S E R I E P R Á C T I C A C iclos For m at iv os de G rado B á s ico Á M B I T O D E C I E N C I A S A P L I C A DA S Este libro es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones de Santillana, bajo la dirección de Teresa Grence Ruiz. En su elaboración han participado: Azucena Zapata Rodríguez Rocío Pichardo Gómez Jorge Barrio Luna Edición ejecutiva Manuel Sequeiros Murciano Dirección del proyecto Mercedes Rubio Cordovés Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos para que el alumnado los traslade a su cuaderno. Matemáticas Aplicadas 2
© 2023, Sanoma Educación, S. L. U. Santillana es una marca registrada directa o indirectamente por Grupo Santillana Educación Global, S. L. U., licenciada a Sanoma Educación, S. L. U. Ronda de Europa, 5 28760 Tres Cantos, Madrid Printed in Spain CP: 338909
< 3 > Presentación de la unidad Esta pág i na te ay uda rá a fami l ia r iza r te con el tema desa r rol lado en la u n idad a t ravés de u n texto introductorio y preguntas q ue desper ta rá n t u cu r iosidad y te a n i ma rá n a ref lex iona r. En el la encont ra rás, también, u n suma r io con los sa beres y ha bi l idades q ue vas a adq u i r i r. Matemáticas en tu vida En la pág i na f i na l, Matemáticas en tu vida, se explora de forma práct ica la relación de las matemát icas con d i ferentes aspectos de la rea l idad. Página de repaso En la sección Compr ueba lo que sabes pod rás apl ica r las ha bi l idades, conceptos, conoci mientos y proced i mientos expl icados en la u n idad a t ravés de d iversos ejercicios. Estructura de la unidad Páginas de teoría y actividades En las pág i nas sig u ientes se desa r rol la n los saberes básicos de cada u n idad a t ravés de expl icaciones senci l las, apoyadas en numerosos ejemplos y técn icas q ue te ay uda rá n en t u t ra bajo con las matemát icas. Además, todos los epíg ra fes va n seg u idos de numerosas actividades, esencia les pa ra q ue pract iq ues lo aprend ido. En cada u n idad se i ncluye u n ejercicio de cá lcu lo menta l. UNIDAD 1 EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS: Expresiones algebraicas. Monomios y operaciones con monomios. Polinomios y operaciones con polinomios. NOS HACEMOS PREGUNTAS ¿Cómo se escribe en lenguaje algebraico el doble de un número? ¿Cómo escribiría que tengo el doble de tu edad más diez años? Polinomios Esta unidad trata del lenguaje matemático. Es un lenguaje que consiste en la combinación de números, signos y letras que nos dan información sobre multitud de cuestiones del día a día, por ejemplo: cuánto debemos ahorrar para comprar un móvil o los costes de una mensajería según las franjas horarias. ES0000000119127 123147_Unidad_01_136410.indd 15 08/03/2023 11:42:26 > Suma, resta y producto de monomios Solo podemos sumar o restar monomios si estos son semejantes. Para ello se suman los coef icientes y se conser va la par te literal. 5x 3y + 2x 3y = (5 + 2)x 3y = 7x 3y 3abc + 4abc - 5abc = (3 + 4 - 5)abc = 2abc 7x 2 - 5x 2 + 2x 2 = (7 - 5 + 2)x 2 = 4x 2 Si los monomios no son semejantes, la operación se deja indicada. 2x 2 - 3x + 4x 2 = 6x 2 - 3x 6yz 2 + 4 - 4yz 2 - 2 = 2yz 2 + 2 3x 2 - 2y2 + 4 - x 2 + 3y 2 = 2x 2 + y 2 + 4 Para multiplicar monomios, se multiplican los coef icientes y las par tes literales. 3ac × 2am = 6a 2cm -4x 2za × 2xz 2 = -8x 3z 3a 3 × 5xv 2 = 15xv 2 2bx 5f × (-3)b 2f 2 = -6b 3x 5f 3 3. Polinomios y operaciones con polinomios Un polinomio es la suma de varios monomios, que reciben el nombre de términos del polinomio. Un polinomio de dos términos se llama binomio, y uno de tres, trinomio. El máximo grado de los monomios que lo componen es el grado del polinomio. F F F F F F F 2hy 4 - 3y2 + 4h -5 Términos Coeficientes Término independiente 2hy4 ® grado = 4 + 1 = 5 El término de grado 0 es el término independiente. >>> Ejemplo 5x 5 - 2x 3 + x - 4 En este polinomio no hay término de grado 4 ni de grado 2. Esto es porque sus coef icientes son 0: 5x 5 + 0x 4 - 2x 3 + 0x 2 + x - 4 El grado del polinomio es 5, ya que es el grado del monomio 5x 2. El valor numér ico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir la incógnita por un número conocido. El valor de 2x 3 - 4x 2 + x - 3 para x = 2 es: 2 × 23 - 4 × 22 + 2 - 3 = 16 - 16 + 2 - 3 = -1 El valor de 4y 3 - 6y 2 + y - 5 para y = 1 es: 4 × 13 - 6 × 12 + 1 - 5 = 4 - 6 + 1 - 5 = -6 CÁLCULO MENTAL Susana está haciendo el inventario de la ferretería en la que trabaja y tiene prisa. Ya ha localizado