Matema´ ticas aplicadas a las Ciencias Sociales II 2 B A C H I L L E R A T O Este libro es una obra colectiva concebida , diseñada y creada en el Depar tamento de Ediciones de Santillana , bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han par ticipado: Sonia Alejo Sánchez Miguel Álvaro Pérez José Carlos Gámez Pérez Silvia Marín García Clara Inés Lavado Campos Alfredo Mar tín Palomo Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN Sonia Alejo Sánchez Clara Inés Lavado Campos Silvia Marín García EDICIÓN E JECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos que deberán ser trasladados a un cuaderno.
Índice Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 1 Matrices 9 1. Matrices _ 10 2. Matriz traspuesta _ 13 3. Operaciones con matrices _ 14 4. Rango de una matriz _ 18 5. Matriz inversa _ 20 6. Ecuaciones matriciales _ 22 • Calcular el producto de dos matrices • Calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss • Calcular la matriz inversa con el método de Gauss-Jordan • Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = B • Resolver ecuaciones matriciales del tipo XA = B • Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX + B = C • Resolver operaciones con matrices • Calcular la potencia de una matriz 2 Determinantes 35 1. Determinantes _ 36 2. Propiedades de los determinantes _ 37 3. Menor complementario y adjunto _ 41 4. Desarrollo de un determinante por sus adjuntos _ 42 5. Cálculo del rango de una matriz _ 44 6. Cálculo de la inversa de una matriz _ 46 • Calcular el determinante de una matriz usando sus propiedades • Calcular un determinante haciendo ceros • Calcular el rango de una matriz a partir de sus menores • Calcular la inversa de una matriz con determinantes • Resolver ecuaciones con determinantes • Resolver ecuaciones en las que aparecen determinantes • Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro • Estudiar el rango de una matriz cuadrada que depende de un parámetro utilizando determinantes 3 Sistemas de ecuaciones 59 1. Sistemas de ecuaciones lineales _ 60 2. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones _ 62 3. Método de Gauss para resolver sistemas _ 63 4. Teorema de Rouché-Fröbenius _ 65 5. Regla de Cramer _ 67 6. Sistemas homogéneos _ 69 7. Sistemas de ecuaciones con parámetros _ 70 8. Resolución de problemas con sistemas _ 72 • Resolver un sistema mediante el método de Gauss • Discutir un sistema de ecuaciones lineales utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius • Resolver un sistema de ecuaciones compatible determinado utilizando la regla de Cramer • Discutir y resolver un sistema de ecuaciones homogéneo • Discutir un sistema de ecuaciones con parámetros usando el teorema de Rouché-Fröbenius • Resolver un sistema de ecuaciones con parámetros utilizando la regla de Cramer • Plantear y discutir un problema real mediante sistemas de ecuaciones lineales 4 Programación lineal 85 1. Inecuaciones _ 86 2. Inecuaciones lineales con dos incógnitas _ 88 3. Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas _ 89 4. Programación lineal _ 90 5. Métodos de resolución _ 94 6. Tipos de soluciones _ 96 7. Problema de la producción _ 99 8. Problema de la dieta _ 100 9. Problema del transporte _ 101 • Resolver una inecuación de primer grado con una incógnita • Resolver una inecuación de segundo grado con una incógnita • Resolver una inecuación lineal con dos incógnitas • Resolver un sistema de inecuaciones con dos incógnitas • Plantear un problema de programación lineal • Determinar los vértices de una región factible • Resolver problemas de programación lineal analíticamente • Resolver problemas de programación lineal gráficamente • Representar una región factible 5 Límites y continuidad 113 1. Límite de una función en el infinito _ 114 2. Operaciones con límites _ 116 3. Cálculo de límites _ 118 4. Resolución de algunas indeterminaciones _ 120 5. Límite de una función en un punto _ 123 6. Continuidad de una función _ 126 • Resolver límites que presentan indeterminaciones del tipo 3 3 , 3 3 - y 13. • Resolver los límites de una función en un punto que presentan una indeterminación del tipo 0 0 . • Determinar si una función es continua en un punto • Estudiar la continuidad de una función definida a trozos • Interpretar en un problema real el límite de una función 6 Derivadas 139 1. Tasa de variación media _ 140 2. Derivada de una función en un punto _ 141 3. Derivadas laterales _ 142 4. Derivabilidad y continuidad _ 143 5. Función derivada. Derivadas sucesivas _ 144 6. Operaciones con derivadas _ 145 7. Cálculo de derivadas _ 146 8. Regla de la cadena _ 147 9. Derivada de las funciones elementales _ 148 • Calcular la derivada de una función en un punto • Calcular la derivada de funciones compuestas • Calcular la derivada de funciones compuestas aplicando la regla de la cadena sucesivamente • Determinar la tasa de variación media de una función a partir de su gráfica • Interpretar la tasa de variación media en problemas • Determinar la derivada de una función en un punto mediante la definición 2
Hac ia la univers idad Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Determinar matrices que cumplan una cierta condición • Calcular las constantes que hacen que se cumpla una igualdad entre matrices • Resolver problemas utilizando matrices • Transformar tablas en matrices • Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro • Calcular la inversa de una matriz que depende de un parámetro • Resolver un sistema de ecuaciones matriciales M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Apps • Videojuegos • Criptografía • Logística • Economía Calcular una ruta óptima entre dos lugares diferentes • Calcular el rango de una matriz no cuadrada que depende de un parámetro mediante determinantes • Calcular algunos elementos de una matriz para que se cumpla una condición • Comprobar si una matriz que depende de un parámetro tiene inversa • Resolver una ecuación matricial del tipo AX = C • Resolver una ecuación matricial del tipo AX + B = C • Resolver una ecuación matricial en la que hay que sacar factor común M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Astronomía • Mercado • Criptografía • Vídeojuegos • Mecánica cuántica Medir superficies irregulares • Resolver un problema real mediante sistemas de ecuaciones lineales • Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = XA • Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = B • Estudiar un sistema y resolverlo utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius • Discutir un sistema que depende de un parámetro con dos ecuaciones y dos incógnitas • Discutir un sistema que depende de un parámetro con tres ecuaciones y tres incógnitas • Discutir un sistema homogéneo que depende de un parámetro con tres ecuaciones y tres incógnitas • Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales • Resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Física • Economía • Modelos económicos • Sismografía Controlar el consumo de datos • Determinar las restricciones, conocida la región factible • Añadir restricciones para obtener una determinada región factible • Determinar el máximo y el mínimo de una función en una región factible acotada • Determinar el máximo y el mínimo de una función en una región factible no acotada • Resolver un problema en el que una de las restricciones es una relación entre las incógnitas • Resolver un problema cuando la función objetivo es del tipo f(x, y) = ax + by + k • Resolver un problema cuando la región factible es no acotada • Extraer conclusiones de la solución óptima de un problema M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Publicidad • Química • Bolsa • Desarrollo • Agricultura Optimizar los recursos de los que se dispone • Calcular el parámetro de una función si está en un límite con indeterminación 3 3 - • Calcular el parámetro de una función cuando aparece en un límite con indeterminación de tipo 13 • Calcular el límite del cociente de dos funciones exponenciales • Determinar si existe o no el límite de una función en un punto • Resolver una indeterminación cuando aparece una expresión del tipo ( ) f x a ! • Calcular el parámetro para que exista el límite de una función en un punto • Estudiar la continuidad en un punto de una función definida a trozos • Calcular los parámetros para que una función sea continua • Estudiar la continuidad de una función en un problema real M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Informática • Préstamos • Prevención de la salud • Medicina Explicar cómo se recorren distancias completas • Hallar la derivada de una función en un punto mediante las fórmulas conocidas • Determinar una función a partir del valor de su derivada en un punto • Estudiar la derivabilidad y continuidad de una función • Estudiar la continuidad y la derivabilidad en un punto de una función con parámetros • Hallar los parámetros de una función para que sea continua y derivable • Aplicar la regla de la cadena • Calcular la derivada de operaciones con funciones • Calcular la derivada de operaciones con funciones compuestas M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Medioambiente • Química • Biología • Economía • Sociología • Física Explicar cambios de temperatura en cualquier objeto 3
Un i dad Construye tu conoc imiento Saberes bás i cos Procedimientos bás i cos 7 Aplicaciones de la derivada 159 1. Interpretación geométrica de la derivada _ 160 2. Crecimiento y decrecimiento _ 162 3. Máximos y mínimos relativos _ 163 4. Concavidad y convexidad _ 165 5. Puntos de inflexión _ 166 6. Optimización de funciones _ 168 • Determinar el crecimiento y decrecimiento de una función • Hallar los máximos y mínimos de una función mediante la derivada primera • Hallar los máximos y mínimos de una función mediante la derivada segunda • Determinar la concavidad y convexidad de una función • Hallar los puntos de inflexión de una función • Hallar los puntos de inflexión de una función mediante la derivada tercera • Resolver un problema de optimización 8 Representación de funciones 181 1. Dominio y recorrido _ 182 2. Puntos de corte y signo de una función _ 183 3. Simetrías y periodicidad _ 184 4. Ramas infinitas. Asíntotas _ 185 5. Monotonía de una función _ 189 6. Curvatura de una función _ 190 7. Funciones polinómicas _ 191 8. Funciones racionales _ 192 9. Funciones con radicales _ 193 10. Funciones exponenciales _ 194 11. Funciones logarítmicas _ 195 12. Funciones definidas a trozos _ 196 • Hallar el dominio de una función • Calcular los puntos de corte con los ejes • Hallar el signo de una función • Determinar si una función es simétrica • Calcular las asíntotas verticales de una función • Calcular las asíntotas horizontales de una función • Calcular las asíntotas oblicuas de una función • Estudiar las ramas infinitas de una función • Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función • Estudiar la curvatura de una función • Representar una función polinómica • Representar una función racional • Representar una función con radicales 9 Integrales 209 1. Función primitiva de una función _ 210 2. Integral de una función _ 211 3. Integrales de funciones elementales _ 212 4. Integral definida _ 218 5. Regla de Barrow _ 219 6. Área encerrada por una curva _ 220 7. Área comprendida entre dos curvas _ 222 • Resolver una integral donde falta un factor numérico • Resolver una integral del tipo ( ) ( ) f x f x n l y • Calcular una integral definida aplicando la regla de Barrow • Calcular el área entre la gráfica de una función y el eje X • Calcular el área comprendida entre dos curvas • Calcular una función de la que se conoce su derivada y un punto por el que pasa • Calcular una primitiva que cumple una condición • Resolver las integrales de tipo ( ) ( ) x a g x g 2 2 - l y 10 Probabilidad 235 1. Métodos de conteo _ 236 2. Espacio muestral. Sucesos _ 239 3. Operaciones con sucesos _ 240 4. Regla de Laplace _ 242 5. Propiedades de la probabilidad _ 243 6. Experimentos compuestos _ 244 7. Probabilidad condicionada _ 245 8. Teorema de la probabilidad total _ 248 9. Teorema de Bayes _ 249 • Calcular el número de posibilidades con variaciones, permutaciones y combinaciones • Calcular el suceso contrario de un suceso • Calcular la probabilidad de un suceso de manera experimental • Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace • Calcular probabilidades mediante tablas de