3. Determina si una matriz tiene matriz inversa y la calcula 96 Relaciona cada matriz con su inversa. a) A 1 1 1 2 =d n b) B 1 2 1 3 = - - d n c) C 3 1 2 1 = - - d n I) J 3 2 1 1 =d n II) K 1 1 2 3 =d n III) L 2 1 1 1 = - - d n A C T I V I D A D E S F L A S H 97 Calcula la matriz inversa de estas matrices. a) A 1 1 5 6 = - - d n c) C 0 1 3 4 = - d n b) B 1 0 1 0 1 1 1 0 0 =f p d) D 0 1 1 0 1 0 1 0 2 = - f p 98 I N V E N TA . Escribe dos matrices invertibles de rango 2 y otras dos de rango 3. Después, escribe otras dos matrices no invertibles y explica cómo las obtienes. 99 I N V E S T I G A . Dadas las matrices A 1 0 3 1 = - d n y B 3 1 4 0 = - d n, calcula. a) A-1 y B-1 b) ( AB)-1 Comprueba que se cumple que (AB)-1 = B-1A-1. 100 Dada la matriz A 3 2 4 3 = - - d n, calcula. a) A-1 b) ( At )-1 Comprueba que se cumple que t ( ) ( ) A At 1 1 = - -. 101 I N V E S T I G A . Dadas las matrices A 1 1 2 0 = - d n y B 0 1 2 3 = - - d n , calcula. a) ( A-1)-1 b) B-1B ¿Se cumplen estos resultados para cualquier matriz? 102 Se dice que dos matrices cuadradas de orden n, A y B, son semejantes, si existe una matriz invertible M tal que B = M-1AM, donde M-1 es la matriz inversa de M. Determina si son semejantes estas matrices. A = 1 0 2 1 d n B = 1 0 0 1 - d n 103 Considera una matriz cuadrada A que cumple la ecuación A2 - 3I = 2 A, donde I denota la matriz identidad. a) Estudia si existe la matriz inversa de A y, si es posible, determina A-1 en función de A e I. b) Determina todas las matrices A de la forma x y y x d n que cumplen la ecuación A2 - 3I = 2 A. 104 Sabiendo que la inversa de una matriz A es 1 2 2 1 d n y la inversa de la matriz AB es 2 5 4 3 d n, determina la matriz B. I N T E R N E T 105 I N V E S T I G A . Considera la matriz a c b d d n como una matriz genérica de orden 2. a) Determina la expresión genérica de su matriz inversa. b) ¿Cuándo son invertibles las matrices de orden 2? 106 Calcula A-1 y An, siendo A de orden 3 con todos sus elementos nulos excepto a a a 5 1 11 23 32 = = = . 107 Si una matriz cuadrada A verifica que A2 + 7A = I, siendo I la matriz unidad, calcula A-1 en función de A. 108 M AT E M ÁT I C A S Y. . . C R I P T O G R A F Í A . El cifrado de Hill para codificar mensajes consiste en sustituir cada letra o espacio por un número. Se escribe el mensaje en una matriz y se multiplica por una matriz regular que se llama matriz de codificación. Para descodificar el mensaje se multiplica por la matriz inversa. Si hacemos corresponder el 0 con un espacio, el 1 con A, el 2 con B, … y el 27 con Z. En forma de matriz el mensaje BEAUTIFUL MATHS sería: B U F T E T U M H A I L A S 2 22 6 0 21 5 21 22 13 8 1 9 12 1 20 = f p f p a) Comprueba que la matriz M puede ser una matriz de codificación. M 2 5 4 0 1 1 3 1 0 =f p b) ¿Cuál sería el mensaje codificado que se obtiene al multiplicar la matriz por M? Si al multiplicar las matrices aparecen números mayores que no estén entre 0 y 27, se le suma o resta 28 las veces que sean necesarias para que esté entre 0 y 27. c) Calcula la matriz inversa de M y comprueba que lo has hecho bien decodificando el mensaje. 109 Dada la matriz A 1 1 1 1 = - d n, comprueba que A2 = 2 I, calcula A-1 y halla A12 y su inversa. 4. Resuelve ecuaciones matriciales 110 Despeja la matriz X en cada ecuación matricial. a) A + X = B c) AX = B e) AXA = B b) A - X = B d) XA = B f ) AXB = C A C T I V I D A D E S F L A S H 111 En cada ecuación matricial, despeja la matriz X. a) AX + B = C b) At X = B c) AXA = A2 + I I N T E R N E T 1 31
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