y clasificado las herramientas, pero ahora debe sumar: Alicates: 15 + 85 + 2 + 8 Destornilladores: 13 + 10 + 5 + 5 Martillos: 25 + 15 + 5 + 11 ¿La ayudas? < 18 > ES0000000119127 123147_Unidad_01_136410.indd 18 08/03/2023 11:45:35 ACTIVIDADES 6 Suma o multiplica los siguientes monomios. a) 4x2 - x2 + 3x2 b) -4y3 + y2 + 5y3 c) 8a3b2c × 1 2 ac d) 4x2y3z × 1 2 xz e) (-1) × (-x3 + x2 - 5) f ) 6 × 2pq4 × p3 g) 4xy2 - 2xy + 7xy h) 7abc - abc + 2abc i) 3 × (-2m2n + 4m2n) j) 4xy2 - 2xy2 + 7xy k) 7z2b - 3 2 z2b + 1 2 z2b l) 3x2 × 2y × 1 3 y 7 Efectúa estas operaciones con monomios. a) 2y2m - 3y2m + 6y2m - 4y2m b) 3 4 a3z × 8 3 az × 2a4z c) -2 × (-5x6 + 7x6 + 2x6 - x6) d) 5x2 × 3xy × 2x - 6x3 × 3x × 2y e) -3x × (2xk - 8xk + 7xk) f ) (6ac3) × (-2a2c3) × (-3ac) × (-4a3c2) g) 7x × (2xy) × (-3xy5) × (xy) h) 5xz - 3xz + 15xz - 11xz + 8xz - 3xz i) -3x × (2xk - 8xk + 7xk) j) ( 3 5 yz4 + 2 5 yz4) × 3y3 k) 4 × 5k2 + 2 × 3k2 - 15k2 l) - 1 2 (a3b - 6a3b + 4a3b) m) 2 3 (a2c - 4a3c + 1 6 a × (-2 3 ac) n) 5xy3 - 2xy3 + 7xy3 - 3xy3 o) 3abc + 6abc - 9abc - 4abc p) 8xy + 7xy - xy + 3xy - xy 8 Completa la información de esta tabla. Polinomio Términos Coeficientes Grado Término independiente 2xy + 5x 5 - 3x 2 4h5 + 5x 3 6x 3 + 2x2 + 5x - 3 8 + 6x 3 + 2y 5 43x 6 9 Ordena estos polinomios e indica si falta algún término. a) 6x5 + 2x4 + 6x3 - 2 b) 5y8 - 2y9 + 3y2 - 3y3 c) 2x5 + 3x4 + x3 - 5 + 2x2 d) 6x3 + 2x2 - 3x 10 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios. a) 3x2 + 5x, para x = 2 b) 6y3 - 2y, para y = 3 c) 6h - 4, para h = 5 d) 6z2 + 3z + 2, para z = 4 < 19 > Matemáticas >> UNIDAD 1 ES0000000119127 123147_Unidad_01_136410.indd 19 08/03/2023 11:45:59 COMPRUEBA LO QUE SABES 1 Representa las siguientes situaciones mediante expresiones algebraicas. a) La edad de una persona hace 6 años. b) La suma de un número impar más su mitad. c) Un número de dos cifras. d) Longitud de un circuito rectangular de lados x e y. 2 Miguel trabaja en una carpintería barnizando muebles. Le pagan 5 € por cada silla y 12 € por cada armario barnizados. a) Escribe una expresión que represente lo que cobrará en un día. b) Ayer barnizó cinco sillas y dos armarios. ¿Cuánto le pagaron? 3 Realiza las operaciones con monomios. Identifica los elementos de los monomios resultantes. a) 3axb2 - 2axb2 + 4axb2 b) 4x5y × 3bxy × 2b2xy c) a5b2 + 6a5b2 - 2 × (a5b2 + 3a5b2) d) (2xz4 + 3xz4) × (xyz - 4xyz + 2xyz) 4 Realiza las operaciones que se indican con los siguientes polinomios. A(x) = 2x4 - 3x2 + 5x - 1 B(x) = x + 5 C(x) = -x2 + 4x - 6 D(x) = x2 - x a) 2A(x) - C(x) b) 3 × B(x) × D(x) c) B(x) × C(x) - A(x) d) A(x) : D(x) e) C(x) : B(x) f ) A(x) - 5 × B(x) - 3 × C(x) g) B(x) × C(x) × D(x) h) A(x) × [C(x) + D(x)] 5 Utiliza las identidades notables para completar los huecos. a) (2x - 9)2 = 4x2 - + 81 b) (3x - 2) × (3x + 2) = - 4 c) (5 + x2)2 = + x4 d) 9x6 - 16 = e) x2 + 10x + 25 = (x + )2 f ) (-x - 4)2 = + 16 6 Efectúa las siguientes divisiones empleando la regla de Ruffini. a) (3x3 - 5x2 + 3x - 2) : (x - 3) b) (-4x4 - 16x3 - 2x + 1) : (x + 4) c) (5x5 - 8x2 + x - 3) : (x - 1) d) (5x2 - 2) : (x + 1) e) (x4 + 5x3 - 2x - 2) : (x + 6) f ) (x6 - 24x4 - 25x2 + 2x - 8) : (x - 5) 7 Comprueba si los números son raíces de los polinomios que se indican. a) x = 3 y x = 2 de A(x) = x2 - 5x + 6 b) x = -1 y x = 3 de B(x) = x2 - 3x - 4 c) x = 2 y x = 1 de C(x) = x3 - 4x2 + x + 6 d) x = 6 y x = -2 de D(x) = x2 - 4x - 12 < 25 > Matemáticas >> UNIDAD 1 ES0000000119127 123147_Unidad_01_136410.indd 25 08/03/2023 11:46:49 Organizar con matemáticas Ricardo trabaja en el almacén de repuestos de una fábrica. Cada jueves, el depar tamento de compras de la empresa le entrega la solicitud de aquellos repuestos que han reducido su stock mínimo para el consumo en la fábrica. PONTE A PRUEBA 1 En el pedido de esta semana hay: El doble de rodamientos que de tornillos más 200. La cuarta parte de tuercas que de rodamientos. La mitad de clavos que de tuercas menos 30. a) Si el número de tornillos es x, ¿cómo expresarías la cantidad pedida de cada repuesto? b) Le han solicitado 1.500 tornillos. ¿Cuántas unidades de los otros repuestos tiene que pedir? c) ¿Cuántos repuestos debe pedir en total? 