contingencia • Determinar el espacio muestral de un experimento compuesto mediante un diagrama de árbol • Operar con sucesos 11 Distribuciones binomial y normal 261 1. Población y muestra _ 262 2. Muestreo _ 263 3. Tipos de muestreo aleatorio _ 264 4. Variables aleatorias _ 268 5. Distribución binomial _ 270 6. Distribución normal _ 272 7. Intervalos característicos _ 274 6. Aproximación de la binomial _ 275 • Obtener una muestra estratificada • Determinar si una variable aleatoria sigue una distribución binomial y hallar su función de distribución • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen una distribución binomial • Calcular probabilidades por medio de tablas en variables aleatorias que siguen una distribución normal 12 Inferencia estadística. Estimación 287 1. Teorema central del límite _ 288 2. Distribución de la media _ 289 3. Distribución de la proporción _ 290 4. Distribución de la diferencia de medias _ 291 5. Estimación de parámetros _ 292 6. Intervalos de confianza _ 293 7. Intervalos de confianza para la media _ 294 8. Intervalos de confianza para la proporción _ 296 9. Intervalos de confianza para la diferencia de medias _ 298 • Hallar un intervalo de confianza para la media • Hallar un intervalo de confianza para la proporción • Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias • Calcular la media y la varianza de una normal cuando se conocen dos probabilidades • Calcular la media y la varianza de la media muestral • Calcular la probabilidad de que una media muestral esté entre dos valores • Calcular un intervalo característico centrado en la media Índice 4
Hac ia la univers idad Matemát i cas en el mundo real Si tuac ión de aprendizaje • Resolver un problema de optimización cuando hay que despejar una variable • Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto • Determinar el parámetro de una función cuando no se conoce su recta tangente • Determinar una función conocidos sus extremos relativos y un punto por el que pasa • Obtener el valor de un parámetro para que una función siempre sea cóncava • Representar la función derivada de una función a partir de su gráfica • Resolver un problema de optimización cuando hay que despejar una variable • Resolver un problema de optimización estudiando los extremos de los intervalos • Resolver un problema de optimización cuando hay que determinar la función a optimizar a partir de otra M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Economía • Recursos humanos • Biología • Física • Empresa • Diseño Fabricar la lata de refrescos más barata • Representar una función exponencial • Representar una función logarítmica • Representar una función definida a trozos • Calcular el dominio de una función compuesta • Estudiar la simetría de una función compuesta • Calcular parámetros desconocidos a partir de sus asíntotas • Estudiar la monotonía y la curvatura de una función a partir de la gráfica de su derivada • Representar la gráfica de una función que cumpla determinadas condiciones • Representar una función simétrica • Representar la gráfica de una función en la que aparece un factor con valor absoluto • Representar gráficamente una función hallando previamente el valor de sus parámetros • Representar una función y obtener información de su gráfica M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Medicina • Biología • Física • Economía Ampliar fotografías • Resolver las integrales de tipo ( ) P x xn y donde P(x) es un polinomio • Calcular una integral definida de una función con valor absoluto • Calcular el valor de una constante, conocido el valor de la integral definida • Calcular el valor de un parámetro conocido el valor de un área • Calcular el área de un recinto limitado por una función definida a trozos • Calcular el área encerrada bajo una curva cuando no se da un intervalo de integración • Resolver problemas donde hay que calcular el área encerrada bajo una curva • Determinar el área de una figura delimitada por una curva • Calcular el área encerrada bajo una curva expresada con valor absoluto y una recta M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Electricidad • Física • Cambio climático • Naturaleza Calcular beneficios máximos en casos en los que el precio varía • Calcular probabilidades operando con sucesos • Determinar probabilidades de sucesos no equiprobables • Calcular probabilidades con sucesos independientes • Calcular probabilidades mediante sus propiedades • Resolver problemas de probabilidad condicionada utilizando tablas de contingencia • Resolver un problema utilizando el teorema de la probabilidad total • Resolver un problema utilizando el teorema de Bayes • Resolver problemas de probabilidad condicionada usando varios teoremas M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Supermercados • Medicina • Siniestralidad • Infecciones • Idiomas Tomar decisiones con la máxima seguridad posible de acertar • Determinar un intervalo de confianza cuando se tienen los datos de la muestra • Calcular el estimador cuando se conoce el intervalo de confianza • Determinar el tamaño de la muestra, conocida la amplitud del intervalo de confianza • Calcular el nivel de confianza cuando se conoce el intervalo de confianza • Calcular la proporción de la muestra cuando se conoce el intervalo de confianza • Determinar el tamaño de la muestra, conocido el error máximo admisible M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Radiación • Educación • Cambio climático • Medioambiente • Genética Estudiar cualidades de poblaciones muy grandes • Calcular e interpretar un intervalo de confianza con un nivel de confianza distinto de 90 %, 95 % o 99 % • Determinar un intervalo de confianza cuando se tienen los datos de la muestra • Calcular el estimador cuando se conoce el intervalo de confianza • Determinar el tamaño de la muestra, conocida la amplitud del intervalo de confianza • Calcular el nivel de confianza cuando se conoce el intervalo de confianza • Calcular la proporción de la muestra cuando se conoce el intervalo de confianza • Determinar el tamaño de la muestra, conocido el error máximo admisible M AT E M ÁT I C A S Y. . . • Control de calidad • Recursos humanos • Videojuegos • Deporte • Población • Ecología Medir audiencias de televisión 5
Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico EL PUNTO DE PARTIDA: MATEMÁTICAS EN EL MUNDO REAL 1 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Introduce un aspecto de la vida real en el que se utilizan los contenidos que se van a estudiar en la unidad. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL utilizando GeoGebra para investigar y manipular algunos contenidos. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Ayúdate de tu razonamiento y PIENSA para descubrir algunas propiedades y aplicaciones de esos saberes. Afianza los saberes básicos aprendiendo, paso a paso, métodos generales para las destrezas básicas que necesitas aprender. Aprende a partir de textos claros y estructurados. 6
CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 PASA A LA ACCIÓN: MATEMÁTICAS EN EL MUNDO REAL 5 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver actividades utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Comprende y analiza situaciones reales aplicando los contenidos que has aprendido. Descubre, en Hacia la universidad, actividades que ya sabes hacer y su contextualización en problemas reales que son similares a los que te encontrarás en tu prueba de acceso a la universidad. Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… Muchas de estas actividades son similares a las que te encontrarás en tu prueba de acceso a la universidad. 7
Matrices 1 M A T E M Á T I C A S E N E L M U N D O R E A L Funcionamiento del GPS Los vehículos modernos vienen equipados con todo tipo de extras que sir ven para aumentar la seguridad a la hora de conducir como, por ejemplo, los sistemas antiderrapaje, los sensores que miden la presión de los neumáticos, los asistentes de frenada , las ayudas de visión nocturna ... Los fabricantes se han volcado también en el confort y la facilidad de conducir : asistentes de aparcamiento con cámaras incorporadas, sensores de luz y de lluvia que automatizan el encendido de las luces y la puesta en marcha de los limpiaparabrisas. También es común que incluyan un navegador GPS. Este último accesorio comenzó en las f lotas de camiones, implantándose para que el tiempo en entregar las mercancías fuera optimizado al no haber confusiones para llegar al destino final y ser informado tanto del tipo de vía como de su estado y del tráfico que soportaba . En principio, el navegador era un artículo de lujo, pero ahora , hay multitud de aplicaciones que se pueden descargar en el móvil y utilizan su GPS. Por eso, el navegador se ha convertido en algo tremendamente cotidiano, que nos informa tanto del lugar donde estamos como de la ruta más corta , más rápida o más ecológica que podemos tomar para ir de un sitio a otro. Parece fácil y rápido, pero... ¿Cómo elige las rutas apropiadas un navegador GPS? Cuando se introduce un destino en el GPS, el dispositivo utiliza una base de datos de mapas para identificar las carreteras y calles disponibles en la zona. En base a estos datos, el GPS utiliza un algoritmo para calcular la ruta más adecuada entre el punto de partida y el destino, teniendo en cuenta la distancia y la duración del viaje. 9
Una matriz de m filas y n columnas es una tabla de m # n números reales ordenados en m filas y n columnas. Los números aij son los elementos de la matriz, y en ellos el subíndice i indica la fila que ocupan , y el subíndice j, la columna . La dimensión de una matriz de m filas y n columnas es m # n. G E O G E B R A E J E M P LO S 1. Determina la dimensión de esta matriz e identifica los elementos a23 y a32. A 4 0 2 5 2 3 2 1 0 1 5 4 = - - - f p La matriz A está formada por 3 filas y 4 columnas; por tanto, su dimensión es 3 # 4. Se observan la fila y la columna que indican los subíndices. a23 = 1 2.ª fila 3.ª columna F F a32 = 3 3.ª fila 2.ª columna F F 2. La tabla muestra los deportes practicados por un grupo de amigos. Natación Tenis Baloncesto Chicas 3 4 2 Chicos 2 1 5 Escribe e interpreta la información de la tabla en forma de matriz. Se puede escribir la tabla como una matriz de dimensión 2 × 3. Chicos F Natación Tenis Baloncesto Chicas F F F F A 3 2 4 1 2 5 =d n a12 = 4 " Hay 4 chicas que practican tenis. a21 = 2 " Hay 2 chicos que practican natación. a11 + a12 + a13 = Número total de chicas que hay en el grupo. a13 + a23 = Número de amigos que practican baloncesto. a11 + a21 + a12 + a22 = Número de amigos que practican natación y tenis. a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 = Número total de amigos. 1. Matrices 1 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones: Su dimensión sea 3 × 2. a32 = -a21 = a11 = 1 a22 = a12 = -a31 = -2 2 Escribe una matriz de dimensión 2 × 4 cuyos elementos aij sean 0 si i + j es un número par y 1 si es impar. 3 Se venden panes de dos harinas y dos tamaños diferentes. Los panes grandes de centeno cuestan 0,75 � y 1 � los de espelta. Los panes pequeños de centeno cuestan 0,45 � y 0,60 � los de espelta. Anota estos datos en forma de matriz. A C T I V I D A D E S S E E S C R I B E A S Í Para expresar abreviadamente una matriz, escribimos: A = (aij) Si queremos añadir la dimensión, indicamos: A = (aij)m#n … … … … … … … … a a a a a a a a a a a a m m m n n mn 11 21 1 12 22 2 13 23 3 1 2 f p .ª .ª .ª ... m 1 2 ! ! ! Columnas Filas - 1.ª - 2.ª - 3.ª … - n.ª 10
