valor medio _ 221 8. Teorema del valor medio generalizado _ 222 9. Regla de L’Hôpital _ 223 • Determinar el crecimiento y decrecimiento de una función • Hallar los máximos y mínimos de una función mediante la derivada primera y la derivada segunda • Determinar la concavidad y convexidad de una función • Hallar los puntos de inflexión de una función • Resolver un problema de optimización • Resolver un problema de optimización despejando una variable • Aplicar el teorema de Rolle, el del valor medio y el valor medio generalizado 10 Representación de funciones 237 1. Dominio y recorrido _ 238 2. Puntos de corte y signo de una función _ 239 3. Simetrías y periodicidad _ 240 4. Ramas infinitas. Asíntotas _ 241 5. Monotonía de una función _ 245 6. Curvatura de una función _ 246 7. Funciones polinómicas _ 247 8. Funciones racionales _ 248 9. Funciones con radicales _ 249 10. Funciones exponenciales _ 250 11. Funciones logarítmicas _ 251 12. Funciones definidas a trozos _ 252 • Hallar el dominio de una función • Calcular los puntos de corte con los ejes • Hallar el signo de una función • Determinar si una función es simétrica • Calcular las asíntotas verticales, horizontales y oblícuas de una función • Estudiar las ramas infinitas de una función • Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función • Estudiar la curvatura de una función • Representar una función polinómica • Representar una función racional • Representar una función con radicales 11 Integrales indefinidas 265 1. Función primitiva de una función _ 266 2. Integral de una función _ 267 3. Integrales de funciones elementales _ 268 4. Integración por partes _ 274 5. Integrales de funciones racionales _ 275 6. Integración por cambio de variable _ 280 • Resolver una integral donde falta un factor numérico • Resolver una integral del tipo ( ) ( ) f x f x n l y • Resolver una integral por partes • Resolver una integral racional en la que el denominador solo tiene raíces reales simples, solo tiene una raíz real múltiple o tiene raíces simples y múltiples • Resolver una integral racional en la que el denominador tiene raíces no reales • Resolver una integral racional en la que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador • Resolver una integral mediante un cambio de variable 12 Integrales definidas 293 1. Área bajo una curva _ 294 2. Integral definida _ 296 3. Teorema del valor medio para la integral _ 298 4. Teorema fundamental del cálculo integral _ 299 5. Regla de Barrow _ 300 6. Área encerrada por una curva _ 302 7. Área comprendida entre dos curvas _ 304 • Calcular una integral definida aplicando la regla de Barrow • Calcular el área entre la gráfica de una función y el eje X • Calcular el área comprendida entre dos curvas • Calcular una integral definida de una función con valor absoluto • Resolver una integral definida de una función racional • Resolver una integral definida por partes 13 Probabilidad 317 1. Experimentos aleatorios _ 318 2. Sucesos. Operaciones con sucesos _ 320 3. Frecuencia y probabilidad _ 322 4. Propiedades de la probabilidad _ 323 5. Regla de Laplace _ 324 6. Probabilidad condicionada _ 325 7. Tablas de contingencia _ 326 8. Dependencia e independencia de sucesos _ 327 9. Teorema de la probabilidad total _ 328 10. Teorema de Bayes _ 329 • Determinar el espacio muestral con un diagrama de árbol • Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace • Elaborar una tabla de contingencia y utilizarla para calcular probabilidades • Calcular el número de posibilidades utilizando métodos de conteo • Calcular el número total de sucesos si el número de sucesos elementales es finito • Hallar el espacio muestral de un experimento con una tabla de doble entrada 14 Distribuciones binomial y normal 341 1. Variables aleatorias _ 342 2. Distribuciones discretas _ 344 3. Distribución binomial _ 345 4. Distribuciones continuas _ 348 5. Distribución normal _ 349 6. Aproximación de la binomial _ 351 • Construir una variable aleatoria a partir de un experimento • Calcular la función de probabilidad y la función de distribución de una variable aleatoria discreta • Determinar si una variable aleatoria sigue una distribución binomial y hallar su función de probabilidad • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución binomial • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución binomial por medio de tablas • Calcular la función de distribución de una variable aleatoria continua a partir de la función de densidad Índice 4