2 A final de mes, Ricardo tiene que hacer inventario del almacén. Hoy se dedica a las herramientas. En el almacén tiene que haber: Alicates: las dos terceras partes de llaves inglesas más 150. Destornilladores de estrella: el triple de destornilladores de pala menos 80. La diferencia entre el número de martillos y dos veces el número de sierras debe ser 25. Representa con una incógnita cada herramienta y expresa las cantidades necesarias utilizando expresiones algebraicas. Al contar las herramientas del almacén, ve que hay 180 llaves inglesas, 130 destornilladores de estrella y 10 sierras. ¿Cuántas unidades tiene que haber de cada una de las otras herramientas? MATEMÁTICAS EN TU VIDA HACER UN PRESUPUESTO Para llevar una buena economía y no gastar más de lo que se ingresa, e incluso ahorrar, es muy útil elaborar un presupuesto. El presupuesto más práctico es el mensual, puesto que el salario se suele cobrar cada mes. Hay una regla que nos puede ayudar a calibrar las partidas del presupuesto: es la regla 50/30/20. El 100 % es el salario, el 50 % son los gastos fijos imprescindibles, el 30 % representan los gastos de ocio o prescindibles y el 20 % se dedica a las deudas o el ahorro. Ahorros o deudas 20 % Lo que quiere 30 % Lo que necesita 50 % Para confeccionar correctamente tu presupuesto debes responder a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles son tus ingresos? 2. ¿Qué gastos fijos tienes y cuál es la cuantía de cada uno? 3. ¿Qué gastos variables sueles tener y cuánto te gastas en ellos? 4. ¿Qué metas de ahorro te propones? 5. ¿De qué gastos puedes prescindir? Contestando a estas preguntas, calcula las cantidades de tu 50/30/20 y verás como consigues ahorrar. ¡Suerte! SOLICITUD DE PEDIDOS < 26 > ES0000000119127 123147_Unidad_01_136410.indd 26 08/03/2023 11:47:19
< 4 > REPASO. Conocimientos previos 7 UNIDAD 1. Polinomios 15 1. Expresiones algebraicas 16 2. Monomios y operaciones con monomios 16 3. Polinomios y operaciones con polinomios 18 Matemáticas en tu vida. Organizar con matemáticas 26 UNIDAD 2. Ecuaciones y sistemas 1127 1. Igualdad, identidad y ecuación 28 2. Ecuaciones de primer grado 28 3. Ecuaciones de segundo grado 30 4. Sistemas de ecuaciones 32 5. Problemas con ecuaciones y sistemas 35 Matemáticas en tu vida. Consumo responsable con las matemáticas 38 UNIDAD 3. Concepto de función y representación 39 1. Tablas y gráficas 40 2. Funciones 42 Matemáticas en tu vida. Funciones en el laboratorio 48 UNIDAD 4. Funciones elementales 49 1. La función afín 50 2. La función cuadrática 54 3. La función de proporcionalidad inversa 56 4. La función exponencial 56 5. Funciones definidas a trozos 58 Matemáticas en tu vida. Las funciones y la seguridad de las centrales nucleares 60 UNIDAD 5. Figuras planas 61 1. Puntos y rectas 62 2. Ángulos. Medida de ángulos 62 3. Polígonos 64 4. Triángulos 68 5. Figuras circulares 70 6. Perímetros 72 7. Áreas 72 Matemáticas en tu vida. El teorema de Pitágoras en topografía 76 UNIDAD 6. Semejanza 77 1. Figuras semejantes 78 2. Teorema de Tales 78 3. Aplicaciones del teorema de Tales 80 4. Triángulos semejantes 80 5. La semejanza en triángulos rectángulos 82 6. Polígonos semejantes 84 7. Perímetro y área de figuras semejantes 84 8. Escalas 86 Matemáticas en tu vida. Buen ambiente gracias a las matemáticas 88 UNIDAD 7. Cuerpos geométricos 89 1. Poliedros 90 2. Prismas y pirámides 92 3. Cuerpos de revolución 94 4. Cálculo de áreas 96 5. Cálculo de volúmenes 98 Matemáticas en tu vida. El arte de las matemáticas en el arte 102 Índice
< 5 > UNIDAD 8. Probabilidad 103 1. Experimentos aleatorios 104 2. Sucesos. Tipos de sucesos 104 3. Probabilidad y sus propiedades 108 4. Experimentos compuestos y probabilidad 111 Matemáticas en tu vida. Predecir el tiempo con las matemáticas 114 UNIDAD 9. Estadística 115 1. Población y muestra. Muestreo y variables 116 2. Tablas de frecuencias 118 3. Gráficos estadísticos 120 4. Medidas de centralización y de posición 122 5. Medidas de dispersión 124 6. Estudios estadísticos con hojas de cálculo 125 Matemáticas en tu vida. Estadística psicológica 128
UNIDAD 1 EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS: Expresiones algebraicas. Monomios y operaciones con monomios. Polinomios y operaciones con polinomios. NOS HACEMOS PREGUNTAS ¿Cómo se escribe en lenguaje algebraico el doble de un número? ¿Cómo escribiría que tengo el doble de tu edad más diez años? Polinomios Esta unidad trata del lenguaje matemático. Es un lenguaje que consiste en la combinación de números, signos y letras que nos dan información sobre multitud de cuestiones del día a día, por ejemplo: cuánto debemos ahorrar para comprar un móvil o los costes de una mensajería según las franjas horarias.
1. Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una operación con números y letras, llamadas incógnitas o var iables. Las incógnitas están siempre elevadas a un exponente. Cuando dicho exponente es 1, no hace falta ponerlo. En una expresión algebraica, cada uno de los sumandos recibe el nombre de término, y los números que multiplican las incógnitas son los coeficientes. Si conocemos el valor de las incógnitas y lo sustituimos en la expresión algebraica, obtenemos su valor numér ico. >>> Ejemplos Analizamos estas expresiones algebraicas. a) 3xy - 2z ® Las incógnitas son x, y, z. Los términos son 3xy, -2 . Los coef icientes son 3, -2. b) 2bc 2 + 5k - 1 ® Las incógnitas son b, c, k. Los términos son 2bc 2, 5k, -1. Los coef icientes son 2, 5, -1. Obtenemos el valor numér ico. 4x - 2y x y = = → 2 3 4 × 2 - 2 × 3 = 2 3bc 2 - 4c b c = = → 1 2 3 × 1 × 22 - 4 × 2 = 12 - 8 = 4 2. Monomios y operaciones con monomios Cada uno de los términos de una expresión algebraica es un monomio. Un monomio es el producto de un coef iciente por una o más incógnitas elevadas a un número natural. La suma de los exponentes de las incógnitas se llama grado del monomio. Cuando las par tes literales (incógnitas) de dos monomios son iguales, estos monomios son semejantes. >>> Ejemplos 15k 3m es un monomio con estas caracter ísticas. 15 ® Coef iciente k 3m ® Par te literal k, m ® Incógnitas 3 + 1 = 4 ® Grado Identificamos las siguientes expresiones. 3c 5h - 4x no es un monomio, porque tiene dos términos. 9yk -2 no es un monomio, ya que el exponente −2 no es un número natural. 3x 3t y - 4 5 3 x t son monomios semejantes, porque tienen la misma par te literal. 11z 4y 3 y 11z 3y 4 no son monomios semejantes, porque no tienen la misma par te literal. Cuando las incógnitas no están multiplicadas por un número, su coeficiente es 1. Los coeficientes son números positivos o negativos, y multiplican la parte literal del monomio. < 16 >
ACTIVIDADES 1 Identifica los elementos de estas tres expresiones algebraicas. Expresión Incógnitas Términos Coeficientes 7y z 2 + 4x - 5 4x - 2y 2bc 2 + 5k - 1 4h 3 + 5z 4 2 Representa las siguientes situaciones por medio de expresiones algebraicas. a) El precio de x libros a 10 € cada uno. b) El número de ruedas de x bicicletas e y coches. c) La diferencia entre el doble de un número y su mitad. d) El peso de la cuarta parte de un pastel de n gramos. e) El número total de patas de x conejos. f ) La edad de una señora que es la cuarta parte de la mía (h) más 30. g) El número de ruedas de x patinetes. h) El número de orejas y rabos de un número y de caballos. 3 Completa la siguiente tabla. Monomio Incógnitas Partes literales Coeficientes Grados 6a2zh3 -5mt 6 2bc 2 4 Identifica los monomios semejantes. a) 2ap2q; -3ap2q b) 4x 4y 2z; 1 3 y 2zx 4 c) -7bv 3c; 6bvc d) 2 5 d 5tx; 2 5 d 5x e) 1 5 x 6; 2x 5 f ) -8aj 4; -8a4j g) 6x2y 3z; -6x 2y 3z h) 1 4 h3y 2; 1 4 h3y 5 i) - 2 3 z 5h4; - 3 2 z 5h4 5 Escribe monomios que cumplan las condiciones que se indican en cada caso. a) Que sea semejante a 6az3b. b) Con el mismo grado que 2xm2c3 pero distintas incógnitas. c) Que tenga las mismas incógnitas que -4zpf y grado 6. d) Con dos incógnitas y grado 5. e) Que no sea semejante a 2xyz. f ) Dos monomios con el mismo grado y diferentes incógnitas. g) Un monomio con tres incógnitas y grado 4. h) Tres monomios semejantes. < 17 > Matemáticas >> UNIDAD 1
