a c t i v i da d e s f i n a l e s 1. Realiza operaciones con matrices y aplica sus propiedades 39 Clasifica las matrices y determina su dimensión. A = (1 2 2) C = 0 1 7 f p E = 0 4 2 2 3 0 3 1 1 - - f p B = 2 0 0 2 d n D = 1 0 0 1 d n F = 3 0 0 0 1 1 0 0 1 f p 40 Determina los valores de x e y para que estas matrices sean iguales. A x y 1 2 2 3 5 = + e o A y x 2 4 3 2 1 1 = + d n A C T I V I D A D E S F L A S H 41 Sean las matrices A2◊3, B6◊2, C3◊4 y D4◊3. Determina la dimensión de estas matrices. a) AC b) AtBt c) (Ct + D)At 42 I N V E N TA . Pon dos ejemplos de estas matrices. a) Matriz fila c) Matriz cuadrada b) Matriz diagonal d) Matriz triangular inferior 43 Considera las matrices: A 1 0 1 1 4 3 = - - d n B 0 1 1 0 2 3 = - d n C 2 1 1 4 2 3 = - - d n Calcula. a) A + B - C b) -A - B + C c) A - (B - C) 44 Sean las matrices Am◊n, Bm◊p y Cp◊n. Determina la dimensión de las siguientes matrices. a) AtB b) ACt c) BtA - C 45 I N V E S T I G A . Sea A una matriz m × n. a) ¿Existe una matriz B tal que B A sea una matriz fila? Si existe, ¿qué dimensión tiene? b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A B sea una matriz fila? Si existe, ¿qué dimensión tiene? 46 I N V E N TA . Escribe dos matrices tales que su producto sea P4◊2. ¿Qué condiciones deben cumplir? 47 Comprueba que cualquier matriz de orden 3 cumple que (At)t = A 48 Comprueba que una matriz cuadrada que verifique aij = i - j es antisimétrica. Escribe una matriz de orden 3 con esta propiedad. 49 Considera las matrices: A 3 4 0 8 = - d n B 2 1 1 0 1 3 = - - d n C 4 0 1 1 5 0 2 3 2 = - - f p Realiza, si es posible, los siguientes productos. a) A B b) B A c) A C d) B C 50 Calcula, si es posible, estas operaciones con matrices. A 1 3 3 1 = - - d n B 2 1 3 0 1 1 = - d n C 8 0 5 1 3 0 = - f p a) ABC b) BtA - C c) AtCt 51 M AT E M ÁT I C A S Y. . . A P P S . En dos dimensiones, la posición y los giros se describen con matrices cuadradas 2 × 2. Al sumar A a b =d n al punto P x y =e o, se desplaza P. Al multiplicar la matriz cos cos G sen sen a a a a = - c m por un punto P x y =e o, el punto queda girado a. El cañón debe derribar las cajas. Parte de (-4, 0). a) Aproxima el cañón a la posición (0, 0) para un mejor alcance, mediante una operación con matrices. b) Una vez en la posición de tiro, gira la boca del cañón para disparar al centro de la caja más alta, mediante una operación con matrices. 52 Estas matrices, ¿son conmutativas respecto del producto? A 2 1 1 0 = - d n B 2 3 3 4 = - - d n 53 I N V E S T I G A . Encuentra la expresión general de todas las matrices que conmuten con la matriz A 1 0 1 1 =d n. 54 Prueba que estas matrices conmutan, es decir, AB = BA. cos cos A sen sen a a a a = - e o cos cos sen sen B b b b b = - f p Halla este producto para A, A2, A3 y An, con n N ! . 55 Sea C el conjunto de todas las matrices de la forma C a b b a = - d n tales que a, b ! R. Demuestra que dos matrices de este tipo son siempre conmutables. 56 R E T O . Sea M el conjunto de matrices de números reales de la forma a b b a - d n, con a2 + b2 = 1.Demuestra que si se multiplican dos matrices cualesquiera de M, se obtiene como resultado otra matriz del mismo conjunto. 28
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