La integral de una función La integral de una función es otra función que, derivada , nos da la función de partida . Para una función x: cte. dx x = + y Obtenida la función integral , se puede calcular el valor de la integral definida entre dos límites. Es el valor de la función para el límite superior menos el valor de la función para el límite inferior : dx x x [ ] [ ] f i i f = - y ● Integral indefinida de una constante: cte. k dx k x ? ? = + y ● Integral indefinida de una potencia : 1 cte. x dx n x ? n n 1 = + + + y , si n ! -1 ● Integral indefinida de la función inversa : 1 ln cte. x dx x ? = + y 1 3.2. Trabajo debido a las fuerzas gravitatorias Cuando un cu er po de masa m se mu e ve en el seno del campo grav it ator io creado por otro cuerpo de masa M, se realiza un trabajo. Como el valor de la fuerza cambia en cada punto, usamos el cálculo integral: ? ? ? ? ? ? ? ? W F d r r G M m u d r r G M m dr i f i f r i f i f 2 2 = = - = - " y y y ur es un vector unitario en la dirección y sentido de r. Vimos que u d r dr ? r = . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? W G M m r dr G M m r r G M m r G M m 1 i f i f f i i f 2 = - = = - " < F y El campo gravitatorio es un campo conservativo porque el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio depende solo del punto inicial y final del desplazamiento, y no de la trayectoria seguida. ? ? ? ? W r G M m r G M m i f f i = - " La fuerza gravitatoria es una fuerza central, ya que está dirigida hacia el centro, y su módulo depende de la distancia al centro. Podemos generalizar y decir que el trabajo debido a una fuerza central es conser vativo. En consecuencia : ● El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. ● Si rf < ri " Wi"f > 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio es positivo cuando el cuerpo se acerca a la masa que crea el campo. ● Si rf > ri " Wi"f < 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio es negativo cuando el cuerpo se aleja de la masa que crea el campo. Esto es debido a que las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas y cualquier cuerpo que quede libre se acercará al que crea el campo. El trabajo de la fuerza gravitatoria depende únicamente de los puntos inicial y final; no de la trayectoria . M Punto final Punto inicial Ff Fi ri rf Para un cuerpo que experimenta un desplazamiento bajo la acción de una fuerza constante, el trabajo se calcula multiplicando la fuerza por el desplazamiento: cos W F r F r ? ? ? i f a D D = = " . Si la fuerza no es constante, solo podremos calcular el trabajo en un desplazamiento infinitesimal , donde consideramos que F es constante: dW F d r ? = . Para calcular el trabajo realizado cuando se produce un desplazamiento entre dos puntos cualesquiera , debemos sumar todos los trabajos infinitesimales. Matemáticamente esa suma es la integral: W F d r ? i f i f = " y El trabajo es el área sombreada en la figura (rectángulo). Fx W x1 x2 x WF = Fx ? (x2 - x1) = Fx ? Dx El trabajo es la suma de las áreas de los rectángulos. Fx x1 x2 x ? dW F d r = " W = ? F dx x y 1 1 1 r dr r r r r ? [ ] 2 1 A B A B A B B A - = = = = - - - < F y 17
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