> Suma, resta y producto de monomios Solo podemos sumar o restar monomios si estos son semejantes. Para ello se suman los coef icientes y se conser va la par te literal. 5x 3y + 2x 3y = (5 + 2)x 3y = 7x 3y 3abc + 4abc - 5abc = (3 + 4 - 5)abc = 2abc 7x 2 - 5x 2 + 2x 2 = (7 - 5 + 2)x 2 = 4x 2 Si los monomios no son semejantes, la operación se deja indicada. 2x 2 - 3x + 4x 2 = 6x 2 - 3x 6yz 2 + 4 - 4yz 2 - 2 = 2yz 2 + 2 3x 2 - 2y2 + 4 - x 2 + 3y 2 = 2x 2 + y 2 + 4 Para multiplicar monomios, se multiplican los coef icientes y las par tes literales. 3ac × 2am = 6a 2cm -4x 2za × 2xz 2 = -8x 3z 3a 3 × 5xv 2 = 15xv 2 2bx 5f × (-3)b 2f 2 = -6b 3x 5f 3 3. Polinomios y operaciones con polinomios Un polinomio es la suma de varios monomios, que reciben el nombre de términos del polinomio. Un polinomio de dos términos se llama binomio, y uno de tres, trinomio. El máximo grado de los monomios que lo componen es el grado del polinomio. F F F F F F F 2hy 4 - 3y2 + 4h -5 Términos Coeficientes Término independiente 2hy4 ® grado = 4 + 1 = 5 El término de grado 0 es el término independiente. >>> Ejemplo 5x 5 - 2x 3 + x - 4 En este polinomio no hay término de grado 4 ni de grado 2. Esto es porque sus coef icientes son 0: 5x 5 + 0x 4 - 2x 3 + 0x 2 + x - 4 El grado del polinomio es 5, ya que es el grado del monomio 5x 2. El valor numér ico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir la incógnita por un número conocido. El valor de 2x 3 - 4x 2 + x - 3 para x = 2 es: 2 × 23 - 4 × 22 + 2 - 3 = 16 - 16 + 2 - 3 = -1 El valor de 4y 3 - 6y 2 + y - 5 para y = 1 es: 4 × 13 - 6 × 12 + 1 - 5 = 4 - 6 + 1 - 5 = -6 CÁLCULO MENTAL Susana está haciendo el inventario de la ferretería en la que trabaja y tiene prisa. Ya ha localizado y clasificado las herramientas, pero ahora debe sumar: Alicates: 15 + 85 + 2 + 8 Destornilladores: 13 + 10 + 5 + 5 Martillos: 25 + 15 + 5 + 11 ¿La ayudas? < 18 >
ACTIVIDADES 6 Suma o multiplica los siguientes monomios. a) 4x2 - x2 + 3x2 b) -4y3 + y2 + 5y3 c) 8a3b2c × 1 2 ac d) 4x2y3z × 1 2 xz e) (-1) × (-x3 + x2 - 5) f ) 6 × 2pq4 × p3 g) 4xy2 - 2xy + 7xy h) 7abc - abc + 2abc i) 3 × (-2m2n + 4m2n) j) 4xy2 - 2xy2 + 7xy k) 7z2b - 3 2 z2b + 1 2 z2b l) 3x2 × 2y × 1 3 y 7 Efectúa estas operaciones con monomios. a) 2y2m - 3y2m + 6y2m - 4y2m b) 3 4 a3z × 8 3 az × 2a4z c) -2 × (-5x6 + 7x6 + 2x6 - x6) d) 5x2 × 3xy × 2x - 6x3 × 3x × 2y e) -3x × (2xk - 8xk + 7xk) f ) (6ac3) × (-2a2c3) × (-3ac) × (-4a3c2) g) 7x × (2xy) × (-3xy5) × (xy) h) 5xz - 3xz + 15xz - 11xz + 8xz - 3xz i) -3x × (2xk - 8xk + 7xk) j) ( 3 5 yz4 + 2 5 yz4) × 3y3 k) 4 × 5k2 + 2 × 3k2 - 15k2 l) - 1 2 (a3b - 6a3b + 4a3b) m) 2 3 (a2c - 4a3c + 1 6 a × (-2 3 ac) n) 5xy3 - 2xy3 + 7xy3 - 3xy3 o) 3abc + 6abc - 9abc - 4abc p) 8xy + 7xy - xy + 3xy - xy 8 Completa la información de esta tabla. Polinomio Términos Coeficientes Grado Término independiente 2xy + 5x 5 - 3x 2 4h5 + 5x 3 6x 3 + 2x2 + 5x - 3 8 + 6x 3 + 2y 5 43x 6 9 Ordena estos polinomios e indica si falta algún término. a) 6x5 + 2x4 + 6x3 - 2 b) 5y8 - 2y9 + 3y2 - 3y3 c) 2x5 + 3x4 + x3 - 5 + 2x2 d) 6x3 + 2x2 - 3x 10 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios. a) 3x2 + 5x, para x = 2 b) 6y3 - 2y, para y = 3 c) 6h - 4, para h = 5 d) 6z2 + 3z + 2, para z = 4 < 19 > Matemáticas >> UNIDAD 1
> Suma de polinomios Para sumar polinomios, se suman los monomios semejantes. Se sitúan los monomios del mismo grado uno debajo del otro, de forma que queden ordenados de mayor a menor grado. Si falta algún grado, se deja el hueco. -4x 6 + x 5 + 7x 2 + 3 2x 6 -4x 4 + 3x 2 - 5 -2x 6 + x 5 -4x 4 +10x 2 - 2 ® ® (-4x 6 + x 5 + 7x 2 + 3) + (2x 6 - 4x 4 + 3x 2 - 5) = = -2x 6 + x 5 - 4x 4 + 10x 2 - 2 > Resta de polinomios Si queremos restar dos polinomios, sumamos al primero el opuesto del segundo. El opuesto de un polinomio se obtiene cambiando de signo todos sus términos. (8x 4 - 3x 2 - x + 6) - (3x 4 + x 2 - 3x + 4) = = 8x 4 - 3x 2 - x + 6 - 3x 4 - x 2 + 3x - 4 = ® = 5x 4 - 4x 2 + 2x + 2 > Producto de un polinomio por un número Multiplicar un polinomio por un número signif ica multiplicar todos los coef icientes del polinomio por dicho número. 4 × (-2x 2 + 6x - 5) = -8x 2 + 24x - 20 -2 × (-x 3 - 4x 2 + 5x + 7) = 2x 3 + 8x 2 - 10x - 14 Si todos los términos de un polinomio tienen un monomio en común, podemos sacar f actor común de ese monomio y escribirlo multiplicando el polinomio resultante. 