Hac ia la univers idad Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Determinar los parámetros de una función conocida la ecuación de su recta tangente • Estudiar la derivabilidad y continuidad de una función • Discutir la derivabilidad y continuidad de una función a partir de sus parámetros • Aplicar la regla de la cadena • Determinar la derivada de una función que depende de otra función desconocida • Calcular derivadas mediante derivación logarítmica • Resolver problemas utilizando la derivada de funciones implícitas y las propiedades geométricas que pueden cumplir M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Medioambiente • Química • Biología • Economía • Sociología • Física Explicar cambios de temperatura en cualquier objeto • Aplicar la regla de L’Hôpital en el cálculo de límites • Resolver indeterminaciones de los tipos 13, 0 3 y 00 • Determinar una función conocidos sus extremos relativos y un punto por el que pasa • Obtener el valor de un parámetro para que una función siempre sea cóncava • Representar la función derivada de una función a partir de su gráfica • Resolver un problema de optimización • Aplicar el teorema de Rolle a una función definida a trozos • Determinar los parámetros de una función para poder aplicar el teorema del valor medio • Determinar un parámetro para obtener un valor dado como resultado de un límite M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Economía • Recursos humanos • Biología • Física • Empresa • Diseño Fabricar la lata de refrescos más barata • Representar una función exponencial • Representar una función logarítmica • Representar una función definida a trozos • Calcular el dominio de una función compuesta • Estudiar la simetría de una función compuesta • Calcular parámetros desconocidos a partir de sus asíntotas • Estudiar la monotonía y la curvatura de una función a partir de la gráfica de su derivada • Representar la gráfica de una función que cumpla determinadas condiciones • Representar gráficamente una función hallando previamente el valor de sus parámetros • Representar la gráfica de funciones con un factor exponencial o logarítmico • Representar una función simétrica • Representar la gráfica de una función en la que aparece un factor con valor absoluto M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Medicina • Biología • Física • Economía Ampliar fotografías • Calcular una función de la que se conoce su derivada y un punto por el que pasa • Calcular una primitiva que cumple una condición • Resolver las integrales de tipo ( ) ( ) x a g x g 2 2 - l y y del tipo a x 2 2 - y • Resolver por partes una integral de tipo e sen x ax y , e cos x ax y o ( ) e P x ax b $ + y donde P(x) es un polinomio de grado 1. • Resolver por partes una integral de tipo ( ) e P x ax b $ + y , donde P(x) es un polinomio • Resolver una integral utilizando un cambio de variable para transformarla en polinómica • Resolver una integral utilizando un cambio de variable para transformarla en racional M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Electricidad • Física • Cambio climático • Naturaleza Calcular beneficios máximos en casos en los que el precio varía • Resolver una integral definida utilizando un cambio de variable • Calcular el área limitada por una función definida a trozos • Calcular el área bajo una curva cuando un límite de integración es infinito • Calcular el área encerrada bajo una curva cuando no se da un intervalo de integración • Determinar el área de una figura delimitada por una curva • Calcular el área encerrada bajo una curva expresada con valor absoluto y una recta M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Física • Biología • Historia • Empresa • Bioquímica Calcular nuestro gasto cardíaco • Calcular probabilidades experimentalmente • Calcular probabilidades utilizando sus propiedades • Resolver problemas de probabilidad con sucesos compuestos • Calcular la probabilidad de la intersección de sucesos utilizando un diagrama de árbol • Utilizar la regla del producto en experimentos con reemplazamiento • Calcular probabilidades utilizando el teorema de la probabilidad total • Calcular probabilidades utilizando el teorema de Bayes M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Supermercados • Medicina • Siniestralidad • Infecciones • Idiomas Tomar decisiones con la máxima seguridad posible de acertar • Calcular probabilidades por medio de tablas en una distribución normal • Calcular probabilidades en una variable aleatoria binomial aproximándola a una normal • Calcular los parámetros de una variable aleatoria que sigue una distribución binomial • Determinar la función de densidad y de distribución de una variable aleatoria continua • Calcular probabilidades con la distribución normal Z / N(0, 1) • Calcular un punto, conociendo la probabilidad • Tipificar una variable aleatoria • Calcular uno de los parámetros, conociendo el otro y una probabilidad • Calcular la media y la desviación típica, conociendo dos probabilidades M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Radiación • Educación • Inundaciones • Medioambiente • Genética Estudiar cualidades de poblaciones muy grandes 5
Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico EL PUNTO DE PARTIDA: MATEMÁTICAS EN EL MUNDO REAL 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Introduce un aspecto de la vida real en el que se utilizan los contenidos que se van a estudiar en la unidad. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL utilizando GeoGebra para investigar y manipular algunos contenidos. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Ayúdate de tu razonamiento y PIENSA para descubrir algunas propiedades y aplicaciones de esos saberes. Afianza los saberes básicos aprendiendo, paso a paso, métodos generales para las destrezas básicas que necesitas aprender. Aprende a partir de textos claros y estructurados. 6
CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 PASA A LA ACCIÓN: MATEMÁTICAS EN EL MUNDO REAL 5 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver actividades utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Comprende y analiza situaciones reales aplicando los contenidos que has aprendido. Descubre, en Hacia la universidad, actividades que ya sabes hacer y su contextualización en problemas reales que son similares a los que te encontrarás en tu prueba de acceso a la universidad. Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… Muchas de estas actividades son similares a las que te encontrarás en tu prueba de acceso a la universidad. 7
Matrices 1 M A T E M Á T I C A S E N E L M U N D O R E A L Funcionamiento del GPS Los vehículos modernos vienen equipados con todo tipo de extras que sir ven para aumentar la seguridad a la hora de conducir como, por ejemplo, los sistemas antiderrapaje, los sensores que miden la presión de los neumáticos, los asistentes de frenada , las ayudas de visión nocturna ... Los fabricantes se han volcado también en el confort y la facilidad de conducir : asistentes de aparcamiento con cámaras incorporadas, sensores de luz y de lluvia que automatizan el encendido de las luces y la puesta en marcha de los limpiaparabrisas. También es común que incluyan un navegador GPS. Este último accesorio comenzó en las f lotas de camiones, implantándose para que el tiempo en entregar las mercancías fuera optimizado al no haber confusiones para llegar al destino final y ser informado tanto del tipo de vía como de su estado y del tráfico que soportaba . En principio, el navegador era un artículo de lujo, pero ahora , hay multitud de aplicaciones que se pueden descargar en el móvil y utilizan su GPS. Por eso, el navegador se ha convertido en algo tremendamente cotidiano, que nos informa tanto del lugar donde estamos como de la ruta más corta , más rápida o más ecológica que podemos tomar para ir de un sitio a otro. Parece fácil y rápido, pero... ¿Cómo elige las rutas apropiadas un navegador GPS? Cuando se introduce un destino en el GPS, el dispositivo utiliza una base de datos de mapas para identificar las carreteras y calles disponibles en la zona. En base a estos datos, el GPS utiliza un algoritmo para calcular la ruta más adecuada entre el punto de partida y el destino, teniendo en cuenta la distancia y la duración del viaje. 9
Una matriz de m filas y n columnas es una tabla de m # n números reales ordenados en m filas y n columnas. Los números aij son los elementos de la matriz, y en ellos el subíndice i indica la fila que ocupan , y el subíndice j, la columna . La dimensión de una matriz de m filas y n columnas es m # n. G E O G E B R A E J E M P LO S 1. Determina la dimensión de esta matriz e identifica los elementos a23 y a32. A 4 0 2 5 2 3 2 1 0 1 5 4 = - - - f p La matriz A está formada por 3 filas y 4 columnas; por tanto, su dimensión es 3 # 4. Se observan la fila y la columna que indican los subíndices. a23 = 1 2.ª fila 3.ª columna F F a32 = 3 3.ª fila 2.ª columna F F 2. La tabla muestra los deportes practicados por un grupo de amigos. Natación Tenis Baloncesto Chicas 3 4 2 Chicos 2 1 5 Escribe e interpreta la información de la tabla en forma de matriz. Se puede escribir la tabla como una matriz de dimensión 2 × 3. Chicos F Natación Tenis Baloncesto Chicas F F F F A 3 2 4 1 2 5 =d n a12 = 4 " Hay 4 chicas que practican tenis. a21 = 2 " Hay 2 chicos que practican natación. a11 + a12 + a13 = Número total de chicas que hay en el grupo. a13 + a23 = Número de amigos que practican baloncesto. a11 + a21 + a12 + a22 = Número de amigos que practican natación y tenis. a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 = Número total de amigos. 1. Matrices 1 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones: Su dimensión sea 3 × 2. a32 = -a21 = a11 = 1 a22 = a12 = -a31 = -2 2 Escribe una matriz de dimensión 2 × 4 cuyos elementos aij sean 0 si i + j es un número par y 1 si es impar. 3 Se venden panes de dos harinas y dos tamaños diferentes. Los panes grandes de centeno cuestan 0,75 � y 1 � los de espelta. Los panes pequeños de centeno cuestan 0,45 � y 0,60 � los de espelta. Anota estos datos en forma de matriz. A C T I V I D A D E S S E E S C R I B E A S Í Para expresar abreviadamente una matriz, escribimos: A = (aij) Si queremos añadir la dimensión, indicamos: A = (aij)m#n … … … … … … … … a a a a a a a a a a a a m m m n n mn 11 21 1 12 22 2 13 23 3 1 2 f p .ª .ª .ª ... m 1 2 ! ! ! Columnas Filas - 1.ª - 2.ª - 3.ª … - n.ª 10