E J E M P LO 3. Clasifica estas matrices: A 3 3 3 3 3 3 =f p B 3 3 3 3 3 3 =d n C x 3 3 3 3 3 =f p Las matrices A y B no son iguales, porque no tienen la misma dimensión. Dimensión de A " 3 × 2 Dimensión de B " 2 × 3 Las matrices A y C tienen la misma dimensión y serán iguales si x = 3. E J E M P LO 4. Clasifica las siguientes matrices. A = (-2 7 0) B 4 2 =d n C 0 0 0 0 0 0 =f p A es una matriz fila de dimensión 1 × 3. B es una matriz columna de dimensión 2 × 1. C es una matriz nula de dimensión 3 × 2. Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y, además, los elementos coinciden término a término. A y B son iguales " aij = bij para cualquier valor de i, j. 1.2. Clasificación de matrices Una matriz fila es una matriz que tiene una sola fila y n columnas. Su dimensión es 1 # n. Un a m a t r i z c o l u m n a e s u n a m a t r i z c o n m f i l a s y una s o l a c o lumna . Su dim en si ón es m # 1. Un a m a t r i z n u l a, o m a t r i z c e r o, e s u n a mat r i z en l a qu e to do s su s e l em ento s s on ceros. Se representa por 0. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, está formada por n f i las y n columnas. Si su dimensión es n # n, diremos que su orden es n. Una matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, es decir, no es cuadrada . 1 4 Halla el valor de cada incógnita para que las dos matrices sean iguales. x z x z 1 1 3 2 0 1 + + + - d n y y y 2 2 1 3 0 + + e o 5 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices. a) Una matriz fila con cuatro columnas. b) Una matriz columna con cuatro filas. c) Una matriz cuadrada de orden 4. A C T I V I D A D E S S E E S C R I B E A S Í aij = bij para todo i, j significa que a11 = b11, a12 = b12, …, amn = bmn A a a a a a a a a a … … … … … … … n n n n nn 11 21 1 12 22 2 1 2 =f p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … … … … … … … =f p … A a a am 11 21 1 =f p A = (a11 a12 … a1n) 1.1. Matrices iguales D A T E C U E N T A Hay una matriz nula para cada dimensión. A 0 0 =d n M atriz nula de dimensión 2 # 1 ( ) B 0 0 = M atriz nula de dimensión 1 # 2 A 0 0 0 0 =d n Matriz nula de orden 2 11
E J E M P LO 5. Decide de qué tipo es cada una de estas matrices cuadradas. Matriz diagonal A 2 0 0 0 7 0 0 0 1 = - f p Matriz identidad B 1 0 0 1 =d n Triangular inferior C 3 2 7 4 0 4 5 6 0 0 1 9 0 0 0 6 = - f p Triangular superior D 7 0 1 10 = - d n La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por todos los elementos de la forma aii. 1.3. Tipos de matrices cuadradas N O O LV I D E S Hay una matriz identidad de cada orden. Matriz I 1 0 0 1 =d n identidad de orden 2 Matriz I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 =f p identidad de orden 3 6 Escribe matrices que cumplan las siguientes condiciones. a) Matriz diagonal de orden 4 que cumpla que aii = 7. b) Matriz identidad con tres filas. 7 Escribe matrices que cumplan estas condiciones. a) Diagonal de orden 3. b) Triangular superior con tres columnas, de forma que los elementos distintos de 0 cumplan que aij = i + j. A C T I V I D A D E S Diagonal principal … … … … … … … … … A a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n nn 11 21 31 1 12 22 32 2 13 23 33 3 1 2 3 =f p Según sean los elementos que forman una matriz cuadrada , esta puede ser : Matriz triangular superior Todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz triangular inferior Todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz diagonal Todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son ceros. Matriz identidad o matriz unidad Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son unos. Se denota por I. … … … … … … … … … I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 =f p … … … … … … … … … A a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn 11 22 33 =f p … … … … … … … … … A a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 n n n nn 11 21 31 1 22 32 2 33 3 =f p … … … … … … … … … A a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 n n n nn 11 12 22 13 23 33 1 2 3 =f p 12
Propiedades En una matri z simétrica , los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales. En una matriz antisimétrica , los elementos de la diagonal principal son ceros y los elementos simétricos respecto de ella son opuestos. D A T E C U E N T A Solo si una matriz es cuadrada, su matriz traspuesta tiene la misma dimensión. D A T E C U E N T A Solo las matrices cuadradas pueden ser simétricas o antisimétricas. 8 Determina la matriz traspuesta de esta matriz. A 1 2 4 1 2 3 0 5 = - - d n 9 Dada una matriz cuadrada de orden 3 con a12 = 1, a22 = 0, a23 = -3 y a31 = 2, halla el resto de elementos de la matriz para que sea antisimétrica. A C T I V I D A D E S E J E M P LO 6. Halla la traspuesta de la matriz A 3 0 3 1 3 2 = - d n y determina su dimensión. A 3 3 0 1 2 t = - 3 f p " La dimensión de At es 3 # 2. E J E M P LO 7. Decide si estas matrices son simétricas o antisimétricas. a) A 3 5 3 5 2 1 3 1 6 =f p b) B 3 0 3 1 3 2 = - d n C 0 7 7 0 - n a) A 3 5 3 5 2 1 3 1 6 t =f p = A " A es una matriz simétrica. b) B 0 7 7 0 t = - d n = - 0 7 7 0 - d n = -B " B es una matriz antisimétrica. Matrices simétricas y antisimétricas La matriz traspuesta, At, de una matriz A de dimensión m # n es otra matriz de dimensión n # m que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas o las columnas por las filas. Si A = (aij), entonces A t = (a ji). G E O G E B R A Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su traspuesta . A = At " a ij = aji Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su opuesta coincide con su traspuesta . -A = At " -a ij = aji 1 2. Matriz traspuesta A a m n m b v n v c =f p A m n v n v 0 = - - - 0 0 m f p 13
La suma de dos matrices, A y B, de la misma dimensión se denota A + B, y es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos son la suma de los elementos de A y B que ocupan la misma posición . A + B = C, siendo cij = aij + bij. Propiedades Como la suma de matrices se realiza elemento a elemento, cumple propiedades análogas a las de la suma de números reales. Conmutativa : A + B = B + A Asociativa : A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es la matriz nula . A + 0 = A E l em en t o opu e st o : p a ra c a d a ma t r i z A, e x i st e su ma t r i z opu e st a , -A, formada por los opuestos de los elementos de A. A + (-A) = 0 10 Realiza la siguiente operación con matrices: 1 0 2 3 1 1 2 1 2 0 3 1 1 2 4 2 0 1 - - - - - - + - d d d n n n 11 Averigua los elementos que faltan si A + B = C. A a b 3 5 4 5 =d n B e c d 2 3 1 = - d n C f 1 7 1 6 0 = - d n A C T I V I D A D E S E J E M P LO 8. Suma, si es posible, las siguientes matrices: A 3 7 3 5 2 6 = - - d n B 4 2 5 6 0 3 = - - e o C 3 2 7 2 5 6 4 2 1 2 3 2 =f p La dimensión de A y de B es la misma: 2 × 3; por tanto, podemos sumarlas: ( ) ( ) A B 3 7 3 5 2 6 4 2 5 6 0 3 3 4 7 2 3 5 5 6 2 0 6 3 7 5 8 1 2 3 + = - - + - - = + + - + - + + + - = = d d d e n n n o No es posible sumar C con A ni con B, porque tienen distinta dimensión. E J E M P LO 9. Determina la matriz opuesta de A 1 0 3 2 4 4 = - - - d n. Comprueba que es su elemento opuesto respecto de la suma. A 1 0 3 2 4 4 - = - - - - d n ( ) ( ) ( ) ( ) A A 1 1 0 0 3 3 2 2 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 + - = - + + + - + - + - - + = e d o n " Matriz nula. 3. Operaciones con matrices 3.1. Suma de matrices N O O LV I D E S Para que dos matrices se puedan sumar deben tener la misma dimensión. D A T E C U E N T A Para restar dos matrices sumamos a la primera la opuesta de la segunda. A - B = A + (-B) Dada las matrices A y B con la misma dimensión, ¿cuál es la dimensión de (A + Bt) ? P I E N S A 14
