a c t i v i da d e s f i n a l e s 112 Determina, si existe, una matriz A que verifique: ? ? A 1 0 1 3 1 2 2 0 0 2 2 0 - - = d d d n n n 113 Dadas las matrices A y B determina una matriz X que verifique la condición A - A2 = AB - X. A 1 0 1 0 0 0 1 0 1 =f p B 0 1 0 1 1 1 0 1 0 =f p 114 Considera las matrices. A 2 1 3 0 1 2 0 0 1 = - - - f p B 8 0 0 2 1 0 6 5 6 = - - f p Calcula la matriz X que verifica la ecuación AX = B. 115 Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica XA2 + BA = A2, siendo: A 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = - - - f p B 0 0 2 0 2 0 2 0 0 = - - - f p 116 Sea la matriz A m 1 5 4 2 2 3 1 1 = - - f p . a) Determina los valores de m para los que la ecuación AX - At = A tiene solución. b) Resuelve la ecuación AX - At = A para m = 0. 117 Dadas A 1 0 3 2 =d n y B 4 3 2 3 2 3 = - - - d n , calcula una matriz X que verifique la ecuación X + XA = Bt. 118 Dada la matriz A 7 1 1 0 = - d n , calcula su inversa y resuelve la ecuación AXA = A2 + A. 119 I N V E N TA . Escribe dos posibles valores de las matrices X e Y para que se cumplan las ecuaciones. a) X Y 1 3 1 1 + = - d n b) X Y 3 3 7 5 9 + =d n 120 Resuelve los siguientes sistemas matriciales. a) X Y 2 2 0 1 3 1 3 4 0 + = - X Y - = d d n n4 b) X Y 3 5 2 1 3 4 3 5 6 + = - - - X Y 2 - = d d n n4 121 Sean A, B y C las siguientes matrices. A 1 1 2 0 = - d n B 1 2 4 1 = - - - d n C 6 2 7 5 = - - d n Calcula las matrices X e Y que verifican este sistema de ecuaciones matriciales. AX BY C AX Y + = = 2 122 R E T O . Encuentra las matrices A y B. A B 2 2 1 1 0 0 0 0 2 + = - f p A AB BA B 2 0 2 0 2 1 0 0 0 2 2 - + - = - - f p 123 Sean las matrices m m A 1 2 = - e o y B 1 3 2 0 1 2 = - - d n. a) Calcula el valor de n para el que A A 6 1 1 = - . b) Para n = -3, resuelve la ecuación AtX = B. 124 Sea la matriz A 0 0 1 1 0 0 0 1 0 =f p. a) Halla su inversa. b) Calcula An. c) Halla la matriz X que verifica la ecuación ( ) X A A A 4 1 3 1 2 1 4 2 + - =d n . 5. U tiliza el lenguaje matricial para representar datos y resolver problemas 125 El latón es una aleación de cobre y cinc. LATONES, S. L., produce latón de tres tipos: A, con un 30 % de cinc; B, con un 40 %; y C, con un 50 %. El proveedor M vende cobre a 6,50 €/kg y cinc a 1,50 €/kg; y N vende cobre a 6,70 €/kg y cinc a 1,10 €/kg. Para producir 100 t de latón A, 550 t de B y 50 t de C, ¿a qué proveedor debe comprar? 126 M AT E M ÁT I C A S Y. . . L O G Í S T I C A . Cuando se planean rutas de reparto o transporte de viajeros, los destinos de parada y los caminos entre ellos se pueden representar con matrices, donde el elemento aij de la matriz representa el número de rutas que van directamente desde i hasta j. La matriz que representa esta situación es M 0 0 1 1 1 1 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 =f p a23 = 2 dice que hay dos caminos para ir de B a C. La matriz M2 da el número de caminos con 2 aristas desde un punto a otro, M3 los caminos con 3 aristas y así sucesivamente. a) Halla M 2 y M 3. b) ¿Cuántos caminos hay entre C a D con 3 aristas? C B D A 32
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