4.1. Combinaciones lineales de las filas de una matriz 4. Rango de una matriz 18 Completa los elementos que faltan en la matriz para que sus filas sean linealmente dependientes. a b c 3 9 1 0 2 - - d n 19 Determina el rango de las siguientes matrices. a) 1 2 0 1 1 3 3 1 7 0 1 1 - - - - f p b) 1 2 3 1 2 3 3 6 9 - - f p A C T I V I D A D E S Una fila no nula Fi de una matriz depende linealmente de las filas Fj1, Fj2, …, Fjm si se cumple que: Fi = k1Fj1 + k2Fj2 + … + kmFjm Una fila de una matriz es linealmente independiente cuando no depende linealmente de otras filas de la matriz. E J E M P LO 15. Determina el rango de la matriz A 2 3 8 0 5 10 3 2 7 4 3 2 = - - - f p . F1 no depende linealmente de F2 ni de F3, y lo mismo ocurre con F2 y F3. Analizamos si F1 depende linealmente de F2 y F3, es decir, si F1 = k1F2 + k2 F3. Tomando los dos primeros elementos de las filas se tendría: ( ) k k k k k k a k a k a a k a k a 2 3 8 0 5 10 2 1 11 1 21 2 31 12 1 22 2 32 1 2 1 2 1 2 = + = - + - = - = = + = + " " 4 4 Comprobamos si se cumple el resto de igualdades para estos valores de k1 y k2. a13 = k1 a23 + k2 a33 " 3 = -2 ? 2 + 1 ? 7 a14 = k1 a24 + k2 a34 " -4 = -2 ? 3 + 1 ? 2 Por tanto, F1 = -2 F2 + F3, es decir, F1 depende linealmente de F2 y F3. Así, F2 y F3 son linealmente independientes y F1 depende de F2 y F3 " " Rango ( A) = 2. 4.2. Rango de una matriz El rango de una matriz A, Rango (A), es el número de filas o de columnas no nulas linealmente independientes que tiene la matriz. El rango por filas siempre es igual al rango por columnas. E J E M P LO 14. Determina las filas linealmente independientes de esta matriz. A 2 1 3 4 1 3 7 1 = - - - - d n Para que F1 dependa linealmente de F2 se tiene que cumplir que F1 = kF2, es decir, que los elementos de F1 sean múltiplos de los de F2. Como no es así, decimos que las dos filas de la matriz A son linealmente independientes. N O O LV I D E S Las mismas definiciones que hemos hecho para las filas las podemos hacer para las columnas. Una columna no nula Ci de una matriz depende linealmente de las columnas Cj1, Cj2, …, Cj m si se cumple que: Ci = k1Cj1 + k2Cj2 + … + km Cjm Una columna de una matriz es linealmente independiente cuando no depende linealmente de otras columnas de la matriz. D A T E C U E N T A Como el rango por filas es siempre igual al rango por columnas, una matriz A y su traspuesta At tienen siempre el mismo rango. ¿Cuál es el rango máximo de una matriz que tiene n filas y m columnas? P I E N S A 18
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