Índice Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 1 Matrices 9 1. Matrices _ 10 2. Matriz traspuesta _ 13 3. Operaciones con matrices _ 14 4. Rango de una matriz _ 18 5. Matriz inversa _ 20 6. Ecuaciones matriciales _ 22 • Calcular el producto de dos matrices • Calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss • Calcular la matriz inversa con el método de Gauss-Jordan • Resolver ecuaciones matriciales de los tipos AX = B, XA = B y AX + B = C • Determinar matrices que cumplan una cierta condición • Calcular las constantes que hacen que se cumpla una igualdad entre matrices 2 Determinantes 35 1. Determinantes _ 36 2. Propiedades de los determinantes _ 37 3. Menor complementario y adjunto _ 41 4. Desarrollo de un determinante por sus adjuntos _ 42 5. Cálculo del rango de una matriz _ 44 6. Cálculo de la inversa de una matriz _ 46 • Calcular el determinante de una matriz usando sus propiedades • Calcular un determinante haciendo ceros • Calcular el rango de una matriz a partir de sus menores • Calcular la inversa de una matriz con determinantes • Resolver ecuaciones con determinantes • Reducir un determinante a otro determinante cuyo valor se conoce 3 Sistemas de ecuaciones 59 1. Sistemas de ecuaciones lineales _ 60 2. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones _ 62 3. Método de Gauss para resolver sistemas _ 63 4. Teorema de Rouché-Fröbenius _ 66 5. Regla de Cramer _ 68 6. Generalización de la regla de Cramer _ 70 7. Sistemas homogéneos _ 71 8. Sistemas de ecuaciones con parámetros _ 72 • Resolver un sistema mediante el método de Gauss • Discutir y resolver un sistema con un parámetro utilizando el método de Gauss • Discutir un sistema de ecuaciones lineales utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius • Resolver un sistema de ecuaciones compatible determinado utilizando la regla de Cramer • Resolver un sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer • Discutir y resolver un sistema de ecuaciones homogéneo 4 Vectores en el espacio 85 1. Vectores en el espacio _ 86 2. Combinación lineal de vectores _ 87 3. Coordenadas de un vector en el espacio _ 88 4. Operaciones en coordenadas _ 89 5. Aplicaciones de los vectores _ 90 6. Producto escalar _ 92 7. Aplicaciones del producto escalar _ 94 8. Producto vectorial _ 96 9. Aplicaciones del producto vectorial _ 98 10. Producto mixto _ 100 11. Aplicaciones del producto mixto _ 101 • Calcular vectores linealmente independientes con matrices • Comprobar si tres puntos están alineados • Calcular los vectores perpendiculares a otro vector • Calcular una base de vectores ortogonales • Calcular el área de un triángulo • Calcular el volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro • Calcular el volumen de un tetraedro • Operar con vectores utilizando sus coordenadas • Hallar las coordenadas del origen o el extremo de un vector que cumple ciertas condiciones 5 Rectas y planos en el espacio 111 1. Ecuaciones de la recta en el espacio _ 120 2. Ecuaciones del plano en el espacio _ 122 3. Puntos alineados y coplanarios _ 123 4. Vector perpendicular a un plano _ 124 5. Posiciones relativas de recta y plano _ 126 6. Posiciones relativas de dos planos _ 127 7. Posiciones relativas de tres planos _ 128 8. Posiciones relativas de dos rectas _ 127 9. Perpendicularidad entre recta y plano _ 127 10. Haces de planos _ 127 • Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos • Hallar la ecuación del plano que pasa por tres puntos • Comprobar si varios puntos están alineados o son coplanarios • Hallar el vector director de una recta dada por dos planos • Determinar la posición relativa de un plano y una recta • Determinar la posición relativa de dos planos • Determinar la posición relativa de tres planos en el espacio • Hallar la posición de dos rectas por sus vectores directores • Hallar la posición de dos rectas mediante sus ecuaciones implícitas • Calcular una recta perpendicular a un plano 6 Ángulos y distancias 137 1. Ángulos en el espacio _ 138 2. Proyecciones ortogonales _ 140 3. Puntos simétricos _ 142 4. Distancias a puntos y a planos _ 144 5. Distancia de un punto a una recta _ 146 6. Distancias entre rectas _ 147 7. Lugares geométricos. La esfera _ 149 • Calcular el ángulo entre dos rectas, entre una recta y un plano y entre dos planos • Calcular la proyección ortogonal de un punto sobre una recta o un plano y de una recta sobre un plano • Calcular el simétrico de un punto respecto de otro punto, respecto de una recta y respecto de un plano. • Calcular la distancia de un punto a un plano • Calcular la distancia entre dos planos • Calcular la distancia entre una recta y un plano • Calcular la distancia de un punto a una recta • Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan 7 Límites y continuidad 161 1. Límite de una función en el infinito _ 162 2. Operaciones con límites _ 164 3. Cálculo de límites _ 166 4. Resolución de algunas indeterminaciones _ 168 5. Límite de una función en un punto _ 171 6. Continuidad de una función _ 174 7. Teorema de Bolzano _ 176 8. Teorema de Weierstrass _ 177 • Resolver límites que presentan indeterminaciones del tipo 3 3 , 3 3 - y 13. • Resolver los límites de una función en un punto que presentan una indeterminación del tipo 0 0 . • Determinar si una función es continua en un punto • Estudiar la continuidad de una función definida a trozos • Aplicar el teorema de Bolzano a una función • Aplicar el teorema de los valores intermedios a una función • Determinar el límite de una operación entre valores distintos de una función 2
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