El producto de un número real k por una matriz A es otra matriz de la misma dimensión que A cuyos elementos se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de A por k. k ? A = C, siendo cij = k ? aij. El producto de una matriz fila, de dimensión 1 # n, por una matriz columna, de dimensión n # 1, es un número que se obtiene al multiplicar sus elementos, término a término, y sumar los resultados. ( ... ) ... … ? ? ? ? a a a b b b a b a b a b n n n n 11 12 1 11 21 1 11 11 12 21 1 1 = + + + f p 12 Realiza las operaciones indicadas con estas matrices: A 1 1 3 2 = - d n B 2 3 0 1 = - - d n C 2 1 3 2 = - - d n a) 2(A - B) + 3C b) (-2)(A - C) - 3(B + 2C) 13 Calcula la siguiente operación con matrices: ? ? ? ? ? ( ) ( ) 2 3 1 4 5 0 1 2 3 3 1 4 5 1 0 - - - f f p p A C T I V I D A D E S 3.3. Producto de una matriz fila por una matriz columna E J E M P LO 10. Dadas las matrices A 3 0 3 1 3 2 = - d n y B 49 21 56 0 = - d n, calcula. a) (-2) ? A ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 2 3 2 1 2 3 2 2 6 0 6 2 6 4 = - - - - - - - = - - - - e d o n b) ? B 7 1 ? ? ? ? ( ) 7 1 49 7 1 21 7 1 56 7 1 0 7 3 8 0 = - = - f f p p E J E M P LO 11. Calcula, si se puede, los productos AB y CA siendo las matrices: A = (6 2 1) B 2 3 1 = - f p C = (2 1 0 4) La matriz A es una matriz fila de dimensión 1 # 3; B es una matriz columna de dimensión 3 # 1; por tanto, las podemos multiplicar. AB = (6 2 1) 1 - 2 3 f p = 6 ? 2 + 2 ? 3 + 1 ? (-1) = 17 La matriz C es una matriz fila de dimensión 1 # 4; por tanto, solo se puede multiplicar por una matriz de dimensión 4 # 1. No se puede multiplicar por A. D A T E C U E N T A Si una matriz es diagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales, podemos sacar factor común. ? ? k k I k k k 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = f f p p 1 3.2. Producto de una matriz por un número N O O LV I D E S Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna es necesario que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. 15
3.4. Producto de dos matrices El producto de una matriz A, de dimensión m # n, por otra matriz B, de dimensión n # p, es otra matriz, C, de dimensión m # p, cuyo elemento cij se obtiene al multiplicar la fila i-ésima de la primera matriz por la columna j-ésima de la segunda . A ? B = C, siendo cij = ai1 ? b1j + ai2 ? b2j + … + aim ? bmj. G E O G E B R A 14 Realiza los productos que sean posibles entre las matrices A, B y C. A 1 2 0 1 2 3 = - - d n B 3 1 2 0 2 3 = - - f p C 1 3 4 2 = - d n 15 Determina la dimensión de la matriz resultante de esta operación y, después, compruébalo efectuando las operaciones. ? ? 2 2 3 1 0 0 1 3 2 3 1 0 4 2 5 1 1 3 $ - + - d d d n n n A C T I V I D A D E S N O O LV I D E S Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. La matriz producto resultante tiene el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda. D A T E C U E N T A Para que exista el producto de tres matrices, A ? B ? C, sus dimensiones deben ser de esta forma: Dimensión de A: m # n Dimensión de B: n # p Dimensión de C: p # q La dimensión de A ? B ? C será m # q. Calcular el producto de dos matrices Calcula el producto, A ? B, de estas matrices. A 5 0 3 1 4 2 = - d n B 4 0 1 2 5 3 =f p primero. Se comprueba que se pueden multiplicar: el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Dimensión de A: 2 # 3 Dimensión de B: 3 # 2 El número de columnas de A coincide con el número de filas de B, por lo que las matrices se pueden multiplicar. La matriz A ? B tendrá el mismo número de filas que A y el número de columnas de B. c c c c 5 0 3 1 4 2 4 0 1 2 5 3 11 21 12 22 - = d f d n p n segundo. Se efectúa el producto de la primera fila de la matriz A por la primera columna de la matriz B para obtener el primer elemento de la matriz producto. ? ? ? ( ) AB c c c 0 1 2 2 5 3 5 3 4 4 0 1 5 4 3 0 4 1 21 12 22 = = - + - + d f e n p o tercero. Se multiplica la primera fila de la matriz A por el resto de columnas de la matriz B. ? ? ? ( ) c c 0 1 2 4 0 1 24 5 3 4 2 5 3 5 2 3 5 4 3 21 22 = - + - + d f e n p o cuarto. Se repite el proceso con el resto de filas de la primera matriz y de columnas de la segunda. ? ? ? ? ? ? 24 7 4 24 2 7 11 5 3 4 0 1 2 0 1 2 5 3 0 4 1 0 2 1 0 2 1 5 2 3 = - = + + + + d f d d n p n n 16
E J E M P LO 12. En un restaurante se sirven tres tipos de menús: el sencillo, el diario y el especial. En estas tablas se muestran los kilos que se compran semanalmente de pescado, verduras y legumbres para elaborar cada menú y los precios en las dos últimas semanas de cada producto. Pescado Verduras Legumbres Sencillo 6 14 12 Diario 8 18 13 Especial 12 26 15 Semana 1 Semana 2 Pescado 12,50 10,60 Verduras 16 11,90 Legumbres 6,20 8,40 Calcula el coste semanal que han tenido ambos menús. Se considera cada tabla como una matriz y las multiplicamos. , , , , , , , , , 6 8 12 14 18 26 12 13 15 12 5 16 6 2 10 6 11 9 8 4 373 4 468 6 659 331 408 2 562 6 = f f f p p p La elaboración de los menús ha sido más barata la segunda semana. F F Semana 1 Semana 2 FMenú diario Menú especial F FMenú sencillo E J E M P LO 13. Halla, si es posible, el producto de estas matrices y comprueba si es conmutativo en algún caso. A 3 0 3 1 3 2 = - d n B 2 3 2 =f p La dimensión de A es 2 × 3 y la de B es 3 × 1, luego, no podemos realizar el producto BA; en cambio, sí podemos efectuar AB. AB 3 0 3 1 3 2 2 3 2 3 7 = - = d f d n p n Propiedades Si las dimensiones de las matrices A, B y C son tales que nos permiten realizar sus productos, se cumplen estas propiedades: Asociativa : (A ? B) ? C = A ? (B ? C) Elemento neutro: Im ? A = A ? In = A Distributiva : Por la izquierda : A ? (B + C) = A ? B + A ? C Por la derecha : (B + C) ? A = B ? A + C ? A En general , el producto de matrices no es conmutativo: A ? B ! B ? A 1 S E E S C R I B E A S Í A ? B " A multiplica a B por la izquierda. B ? A " A multiplica a B por la derecha. Dos matrices, A y B, conmutan o son conmutables si A ? B = B ? A. 16 Sean A 2 1 3 0 = - d n, B 7 0 4 6 =d n y C 3 1 1 2 =d n. a) Comprueba si A y B conmutan. b) Verifica que se cumple la propiedad distributiva: A ? (B + C) = A ? B + A ? C. 17 Una empresa de autobuses tiene tres líneas: A, B y C. El lunes salieron 5 autobuses en la línea A, 3 en la B y 4 en la C. El martes salieron 2 en la línea A, 1 en la B y 4 en la C. El miércoles salió 1 en la línea A, 3 en la B y 5 en la C. Represéntalo en forma de matriz. A C T I V I D A D E S 17
