3. Campo gravitatorio creado por masas puntuales Ejemplo de fuerza conser vativa Observa la figura. Podemos ir del punto P al Q por cualquiera de los dos caminos señalados. En ambos casos la diferencia de altura es la misma, pero el camino recorrido es distinto. Q Q Q Camino 1 Subida camino 2 Subida camino 1 Bajada camino 1 Bajada camino 2 Camino 2 P P P Para subir la di ferencia de altura debemos reali zar un trabajo en contra de nuestro propio peso, y para recorrer el camino debemos vencer el rozamiento con el suelo. El peso es una fuerza conservativa, pues el trabajo necesario para vencerlo solo depende del punto inicial y el final , mientras que el rozamiento es una fuerza no conservativa, pues el trabajo necesario para vencerlo depende del camino. Si completamos la ruta para volver al punto de partida P, el trabajo total debido a la fuerza peso es nulo. En cambio, el trabajo de la fuerza de rozamiento no es nulo, ya que debemos vencerla tanto en el paso de P a Q como en el inverso. EJEMPLO RESUELTO 5 Una masa de 50 kg está situada en el punto (0, 0) m y otra de 30 kg en el punto (3, 0) m. a) ¿ En qué punto (o puntos) del plano XY el campo gravitatorio resultante es nulo? b) C alcula el trabajo necesario para trasladar la esfera de 30 kg hasta el punto (5, 0) m. Interpreta el resultado obtenido. Dato: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Representa el problema gráficamente: A(0, 0) B(3, 0) C(5, 0) M1 Y X g 1 g2 d2 d1 M2 a) Se trata de encontrar un punto en el que g 0 Total = . De acuerdo con el principio de superposición: g g g Total 1 2 = + " g g 0 1 2 + = " Analiza la representación, observa que el punto que buscas está en la línea que une M1 y M2. El dibujo nos ayuda a expresar vectorialmente g1 y g2. No olvides expresar todas las magnitudes en unidades del sistema internacional. ● ? ? g r G M ur 1 1 2 1 1 = - ● ? ? g r G M ur 2 2 2 2 2 = - ? ? ? , , g d d 6 67 10 10 50 3 34 i i kg N 1 1 2 11 1 2 9 = - = - - - ? ? ? , , g d d 6 67 10 00 10 30 2 i i kg N 2 2 2 11 2 2 9 = + = + - - Resuelve teniendo en cuenta que: ? ? , , g g d d 0 3 34 10 2 00 10 0 i kg N i kg N 1 2 1 2 9 2 2 9 + = - + = - - " ? , , , , d d d d d d 1 67 1 67 1 29 1 29 2 2 1 2 2 1 2 1 = = = = " " Como la distancia entre las dos masas es de 3 m, sustituye y calcula: d1 + d2 = 3 " ? , d d 1 29 3 2 2 + = " d2 = 1,31 m d1 = 3 - 1,31 " d1 = 1,69 m b) U tiliza la expresión para calcular el trabajo en un campo gravitatorio: ? ? ? ? W r G M M r G M M i f f i 1 2 1 2 = - " ? ? ? ? , W 6 67 10 50 30 5 1 3 1 B C 11 = - " - e o ? W 1,33 10 J B C 8 =- " - Interpretación: el trabajo es negativo, es decir, para que el cuerpo M2 se desplace de B a C hay que realizar un trabajo en contra de las fuerzas del campo. C está más alejado de M1 que B. Las fuerzas del campo acercarán M2 a M1. En cada paso se produce un desplazamiento en horizontal (Dx) y otro en altura (Dh). La fuerza peso es perpendicular al desplazamiento horizontal , por eso no realiza trabajo en ello. El trabajo de la fuerza peso depende solo del desplazamiento en altura . hf hi P 18
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