57 Determina el valor de t para el que se cumple: ? t 3 2 1 4 1 2 1 3 4 8 4 5 2 - + - = - d d d n n n 58 Calcula el valor de x para el que se verifica: ? x x x x x 1 1 0 1 2 0 1 1 8 2 2 5 1 - - - = - - d d d n n n 59 Halla un número real m ! 0 y todas las matrices B de dimensión 2 # 2 distintas de la matriz nula que cumple: ? ? B B 3 0 1 3 9 0 3 m = d d n n 60 Determina todas las matrices A de orden 2 antisimétricas que verifiquen la condición A4 = 16 ? I. 61 R E T O . Si A y B son dos matrices cuadradas de orden 3 y A es una matriz diagonal, ¿podemos asegurar que A y B cumplen la propiedad conmutativa para el producto? ¿Cómo debería ser A para que conmutasen? 62 Dada la matriz A 1 2 1 1 =d n, calcula las matrices B tales que AB = BAt. 63 Halla todas las matrices M de la forma a b b a d n que cumplen: M 2 - 2M = 3l, donde I es la matriz identidad. 64 M AT E M ÁT I C A S Y. . . V I D E O J U E G O S . En el espacio tridimensional, la posición y los giros quedan determinados por los cuaterniones, que son una extensión de los números complejos y son todos de la forma: a ? l + b ? A + c ? B + d ? C donde a, b, c y d son números reales y A, B, C e I son matrices cuadradas 2 # 2. l = 1 0 0 1 d n , A = i i 0 0 - d n ; B = 0 1 1 0 - d n y C = i i 0 0 d n con i 1 = -. a) Comprueba que las matrices i, j y k cumplen que su cuadrado es el opuesto de la matriz identidad. b) Halla el producto ABC. 65 Sea la matriz A a 0 0 1 0 0 1 0 2 = - - f p , halla el valor o valores de a para que se cumpla: A2 + 2 A + I = 0, con I la matriz identidad y 0 la matriz nula, ambas de orden 3. 66 Comprueba que se verifica la propiedad (AB)t = BtAt para estas matrices. A 1 3 1 0 2 5 = - - d n B 2 3 0 1 2 1 1 0 1 = - - - f p 67 Dada la matriz A 17 10 29 17 = - - d n , calcula los valores de m y n para los que se cumple que (I + A)3 = mI + nA, donde I es la matriz identidad. 68 Encuentra los valores de a y b que verifican la ecuación A2 + a ? A + b ? I = 0, sabiendo que I es la matriz identidad de orden 2 y que A 2 1 1 2 =d n. 69 El producto de A y B, ¿cumple la propiedad conmutativa? A 1 1 2 1 1 2 1 1 2 = - - f p B 1 1 1 1 1 1 0 1 0 = - - - f p 70 Considera las siguientes matrices. A 2 1 1 1 0 1 0 1 0 = - - f p B 1 3 2 2 0 1 0 1 1 = - f p ¿Qué deberían cumplir A y B para que (A + B)2 = A2 + B2 + 2 ? A ? B? Razona la respuesta. 71 Determina todas las matrices A antisimétricas que cumplan que A2 = B, donde B es la siguiente matriz. B 5 6 3 6 10 2 3 2 13 = - - - - - - - f p 72 Encuentra todas las matrices posibles de la forma a c b d 0 0 0 0 1 f p que conmuten con la matriz 5 2 0 2 5 0 0 0 1 f p. De entre ellas, determina aquella cuya suma de los elementos de la diagonal principal sea 5 y a11 = -a12. 73 I N V E S T I G A . Encuentra las matrices X m a s 0 0 1 0 0 0 =f p que verifican que X 2 = I, donde I es la matriz identidad. 74 Sea la matriz A 1 2 0 1 =d n . Calcula A41. 75 I N V E S T I G A . Dada la matriz A 1 0 1 1 = - d n, obtén la matriz Tn = I + A + A2 + … + An. 76 De una matriz A sabemos que verifica la condición A2 = 2 A - I, donde I es la matriz identidad. Determina la expresión general de la potencia n-ésima de la matriz A. 77 Demuestra que las matrices A 1 1 1 1 =d n y B 1 1 1 1 = - - d n son conmutables y calcula An y Bn. 78 Dada la matriz A 1 1 0 1 =d n, realiza lo siguiente. a) Halla todas las matrices B que conmuten con A. b) Calcula la potencia n-ésima de A. 79 I N V E S T I G A . Sea la matriz A 0 0 1 1 0 0 0 1 0 =f p. Encuentra An para cualquier número natural n. 1 29
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