8x 4 + 4x 3 - 12x 2 = 4x 2 × (2x 2 + x - 3) 9x 3 - 6x 2 + 3x = 3x × (3x 2 - 2x + 1) > Producto de dos polinomios Para multiplicar dos polinomios, se multiplican todos los términos del primero por cada uno de los términos del segundo. Se puede indicar de dos formas: con un término a continuación del otro o como una multiplicación. (3x 2 - 2) × (x 2 - 1) = = 3x 2 × x 2 + 3x 2 × (-1) + (-2) × x 2 + (-2) × (-1) = = 3x 4 - 3x 2 - 2x 2 + 2 = 3x 4 - 5x 2 + 2 3x 2 - 2 ´ x 2 - 1 -3x 2 + 2 3x 4 -2x 2 3x 4 -5x 2 + 2 8x 4 -3x 2 - x + 6 -3x 4 - x 2 + 3x - 4 5x 4 -4x 2 + 2x + 2 La suma de un polinomio y su opuesto es 0. Después de multiplicar, suma los monomios semejantes. < 20 >
ACTIVIDADES 11 Halla el grado de los polinomios e indica si entre ellos hay binomios y trinomios. ¿Cuáles son los términos independientes? a) 12x2yz - 5xy + 2 b) 1 2 fgh5z - f2g2h4 + fgh c) 6x5 - 5x4 + 7x3 + x - 8 d) z4 - 9z3 + z2 - 1 e) 2 3 x4 - 4x2 f ) m5n2 + 7m4n3 - 4mn + 3 12 Suma o resta los siguientes polinomios. a) ( 13x3 - 5x2 + 2x - 4) - (8x4 + 10x3 - x2) b) (-5x3 + 4x2 - 9x + 3) + (7x3 - 6x2 + 5x) c) (4x4 + 6x3) - (-x5 + 3x4 - 2) d) (-2x5 + 4x2 + 5) - (-x5 + 3x2 + 5) e) (-x2 + x - 1) + (-x2 - 2x + 3) f ) 10x6 + 4x5 - 12x4) - (6x6 - 8x4) g) (-3x + 6) - (x2 - 2x + 4) h) (x4 + 3x2 - 5) + (2x4 - 5x2 + 3) 13 Realiza las operaciones que se indican con estos polinomios. A(x) = -x2 + 3x B(x) = 2x + 3 C (x) = -2x3 + 4x D (x) = 5x2 - 1 a) 2 × A(x) - C (x) b) D (x) - 3 × A(x) c) 2 × B(x) + D (x) d) 3 × [C (x) - B(x)] e) -2 × [A(x) - D (x)] f ) 2 × C (x) - 4 × A(x) g) A(x) + B(x) - C (x) h) 2 × D (x) + 4 × B(x) - 6 × B(x) 14 Multiplica los siguientes polinomios. a) (4x4 - 3x2 + 1) × (x - 2) b) (-3x2 - 2x) × (x2 - 2x - 5) c) (4x3 - 1) × (2x2 - 7x + 3) d) (-x5 + 3) × (-x2 + 4x) e) (2x2 + 4x - 2) × (3x2 - 6x - 1) f ) (3 - x3) × (5x2 + 2x - 8) 15 Calcula estos productos. a) 5 × (2x3 + 6x2 - x5) b) (2x8 + x4 + x - 2) × 5 c) 3 × (2x2 + 3x4 - 8x) d) (y5 + y3 - y) × 4 < 21 > Matemáticas >> UNIDAD 1
> Identidades notables Utilizando el producto de polinomios, podemos calcular el cuadrado de un binomio y el producto de una suma por una diferencia: (a + b)2 = (a + b) × (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = (a - b) × (a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 (a + b) × (a - b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2 Estas tres expresiones se denominan igualdades notables. >>> Ejemplos (2x + 5)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 5 + 52 = 4x 2 + 20x + 25 (x 2 - 3)2 = (x 2)2 - 2 × x 2 × 3 + 32 = x 4 - 6x 2 + 9 (5 + x) × (5 - x) = 52 - x 2 = 25 - x 2 9x 2 - 4 = (3x + 2) × (3x - 2) (-x + 3)2 = (3 - x)2 = 32 - 2 × x × 3 + x 2 = 9 - 6x + x 2 (-2 - x)2 = (2 + x)2 = (-2)2 + 2 × (-2) × (-x) + (-x)2 = 4 + 4x + x 2 > División de polinomios Para dividir dos polinomios, se buscan los términos que multiplicados por el segundo polinomio dan lugar al primero. Solo se pueden dividir polinomios si el primero tiene mayor grado que el segundo. >>> Ejemplo A(x) : B(x) = (2x 4 - 3x + 4) : (x 2 + 1) ® 2x 4 - 3x + 4 x 2 + 1 Dividimos el primer término del primer polinomio (dividendo) entre el primer término del segundo (divisor). 2x 4 - 3x + 4 x 2 + 1 2x 2 ya que 2x 2 × x 2 = 2x 4 Multiplicamos el resultado por los términos del divisor, los escribimos debajo del dividendo, cambiados de signo, y sumamos: 2x 4 - 3x + 4 x 2 + 1 -2x 4 -2x 2 2x 2 -2x 2 - 3x + 4 Repetimos la operación hasta que el grado del polinomio suma (resto) sea menor que el del divisor. 2x 4 - 3x + 4 x 2 + 1 -2x 4 -2x 2 2x 2 - 2 -2x 2 - 3x + 4 2x 2 + 2 - 3x + 6 El polinomio 2x 2 - 2 es el cociente de la división, y -3x + 6, el resto. Comprobamos que la división es correcta: (x 2 + 1) × (2x 2 - 2) + (-3x + 6) = 2x 4 - 2x 2 + 2x 2 - 2 - 3x + 6 = = 2x 4 - 3x + 4 = A (x) Identifica los términos del binomio con la a y la b de la fórmula y, después, sustituye. En la división: A(x) B(x) R(x) C(x) se cumple que: A(x) = B(x) × C ( x) + R(x) Deja espacios para los términos que no aparecen en el dividendo. < 22 >
