1 4.3. Método de Gauss 20 Halla el rango mediante el método de Gauss. 1 8 2 3 3 1 5 2 4 7 14 0 - - - - f p 21 Calcula el rango de la matriz At ? B - Ct en función del parámetro m. A 2 1 1 = - 0 d n B 3 0 2 = - 5 d n C 4 2 1 = - m d n A C T I V I D A D E S El método de Gauss para hallar el rango de una matriz consiste en convertir la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal sean ceros, utilizando las transformaciones elementales adecuadas. El rango de la matriz será el número de filas no nulas que tiene la matriz triangular que hemos obtenido. Las transformaciones el emental es que se pueden reali zar en l a matri z son : Intercambiar entre sí la fila i por la fila j. Lo escribimos como Fi 1 Fj. Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ! 0. Lo escribimos como Fi = aFi. Sustituir la fila i o la fila j por la suma de ambas, multiplicadas por números a y b no nulos. Lo escribimos como Fi = aFi + bFj. Calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss Determina el rango de la matriz A 0 2 2 2 1 2 2 1 0 4 1 3 = - - - - f p . primero. Si a11 = 0, se intercambia la primera fila con alguna fila cuyo primer elemento sea distinto de cero, si existe. Se realizan operaciones en todas las filas, menos en la primera, para que el primer elemento de cada una de ellas sea cero. 1 0 2 2 2 1 2 1 0 4 3 - - - - 2 f p F 2 ) F1 " 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 3 - - - - f p El primer elemento de la segunda fila ya es cero. Se hace cero el primer elemento de la tercera fila. 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 3 - - - - f p F3 = F3 - F1 " 1 2 0 0 1 1 1 1 4 2 - - - 2 2 - f p segundo. Si a22 = 0, se intercambia esta fila con alguna cuyo segundo elemento no sea cero, si existe. Como en el paso anterior, se hace cero el segundo elemento de cada fila, excepto el de la primera y segunda fila. 2 0 0 1 1 1 1 1 4 2 - - - 2 2 - f p F3 = 2F3 - F2 " 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 4 0 - - - f p tercero. Se repite el mismo proceso para el resto de filas de la matriz inicial hasta obtener una matriz en la que todos los elementos por debajo de su diagonal sean ceros. El número de filas no nulas que tiene la matriz es el rango de la matriz. En este caso se obtienen dos filas no nulas " Rango (A) = 2. D A T E C U E N T A Como el rango de una matriz y el de su traspuesta es el mismo, en el caso de que la matriz tenga más filas que columnas podemos abreviar el proceso calculando el rango de su traspuesta. 2 1 7 1 2 0 2 3 Rango - - - = f p 2 2 1 0 7 2 1 3 Rango = - - - d n 19
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