E J E M P LO 3. Clasifica estas matrices: A 3 3 3 3 3 3 =f p B 3 3 3 3 3 3 =d n C x 3 3 3 3 3 =f p Las matrices A y B no son iguales, porque no tienen la misma dimensión. Dimensión de A " 3 × 2 Dimensión de B " 2 × 3 Las matrices A y C tienen la misma dimensión y serán iguales si x = 3. E J E M P LO 4. Clasifica las siguientes matrices. A = (-2 7 0) B 4 2 =d n C 0 0 0 0 0 0 =f p A es una matriz fila de dimensión 1 × 3. B es una matriz columna de dimensión 2 × 1. C es una matriz nula de dimensión 3 × 2. Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y, además, los elementos coinciden término a término. A y B son iguales " aij = bij para cualquier valor de i, j. 1.2. Clasificación de matrices Una matriz fila es una matriz que tiene una sola fila y n columnas. Su dimensión es 1 # n. Un a m a t r i z c o l u m n a e s u n a m a t r i z c o n m f i l a s y una s o l a c o lumna . Su dim en si ón es m # 1. Un a m a t r i z n u l a, o m a t r i z c e r o, e s u n a mat r i z en l a qu e to do s su s e l em ento s s on ceros. Se representa por 0. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, está formada por n f i las y n columnas. Si su dimensión es n # n, diremos que su orden es n. Una matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, es decir, no es cuadrada . 1 4 Halla el valor de cada incógnita para que las dos matrices sean iguales. x z x z 1 1 3 2 0 1 + + + - d n y y y 2 2 1 3 0 + + e o 5 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices. a) Una matriz fila con cuatro columnas. b) Una matriz columna con cuatro filas. c) Una matriz cuadrada de orden 4. A C T I V I D A D E S S E E S C R I B E A S Í aij = bij para todo i, j significa que a11 = b11, a12 = b12, …, amn = bmn A a a a a a a a a a … … … … … … … n n n n nn 11 21 1 12 22 2 1 2 =f p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … … … … … … … =f p … A a a am 11 21 1 =f p A = (a11 a12 … a1n) 1.1. Matrices iguales D A T E C U E N T A Hay una matriz nula para cada dimensión. A 0 0 =d n M atriz nula de dimensión 2 # 1 ( ) B 0 0 = M atriz nula de dimensión 1 # 2 A 0 0 0 0 =d n Matriz nula de orden 2 11
E J E M P LO 5. Decide de qué tipo es cada una de estas matrices cuadradas. Matriz diagonal A 2 0 0 0 7 0 0 0 1 = - f p Matriz identidad B 1 0 0 1 =d n Triangular inferior C 3 2 7 4 0 4 5 6 0 0 1 9 0 0 0 6 = - f p Triangular superior D 7 0 1 10 = - d n La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por todos los elementos de la forma aii. 1.3. Tipos de matrices cuadradas N O O LV I D E S Hay una matriz identidad de cada orden. Matriz I 1 0 0 1 =d n identidad de orden 2 Matriz I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 =f p identidad de orden 3 6 Escribe matrices que cumplan las siguientes condiciones. a) Matriz diagonal de orden 4 que cumpla que aii = 7. b) Matriz identidad con tres filas. 7 Escribe matrices que cumplan estas condiciones. a) Diagonal de orden 3. b) Triangular superior con tres columnas, de forma que los elementos distintos de 0 cumplan que aij = i + j. A C T I V I D A D E S Diagonal principal … … … … … … … … … A a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n nn 11 21 31 1 12 22 32 2 13 23 33 3 1 2 3 =f p Según sean los elementos que forman una matriz cuadrada , esta puede ser : Matriz triangular superior Todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz triangular inferior Todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz diagonal Todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son ceros. Matriz identidad o matriz unidad Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son unos. Se denota por I. … … … … … … … … … I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 =f p … … … … … … … … … A a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn 11 22 33 =f p … … … … … … … … … A a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 n n n nn 11 21 31 1 22 32 2 33 3 =f p … … … … … … … … … A a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 n n n nn 11 12 22 13 23 33 1 2 3 =f p 12