> División entre x - a. Regla de Ruffini Un caso par ticular de la división de polinomios es la división entre un binomio de la forma x - a. En este caso es más sencillo aplicar la regla de Ruffini. >>> Ejemplo (4x 4 + 5x 3 - 6x - 2) : (x - 1) Escribimos los coef icientes del polinomio en un cuadro, recordando que son cero los de aquellos términos que no aparecen en él. A la izquierda del cuadro se escribe el valor de a. Bajamos el primer número y lo multiplicamos por a. El resultado lo escribimos debajo del segundo coef iciente y sumamos. Operamos de la misma forma con el resultado obtenido y con los siguientes hasta completar el cuadro. Los números que hemos obtenido son los coef icientes del polinomio cociente, que tendrá un grado menos que el dividendo. El último de los números es el resto de la división. C (x) = 4x 3 + 9x 2 + 9x + 3 R (x) = 1 16 Transforma las expresiones aplicando las identidades notables. a) ( 1 - 2x2)2 c) (4 + 2x2) × (4 - 2x2) e) (x3 + x2)2 b) (-3 + x4)2 d) (-a - b)2 f ) 4x2 + 12x + 9 17 Desarrolla utilizando las identidades notables. a) (2x + 3x2) × (2x - 3x2) c) (6x + 3) × (6x - 3) e) (x - 5)2 b) (x + 6x)2 d) (5x + 3x2) × (5x - 3x2) f) (2x + 3) × (2x - 3) 18 Identifica si son identidades los siguientes polinomios. a) 16x2 + 8x + 1 b) 167b5 + 1614 + 4b10 c) 49x8 - 81x2 19 Realiza estas divisiones de polinomios, comprobando el resultado. a) (6x3 + 7x2 + 12) : (x + 2) b) (x5 + x4 + 5) : (x + 1) 20 Efectúa las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. a) (5x2 - 4x + 7) : (x + 2) c) (2x4 - x + 3) : (x + 1) e) (3x5 - x + 2) : (x + 1) b) (4x3 + 3x2 - 1) : (x - 1) d) (x4 - 4) : (x - 1) f ) (x3 - 2x2 - 4x + 15) : (x + 3) ACTIVIDADES ×4 ×5 ×0 -6 -2 1 4 9 9 3 4 9 9 3 1 ×4 ×5 ×0 -6 -2 1 ×4 ×5 ×0 -6 -2 + 1 4 ´ ×4 ×9 Si tienes que dividir, por ejemplo, entre x + 3, recuerda que x + 3 = x - (-3), por lo que a = -3. < 23 > Matemáticas >> UNIDAD 1
> Raíces de un polinomio. Factorización Un número a se llama raíz de un polinomio cuando el valor numérico para él es 0. Si un polinomio tiene varias raíces, puede expresarse como producto de sus factores. Factor izar un polinomio consiste en expresarlo como producto de factores. Para ello, debemos encontrar sus raíces. >>> Ejemplos Si a es raíz del polinomio A(x), la división entre x - a tendrá como resto 0. A(x) = x 2 + x - 6 tiene dos raíces: 2 y -3 ® { (22 + 23 - 6 = 0 (-3)2 + (-3) - 6 = 0 (x 2 + x - 6) : (x - 2) ×1 ×1 -6 ×2 2 ×6 ×1 3 ×0 (x 2 + x - 6) : (x + 3) ×1 ×1 -6 -3 -3 ×6 ×1 -2 ×0 Los binomios (x - 2) y (x + 3) se llaman factores del polinomio A (x). (x - 2) × (x + 3) = x 2 + 3x - 2x - 6 = x 2 + x - 6 Una forma de hallar las raíces de un polinomio es sustituir en él diferentes valores numéricos para ver cuáles dan 0. x 2 + x - 2 ® Posibles raíces: 1, -1, 2, -2. 12 + 1 - 2 = 0 ® 1 es raíz. (-1)2 + (-1) - 2 = -2 ® -1 no es raíz. 22 + 2 - 2 = 4 ® 2 no es raíz. (-2)2 + (-2) - 2 = 0 ® -2 sí es raíz. La factorización será x 2 + x - 2 = (x - 1) × (x + 2). Otra posibilidad es, aplicando la regla de Ruff ini, encontrar cuáles dan resto 0. ×1 × 1 -2 1 1 ×2 ×1 2 ×0 -2 × -2 × ×1 0 Un polinomio tiene como máximo tantas raíces como indique su grado. Las raíces de un polinomio son divisores de su término independiente. 21 Encuentra las raíces de los siguientes polinomios y exprésalos como producto de factores. Utiliza las identidades notables cuando sea posible. a) x2 + 2x - 3 b) x3 - 7x + 6 c) x2 + 5x + 4 d) x3 + x2 - 2x e) x2 - 2x - 15 f ) x3 - 4x2 - 4x + 16 g) x4 - 1 h) x2 - 7x + 12 i) x2 - 2x + 1 j) x2 - 3x - 10 k) x2 - x - 30 l) 4x2 - 9 ACTIVIDAD < 24 >