4.1. Combinaciones lineales de las filas de una matriz 4. Rango de una matriz 18 Completa los elementos que faltan en la matriz para que sus filas sean linealmente dependientes. a b c 3 9 1 0 2 - - d n 19 Determina el rango de las siguientes matrices. a) 1 2 0 1 1 3 3 1 7 0 1 1 - - - - f p b) 1 2 3 1 2 3 3 6 9 - - f p A C T I V I D A D E S Una fila no nula Fi de una matriz depende linealmente de las filas Fj1, Fj2, …, Fjm si se cumple que: Fi = k1Fj1 + k2Fj2 + … + kmFjm Una fila de una matriz es linealmente independiente cuando no depende linealmente de otras filas de la matriz. E J E M P LO 15. Determina el rango de la matriz A 2 3 8 0 5 10 3 2 7 4 3 2 = - - - f p . F1 no depende linealmente de F2 ni de F3, y lo mismo ocurre con F2 y F3. Analizamos si F1 depende linealmente de F2 y F3, es decir, si F1 = k1F2 + k2 F3. Tomando los dos primeros elementos de las filas se tendría: ( ) k k k k k k a k a k a a k a k a 2 3 8 0 5 10 2 1 11 1 21 2 31 12 1 22 2 32 1 2 1 2 1 2 = + = - + - = - = = + = + " " 4 4 Comprobamos si se cumple el resto de igualdades para estos valores de k1 y k2. a13 = k1 a23 + k2 a33 " 3 = -2 ? 2 + 1 ? 7 a14 = k1 a24 + k2 a34 " -4 = -2 ? 3 + 1 ? 2 Por tanto, F1 = -2 F2 + F3, es decir, F1 depende linealmente de F2 y F3. Así, F2 y F3 son linealmente independientes y F1 depende de F2 y F3 " " Rango ( A) = 2. 4.2. Rango de una matriz El rango de una matriz A, Rango (A), es el número de filas o de columnas no nulas linealmente independientes que tiene la matriz. El rango por filas siempre es igual al rango por columnas. E J E M P LO 14. Determina las filas linealmente independientes de esta matriz. A 2 1 3 4 1 3 7 1 = - - - - d n Para que F1 dependa linealmente de F2 se tiene que cumplir que F1 = kF2, es decir, que los elementos de F1 sean múltiplos de los de F2. Como no es así, decimos que las dos filas de la matriz A son linealmente independientes. N O O LV I D E S Las mismas definiciones que hemos hecho para las filas las podemos hacer para las columnas. Una columna no nula Ci de una matriz depende linealmente de las columnas Cj1, Cj2, …, Cj m si se cumple que: Ci = k1Cj1 + k2Cj2 + … + km Cjm Una columna de una matriz es linealmente independiente cuando no depende linealmente de otras columnas de la matriz. D A T E C U E N T A Como el rango por filas es siempre igual al rango por columnas, una matriz A y su traspuesta At tienen siempre el mismo rango. ¿Cuál es el rango máximo de una matriz que tiene n filas y m columnas? P I E N S A 18
1 4.3. Método de Gauss 20 Halla el rango mediante el método de Gauss. 1 8 2 3 3 1 5 2 4 7 14 0 - - - - f p 21 Calcula el rango de la matriz At ? B - Ct en función del parámetro m. A 2 1 1 = - 0 d n B 3 0 2 = - 5 d n C 4 2 1 = - m d n A C T I V I D A D E S El método de Gauss para hallar el rango de una matriz consiste en convertir la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal sean ceros, utilizando las transformaciones elementales adecuadas. El rango de la matriz será el número de filas no nulas que tiene la matriz triangular que hemos obtenido. Las transformaciones el emental es que se pueden reali zar en l a matri z son : Intercambiar entre sí la fila i por la fila j. Lo escribimos como Fi 1 Fj. Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ! 0. Lo escribimos como Fi = aFi. Sustituir la fila i o la fila j por la suma de ambas, multiplicadas por números a y b no nulos. Lo escribimos como Fi = aFi + bFj. Calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss Determina el rango de la matriz A 0 2 2 2 1 2 2 1 0 4 1 3 = - - - - f p . primero. Si a11 = 0, se intercambia la primera fila con alguna fila cuyo primer elemento sea distinto de cero, si existe. Se realizan operaciones en todas las filas, menos en la primera, para que el primer elemento de cada una de ellas sea cero. 1 0 2 2 2 1 2 1 0 4 3 - - - - 2 f p F 2 ) F1 " 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 3 - - - - f p El primer elemento de la segunda fila ya es cero. Se hace cero el primer elemento de la tercera fila. 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 3 - - - - f p F3 = F3 - F1 " 1 2 0 0 1 1 1 1 4 2 - - - 2 2 - f p segundo. Si a22 = 0, se intercambia esta fila con alguna cuyo segundo elemento no sea cero, si existe. Como en el paso anterior, se hace cero el segundo elemento de cada fila, excepto el de la primera y segunda fila. 2 0 0 1 1 1 1 1 4 2 - - - 2 2 - f p F3 = 2F3 - F2 " 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 4 0 - - - f p tercero. Se repite el mismo proceso para el resto de filas de la matriz inicial hasta obtener una matriz en la que todos los elementos por debajo de su diagonal sean ceros. El número de filas no nulas que tiene la matriz es el rango de la matriz. En este caso se obtienen dos filas no nulas " Rango (A) = 2. D A T E C U E N T A Como el rango de una matriz y el de su traspuesta es el mismo, en el caso de que la matriz tenga más filas que columnas podemos abreviar el proceso calculando el rango de su traspuesta. 2 1 7 1 2 0 2 3 Rango - - - = f p 2 2 1 0 7 2 1 3 Rango = - - - d n 19
