5. Matriz inversa Propiedades La inversa de la matriz inversa es la matriz original . (A-1)-1 = A La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices cambiando su orden . (A B)-1 = B-1A-1 L a i nv e r s a d e l a t ra spu e st a d e un a ma t r i z e s i gu a l a l a t ra spu e st a d e l a matriz inversa . (At)-1 = (A-1)t E J E M P LO 16. Calcula, si es posible, la matriz inversa de la matriz A 3 4 1 1 =d n. Utilizamos la definición de matriz inversa y realizamos el producto de matrices: A A-1 = I 2 a a a a a a a a a a a a 3 4 1 1 1 0 0 1 3 4 3 4 1 0 0 1 11 21 12 22 11 21 11 21 12 22 12 22 = + + + + = " d d d e d n n n o n Igualamos las matrices, elemento a elemento, y resolvemos el sistema donde las incógnitas son los elementos de la matriz inversa: a a a a a a a a a a a a 3 1 3 0 4 0 4 1 1 4 1 3 11 21 12 22 11 21 12 22 11 21 12 22 + = + = + = + = = - = = = - " 4 La matriz inversa de la matriz A es: A 1 4 1 3 1 = - - - d n 22 Calcula, si es posible, la inversa de estas matrices utilizando la definición. a) 1 2 2 4 d n b) 3 1 5 2 - - d n 23 Comprueba si esta matriz es invertible y halla su inversa. 2 3 0 3 1 1 1 1 0 - f p A C T I V I D A D E S La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es otra matriz A-1 del mismo orden que cumple que: A A-1 = I n A -1A = I n siendo In la matriz identidad de orden n. Las matrices que tienen matriz inversa se llaman matrices regulares o invertibles, y las que no la tienen , matrices singulares. Una matriz A cuadrada de orden n solo tiene inversa si Rango (A) = n. Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa , sin embargo, no todas las matrices cuadradas tienen inversa . D A T E C U E N T A Si una matriz no es cuadrada, no tiene inversa. D A T E C U E N T A Si el sistema no tiene solución, la matriz inicial no tiene matriz inversa. S E E S C R I B E A S Í Una matriz es invertible cuando existe su matriz inversa. ¿Puedes calcular la inversa de la matriz A 1 0 0 0 =d n? P I E N S A 20
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