COMPRUEBA LO QUE SABES 1 Representa las siguientes situaciones mediante expresiones algebraicas. a) La edad de una persona hace 6 años. b) La suma de un número impar más su mitad. c) Un número de dos cifras. d) Longitud de un circuito rectangular de lados x e y. 2 Miguel trabaja en una carpintería barnizando muebles. Le pagan 5 € por cada silla y 12 € por cada armario barnizados. a) Escribe una expresión que represente lo que cobrará en un día. b) Ayer barnizó cinco sillas y dos armarios. ¿Cuánto le pagaron? 3 Realiza las operaciones con monomios. Identifica los elementos de los monomios resultantes. a) 3axb2 - 2axb2 + 4axb2 b) 4x5y × 3bxy × 2b2xy c) a5b2 + 6a5b2 - 2 × (a5b2 + 3a5b2) d) (2xz4 + 3xz4) × (xyz - 4xyz + 2xyz) 4 Realiza las operaciones que se indican con los siguientes polinomios. A(x) = 2x4 - 3x2 + 5x - 1 B(x) = x + 5 C(x) = -x2 + 4x - 6 D(x) = x2 - x a) 2A(x) - C(x) b) 3 × B(x) × D(x) c) B(x) × C(x) - A(x) d) A(x) : D(x) e) C(x) : B(x) f ) A(x) - 5 × B(x) - 3 × C(x) g) B(x) × C(x) × D(x) h) A(x) × [C(x) + D(x)] 5 Utiliza las identidades notables para completar los huecos. a) (2x - 9)2 = 4x2 - + 81 b) (3x - 2) × (3x + 2) = - 4 c) (5 + x2)2 = + x4 d) 9x6 - 16 = e) x2 + 10x + 25 = (x + )2 f ) (-x - 4)2 = + 16 6 Efectúa las siguientes divisiones empleando la regla de Ruffini. a) (3x3 - 5x2 + 3x - 2) : (x - 3) b) (-4x4 - 16x3 - 2x + 1) : (x + 4) c) (5x5 - 8x2 + x - 3) : (x - 1) d) (5x2 - 2) : (x + 1) e) (x4 + 5x3 - 2x - 2) : (x + 6) f ) (x6 - 24x4 - 25x2 + 2x - 8) : (x - 5) 7 Comprueba si los números son raíces de los polinomios que se indican. a) x = 3 y x = 2 de A(x) = x2 - 5x + 6 b) x = -1 y x = 3 de B(x) = x2 - 3x - 4 c) x = 2 y x = 1 de C(x) = x3 - 4x2 + x + 6 d) x = 6 y x = -2 de D(x) = x2 - 4x - 12 < 25 > Matemáticas >> UNIDAD 1
Organizar con matemáticas Ricardo trabaja en el almacén de repuestos de una fábrica. Cada jueves, el depar tamento de compras de la empresa le entrega la solicitud de aquellos repuestos que han reducido su stock mínimo para el consumo en la fábrica. PONTE A PRUEBA 1 En el pedido de esta semana hay: El doble de rodamientos que de tornillos más 200. La cuarta parte de tuercas que de rodamientos. La mitad de clavos que de tuercas menos 30. a) Si el número de tornillos es x, ¿cómo expresarías la cantidad pedida de cada repuesto? b) Le han solicitado 1.500 tornillos. ¿Cuántas unidades de los otros repuestos tiene que pedir? c) ¿Cuántos repuestos debe pedir en total? 2 A final de mes, Ricardo tiene que hacer inventario del almacén. Hoy se dedica a las herramientas. En el almacén tiene que haber: Alicates: las dos terceras partes de llaves inglesas más 150. Destornilladores de estrella: el triple de destornilladores de pala menos 80. La diferencia entre el número de martillos y dos veces el número de sierras debe ser 25. Representa con una incógnita cada herramienta y expresa las cantidades necesarias utilizando expresiones algebraicas. Al contar las herramientas del almacén, ve que hay 180 llaves inglesas, 130 destornilladores de estrella y 10 sierras. ¿Cuántas unidades tiene que haber de cada una de las otras herramientas? MATEMÁTICAS EN TU VIDA HACER UN PRESUPUESTO Para llevar una buena economía y no gastar más de lo que se ingresa, e incluso ahorrar, es muy útil elaborar un presupuesto. El presupuesto más práctico es el mensual, puesto que el salario se suele cobrar cada mes. Hay una regla que nos puede ayudar a calibrar las partidas del presupuesto: es la regla 50/30/20. El 100 % es el salario, el 50 % son los gastos fijos imprescindibles, el 30 % representan los gastos de ocio o prescindibles y el 20 % se dedica a las deudas o el ahorro. Ahorros o deudas 20 % Lo que quiere 30 % Lo que necesita 50 % Para confeccionar correctamente tu presupuesto debes responder a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles son tus ingresos? 2. ¿Qué gastos fijos tienes y cuál es la cuantía de cada uno? 3. ¿Qué gastos variables sueles tener y cuánto te gastas en ellos? 4. ¿Qué metas de ahorro te propones? 5. ¿De qué gastos puedes prescindir? Contestando a estas preguntas, calcula las cantidades de tu 50/30/20 y verás como consigues ahorrar. ¡Suerte! SOLICITUD DE PEDIDOS < 26 >
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