1 Operaciones con matrices Calcular la potencia de una matriz Operaciones con matrices Sea una matriz M de dos filas y dos columnas tal que verifica que M2 = M, comprueba razonadamente que la matriz P = I - M cumple la relación P 2 = P. primero. Se desarrollan las operaciones que se indican en la igualdad. P2 = (I - M)2 = (I - M) ? (I - M) = I 2 - I M - M I + M 2 = I - 2M + M 2 segundo. Se imponen las condiciones del enunciado al resultado. M 2 = M " P2 = I - 2M + M 2 = I- 2M + M = I - M = P PRACTICA 33. Sea una matriz M de dos filas y dos columnas tal que verifica que M 2 = M, comprueba razonadamente que la matriz P = I - M cumple la relación PM = MP = 0, siendo 0 la matriz nula de orden 2. Comprobar propiedades de algunas matrices ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A A A A A A A A A A A A A A A A l A A A A A A A A A A A A A l A A l A l A A4 3 2 2 2 2 3 5 4 6 5 3 7 6 8 7 9 8 g = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Calcula A101. A 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 = - - - f p primero. Se calculan A2, A3, A4… ? ? A A A 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 2 - = = - - - - - - = - - f f f p p p ? ? A I A A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 3 2 - = = = = - - - - - f f f p p p segundo. Se deduce una regla general en la que se pueda relacionar el exponente con los elementos de la matriz. Si el exponente es múltiplo de 3 " A3n = I. Si el exponente es de la forma 3n + 1 " A3n + 1 = A. Si el exponente es de la forma 3n + 2 " A3n + 2 = A2. tercero. Se aplica la regla general para calcular la potencia pedida. Como 101 = 3 ? 33 + 2, es decir, es de la forma 3n + 2: ? ? A A I A A A 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 ? 3 33 2 2 101 2 = = = = - - - f p PRACTICA 32. Dada la matriz A 1 0 0 1 1 0 1 0 1 =f p , calcula A101. G E O G E B R A 25
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