Método de Gauss-Jordan 1 24 Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de estas matrices. a) 16 12 2 5 d n b) 3 2 7 5 - - d n 25 Halla, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz: 3 2 0 0 3 1 1 1 1 - f p A C T I V I D A D E S Calcular la matriz inversa con el método de Gauss‑Jordan Calcula, si es posible, la matriz inversa de la matriz A = 1 - 2 4 6 1 3 4 2 2 - - - - f p . primero. Se escriben la matriz A y la matriz identidad del mismo orden que A separadas por una línea. Si a11 = 0, se intercambia la primera fila con alguna fila cuyo primer elemento sea distinto de cero. Como a11 = 2 ! 0, no se intercambian filas. segundo. Se realizan operaciones en todas las filas, menos en la primera, para que el primer elemento de cada una de ellas sea cero. 1 - 2 4 6 1 3 4 2 2 - - - - f 1 0 0 0 1 0 0 0 1p F2 = F2 - 2F1 " F3 = F3 + 3F1 " 2 0 0 1 1 1 2 5 4 - - - f 1 2 3 0 1 0 0 0 1 - p tercero. Se comprueba que a22 ! 0; si no, habría que intercambiar la fila con alguna fila posterior cuyo segundo elemento sea distinto de cero. Se opera para hacer cero el segundo elemento de cada fila, excepto el de la segunda fila. 2 0 0 1 1 1 2 5 4 - - - f 1 2 3 0 1 0 0 0 1 - p F1 = F1 - F2 " F3 = F3 + F2 " 1 - 1 - 2 0 0 0 0 7 5 - f 1 1 3 2 1 1 1 0 0 - - p cuarto. Se repite el mismo proceso para el resto de filas de la matriz inicial. 2 0 0 0 1 0 7 5 1 - - - f 3 2 1 1 1 1 0 0 1 - - p F1 = F1 + 7F3 " F2 = F2 - 5F3 " 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - - f 10 7 1 6 4 1 7 5 1 - - - p quinto. Se divide cada fila entre el elemento que figura en su diagonal. 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - - f 10 7 1 6 4 1 7 5 1 - - - p F F 2 1 1 1 = " F2 = -F2 F3 = -F3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 7 1 3 4 1 2 7 5 1 - - - p f 1 0 0 0 1 5 1 3 1 2 7 1 - - - 0 1 0 7 4 5 p f sexto. Los elementos que figuran a la derecha de la línea forman la inversa de la matriz inicial. 5 3 2 A 7 1 4 1 7 5 1 1 = - - - - f p Las operaciones elementales que se pueden realizar para hallar la matriz inversa son las mismas que para el cálculo del rango de una matriz. Intercambiar entre sí la fila i por la fila j. Fi ) Fj Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ! 0. Fi = aFi Sustituir la fila i o la fila j por la suma de ambas, multiplicadas por números a y b no nulos. Fi = aFi + bFj R E C U E R D A El método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad utilizando transformaciones elementales. Aplicando las mismas transformaciones a la matriz identidad obtenemos la matriz inversa . S E E S C R I B E A S Í Para expresar la matriz inicial y la matriz identidad en el método de Gauss-Jordan se escribe: (A | In) Al utilizar ese método realizamos esta transformación: (A | In) " (In | A-1) 21
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