5. Matriz inversa Propiedades La inversa de la matriz inversa es la matriz original . (A-1)-1 = A La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices cambiando su orden . (A B)-1 = B-1A-1 L a i nv e r s a d e l a t ra spu e st a d e un a ma t r i z e s i gu a l a l a t ra spu e st a d e l a matriz inversa . (At)-1 = (A-1)t E J E M P LO 16. Calcula, si es posible, la matriz inversa de la matriz A 3 4 1 1 =d n. Utilizamos la definición de matriz inversa y realizamos el producto de matrices: A A-1 = I 2 a a a a a a a a a a a a 3 4 1 1 1 0 0 1 3 4 3 4 1 0 0 1 11 21 12 22 11 21 11 21 12 22 12 22 = + + + + = " d d d e d n n n o n Igualamos las matrices, elemento a elemento, y resolvemos el sistema donde las incógnitas son los elementos de la matriz inversa: a a a a a a a a a a a a 3 1 3 0 4 0 4 1 1 4 1 3 11 21 12 22 11 21 12 22 11 21 12 22 + = + = + = + = = - = = = - " 4 La matriz inversa de la matriz A es: A 1 4 1 3 1 = - - - d n 22 Calcula, si es posible, la inversa de estas matrices utilizando la definición. a) 1 2 2 4 d n b) 3 1 5 2 - - d n 23 Comprueba si esta matriz es invertible y halla su inversa. 2 3 0 3 1 1 1 1 0 - f p A C T I V I D A D E S La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es otra matriz A-1 del mismo orden que cumple que: A A-1 = I n A -1A = I n siendo In la matriz identidad de orden n. Las matrices que tienen matriz inversa se llaman matrices regulares o invertibles, y las que no la tienen , matrices singulares. Una matriz A cuadrada de orden n solo tiene inversa si Rango (A) = n. Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa , sin embargo, no todas las matrices cuadradas tienen inversa . D A T E C U E N T A Si una matriz no es cuadrada, no tiene inversa. D A T E C U E N T A Si el sistema no tiene solución, la matriz inicial no tiene matriz inversa. S E E S C R I B E A S Í Una matriz es invertible cuando existe su matriz inversa. ¿Puedes calcular la inversa de la matriz A 1 0 0 0 =d n? P I E N S A 20
Método de Gauss-Jordan 1 24 Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de estas matrices. a) 16 12 2 5 d n b) 3 2 7 5 - - d n 25 Halla, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz: 3 2 0 0 3 1 1 1 1 - f p A C T I V I D A D E S Calcular la matriz inversa con el método de Gauss‑Jordan Calcula, si es posible, la matriz inversa de la matriz A = 1 - 2 4 6 1 3 4 2 2 - - - - f p . primero. Se escriben la matriz A y la matriz identidad del mismo orden que A separadas por una línea. Si a11 = 0, se intercambia la primera fila con alguna fila cuyo primer elemento sea distinto de cero. Como a11 = 2 ! 0, no se intercambian filas. segundo. Se realizan operaciones en todas las filas, menos en la primera, para que el primer elemento de cada una de ellas sea cero. 1 - 2 4 6 1 3 4 2 2 - - - - f 1 0 0 0 1 0 0 0 1p F2 = F2 - 2F1 " F3 = F3 + 3F1 " 2 0 0 1 1 1 2 5 4 - - - f 1 2 3 0 1 0 0 0 1 - p tercero. Se comprueba que a22 ! 0; si no, habría que intercambiar la fila con alguna fila posterior cuyo segundo elemento sea distinto de cero. Se opera para hacer cero el segundo elemento de cada fila, excepto el de la segunda fila. 2 0 0 1 1 1 2 5 4 - - - f 1 2 3 0 1 0 0 0 1 - p F1 = F1 - F2 " F3 = F3 + F2 " 1 - 1 - 2 0 0 0 0 7 5 - f 1 1 3 2 1 1 1 0 0 - - p cuarto. Se repite el mismo proceso para el resto de filas de la matriz inicial. 2 0 0 0 1 0 7 5 1 - - - f 3 2 1 1 1 1 0 0 1 - - p F1 = F1 + 7F3 " F2 = F2 - 5F3 " 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - - f 10 7 1 6 4 1 7 5 1 - - - p quinto. Se divide cada fila entre el elemento que figura en su diagonal. 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - - f 10 7 1 6 4 1 7 5 1 - - - p F F 2 1 1 1 = " F2 = -F2 F3 = -F3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 7 1 3 4 1 2 7 5 1 - - - p f 1 0 0 0 1 5 1 3 1 2 7 1 - - - 0 1 0 7 4 5 p f sexto. Los elementos que figuran a la derecha de la línea forman la inversa de la matriz inicial. 5 3 2 A 7 1 4 1 7 5 1 1 = - - - - f p Las operaciones elementales que se pueden realizar para hallar la matriz inversa son las mismas que para el cálculo del rango de una matriz. Intercambiar entre sí la fila i por la fila j. Fi ) Fj Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ! 0. Fi = aFi Sustituir la fila i o la fila j por la suma de ambas, multiplicadas por números a y b no nulos. Fi = aFi + bFj R E C U E R D A El método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad utilizando transformaciones elementales. Aplicando las mismas transformaciones a la matriz identidad obtenemos la matriz inversa . S E E S C R I B E A S Í Para expresar la matriz inicial y la matriz identidad en el método de Gauss-Jordan se escribe: (A | In) Al utilizar ese método realizamos esta transformación: (A | In) " (In | A-1) 21
6. Ecuaciones matriciales 26 Dadas A y B, calcula la matriz X tal que AX = B. A 1 2 1 1 0 0 1 1 1 = - - f p B 2 1 1 1 1 2 - - =f p 27 Dadas las matrices A y B, resuelve la ecuación XA = B. A 3 2 1 1 1 1 0 1 0 - = - f p B 1 0 2 0 1 1 - =d n. A C T I V I D A D E S Una e cuac ión matr i c i al e s una e cuac ión en l a qu e todo s sus t érmino s s on matr i c e s . Para re s o lv er una e cuac ión matr i c i al hay qu e d e sp e jar l a matr i z incógnita mediante las operaciones con matrices. Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = B Dadas las matrices A 2 0 1 1 = - - d n y B 0 1 2 1 = - - d n , resuelve la ecuación AX = B. primero. Se despeja X multiplicando por A-1 por la izquierda. AX = B " A-1A X = A-1B A-1A = I " I X = A-1B " X = A-1B segundo. Se calcula A-1. 2 1 1 1 0 0 1 0 - - e o F1 = F1 - F2 " 2 0 0 1 1 0 1 1 - - e o F F 2 1 1 1 = " F2 = -F2 - 1 0 2 1 0 2 1 1 - 0 1 f p A-1 = - 2 1 2 1 0 1 - f p tercero. Se resuelve la ecuación. X = A-1B " X = - 2 1 2 1 0 1 - f p ? 0 1 2 1 - - d n = 2 1 2 3 1 1 f p Resolver ecuaciones matriciales del tipo XA = B Dadas las matrices A 1 1 2 0 =d n y B 0 1 2 1 = - - d n , resuelve la ecuación XA = B. primero. Se despeja X multiplicando por A-1 por la derecha. XA = B " X A A-1 = BA-1 A A-1 = I " X I = BA-1 " X = BA-1 segundo. Se calcula A-1. 1 1 0 0 1 1 2 0 e o F2 = F2 - 2F1 " 1 0 0 1 2 1 2 0 - - e o F F 2 1 2 2 = - " 1 1 0 1 1 1 0 2 1 - f p " F1 = F1 - F2 " 1 0 0 1 0 1 2 1 2 1 - f p "A 0 1 2 1 2 1 1 = - - f p tercero. Se resuelve la ecuación. X = BA-1" X = 0 1 2 1 - - d n ? 0 1 2 1 2 1 - f p = 2 1 1 0 - - d n El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa; por tanto, no es lo mismo multiplicar por A-1 por la derecha que por la izquierda. A-1B ! BA-1 R E C U E R D A 22
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