a c t i v i da d e s r e s u e lta s Operaciones con matrices Calcula m y n para que se cumpla la igualdad mA2 + nAt = 2I, teniendo en cuenta que I es la matriz identidad y A 1 1 1 1 = - d n. primero. Se efectúan las operaciones del primer y segundo miembros de la igualdad. ? ? ? mA m m m m n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 2 2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 t 2 = - - = - = - - - ? nA n = = ? I 2 2 = = d d d d d d d d n n n n n n n n segundo. Se impone la condición que se indica en el problema. mA2 + nAt = 2l m m n n n n 0 2 2 0 2 0 0 2 - - + = d c e n m o n m n m n n 2 2 2 0 0 2 - - + = d e n o tercero. Se igualan las matrices, elemento a elemento, y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante. m m 2 2 0 1 - + = = " n m n 2 2 0 - + = n m n 2 2 0 = - = = 4 n = 2 " Se elimina la cuarta ecuación porque es igual a la primera. Se eliminaría también si fuera proporcional. De las dos primeras ecuaciones se obtiene la solución m = 1 y n = 2. Se comprueba si esta solución es válida para el resto de ecuaciones. Si no lo fuera, el sistema no tendría solución y, en consecuencia, el problema tampoco. m n 2 0 - = m = 1, n = 2 " ? 2 1 2 0 - = La solución es válida; por tanto, m = 1 y n = 2. PRACTICA 31. Calcula los valores de a y b tales que A3 = aA + bl. La matriz A es 1 0 0 0 4 3 0 10 7 - - f p y la matriz I es la matriz identidad de orden 3, I = 1 0 1 0 0 0 0 0 1 f p. Calcular las constantes que hacen que se cumpla una igualdad entre matrices Operaciones con matrices Determina todas las matrices diagonales que conmutan con la matriz 2 M 1 1 0 = - d n. primero. Se determina el tipo de matrices que cumplen la condición. Las matrices, B, que buscamos tienen que cumplir lo siguiente. Son matrices diagonales. A a a 0 0 11 22 =e o Conmutan con la matriz M. MA = AM segundo. Se impone la condición del problema. ? a a a a a MA 0 0 2 0 2 1 1 0 11 22 11 11 22 - = - = d e e n o o ? a a a a a AM 0 0 2 0 2 1 1 0 11 22 11 22 11 - = - = e e e o o o MA AM = a a a a a a 2 0 2 0 11 11 22 11 22 11 - = - e o e o tercero. Se igualan las matrices, elemento a elemento, y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante. a a a a a a 2 2 0 0 11 11 22 11 11 22 = = = - = - 4 La primera y la cuarta ecuaciones se pueden eliminar porque son igualdades. De la segunda y tercera ecuaciones se obtiene que: a a a a 22 11 11 22 = - = - " 3 a11 = a22 La única condición sería que los elementos de la diagonal sean iguales (a11 = a22). Por tanto, las matrices que cumplen la condición pedida son del tipo: k k A 0 0 =d n, donde k ! R. PRACTICA 30. Encuentra las matrices A y B cuadradas de orden 2 que cumplan que: Su suma es la matriz identidad de orden 2: 1 0 0 1 d n. Al restar a la matriz A la matriz B se obtiene la traspuesta de la matriz 1 3 2 4 d n. Determinar matrices que cumplan una cierta condición 24
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