Propiedades En una matri z simétrica , los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales. En una matriz antisimétrica , los elementos de la diagonal principal son ceros y los elementos simétricos respecto de ella son opuestos. D A T E C U E N T A Solo si una matriz es cuadrada, su matriz traspuesta tiene la misma dimensión. D A T E C U E N T A Solo las matrices cuadradas pueden ser simétricas o antisimétricas. 8 Determina la matriz traspuesta de esta matriz. A 1 2 4 1 2 3 0 5 = - - d n 9 Dada una matriz cuadrada de orden 3 con a12 = 1, a22 = 0, a23 = -3 y a31 = 2, halla el resto de elementos de la matriz para que sea antisimétrica. A C T I V I D A D E S E J E M P LO 6. Halla la traspuesta de la matriz A 3 0 3 1 3 2 = - d n y determina su dimensión. A 3 3 0 1 2 t = - 3 f p " La dimensión de At es 3 # 2. E J E M P LO 7. Decide si estas matrices son simétricas o antisimétricas. a) A 3 5 3 5 2 1 3 1 6 =f p b) B 3 0 3 1 3 2 = - d n C 0 7 7 0 - n a) A 3 5 3 5 2 1 3 1 6 t =f p = A " A es una matriz simétrica. b) B 0 7 7 0 t = - d n = - 0 7 7 0 - d n = -B " B es una matriz antisimétrica. Matrices simétricas y antisimétricas La matriz traspuesta, At, de una matriz A de dimensión m # n es otra matriz de dimensión n # m que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas o las columnas por las filas. Si A = (aij), entonces A t = (a ji). G E O G E B R A Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su traspuesta . A = At " a ij = aji Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su opuesta coincide con su traspuesta . -A = At " -a ij = aji 1 2. Matriz traspuesta A a m n m b v n v c =f p A m n v n v 0 = - - - 0 0 m f p 13
La suma de dos matrices, A y B, de la misma dimensión se denota A + B, y es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos son la suma de los elementos de A y B que ocupan la misma posición . A + B = C, siendo cij = aij + bij. Propiedades Como la suma de matrices se realiza elemento a elemento, cumple propiedades análogas a las de la suma de números reales. Conmutativa : A + B = B + A Asociativa : A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es la matriz nula . A + 0 = A E l em en t o opu e st o : p a ra c a d a ma t r i z A, e x i st e su ma t r i z opu e st a , -A, formada por los opuestos de los elementos de A. A + (-A) = 0 10 Realiza la siguiente operación con matrices: 1 0 2 3 1 1 2 1 2 0 3 1 1 2 4 2 0 1 - - - - - - + - d d d n n n 11 Averigua los elementos que faltan si A + B = C. A a b 3 5 4 5 =d n B e c d 2 3 1 = - d n C f 1 7 1 6 0 = - d n A C T I V I D A D E S E J E M P LO 8. Suma, si es posible, las siguientes matrices: A 3 7 3 5 2 6 = - - d n B 4 2 5 6 0 3 = - - e o C 3 2 7 2 5 6 4 2 1 2 3 2 =f p La dimensión de A y de B es la misma: 2 × 3; por tanto, podemos sumarlas: ( ) ( ) A B 3 7 3 5 2 6 4 2 5 6 0 3 3 4 7 2 3 5 5 6 2 0 6 3 7 5 8 1 2 3 + = - - + - - = + + - + - + + + - = = d d d e n n n o No es posible sumar C con A ni con B, porque tienen distinta dimensión. E J E M P LO 9. Determina la matriz opuesta de A 1 0 3 2 4 4 = - - - d n. Comprueba que es su elemento opuesto respecto de la suma. A 1 0 3 2 4 4 - = - - - - d n ( ) ( ) ( ) ( ) A A 1 1 0 0 3 3 2 2 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 + - = - + + + - + - + - - + = e d o n " Matriz nula. 3. Operaciones con matrices 3.1. Suma de matrices N O O LV I D E S Para que dos matrices se puedan sumar deben tener la misma dimensión. D A T E C U E N T A Para restar dos matrices sumamos a la primera la opuesta de la segunda. A - B = A + (-B) Dada las matrices A y B con la misma dimensión, ¿cuál es la dimensión de (A + Bt) ? P I E N S A 14
El producto de un número real k por una matriz A es otra matriz de la misma dimensión que A cuyos elementos se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de A por k. k ? A = C, siendo cij = k ? aij. El producto de una matriz fila, de dimensión 1 # n, por una matriz columna, de dimensión n # 1, es un número que se obtiene al multiplicar sus elementos, término a término, y sumar los resultados. ( ... ) ... … ? ? ? ? a a a b b b a b a b a b n n n n 11 12 1 11 21 1 11 11 12 21 1 1 = + + + f p 12 Realiza las operaciones indicadas con estas matrices: A 1 1 3 2 = - d n B 2 3 0 1 = - - d n C 2 1 3 2 = - - d n a) 2(A - B) + 3C b) (-2)(A - C) - 3(B + 2C) 13 Calcula la siguiente operación con matrices: ? ? ? ? ? ( ) ( ) 2 3 1 4 5 0 1 2 3 3 1 4 5 1 0 - - - f f p p A C T I V I D A D E S 3.3. Producto de una matriz fila por una matriz columna E J E M P LO 10. Dadas las matrices A 3 0 3 1 3 2 = - d n y B 49 21 56 0 = - d n, calcula. a) (-2) ? A ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 2 3 2 1 2 3 2 2 6 0 6 2 6 4 = - - - - - - - = - - - - e d o n b) ? B 7 1 ? ? ? ? ( ) 7 1 49 7 1 21 7 1 56 7 1 0 7 3 8 0 = - = - f f p p E J E M P LO 11. Calcula, si se puede, los productos AB y CA siendo las matrices: A = (6 2 1) B 2 3 1 = - f p C = (2 1 0 4) La matriz A es una matriz fila de dimensión 1 # 3; B es una matriz columna de dimensión 3 # 1; por tanto, las podemos multiplicar. AB = (6 2 1) 1 - 2 3 f p = 6 ? 2 + 2 ? 3 + 1 ? (-1) = 17 La matriz C es una matriz fila de dimensión 1 # 4; por tanto, solo se puede multiplicar por una matriz de dimensión 4 # 1. No se puede multiplicar por A. D A T E C U E N T A Si una matriz es diagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales, podemos sacar factor común. ? ? k k I k k k 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = f f p p 1 3.2. Producto de una matriz por un número N O O LV I D E S Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna es necesario que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. 15
