1.3. La conservación del momento angular y las leyes de Kepler De las leyes de Kepler vamos a deducir que los planetas se mueven con momento angular constant e, lo cual será det erminant e para conocer la fuerza responsable de su movimiento. Primera ley de Kepler y conser vación del momento angular La primera l ey de Kepl er dice que los pl anetas describen órbitas elípticas y planas. Para que se conser ve ( ) L ? r m v # = , debe suceder : ● Que no cambie su dirección. Siempre es perpendicular a r y v. Esto sucede siempre que el planeta describa órbitas planas, tanto si son elipses como si son epicíclicas. ● Que no cambie de sentido. Esto solo se cumple si la órbita es elíptica . Segunda ley de Kepler y conser vación del momento angular La segunda ley de Kepler dice que los planetas se mueven con velocidad areolar constante. ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? dA r v dt r ds r r d r d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i i = = = = dA ? ? ? dt r dt d r r v 2 1 2 1 2 1 2 2 i ~ = = = [1] Relacionamos este resultado con el momento angular de los planetas. Como sus órbitas son casi circulares, suponemos que a r y v son siempre perpendiculares: sen ? ? ? ? ? ? L r m v r m v m L r v 90 " c = = = [2] Relacionando [1] y [2]: dA ? dt r m L v 2 1 2 1 = = Como los planetas se mueven con velocidad areolar constante, su momento angul ar debe ser constant e. Esto implica , como hemos v i sto ant es, que se mueven por acción de una fuerza central. 1. La cinemática de los planetas E J E M P LO R E S U E LTO 3 La Tierra en su órbita recorre 2 617 000 km durante el 4 de enero, fecha del perihelio, cuando se encuentra a 1,4709 ? 1011 m de distancia del Sol. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el 5 de julio, fecha del afelio, cuando se encuentra a 1,5210 ? 1011 m del Sol? Un día es un tiempo bastante breve como para aproximar el espacio recorrido, s, como un segmento. En el afelio y en el perihelio los vectores r y v son perpendiculares; por eso calcula el área de triángulos rectángulos. La base, r, y la altura, s, son los catetos del triángulo. A4 enero = A5 julio " ? ? ? r s r s s r r s 2 2 enero enero julio julio julio julio enero enero 4 4 5 5 5 5 4 4 " = = Sustituye y opera: ? ? ? , , s 1 5210 10 1 4709 10 2 617 000 m m km 2 530 800 km 5 julio 11 11 = = 7 La órbita elíptica del cometa Halley alrededor del Sol se acerca hasta 8,75 ? 107 km en el perihelio y se aleja del Sol hasta 5,26 ? 109 km en el afelio. ¿Dónde es mayor la velocidad? ¿Cuánto vale el cociente de velocidades? Solución: 60,1 A C T I V I D A D E S r ? sen (du) = r ? du Cuando du " 00 Representación de la relación entre el arco y el ángulo. ds du r Aplicamos la fórmula del área del triángulo para calcular el área barrida en un tiempo dt. El espacio recorrido es v ? dt, pues suponemos que en ese tiempo infinitesimal el movimiento es rectilíneo y uniforme. dA Planeta Sol v ? dt r ? ? ? dA r v dt 2 1 = 12
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