1 Matriz inversa Di cuándo es invertible A a a a a a 1 1 1 1 2 = - f p. primero. Se calcula el rango de la matriz. a a a a 1 2 - - + + a a a 0 2 - + a a a a a 1 1 1 1 2 1 0 0 2 2 - f f p p F2 ) F3 " a a a a a a a 1 0 2 2 0 0 1 2 2 - + - + + - f p F2 = F2 - F1 " F3 = F3 - (a-1) F1 " Se estudian los elementos de la diagonal. En la tercera fila si 1 - a = 0 " a = 1 En la segunda fila si -a2 + 2a = 0 a a a a 2 0 0 2 2 " - + = = = ( En la primera fila 1 ! 0. Por tanto: Si a = 1 " Rango (A) = 2 Si a = 0 " Rango (A) = 2 Si a = 2 " Rango (A) = 2 segundo. Solo existe la inversa si su rango es igual a su orden. Si a = 0, a = 1 o a = 2 " No existe inversa. PRACTICA 37. Di cuándo es invertible k M k k k 1 0 0 1 2 2 1 1 - = + - - f p . Sean las matrices y A B 3 1 0 2 1 5 3 4 2 2 1 8 = = d d n n. Halla las matrices X e Y que verifican el sistema X Y A X Y B 3 4 2 + = + = 2. primero. Se resuelve el sistema. $ X Y A X Y B X Y X Y B A 3 4 2 6 2 2 4 2 + = + = + = + = ?2 2 2 2 X = 2 A - B X A B Y A B 2 1 2 2 3 = - = - + " segundo. Se calculan X e Y. ? X 3 2 1 1 0 5 2 1 3 2 4 1 2 8 2 3 1 1 2 1 1 1 = - = - - d d f n n p ? ? Y 2 3 2 1 1 0 5 2 3 3 2 4 1 2 8 2 3 1 4 2 1 3 2 = - + = - - - d d f n n p PRACTICA 38. Halla las matrices X e Y, cuadradas de orden 2, que sean solución del sistema X Y A X Y A 2 + = - = 2 1 -3, siendo A 1 3 2 5 =e o. Calcular la inversa de una matriz que depende de un parámetro Ecuaciones matriciales Resolver un sistema de ecuaciones matriciales Rango de una matriz Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro Discute, en función del parámetro m ! R, el rango de la matriz A m m 1 0 0 1 2 1 1 = - - f p. primero. Se aplica el método de Gauss para calcular el rango de la matriz. m m m m m m m m 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 0 0 1 2 2 - - - - - - - - - - f f f p p p F2 = F2 - mF1 " F3 = F3 - 2F1 " F2 ) F3 " segundo. Se estudia el número de filas no nulas que tiene la matriz dependiendo de los valores del parámetro. La primera y la segunda fila son siempre no nulas. La tercera fila es nula si -1 - m2 = 0 " m2 = -1. No tiene solución para ningún valor de m ! R. Por tanto, la tercera fila nunca es nula. Rango (A) = 3, para cualquier valor de m ! R. PRACTICA 36. Dada la matriz A a a 4 2 3 1 3 2 2 8 3 1 7 3 - - - - - - - + - - - - =f p , estudia, en función del parámetro a, el rango de la matriz. a a a a 1 2 - - + + a a a 0 2 - + a a a a a 1 1 1 1 2 1 0 0 2 2 - f f p p 27
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