a c t i v i da d e s f i n a l e s 80 Dada la matriz A 1 0 3 2 =d n , calcula todas las matrices que conmutan con A. Después, halla A4, An. 81 Sea la matriz A a 1 0 1 =d n , halla An para cada número natural n y calcula A22 - 12 A2 + 2 A. 82 I N V E S T I G A . Dada la matriz A 1 1 1 2 = - d n , determina: a) Las constantes m y n tales que A2 = mA + nI, donde I es la matriz identidad. b) A5, utilizando solo la expresión del apartado anterior, y sin calcular A3 ni A4. 83 Se dice que una matriz cuadrada es idempotente cuando se cumple que su cuadrado es igual a ella misma, es decir, cuando A2 = A. a) Escribe algún ejemplo de matriz cuadrada de orden 3, distinta de la matriz unidad y de la matriz nula, que sea idempotente. b) Calcula el valor de m para que la matriz A m 4 2 3 = - d n sea idempotente. c) Encuentra todas las matrices del tipo n m 1 0 d n que sean idempotentes. 84 Dada una matriz cuadrada A, se define su traza, Tr (A), como la suma de los elementos de su diagonal principal. a) Demuestra que para dos matrices cuadradas cualesquiera A y B se verifica que Tr (A ? B) = Tr (B ? A). b) Aplica el resultado anterior para calcular a, sabiendo que las matrices A y B son cuadradas y que AB 7 5 5 15 =d n y BA a 2 8 1 = - d n . 85 Una matriz cuadrada es nilpotente cuando alguna de sus potencias es la matriz nula. En el caso de que n sea el menor entero positivo tal que An = 0, se dice que A es nilpotente de grado n. a) Demuestra que la siguiente matriz es nilpotente de grado 3. A 1 5 2 1 2 1 3 6 3 = - - - f p Es decir, A2 ! 0 y A3 = 0. b) Encuentra todas las matrices B b a 0 0 =d n nilpotentes de grado 2. 2. Determina el rango de una matriz 86 Calcula el rango de estas matrices. a) A 2 0 0 2 =d n c) C 1 0 0 0 =d n b) B 1 1 2 2 =d n d) D 0 2 1 0 =d n A C T I V I D A D E S F L A S H I N T E R N E T I N T E R N E T I N T E R N E T 87 Calcula el rango. a) A 1 2 5 1 = - d n b) B 9 6 6 4 =d n c) C 1 0 1 0 1 1 1 0 0 =f p c) D 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 =f p 88 I N V E N TA . Escribe estas matrices: a) De dimensión 2 × 3 y rango 2. b) De dimensión 3 × 3 y rango 1. c) De dimensión 4 × 3 y rango 2. 89 Calcula el rango de esta matriz. A 1 4 3 5 2 5 1 3 4 6 2 6 5 7 3 7 = - - - - - - - f p 90 Sabiendo que el rango de la siguiente matriz es 2, determina el valor de a. A = a 1 7 11 0 2 4 1 1 - - - f p 91 Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro m. A m 3 1 1 1 2 1 0 6 = - f p 92 Sea la matriz M a a a a a a a a a 3 5 7 4 6 8 = + + + + + + f p. Discute su rango en función del parámetro a. 93 Calcula el rango de la siguiente matriz en función del parámetro m. A m 2 4 6 1 2 3 2 1 1 2 3 4 8 = - - - - - f p 94 I N V E S T I G A . Considera la matriz A 1 0 0 1 1 0 1 1 1 =f p. a) Calcula el rango de la matriz An. b) ¿Depende el rango de n? 95 Calcula el rango de A según los distintos valores del parámetro real a. A a a 2 1 5 0 0 4 1 4 2 3 3 = - + - - - f p 30
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