3.4. Producto de dos matrices El producto de una matriz A, de dimensión m # n, por otra matriz B, de dimensión n # p, es otra matriz, C, de dimensión m # p, cuyo elemento cij se obtiene al multiplicar la fila i-ésima de la primera matriz por la columna j-ésima de la segunda . A ? B = C, siendo cij = ai1 ? b1j + ai2 ? b2j + … + aim ? bmj. G E O G E B R A 14 Realiza los productos que sean posibles entre las matrices A, B y C. A 1 2 0 1 2 3 = - - d n B 3 1 2 0 2 3 = - - f p C 1 3 4 2 = - d n 15 Determina la dimensión de la matriz resultante de esta operación y, después, compruébalo efectuando las operaciones. ? ? 2 2 3 1 0 0 1 3 2 3 1 0 4 2 5 1 1 3 $ - + - d d d n n n A C T I V I D A D E S N O O LV I D E S Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. La matriz producto resultante tiene el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda. D A T E C U E N T A Para que exista el producto de tres matrices, A ? B ? C, sus dimensiones deben ser de esta forma: Dimensión de A: m # n Dimensión de B: n # p Dimensión de C: p # q La dimensión de A ? B ? C será m # q. Calcular el producto de dos matrices Calcula el producto, A ? B, de estas matrices. A 5 0 3 1 4 2 = - d n B 4 0 1 2 5 3 =f p primero. Se comprueba que se pueden multiplicar: el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Dimensión de A: 2 # 3 Dimensión de B: 3 # 2 El número de columnas de A coincide con el número de filas de B, por lo que las matrices se pueden multiplicar. La matriz A ? B tendrá el mismo número de filas que A y el número de columnas de B. c c c c 5 0 3 1 4 2 4 0 1 2 5 3 11 21 12 22 - = d f d n p n segundo. Se efectúa el producto de la primera fila de la matriz A por la primera columna de la matriz B para obtener el primer elemento de la matriz producto. ? ? ? ( ) AB c c c 0 1 2 2 5 3 5 3 4 4 0 1 5 4 3 0 4 1 21 12 22 = = - + - + d f e n p o tercero. Se multiplica la primera fila de la matriz A por el resto de columnas de la matriz B. ? ? ? ( ) c c 0 1 2 4 0 1 24 5 3 4 2 5 3 5 2 3 5 4 3 21 22 = - + - + d f e n p o cuarto. Se repite el proceso con el resto de filas de la primera matriz y de columnas de la segunda. ? ? ? ? ? ? 24 7 4 24 2 7 11 5 3 4 0 1 2 0 1 2 5 3 0 4 1 0 2 1 0 2 1 5 2 3 = - = + + + + d f d d n p n n 16
E J E M P LO 12. En un restaurante se sirven tres tipos de menús: el sencillo, el diario y el especial. En estas tablas se muestran los kilos que se compran semanalmente de pescado, verduras y legumbres para elaborar cada menú y los precios en las dos últimas semanas de cada producto. Pescado Verduras Legumbres Sencillo 6 14 12 Diario 8 18 13 Especial 12 26 15 Semana 1 Semana 2 Pescado 12,50 10,60 Verduras 16 11,90 Legumbres 6,20 8,40 Calcula el coste semanal que han tenido ambos menús. Se considera cada tabla como una matriz y las multiplicamos. , , , , , , , , , 6 8 12 14 18 26 12 13 15 12 5 16 6 2 10 6 11 9 8 4 373 4 468 6 659 331 408 2 562 6 = f f f p p p La elaboración de los menús ha sido más barata la segunda semana. F F Semana 1 Semana 2 FMenú diario Menú especial F FMenú sencillo E J E M P LO 13. Halla, si es posible, el producto de estas matrices y comprueba si es conmutativo en algún caso. A 3 0 3 1 3 2 = - d n B 2 3 2 =f p La dimensión de A es 2 × 3 y la de B es 3 × 1, luego, no podemos realizar el producto BA; en cambio, sí podemos efectuar AB. AB 3 0 3 1 3 2 2 3 2 3 7 = - = d f d n p n Propiedades Si las dimensiones de las matrices A, B y C son tales que nos permiten realizar sus productos, se cumplen estas propiedades: Asociativa : (A ? B) ? C = A ? (B ? C) Elemento neutro: Im ? A = A ? In = A Distributiva : Por la izquierda : A ? (B + C) = A ? B + A ? C Por la derecha : (B + C) ? A = B ? A + C ? A En general , el producto de matrices no es conmutativo: A ? B ! B ? A 1 S E E S C R I B E A S Í A ? B " A multiplica a B por la izquierda. B ? A " A multiplica a B por la derecha. Dos matrices, A y B, conmutan o son conmutables si A ? B = B ? A. 16 Sean A 2 1 3 0 = - d n, B 7 0 4 6 =d n y C 3 1 1 2 =d n. a) Comprueba si A y B conmutan. b) Verifica que se cumple la propiedad distributiva: A ? (B + C) = A ? B + A ? C. 17 Una empresa de autobuses tiene tres líneas: A, B y C. El lunes salieron 5 autobuses en la línea A, 3 en la B y 4 en la C. El martes salieron 2 en la línea A, 1 en la B y 4 en la C. El miércoles salió 1 en la línea A, 3 en la B y 5 en la C. Represéntalo en forma de matriz. A C T I V I D A D E S 17
