1 5 Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 ? 104 m/s, y en el perihelio es de 3,53 ? 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 ua, determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones. Dato 1 ua = 1,496 ? 1011 m. Solución: 1,0738 ? 1011 m; 1,0893 ? 1011 m 6 Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular? A C T I V I D A D E S z Y x O L r F v ~ Conser vación del momento angular. Fuerzas centrales Como ya hemos indicado, la variación con respecto al tiempo del momento angular de un cuerpo que gira nos dará información sobre la fuerza responsable de su movimiento. ( ) ( ) ( ) F ? ? ? dt dL v m v r m a r m a r 0 # # # # = + = + = [2] es 0 porque el vector m ? v es paralelo a v. Para un cuerpo que se mueve con momento angular constante: L F dt d r 0 # = = Por l as propi edades del producto vectori al de vectores, como ni r ni F son nulos, r y F deben tener la misma dirección . Cuando esto sucede, se di ce qu e el cu er po se mu e ve bajo l a acción de una fuerza central. Una fuerza central tiene la dirección del vector de posición y forma con él un ángulo de 0° o 180°. En ambos casos, el seno = 0. 0 = % centrales sen 180 L F ? ? dt d r r F Fuerzas # = = Teorema de conser vación del momento angular Para un cuerpo sometido a fuerzas centrales la variación del momento angular se anula . L dt d 0 = Un cuerpo que gira bajo la acción de una fuerza que tiene la dirección de su vector de posición con respecto al centro de giro tendrá un vector momento angular constante, L = cte., en módulo, dirección y sentido. E J E M P LO R E S U E LTO 2 Mercurio en su órbita está a una distancia variable del Sol, ra = 70,5 ? 109 m en el afelio y rp = 46,5 ? 109 m en el perihelio. Si la velocidad en el perihelio es vp = 59,7 ? 103 m/s, ¿qué velocidad lleva en el afelio? Como Mercurio está sometido a una fuerza central, conserva el momento angular, que no cambia con el tiempo, y por tanto: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L r m v r m v v r m r m v sen sen sen sen a a a a a a a p p p a a a p p p " = = = El radio vector y la tangente forman un ángulo recto en los vértices mayores de la elipse. Por eso: ap = aa = 90° " sen ap = sen aa = 1 Sustituye y opera. ? ? ? ? ? ? ? , , , v 70 5 10 1 46 5 10 59 7 10 1 m m m/s 39,4 10 s m a 9 9 3 3 = = Cuando un cuerpo tiene un movimiento circular uniforme y describe una órbita plana , su momento angular L es constante. En una órbita elíptica , el vector r y el vector v solo son perpendiculares en el afelio y en el perihelio. Solo en esos puntos L = r ? m ? v. Perihelio Afelio Sol r v v v r r 11
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