4.1. Combinaciones lineales de las filas de una matriz 4. Rango de una matriz 18 Completa los elementos que faltan en la matriz para que sus filas sean linealmente dependientes. a b c 3 9 1 0 2 - - d n 19 Determina el rango de las siguientes matrices. a) 1 2 0 1 1 3 3 1 7 0 1 1 - - - - f p b) 1 2 3 1 2 3 3 6 9 - - f p A C T I V I D A D E S Una fila no nula Fi de una matriz depende linealmente de las filas Fj1, Fj2, …, Fjm si se cumple que: Fi = k1Fj1 + k2Fj2 + … + kmFjm Una fila de una matriz es linealmente independiente cuando no depende linealmente de otras filas de la matriz. E J E M P LO 15. Determina el rango de la matriz A 2 3 8 0 5 10 3 2 7 4 3 2 = - - - f p . F1 no depende linealmente de F2 ni de F3, y lo mismo ocurre con F2 y F3. Analizamos si F1 depende linealmente de F2 y F3, es decir, si F1 = k1F2 + k2 F3. Tomando los dos primeros elementos de las filas se tendría: ( ) k k k k k k a k a k a a k a k a 2 3 8 0 5 10 2 1 11 1 21 2 31 12 1 22 2 32 1 2 1 2 1 2 = + = - + - = - = = + = + " " 4 4 Comprobamos si se cumple el resto de igualdades para estos valores de k1 y k2. a13 = k1 a23 + k2 a33 " 3 = -2 ? 2 + 1 ? 7 a14 = k1 a24 + k2 a34 " -4 = -2 ? 3 + 1 ? 2 Por tanto, F1 = -2 F2 + F3, es decir, F1 depende linealmente de F2 y F3. Así, F2 y F3 son linealmente independientes y F1 depende de F2 y F3 " " Rango ( A) = 2. 4.2. Rango de una matriz El rango de una matriz A, Rango (A), es el número de filas o de columnas no nulas linealmente independientes que tiene la matriz. El rango por filas siempre es igual al rango por columnas. E J E M P LO 14. Determina las filas linealmente independientes de esta matriz. A 2 1 3 4 1 3 7 1 = - - - - d n Para que F1 dependa linealmente de F2 se tiene que cumplir que F1 = kF2, es decir, que los elementos de F1 sean múltiplos de los de F2. Como no es así, decimos que las dos filas de la matriz A son linealmente independientes. N O O LV I D E S Las mismas definiciones que hemos hecho para las filas las podemos hacer para las columnas. Una columna no nula Ci de una matriz depende linealmente de las columnas Cj1, Cj2, …, Cj m si se cumple que: Ci = k1Cj1 + k2Cj2 + … + km Cjm Una columna de una matriz es linealmente independiente cuando no depende linealmente de otras columnas de la matriz. D A T E C U E N T A Como el rango por filas es siempre igual al rango por columnas, una matriz A y su traspuesta At tienen siempre el mismo rango. ¿Cuál es el rango máximo de una matriz que tiene n filas y m columnas? P I E N S A 18
1 4.3. Método de Gauss 20 Halla el rango mediante el método de Gauss. 1 8 2 3 3 1 5 2 4 7 14 0 - - - - f p 21 Calcula el rango de la matriz At ? B - Ct en función del parámetro m. A 2 1 1 = - 0 d n B 3 0 2 = - 5 d n C 4 2 1 = - m d n A C T I V I D A D E S El método de Gauss para hallar el rango de una matriz consiste en convertir la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal sean ceros, utilizando las transformaciones elementales adecuadas. El rango de la matriz será el número de filas no nulas que tiene la matriz triangular que hemos obtenido. Las transformaciones el emental es que se pueden reali zar en l a matri z son : Intercambiar entre sí la fila i por la fila j. Lo escribimos como Fi 1 Fj. Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ! 0. Lo escribimos como Fi = aFi. Sustituir la fila i o la fila j por la suma de ambas, multiplicadas por números a y b no nulos. Lo escribimos como Fi = aFi + bFj. Calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss Determina el rango de la matriz A 0 2 2 2 1 2 2 1 0 4 1 3 = - - - - f p . primero. Si a11 = 0, se intercambia la primera fila con alguna fila cuyo primer elemento sea distinto de cero, si existe. Se realizan operaciones en todas las filas, menos en la primera, para que el primer elemento de cada una de ellas sea cero. 1 0 2 2 2 1 2 1 0 4 3 - - - - 2 f p F 2 ) F1 " 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 3 - - - - f p El primer elemento de la segunda fila ya es cero. Se hace cero el primer elemento de la tercera fila. 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 3 - - - - f p F3 = F3 - F1 " 1 2 0 0 1 1 1 1 4 2 - - - 2 2 - f p segundo. Si a22 = 0, se intercambia esta fila con alguna cuyo segundo elemento no sea cero, si existe. Como en el paso anterior, se hace cero el segundo elemento de cada fila, excepto el de la primera y segunda fila. 2 0 0 1 1 1 1 1 4 2 - - - 2 2 - f p F3 = 2F3 - F2 " 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 4 0 - - - f p tercero. Se repite el mismo proceso para el resto de filas de la matriz inicial hasta obtener una matriz en la que todos los elementos por debajo de su diagonal sean ceros. El número de filas no nulas que tiene la matriz es el rango de la matriz. En este caso se obtienen dos filas no nulas " Rango (A) = 2. D A T E C U E N T A Como el rango de una matriz y el de su traspuesta es el mismo, en el caso de que la matriz tenga más filas que columnas podemos abreviar el proceso calculando el rango de su traspuesta. 2 1 7 1 2 0 2 3 Rango - - - = f p 2 2 1 0 7 2 1 3 Rango = - - - d n 19
5. Matriz inversa Propiedades La inversa de la matriz inversa es la matriz original . (A-1)-1 = A La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices cambiando su orden . (A B)-1 = B-1A-1 L a i nv e r s a d e l a t ra spu e st a d e un a ma t r i z e s i gu a l a l a t ra spu e st a d e l a matriz inversa . (At)-1 = (A-1)t E J E M P LO 16. Calcula, si es posible, la matriz inversa de la matriz A 3 4 1 1 =d n. Utilizamos la definición de matriz inversa y realizamos el producto de matrices: A A-1 = I 2 a a a a a a a a a a a a 3 4 1 1 1 0 0 1 3 4 3 4 1 0 0 1 11 21 12 22 11 21 11 21 12 22 12 22 = + + + + = " d d d e d n n n o n Igualamos las matrices, elemento a elemento, y resolvemos el sistema donde las incógnitas son los elementos de la matriz inversa: a a a a a a a a a a a a 3 1 3 0 4 0 4 1 1 4 1 3 11 21 12 22 11 21 12 22 11 21 12 22 + = + = + = + = = - = = = - " 4 La matriz inversa de la matriz A es: A 1 4 1 3 1 = - - - d n 22 Calcula, si es posible, la inversa de estas matrices utilizando la definición. a) 1 2 2 4 d n b) 3 1 5 2 - - d n 23 Comprueba si esta matriz es invertible y halla su inversa. 2 3 0 3 1 1 1 1 0 - f p A C T I V I D A D E S La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es otra matriz A-1 del mismo orden que cumple que: A A-1 = I n A -1A = I n siendo In la matriz identidad de orden n. Las matrices que tienen matriz inversa se llaman matrices regulares o invertibles, y las que no la tienen , matrices singulares. Una matriz A cuadrada de orden n solo tiene inversa si Rango (A) = n. Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa , sin embargo, no todas las matrices cuadradas tienen inversa . D A T E C U E N T A Si una matriz no es cuadrada, no tiene inversa. D A T E C U E N T A Si el sistema no tiene solución, la matriz inicial no tiene matriz inversa. S E E S C R I B E A S Í Una matriz es invertible cuando existe su matriz inversa. ¿Puedes calcular la inversa de la matriz A 1 0 0 0 =d n? P I E N S A 20
Método de Gauss-Jordan 1 24 Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de estas matrices. a) 16 12 2 5 d n b) 3 2 7 5 - - d n 25 Halla, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz: 3 2 0 0 3 1 1 1 1 - f p A C T I V I D A D E S Calcular la matriz inversa con el método de Gauss‑Jordan Calcula, si es posible, la matriz inversa de la matriz A = 1 - 2 4 6 1 3 4 2 2 - - - - f p . primero. Se escriben la matriz A y la matriz identidad del mismo orden que A separadas por una línea. Si a11 = 0, se intercambia la primera fila con alguna fila cuyo primer elemento sea distinto de cero. Como a11 = 2 ! 0, no se intercambian filas. segundo. Se realizan operaciones en todas las filas, menos en la primera, para que el primer elemento de cada una de ellas sea cero. 1 - 2 4 6 1 3 4 2 2 - - - - f 1 0 0 0 1 0 0 0 1p F2 = F2 - 2F1 " F3 = F3 + 3F1 " 2 0 0 1 1 1 2 5 4 - - - f 1 2 3 0 1 0 0 0 1 - p tercero. Se comprueba que a22 ! 0; si no, habría que intercambiar la fila con alguna fila posterior cuyo segundo elemento sea distinto de cero. Se opera para hacer cero el segundo elemento de cada fila, excepto el de la segunda fila. 2 0 0 1 1 1 2 5 4 - - - f 1 2 3 0 1 0 0 0 1 - p F1 = F1 - F2 " F3 = F3 + F2 " 1 - 1 - 2 0 0 0 0 7 5 - f 1 1 3 2 1 1 1 0 0 - - p cuarto. Se repite el mismo proceso para el resto de filas de la matriz inicial. 2 0 0 0 1 0 7 5 1 - - - f 3 2 1 1 1 1 0 0 1 - - p F1 = F1 + 7F3 " F2 = F2 - 5F3 " 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - - f 10 7 1 6 4 1 7 5 1 - - - p quinto. Se divide cada fila entre el elemento que figura en su diagonal. 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - - f 10 7 1 6 4 1 7 5 1 - - - p F F 2 1 1 1 = " F2 = -F2 F3 = -F3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 7 1 3 4 1 2 7 5 1 - - - p f 1 0 0 0 1 5 1 3 1 2 7 1 - - - 0 1 0 7 4 5 p f sexto. Los elementos que figuran a la derecha de la línea forman la inversa de la matriz inicial. 5 3 2 A 7 1 4 1 7 5 1 1 = - - - - f p Las operaciones elementales que se pueden realizar para hallar la matriz inversa son las mismas que para el cálculo del rango de una matriz. Intercambiar entre sí la fila i por la fila j. Fi ) Fj Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ! 0. Fi = aFi Sustituir la fila i o la fila j por la suma de ambas, multiplicadas por números a y b no nulos. Fi = aFi + bFj R E C U E R D A El método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad utilizando transformaciones elementales. Aplicando las mismas transformaciones a la matriz identidad obtenemos la matriz inversa . S E E S C R I B E A S Í Para expresar la matriz inicial y la matriz identidad en el método de Gauss-Jordan se escribe: (A | In) Al utilizar ese método realizamos esta transformación: (A | In) " (In | A-1) 21
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